高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)-知識(shí)點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

第一章-集合

考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必

要條件.

考試要求：

(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.

(2)理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；

掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：

本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法(集合化簡(jiǎn))、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧：

(-)集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A=A；

②空集是任何集合的子集，記為。tA；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果AqB,同時(shí)BqA,則4=8.

如果A=BcC,那么A=C.

［注］:①二{整數(shù)}(J)Z={全體整數(shù)}(X)

②已知集合5中/的補(bǔ)集是一個(gè)有限集,則集合A也是有限集.(X)(例:S=N；A=N+,

則CA={0})

⑤交集的補(bǔ)集是全集.

④若集合東集合8,則04=0,頡=0&(貼=。(注："=0).

3.①{(x,y)\xy=0,x《R,/《用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②］(x,y)\xy<0,xGR,yRR}二、四象限的點(diǎn)集.

③l(x,y)\xy>0,x《R,用一、三象限的點(diǎn)集.

［注］：①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：解的集合{⑵1)}.

［2x-3y=l

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是。.(例：A={(x,y)|*卄I}B={y|y=Al}則如8=0)

4.①〃個(gè)元素的子集有20個(gè).②〃個(gè)元素的真子集有2"-1個(gè).③〃個(gè)元素的非

空真子集有2--2個(gè).

5.⑴①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①若a+6#5,則a42或bx3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+6=5,成立，所以此命題為真.

②xH1且五2x+y片3.

解：逆否：x+y-3x=1或y=2.

xH1且"2x+y#3,故x+y/3是X*1且"2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：若x>5,nx>5恥Y2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包含關(guān)系：

AqA,①qAL,品厶工。，

AqB,BqCnA工C;ABe,A,ABB;AB^A,AB衛(wèi)B.

(2)等價(jià)關(guān)系：A[BoAB=AoAB=BoqA\B=U

(3)集合的運(yùn)算律：

交換律：AD8=5riA;AUB=BUA

結(jié)合律：(An8)nC=An(8nC)；(AUB)UC=AU(BUC)

分配律:.An(5uc)=(An8)u(Ano；AU(8nc)=(AUB)n(AUc)

0-1律：①A=①,①A=A,(7A—A,UA=U

等冨律：AnA=A,AU,A=-A.

求補(bǔ)律：AnCuA=4)AUCuA=UCuU=<DCu4)=U

反演律：Cu(ACB)=(CuA)U(CuB)Cu(AUB)=(CM)D(CuB)

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(d>)=0.

基本公式：

(3)card(uA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法(零點(diǎn)分段法)

①將不等式化為ao(x-x,)(x-x2)-(x-x?)>0?0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為

了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；

④若不等式(X的系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等

式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.

(自右向左正負(fù)相間)

則不等式+---+a?>O(<O)(ao>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間

的符號(hào)確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0A=0A<()

Iu

二次函數(shù)甘

y=ax2+bx+c

(tz>0)的圖象---------X

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=Qb

x,x(x<x)無實(shí)根

(a>0的根I212…F

ax2+"+c>0<xx^---1

{^x<x]^x>x2]

(0>0)的解集I2?JR

ax2+Z?x+c<0

Nx<x<x2)0

(a>0)的解集0

2.分式不等式的解法

(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為丄⑻>0(或丄@川(或厶。式0)的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式組)

>0o/(x)g(x)>0;"200f/(x)g(x)>0

[g(x)w0

g(x)g(x)

3.含絕對(duì)值不等式的解法

(1)公式法：［ax+4<c,與|以+4>0(C>0)型的不等式的解法.

(2)定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法”分類討論.

(3)幾何法：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一元二次方程ax2+bx+c=0(a#=0)

(1)根的“零分布”：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

(2)根的“非零分布”：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

(三)簡(jiǎn)易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡(jiǎn)單命題與復(fù)合命題：

“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡(jiǎn)單命

題；由簡(jiǎn)單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q(記作“pVq”兀P且q(記作“p/\q”)；非P(記作“1

q”)o

3、“或”、“且”、“非”的真值判斷

逆命題

|若q則P

(1)“非P”形式復(fù)合命題的真假與F的真假相

反；

(2)“p且q”形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時(shí)I逆否命題|

為真，其他情況時(shí)為假；:若1q則1p|

(3)“p或q”形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時(shí)

為假，其他情況時(shí)為真.

4、四種命題的形式:

原命題：若p則q；逆命題：若q則P;

否命題：若1P則1q；逆否命題：若rq則1P?

⑴交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題O逆否命題)

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知p=q則我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。

若pnq且qnp,則稱P是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)(假設(shè))，引岀(與已知、公理、定理…)矛盾，

從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)充.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

(1)了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

(2)了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

(3)了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

(4)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的概念，掌握有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

(5)理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

(6)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

§02.函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

二、知識(shí)回顧：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與—映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，

因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函

數(shù)才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=/(%)(%GA)的值域是C,根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把X表示

出，得到x=0(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=°(y),x在A中都有唯一的值

和它對(duì)應(yīng)，貝I],x=0(y)就表示v是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=0(y)(yeC)

叫做函數(shù)y=/(%)(%eA)的反函數(shù)，記作X=f-1(y),習(xí)慣上改寫成y=f~'(%)

(-)函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x,,xz

⑴若當(dāng)X<Xz時(shí)，都有f(X,)<f(Xz)，則說f(X)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)；

⑵若當(dāng)x〈X2時(shí)，都有f(xi)>f(xz),則說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).

若函數(shù)y=f(X)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函

數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù)：/(-x)=/(x)

設(shè)(a,b)為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則Ja,b)也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于.、，軸對(duì)稱，例如：y=/+i在口「1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(-x)=f(x),或/(-x)-f(x)=O,若/(X)MO時(shí)，/丄=1.

/(-x)

⑵奇函數(shù)：/(-x)=-/(%)

設(shè)(。*)為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則(-〃,")也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：y=/在［1,-1)上不是奇函數(shù).

②滿足/(-X)=-/&),或〃-x)+/(x)=O,若/(x)xO時(shí)，=-L

/(-x)

8.對(duì)稱變換：①f(x)-'觸對(duì)稱>)，=/(_￡)

②”大(X)，軸對(duì)稱>y=_y(x)

原點(diǎn)對(duì)稱

③y=f(x)=-/(-x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性(定義)作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如:

/岀)歯就寸也在廬+廬

一舊=-用r=+戶=+-收4=+廬=

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.

例如：已知函數(shù)升(x)=1+丄的定義域?yàn)?函數(shù)幵尸(X)]的定義域是8,則集

x

合力與集容0之間的關(guān)系是.

解：f(x)的值域是/(7(x))的定義域8,/(X)的值域eR,故BeR,而4={x|xxl},

故8nA.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)=f(x-y)=.

/(y)

證：/(X-y)=架o〃x)=/iu-y)+m=f(x-y)f(y)

fM

②/(-)=fW-f(y)=f(x-y)=/(x)+/(y)

y

證：f(x)=f(—■y)=/(—)+f(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例：y=2國(guó)T|x|關(guān)于y軸對(duì)稱.7=(茨丿Ty=(]J-4J=f-1

y=\2?+2x-l|T\y\關(guān)于x

⑵熟悉分式圖象:

例的i：y=-2--x--+--I=2c+----7---

x—3x—3

值域{)，|)，*2,)，€/?}一值域十乂前的系數(shù)之比.

y

(三)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)2

指數(shù)函數(shù)V=a\a＞。且aw1)的圖象和在質(zhì)

a>10<a<1

a>10<a<1

對(duì)數(shù)函數(shù)尸/og°X的圖象和性質(zhì):

對(duì)數(shù)超導(dǎo):

(以上

M>0,N>-0,a>-0,a^l,b>-0,b^l,o0,c^l,a],a2...anA0且w1)

y/

圖/

象O

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域R

質(zhì)?

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

y=logx_____

a一

圖/

象O\X

x=1

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域R

質(zhì)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

圖/

象O\

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域R

質(zhì)?

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

V'

圖

象O

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域：R

質(zhì)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

y/

圖

象o

X-1a<"l

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域：R

質(zhì)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

yz

圖

象o

性(1)定義域：(0,+8)

質(zhì)(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

yz

y=logax，

圖

象o

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域：R

質(zhì)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

y，

y=logax-------

圖

象o

(1)定義域：(0,+8)

性

(2)值域：R

質(zhì)

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

y，

圖

象o

X-1___&v_1

性(1)定義域：(0,+8)

質(zhì)(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

a>10<a<1

y

圖

o

象1

(1)定義域：(0,+8)

(2)值域：R

(3)過點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=1時(shí)，y=0

性

—0,1)時(shí)y>0

質(zhì)(4)xe(0,1)時(shí)y<。

XG(L+oo)時(shí)y>0%e(l,+oo)時(shí)y<0

(5)在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)

注⑴：當(dāng)a,bYO時(shí)，log(a-b)=log(-a)+log(-Z?).

(2)：當(dāng)時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，“，0,而MYO,故取“一”.

例如：log。％2K210gaX：(210gaX中*>0而log。？中.

[2)y=ax與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)時(shí)，y=k>g〃x的“值越大，越靠近x軸；當(dāng)0Y4Y1時(shí)，則相反.

(四)方法總結(jié)

(1).相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.

⑴對(duì)數(shù)運(yùn)算：

(以上MAO.N*O'a泮O.aHLbAO,bwloO,CHLai,az-an>0且Hl)

注⑴：當(dāng)〃Y0時(shí)，log(?b)=log(-a)+log(-7?).

(2)：當(dāng)MMO時(shí)，取“+”，當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)且MYO時(shí)，“，0,而MY0,故取“一”.

2l21

Ullin：logflx*21ogaxv(21ogax4x>0(fnlogax4x￡R).

(2)y=a'(a>0,a#1)與y=log“x互為反函數(shù).

當(dāng)"Al時(shí)，y=log“X的a值越大，越靠近X軸；當(dāng)0Y4Y1時(shí)，則相反.

(2).函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

(3).反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

⑷.函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得

函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0;③對(duì)數(shù)的

真數(shù)大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)零的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際

意義等.

⑸.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次兀②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換

元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

(6).單調(diào)性的判定法：①設(shè)X-X?是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且X1<X2;②判定

f(xP與f(x2)的大??；③作差比較或作商比較.

⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(r)與f(x)之間

的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；

f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)+f(-x)=-1為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函

數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

(1)理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫岀數(shù)列的前幾項(xiàng).

(2)理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題.

(3)理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)

際問題.

§03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)

1.⑴等差、等比數(shù)列:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

｛?！埃秊?/。。"+1-許=4（常數(shù)）｛/｝為G?PO又生=以常數(shù)）

%

通項(xiàng)公

a=4+(n-1)d=a+(n-k)

式nk%=

d二力2+4]-d

求和公na(q-1)

s=------------=na+----------a}

式n2x12

S“=’四(1-，)=

=#+(q一凱a「a“q手}

i-qi-q

中項(xiàng)公a^b_,

AA-2推廣：2%-a“r“+a”+,“G?=姉。推廣：a：=a“_,,xa“+m

式

i性1

若m+n=p+q則a,?+an=ap+Clq若m+n=p+q,則aman=apaq。

2

若伏/成A.P（其中heN）則｛%｝若伏“｝成等比數(shù)列（其中心wN）,

也為A.P。

貝成等比數(shù)列。

3

SSSS-S

?sn,s2n-s?,s3n-s2n成等差數(shù)列。n^2n~n^3n2n成等比數(shù)列。

4

a-a,a—aqn-'=",q'-m=纟

d=亠一=亠—"ntwn)

n-1m—n

(mwn)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：

①an-an_x=d（n>2,d為常數(shù)）

②2an=an+l+an_x（?>2）

③a”=kn+b（n,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

①an=an_｝式鹿>2,夕為常數(shù),且w0）

②〃彳=4〃+廣4〃_]（〃之2,anan+\an-\*0）0

注①：i.b=g是外dC成等比的雙非條件，即〃=而=0b、C等比數(shù)列.

ii-b=y[ac（ac>0）T為mb、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=±&T為2、b、。等比數(shù)列的必要不充分.

iv.〃二土且aOT為mbi。等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)外C不一定有等比中項(xiàng)，除非有的>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).

③%=。/（也為非零常數(shù)）.

④正數(shù)列｛冊(cè)｝成等比的充要條件是數(shù)列｛log/”｝（XA1）成等比數(shù)列.

S1=%（〃=1）

⑷數(shù)列｛%』的前〃項(xiàng)和S,與通項(xiàng)冊(cè)的關(guān)系：an=\

_sn~sn-\（“2Z）

［注］:①?！?。1+（"-1M=，夜+（仆-4（＜/可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件（即

常數(shù)列也是等差數(shù)列）T若d不為0,則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差｛。“）前〃項(xiàng)和S?=An2+Bn=卜T|可以為零也可不為零T為等

差的充要條件T若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條

件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）

2.①等差數(shù)列依次每々項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的〃倍

Sk,Szk—Sk,S3k—S2k-??；

,、CC,S奇_

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n（neN+,則白偶一3奇=nd,~~=~一.

'丿3偶an+\

③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2”-GeN+）,則§2〃-產(chǎn)（2n-l）a?,且S奇一S個(gè)=〃“,且=丄

S他"T

n代入〃到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3-+77=應(yīng)刊

2

②［2+22+32+…”2=如巫血

6

③]3+23+33…『=嗎2

［注］:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,…n〃“=10”-l；5,55,555,…=決"一1）.

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

⑴生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為明年增長(zhǎng)率為小則每

年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為a（l+r）"T,且過〃年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存。元，利息為廣，每月

利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的，，元過“個(gè)月后便成為。元.因此，第二年年初可存款：

“（1+鏟+〃（1+'嚴(yán)+〃（1+'嚴(yán)+…+”（1+，）=。（1+可1一（1+『產(chǎn)］

l-（l+r）

⑶分期付款應(yīng)用題：。為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；，?為

年利率.

5.數(shù)列常見的幾種形式：

（Van+2=pan+}+qa?（p,g為二階常數(shù)）f用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程”=Px+q（x?對(duì)應(yīng)a“+2，x對(duì)應(yīng)?！?1）,并設(shè)二根巧,向

②若X產(chǎn)可設(shè)?！?=€1瑞+。2対，若X1=》2可設(shè)a“=（C］+C2"）x'；；③由初始值小,的確定。［4.

⑵a“=Pa,i+r（%-為常數(shù)）-用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常

數(shù)〃轉(zhuǎn)化為冊(cè)+2=P〃,用+的”的形式，再用特征根方法求〃“；?an=cl+c2P"-'（公式法），

Ci，c2由at,a2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：a,,+i+x=P（a?+x）=>a?+i=Pan+Px-x^>x=——.

p—1

②選代法：

n

??=Pa?_x+r=P（Pan_2+r）+r=■■■=>an=（al+=（a,+x）P~'-x

r-Ir-\

n2

=P~'al+P"~-r+---+Pr+r.

③用特征方程求解：

4”41=兒n

p丄卜相減，na,,-Pan_x.

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：

ci=c2=ai+~7,a”=c2P"T+Ci=（ai+"^7）P"'+-

I—rr—Lr—II—r

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，在dYO時(shí)，有最大值.如何確定使S“取最大值時(shí)的〃

值，有兩種方法：

一是求使冊(cè)20,。,用Y0,成立的“值；二是由5“=!，/+（可一|）〃利用二次函數(shù)的性

質(zhì)求〃的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前〃項(xiàng)

和可依照等比數(shù)列前"項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1丄,3丄,…(2〃-1)丄,…

242"

⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)

列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差4,厶的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n22的任意

自然數(shù)，驗(yàn)證4-為同一常數(shù)。⑵通項(xiàng)公式法。⑶中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

%

2%+i=a?+a?_2(a,t,=a?a?+2)neN都成立。

a>0

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)機(jī)的最值問題：⑴當(dāng)4>0,d<0時(shí)，滿足1m根的

項(xiàng)數(shù)m使得％取最大值.(2)當(dāng)4<0,d>0時(shí)，滿足〈的項(xiàng)數(shù)m使得％取最小值。

&+I20

在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

(三)、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于」一其中｛是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常

1。汽+1,

數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯(cuò)位相減法:適用于｛&/“｝其中｛%｝是等差數(shù)列，｛a｝是各項(xiàng)不為。的等

比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

“、“c-n(n+l)

1):1+2+3+...+n=—-------

2

2)1+3+5+..+(2n-1)-n2

r-12

3)r+23+…+〃3=

4)l2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2n+l)

6

11111J1

5)-----------———---------------------——(---------------

+nH+1n(n+2)2nn+2

6)—=---(丄-丄)(〃＜夕)

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘

導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin（3x+0）的圖像.正切函數(shù)的

圖像和性質(zhì).已知三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算.

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明.

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（3x+Q）的簡(jiǎn)圖，理解A.3、?的物理意義.

（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana*cosa=1".

§04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與“（0°WaV360。）終邊相同的角的集合（角a與角力的終邊重合）：

{/I〃=kx36（r+a?￡z}

32

sinxsiux

②終邊在X軸上的角的集合：加|尸=2X180°,丘z}41

/\COSXCOSX

③終邊在V軸上的角的集合：例夕="180°+90°,荘Z）]4

sinx5濃

23

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：物R="9。七ez}SN8S三角函數(shù)值大小關(guān)解

1、2、3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在區(qū)域

⑤終邊在.X軸上的角的集合：加l6=Zxl80°+45°,Zez}

⑥終邊在y=—x軸上的角的集合：物|6=&x180°-45°?ez}

⑦若角a與角/的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角a與角/的關(guān)系：a=360Z-〃

⑧若角a與角方的終邊關(guān)于V軸對(duì)稱，則角a與角4的關(guān)系：a=360"+18(T-〃

⑨若角a與角力的終邊在一條直線上，則角a與角〃的關(guān)系：a=180Z+￡

⑩角a與角夕的終邊互相垂直，則角a與角〃的關(guān)系：a=360N+〃±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2乃180°-7t1°=0.017451=57.30°=57°18'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad=l80°七57.30°=57°18'.10=/_七

n180

0.01745(rad)

3、弧長(zhǎng)公式：l^a\-r-扇形面積公式：s扇形=g/r=g|￡|?戸

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任取

y>a的終邊

(異于原點(diǎn)的)一點(diǎn)P(x,y)P與原點(diǎn)的距離為r,則sina=Z;\/

r/P(x,y)

cosa=—,tana--'cota=一'seca——?‘,csca=*-----------c，--------

rxyxy°X

5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：(一全二正弦，三切四

余弦)

6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

/(x)=sinx{x|xwR}

f(x)=cosX{x|xe??}

/(x)=tanxXGRllx=攵萬+―4,ZwZ：

I2J

/(x)=cotx{x|xGwk/r,keZ}

f(x)=secxjx|XGR且XW后4+：)，女￡z}

f(x)=cscx{x|XGRJix*kjv,keZ}

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：包q=tanaW二cota