2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末模擬卷答案

2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末模擬卷

高一數(shù)學(xué)參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合N={X|3X+4〈X2},B={x\y=lnx},貝()

A.{x|-l<x<0}B.{x\x>4}

C.{x|x<-1,或x>0}D.{x|x<-1,或x>4}

【答案】C

【解答】解：?.?集合/={引3工+4<?}={珅(:<-1或%>4},B^{x\y^lnx}^{x\x>Q},

：.AUB^{x\x<-1,或x>0}.故選：C.

2.命題“VxGR,x2-2x+G0”的否定是()

A.x2-2x+l<0B.ExER,x2-2x+l>0

C.3x^R,x2-2x+l<0D.VxGR,x2-2x+l<0

【答案】C

【解答】解：：命題“VxGR,f-2x+G0”為全稱(chēng)命題，

.,.命題的否定為：SxeR,x2-2x+l<0,故選：C.

3.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-4m,3機(jī))(相力0),則2sina+cosa的值是()

A.1或-1B.2或-2C.1或-工D.-1或2

5555

【答案】B

【解答】解：r=V(-4m)2+(3m)2=5Imp

當(dāng)加>0時(shí)，r=5m,sin。cosl2sind.+cosCt=^--^-=7-；

5m55m5555

當(dāng)加<。時(shí)，r=-5m,sindcos-—2sina+cosa=_^_+^_=-

-5m5-5m5555

故選：B.

4.函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?)

A.[1,2)U(2,+<?)B.(1,+oo)

C.[1,2)D.[1,+oo)

【答案】A

【解答】解：由題意Qi>。解得問(wèn)1,2)U(2,+<-)

lx-27^0

第1頁(yè)

故選：A.

5.設(shè)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減，則()

1_2_2

A./(log3—)>f(22)>/(23)

4

23

B.f(logs—)>f>f(2-7)

4

_3__2_

C.f(2-7)>/(2~)>/(log3—)

4

2_2

D./(23)>/(22)>/(log—)

34

【答案】C

【解答】解：?./(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，???f(log3)=f(10g34〉

_3_2

Iog34>log33=1,0<22<22=r

_3__2_

23

-'?°<2<2<log34

f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

3_2_

f(22)>f(23)>f(log3?，

故選：C.

6.下列函數(shù)中，以生為最小正周期且在區(qū)間(生，—)單調(diào)遞增的是()

242

A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|

【答案】A

【解答】解：/(x)=sin|x|不是周期函數(shù)，可排除。選項(xiàng)；

f(x)=cos|x|的周期為2兀，可排除C選項(xiàng)；

/(%)=卜山2川在三處取得最大值，不可能在區(qū)間(工，—)單調(diào)遞增，可排除反

442

故選：A.

7.比較大小：a=log3&,b=#1,c=elni,則()

A.a〈c〈bB.c<a<bC.c〈b〈aD.a<-b<c

【答案】4

第2頁(yè)

【解答】解：由0=log31Vlog3&Vlog3F=/■知，OVQV、；

且bc=e^rr2=—；

2

所以a〈c〈b.

故選：A.

8.如圖，為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針尖位置p（x,y）.若初始位

置為Po（亨，1）,當(dāng)秒針從Po（注此時(shí)f=0）正常開(kāi)始走時(shí)，那么點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y與時(shí)間f的函數(shù)關(guān)

R—?，兀兀、

B-y=sin(--t-)

D.尸sin(-工弋工)

,303

【解答】解：由題意，函數(shù)的周期為7=60,.??3=空_三

6030

設(shè)函數(shù)解析式為〉=5畝（-今什中）（因?yàn)槊脶樖琼槙r(shí)針走動(dòng)）

???初始位置為Po（返，工），

22

.,"=0時(shí)，y=—

2

?.?.sin（p―_―1―-

.?.（P可取F

，函數(shù)解析式為＞=sin（-

306

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.若非零實(shí)數(shù)0,6滿(mǎn)足。＜6,則下列不等式不一定成立的是（）

第3頁(yè)

A.A<1B.2+包之2

bab

C.D.a2+a<b2+b

ab2a2b

【答案】ABD

【解答】解：當(dāng)。<6<0時(shí)，且<1不成立，

b

當(dāng)包〈0時(shí)，包津》亦成立，

bba

因?yàn)閈]=上】<0,則與<—9一定成立，

abab(ab)"ab"ab

因?yàn)椤?扭+0_6=cb)(a+6+1)符號(hào)不定，故020<拄+6不一定成立.

故選：ABD.

10.函數(shù)/(x)=〃-工(a>0,且存1)的圖象不可能是()

【答案】ABC

【解答】解：由f(x)=a*[知，函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)(7,0)，對(duì)照選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)。符合，

a

故選：ABC.

11.函數(shù)f(x)=Asin(3x+Q)(A>0,W>0,|。|<^-)的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中正確的

是()

A.將函數(shù)/(x)的圖象向右平移*個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x^~1-)的圖象

B.函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(?1』，0),k€洲稱(chēng)

26

C.函數(shù)/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為國(guó)兀-翳，卜兀哈〕，k€Z

第4頁(yè)

D.直線(xiàn)x=-看兀是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸

【答案】BC

【解答】解：根據(jù)函數(shù)/'(x)=/sin(a)x+(p)(A>0,?>0,|(p|<^-)的部分圖象，

可得/=i,-2L,.".a)=2.

43123

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2、三+中=兀，.?.中=工，

33

:(x)=sin(2x+—,

3

將函數(shù)/G)的圖象向右平移四個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin(2x-2L+2L)=sin(2x+—),故/錯(cuò)

12636

誤；

令2x+；=航，左ez,可得?tez,故函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(烏二工，0),kEZ對(duì)

32626

稱(chēng)，故8正確；

令2左兀-2一W2X+E-W2E+E-,左eZ,解得左兀-且E-SVSE+H-,左ez,

2321212

故函數(shù)/G)的單調(diào)遞增區(qū)間為［k兀-需，k兀,k€Z＞故C正確;

令級(jí)+2-二加+工-,左ez,可得x=k兀+2L,4ez,

32212

故函數(shù)/(X)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為X=些+生，左ez,故。錯(cuò)誤.

212

故選：BC.

12.已知定義在R上的偶函數(shù)/G)在［0,1］上單調(diào)遞增，且/(x-1)=/(x+l),則下列結(jié)論正確的是

()

A.直線(xiàn)x=3是/(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸

B./(x)是周期為2的周期函數(shù)

C.f(x)在(1,2)上單調(diào)遞減

D.x=2是函數(shù)/(x)的一個(gè)零點(diǎn)

【答案】ABC

【解答】解：由題意可得，/(-x)—f(X),/(X-1)—f(x+1),

所以/(1+x)=/(1-X)即X=1為函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，

由/(x-1)=/(x+l)可得/G)=/(x+2)即函數(shù)的周期7=2,3正確，從而7=3成立，/正確；

因?yàn)?(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，貝盯-1,0］上單調(diào)遞減，［1,2］上單調(diào)遞減，C正確；

x=2為函數(shù)的零點(diǎn)不能確定，

第5頁(yè)

故選：ABC.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若扇形圓心角為120。，扇形面積為匡兀，則扇形半徑為2.

3

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：扇形圓心角為120。=",

3

則扇形面積為工匚/=匡兀，

233

解得r=2,

所以扇形的半徑為2.

故答案為：2.

"l+logo(4-x),x<2

14.函數(shù)f(x)=4，則"⑴1=3.

3x-l.x>2

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：/⑴=l+log33=2,

/⑵=3,

故答案為：3.

15.已知tan(a-1J?-)—2,貝！Itana=-3.

4

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：tan(a-^―_)=tan(a-?匚)="11'工J=2,貝|tana=-3,

441+tana

故答案為：-3.

16.已知上表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[-1.2]=-2,口.5]=1,[3]=3.若/(x)=2X,g(x)=f(x-

[x]),則gG|■尸—,函數(shù)g(X)的值域?yàn)椤?,2).

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：由/G)=2、，g(x)=/(x-[x]),

g(.)=/(1-[1])=/(|)=2』，

乙乙乙乙乙

由g(x)=2廠區(qū)，

[x]￡(x-1,x],

故…幻引0,1),

第6頁(yè)

所以g(x)e[L2),

故答案為：加；口，2).

四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分.

17.在①tana=4j^,②7sin2a=2sina,③cos-^~這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并

解決問(wèn)題.

已知aE(0,8€(0,』-),cos(a+p)=-1■,①，求cosfk注：如果選擇多個(gè)條件分

223

別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：方案一：選條件①

解法一：因?yàn)閠ana=4V^,所以血2_=幺質(zhì)―

cosa

f.oW3f.a4^

sina=---sinCL="---

由平方關(guān)系si/a+cos2a=1,解得|或

rr1r1

cosa=—COS。

(.a/

smCI=——

因?yàn)閍￡(o,；),所以《

cosa=Y

因?yàn)閏os(a+8)=」，由平方關(guān)系sit?(a+p)+cos2(a+p)=1,解得sin?(a+8)總.

39

因?yàn)閍€(0,J),B€(0,?)，所以o<a+B〈兀，所以sin(a+B)烏?，

NNO

4A/3_85/6-1

所以cosp=cos[(a+p)-a]=cos(a+(3)cosa+sin(a+p)sina=—x—Yx

37^r~^r

解法二：因?yàn)閍€(0,-y),tana=&B，所以點(diǎn)P(l,&行)在角a的終邊上,

.1

所以cosa1

71+(4^3)2771+(4/§)27

以下同解法一.

方案二：選條件②

因?yàn)?sin2a=2sina,所以14sinacosa=2sina,

TT1

因?yàn)?0,—),所以sin*0,所以cosCI二十■.

由平方關(guān)系sin2(x+cos2a=l,解得sin2c因?yàn)閍^S,三)，所以sinJ二曳三?

4927

以下同方案一的解法一.

方案三：選條件③

第7頁(yè)

因?yàn)閊T^cosCl=2cos2-^--l=y-

由平方關(guān)系sin2(x+cos2a=l,得6口2a四.因?yàn)閐€(0,工)，所以sind二9巨.

4927

以下同方案一的解法一.

故答案為：①

18.已知函數(shù)f(x)=2^??為奇函數(shù).

2X-1

(/)求實(shí)數(shù)。的值；

(n)求/(log25)的值.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(/)因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，

所以f(x)+f(-x)21g~+2f+a/X+aJ+a?2乂=0二2二?如二恒成立,

2X-12^-12X-11-2X2X-1

可得Q=l.

(ID由⑴可得f(x)/x+L.

2X-1

log.5

所以f(log25)N'+1-藍(lán)：4號(hào).

Zn1Og25,5-142

19.已知函數(shù)/'(x)=^^-cos2x+sinxcosx+l.

(1)求/G)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)xd[-，二，，上]時(shí)，求/(x)的最大值和最小值

44

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)函數(shù)/'(x)=^^-cos2x+sinxcosx+l=—i2x+--!7^'cos2x+l-=sin(2x+-^-

sn)+1,

2223

令：一；+2k兀<2x+g<2k1+：1ez)，

整理得胃言+k冗<x<k冗+，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[-^+k冗，k兀哈](左ez).

(2)由于xd[-工，—],

44

所以*2x弓(哈，

第8頁(yè)

所以sin(2x)^1-

故：/<f(x)42，

所以：當(dāng)苫=與時(shí)，函數(shù)的最小值為工，

62

當(dāng)x=?L時(shí)，函數(shù)的最大值為2.

12

20.為節(jié)約能源，倡導(dǎo)綠色環(huán)保，某主題公園有60輛電動(dòng)觀光車(chē)供租賃使用，管理這些電動(dòng)觀光車(chē)的費(fèi)

用是每日120元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛電動(dòng)觀光車(chē)的日租金不超過(guò)5元，則電動(dòng)觀光車(chē)可以全部租出；若超

過(guò)5元，則每超過(guò)1元，租不出的電動(dòng)觀光車(chē)就增加2輛.為了便于結(jié)算，每輛電動(dòng)觀光車(chē)的日租金x(元)

只取整數(shù)，并且要求出租電動(dòng)觀光車(chē)一日的收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用〉(元)表示出租電動(dòng)觀

光車(chē)的日凈收入(即一日出租電動(dòng)觀光車(chē)的總收入減去管理費(fèi)用后的所得).

(1)求函數(shù)>=/(x)的解析式及其定義域；

(2)試問(wèn)當(dāng)每輛電動(dòng)觀光車(chē)的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)當(dāng)在5時(shí)，y=60x-120,令60x-120>0得，x>2,又：xGN*,.\3<x<5,

當(dāng)x>5時(shí)，y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令[60-2(x-5)]x-120>0,得，-35x+60

<0,又：xeN*,：.l<x<33,/.5<x<33,

f60x-120,(3<x<5,x€N*)

綜上所述，y=/(x)=i；

-2X2+70X-120,(5<X<33,X€N*)

(2)當(dāng)3SvW5時(shí)，f(x)=60x-120,顯然x=5時(shí)，f(x)的值最大，最大值為/(5)=180,

當(dāng)5c爛33時(shí)，f(x)=-2X2+70X-120=-2手)2+1^--120,；.x=17或18時(shí)，/(x)的值最

大，最大值為/(17)=492,

綜上所述，當(dāng)每輛電動(dòng)觀光車(chē)的日租金為17元或18元時(shí)，才能使一日的凈收入最多.

21.已知實(shí)數(shù)a>0,定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=《3是偶函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

aex

(I)求實(shí)數(shù)。值；

(n)判斷該函數(shù)/(x)在(0,+8)上的單調(diào)性并用定義證明；

(III)是否存在實(shí)數(shù)加，使得對(duì)任意的AdR,不等式/(「2)</(2一%)恒成立.若存在，求出實(shí)數(shù)加

的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

第9頁(yè)

【解答】解：(I)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=￡_q是偶函數(shù)，則/(-X)=于3恒成立,

aex

即且'+且=且二二,故(工_@)?*-0-3￡)=0恒成立，因?yàn)椴豢赡芎銥?,所以工_a=0,而

-xx

aeaeaa

Q>0,所以4=1.

(n)該函數(shù)f(x)=e*'^U(0,+oo)上遞增，證明如下:

ex

設(shè)任意XI，X2e(0,+oo),且X1VX2，則

X-x

qf、qf、,X,1szX1、，X]Xx,z11XzXx.e2-e'

f(xJ-f(x)=(ex■<----)-(e2----)=(e-e-2)+(----------)=(ex-e2)H----------=

【94X.XcX?XcX?Xc

e1e2