集合與運(yùn)算-2021年高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題

集合與運(yùn)算

易錯(cuò)點(diǎn)1:代表元素意義不清而出錯(cuò)

用描述法表示集合，一定要注意兩點(diǎn)：1、一定要清楚符號“{X|x的屬性}”表示的是具有

某種屬性的X的全體，而不是部分；2、一定要從代表元素入手，弄清代表元素是什么。

易錯(cuò)點(diǎn)2：混淆數(shù)集和點(diǎn)集的表示

使用特征法表示集合時(shí)，首先要明確集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+l}；

②{(x,y)|y=x2+l},這兩個(gè)集合中的代表元素的屬性表達(dá)式都和y=x2+l有關(guān)，但由于代表元

素符號形式不同，因而表示的集合也不一樣。①代表的數(shù)集，②代表的是點(diǎn)集。

易錯(cuò)點(diǎn)3：混淆子集和真子集而錯(cuò)

集合之間的關(guān)系類問題涉及到參數(shù)時(shí)，需要分類討論，分類討論時(shí)非常容易忽略兩個(gè)集

合完全相等這種情況，認(rèn)為子集就是真子集，最終導(dǎo)致參數(shù)求錯(cuò)或者集合的關(guān)系表達(dá)不準(zhǔn)確。

易錯(cuò)點(diǎn)4：求參數(shù)問題

(1)根據(jù)條件求集合的中的參數(shù)時(shí)，一定要帶入檢驗(yàn)，看是否滿足集合的“三性”中互

異性，同時(shí)還要檢驗(yàn)是否滿足題干中的其他條件。

(2)在求集合中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要特別注意該參數(shù)在取值范圍的邊界處能否取等

號，最穩(wěn)妥的辦法就是把端點(diǎn)值帶入原式，看是否符合題目要求。要注意兩點(diǎn)：1、參數(shù)值

代入原集合中看是否滿足集合的互異性；2、所求參數(shù)能否取到端點(diǎn)值。

(3)空集是一個(gè)特殊而又重要的結(jié)論，它不含任何元素，記為0。在解隱含有空集參

與的集合問題時(shí)，非常容易忽略空集的特殊性而出錯(cuò)。特別是在求參數(shù)問題時(shí)，會進(jìn)行分類

討論，討論過程中非常容易忘記空集的存在，導(dǎo)致最終答案出錯(cuò)。

易錯(cuò)題01代表元素意義不清而出錯(cuò)

例1.已知集合A={—Z,—lOLZLB"xlyWnG+l)},則AB=()

A.{-1,0}B.{-2,-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

【警示】在考試中，很多考生本題容易錯(cuò)選B,因?yàn)榘鸭螧當(dāng)成函數(shù)y=ln(x+l)的值域

而出錯(cuò).

【解析】A={-2,-1,0,1,2},B={x\x>-\],A\B={0,l,2}.

【答案】選D

【叮囑】用描述法表示集合，一定要注意兩點(diǎn)：1、一定要清楚符號“{x|x的屬性}”表示的是

具有某種屬性的x的全體，而不是部分；2、一定要從代表元素入手，弄清代表元素是什么。

變式練習(xí)

1.(2016年天津)已知集合4={l,2,3,4},3={y|y=3x-2,xeA},則4B=

A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}

【解析】選D.由題意3={1,4,7,10},所以析B={1,4}.

2.(2014山東)設(shè)集合A={#—1|<2},3={巾=2*,工6[0,2]},則4口5=

A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)

【解析】選C.|x—l|<2n—l<x<3,AA=(-l,3)-B=[l,4].AnB=[1,3).

易錯(cuò)題02混淆數(shù)集和點(diǎn)集的表示

例2.(2020?全國3卷)已知集合4={(可1|龍口€小,丫28,B={(x,y)\x+y=8},則AB

中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.6

【警示】本題容易把點(diǎn)集錯(cuò)看成數(shù)集，或者不理解點(diǎn)集的幾何意義而出錯(cuò).

【解析】由題意，A8中的元素滿足1°,且,

[x+y=8

由x+y=8N2x,得xW4,所以滿足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),

故A-3中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.

【答案】C

【叮囑】使用特征法表示集合時(shí)，首先要明確集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+l}；

②{(x,y)|y=x2+l},這兩個(gè)集合中的代表元素的屬性表達(dá)式都和y=x2+l有關(guān)，但由于代表元

素符號形式不同，因而表示的集合也不一樣。①代表的數(shù)集，②代表的是點(diǎn)集。

變式練習(xí)

1.已知集合A={(x,y)|x2+V=1},B={(x,y)|y=x},則中元素的個(gè)數(shù)為

A.3B.2C.1D.0

【解析】集合A、B為點(diǎn)集,易知圓V+y2=i與直線丁=%有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以A3中元素的個(gè)數(shù)為2.選B.

2.已知集合A={(x,y)|x2+y243,xeZ,yeZ],則A中元素的個(gè)數(shù)為()

A.9B.8C.5D.4

【解析】通解由爐+JW3知，—CWxWBYwyw6

又XEZ,yeZ,所以xw{-1,0,1},ye{-1,0,1},

所以A中元素的個(gè)數(shù)為C；C；=9,故選A.

優(yōu)解根據(jù)集合A的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，

易知在圓/+丁=3中有9個(gè)整點(diǎn)，即為集合A的元素個(gè)數(shù)，故選A.

易錯(cuò)題07在解含參數(shù)集合問題時(shí)忽視空集

例3.(必修IP44A組T4改編)已知集合A={x|f=l},B={^ax=l],若BUA,則實(shí)數(shù)。的取

值集合為()

A.{-1,0,1}B.{-1,1)C.{-1,0}D.{0,1}

【警示】本題考生容易忽略“空集是任何集合的子集”，而錯(cuò)選B；當(dāng)。=0時(shí)，3=0,符合

題意；

【解析】因?yàn)锳={1,—1},當(dāng)。=0時(shí)，B=0,符合題意；當(dāng)今0時(shí)，B={—}CA,則上

aa

=1或！=一1,解得＜7=-1或?；?

a

【答案】選A

【叮囑】由于空集是一個(gè)特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對于集合A=5就有可能

忽視了A=0,導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)

在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況?？忌捎谒季S定式的原因，往往會在

解題中遺忘了這個(gè)集合，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤或答案不全面。

支式練習(xí)

1.(2020?全國1卷)設(shè)集合A={x|x2-4WO},8={X|2尤+尤0},MAHB={X|-2<X<1},貝！Ja=

()

ATB.-2C.2D.4

【解析】求解二次不等式爐―4K0可得：A={x|-2<x<2},

求解一次不等式2x+aW0可得：B=

由于AcB={x|—2WxWl},故：—三=1，解得：a=—2.故選：B.

2.已知集合A={x|—23W5},8={無質(zhì)+1/2s-1},若8UA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是().

A.[2,3]B.(2,3)C.(-00,3]D.(-oo,3)

m-\-1>-2,

【錯(cuò)解】由3U4,2m-l<5,解得23壯3.

、根+l<2m—1,

【正解】A={x|—2勺工5},B=[x\m+l<x<2m—1},3.BQA.

①若3=0,則加+1>2M一1,解得根<2,此時(shí)有BG4；

②若B柳,則m+l<2m—1,即m>2,

m>2,

由BQA,得彳m+l>-2,解得2<m<3.

2m~1<5,

由①②得加S3.，實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是{}.選C.

易錯(cuò)題04混淆子集和真子集而錯(cuò)

例.已知集合小{-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=MN,則尸的真子集共有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.8個(gè)

【警示】本題考生易錯(cuò)在于沒有認(rèn)真審題，沒注意到問的是真子集，而不是子集.在考試中，

總會出現(xiàn)一些考生，由于太過自信或者進(jìn)入考試狀態(tài)較慢，尤其是中上水平的考生在一些基

礎(chǔ)考題中出現(xiàn)跳躍式審題而導(dǎo)致錯(cuò)誤.

【解析】P={1,3},尸的真子集是{1},{3},p共3個(gè)；注意：中是任何非空集合的

真子集。

【答案】選B,

【叮囑】子集包包括真子集，從定義上說，子集是：一個(gè)集合中的元素是另一個(gè)子集當(dāng)中全部

或者部分元素，就是子集.真子集：一個(gè)集合當(dāng)中的元素是另一個(gè)元素的一部分,（意思是子集

可以和原來的集合相等，而真子集就不能等于原來的集合）

變式練習(xí)

1.（2011新課標(biāo)）已知集合知={0,1,2,3,4},N={1,3,5）,P=McN,則P的

子集共有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【解析】p=M\N={1,3},故尸的子集有4個(gè).

【答案】選B

2.（2013山東）已知集合A、5均為全集。={123,4}的子集，且電（A3）={4},

3={1,2},則A%B=

A.{3}B.{4}C.{3,4}D.0

【解析】由題意3={1,2,3},且5={1,2},所以A中必有3,沒有4,

G§={3,4},故A”={3}.

【答案】選A

多錯(cuò)題通關(guān)

1.已知集合A={—1,0,1,2},B={X|X2<1},則AB=(

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}

【答案】A

【解析】...5={%卜1?為<1},則AB={-1,0,1）.

2.已知全集0=1i,集合A={H-2<X<4},B={X|X>2},則4（e3）=（）

A.（2,4）B.（-2,4）C.（-2,2）D.（-2,2]

【答案】C

[解析]^B={x|x<2},.'.Ai（^B）=（-2,2）.

3.己知集合A={1,2,3,4,5},5={（%,y）eA,yeA,x—yeA},則3中所含元素的個(gè)數(shù)

為（）

A.3B.6C.8D.10

【答案】D

【解析】

列舉法得出集合3={（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（3,2）,（4,2）,（5,2）,（4,3）,（5,3）,（5,4）},共含

10個(gè)元素.

4.已知全集。={1,2,3,4,5},集合4={X€2|忖—3|<2},則集合協(xié)等于

A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{1,5}D.{5}

【答案】C

【解析】

由4={.2|,—3|<2}={2,3,4},全集。={1,2,3,4,5},所以C&={1,5}.

5.設(shè)集合A={—1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={xeR|l,,x<3},則（AC）B=

A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】D

【解析】因?yàn)锳C={1,2},所以（AC）B={1,2,3,4）.

6.設(shè)集合/={x|/=x},N={x|lgx<0},則（）

A.[0,1]B.（0,1]C.[0,1）D.（-oo,l]

【答案】A

【解析】M={x|%2=x}={0,l},N={x|lgxW0}={x[0<xWl},所以

MN={x|O#x1]=[O,1]-

7.已知全集。={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合5={1,3,4,6,7},則集合

Ac許3=（）

A.{2,5}B.{3,6}C.{2,5,6}D,{2,3,5,6,8}

【答案】A

【解析】e6={2,5,8},所以4^^e5={2,5}.

8.已知集合A={尤|尤2一3%+2=0,xw7?},3={x|0<x<5,尤eN},則滿足條件

的集合。的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，得

A={x|%?-3x+2=0,尤eR.}={尤|