高中數(shù)學(xué) 直線的方程

§8.1直線的方程

基礎(chǔ)落實(shí)回扣基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練基礎(chǔ)題目

■知識(shí)梳理

1.直線的傾斜角

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與無(wú)軸相交的直線，把X軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐?/p>

轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角稱(chēng)為這條直線的傾斜角,并規(guī)定：與X軸平行或重合的直線的傾斜角

為0。.

(2)范圍：直線I傾斜角的范圍是0°Wa<180°.

2.斜率公式

(1)若直線/的傾斜角aW90。，則斜率仁tan.2

⑵P即皿小期”)在直線,上且加力如則/的斜率-言

3.直線方程的五種形式

名稱(chēng)方程適用范圍

點(diǎn)斜式y(tǒng)_yo=\x—沏)不含直線X=X0

斜截式不含垂直于X軸的直線

y—yxx-xi

y2~yiX2-x1

兩點(diǎn)式不含直線x=xi和直線y=y

(xiW%2,y\W”)

截距式-+^=1不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線

ab

一般式Ax+2y+C=0平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

(A2+B2W0)

概念方法微思考

1.直線都有傾斜角，是不是直線都有斜率？?jī)A斜角越大，斜率上就越大嗎？

提示傾斜角aG[O,兀)，當(dāng)a苦時(shí)，斜率上不存在；因?yàn)槿蕋ann.當(dāng)aG(O,到時(shí)，a越大，斜率左

就越大，同樣ad(1,兀)時(shí)也是如此，但當(dāng)ad(O,?且aW削寸就不是了.

2.“截距”與“距離”有何區(qū)別？當(dāng)截距相等時(shí)應(yīng)注意什么？

提示“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)

注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿(mǎn)足題意.

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.(V)

(2)若直線的斜率為tana,則其傾斜角為a.(X)

(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.(X)

(4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,6)的直線都可以用方程y=/x+6表示.(X)

題組二教材改編

2.若過(guò)點(diǎn)M(—2,m),N(〃z,4)的直線的斜率等于1,則7〃的值為()

A.1B.4C.1或3D.1或4

答案A

JT]--4

解析由題意得解得機(jī)=1.

—2-m

3.已知直線斜率的絕對(duì)值等于1,則直線的傾斜角為

答案抻苧

解析由欣|=|tan=1知tana=±l,

.兀lx3兀

??a=:或二

44

題組三易錯(cuò)自糾

rvj

4.已知兩點(diǎn)A（—1,2）,B（m,3）,且機(jī)右-1,⑺一1,則直線的傾斜角a的取值范圍是（）

-3

?兀2兀

A二,B.佟,

L6T.

71712兀一「兀兀

C.士U2

L62'T.D-L?TJ

答案D

解析①當(dāng)m=-l時(shí)，a=/；

②當(dāng)—l時(shí),

仁高CL—⑺]U，+°°

712兀

,?"If2U5，T/

綜合①②知直線AB的傾斜角a的取值范圍是住，v

Lo3」

5.（多選）下列說(shuō)法正確的是（）

A.有的直線斜率不存在

B.若直線/的傾斜角為a,且a/90。，則它的斜率左=tana

C.若直線/的斜率為1,則它的傾斜角為寧37r

D.截距可以為負(fù)值

答案ABD

6.過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為

答案3x—2y=0或尤+y—5=0

解析當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x—2y=0；

當(dāng)截距不為。時(shí)，設(shè)直線方程為'+2=1,

aa

23

IJF+-=1,解得。=5.所以直線方程為x+y—5=0.

aa

7.直線/過(guò)點(diǎn)尸(1,0),且與以A(2,l),8(0,6)為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是

答案(-8,—g]U[1,+°°)

解析如圖所示，當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)B時(shí)，公=坐”=一3.

0—1

1—0

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)A時(shí)，ki=--7=1,

2—1

要使直線/與線段A8有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是(-8,-^3]U[1,+oo).

直線的傾斜角與斜率

例1(1)直線2xcosa一廠3=0(aGp弓)的傾斜角的取值范圍是()

CL?5」

答案B

解析直線2xcosa—y—3=0的斜率Z=2cosa,

因?yàn)椤＝稹?，三，所以〈WcosaW—,

L63」22

因此左=2cosaC[l,3].

設(shè)直線的傾斜角為氏則有tanee[l,g].

又℃[0,兀)，所以ge5|,

即傾斜角的取值范圍是，，1.

(2)(2020?安陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)A(l,3),8(—2,-1).若直線。y=A(x—2)+1與線段4B恒相交，則左的取值范

圍是()

A.k^~B.kW——2

2

C.左或％W-2D.-2WkW(

答案D

解析直線/：y=k(x-2)+l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)尸(2,1)，

3-1-1-11

.左叢=不=_2,kpB=^^=],

又直線I：y=k(x-2)+l與線段AB恒相交，

2

■本例(2)直線/改為y=kx,若/與線段AB恒相交，則k的取值范圍是.

答案—8,iU[3,+8)

解析直線/過(guò)定點(diǎn)尸(0,0),

?*kpA=3,kpB=~?

:.k》3或kW：.

思維升華(1)傾斜角a與斜率上的關(guān)系

①當(dāng)?￡0,弓時(shí)，kd[0,+8).

②當(dāng)a=，時(shí)，斜率上不存在.

③當(dāng)ae]，兀)時(shí)，左e(—8,0).

(2)斜率的兩種求法

①定義法：若已知直線的傾斜角a或a的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)A=tana求斜率.

②公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(xi,ji),8(x2,y2),一般根據(jù)斜率公式~^(xiWxz)求斜率.

X2~Xl

(3)傾斜角a范圍與直線斜率范圍互求時(shí)，要充分利用y=tana的單調(diào)性.

跟蹤訓(xùn)練1(1)(2020?石家莊模擬)若4(4,3),8(5,a),C(6,5)三點(diǎn)共線，則。的值為.

答案4

解析由題意知kAB=kAC,

即㈠=1~4=1，解得。=4.

5—46—4

⑵若直線/經(jīng)過(guò)A(3,l),8(2,一〃z2)(〃zeR)兩點(diǎn)，則直線/的傾斜角a的取值范圍是

答案[?3

]+加2

解析直線/的斜率％=界~=1+源》1,

5—2

所以Z=tana21.

又尸tana在(0,號(hào)上是增函數(shù),

因此:Wa<"

求直線的方程

1.已知點(diǎn)M是直線/：2x—y—4=0與x軸的交點(diǎn)，將直線/繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。，得到的直線方

程是()

A.x+y—3=0B.x—3廠2=0

C.3x—y+6=0D.3x+y~6=0

答案D

解析設(shè)直線/的傾斜角為a,則tana=A=2,

直線/繞點(diǎn)M按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45。，所得直線的斜率/=tan(a+滬;2個(gè)―3,又點(diǎn)M(2,0),

\4/1—ZX1

所以y=—3(%—2),即3x+y—6=0.

2.直線過(guò)點(diǎn)(一4,0),傾斜角的正弦值為善的直線方程為.

答案x±3y+4=0

解析由題意知，直線的斜率存在，

設(shè)傾斜角為a,則sina=W晅(aG[0,it)),

1

從而cosa=±3則k=tan土3-

故所求直線的方程為y=±-(x+4),即x±3y+4=0.

3.過(guò)點(diǎn)A(—1,-3),斜率是直線y=3尤的斜率的一；的直線方程為

答案3x+4y+15=0

解析設(shè)所求直線的斜率為鼠依題意

13

--X3--

-4-4

又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(—1,-3),

因此所求直線方程為y+3=—：(尤+1),

即3x+4y+15=0.

4.過(guò)點(diǎn)(2,1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為

答案x+y—3=0或x+2y—4=0

解析由題意可設(shè)直線方程為￥+)=1.

ab

cz+b=6,

則21

-解得a=b=3,或〃=4,b=2.

+■

--

匕

〃

故所求直線萬(wàn)程為x+y—3=0或x+2y—4=0.

思維升華(1)求直線方程一般有以下兩種方法：

①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫(xiě)出其方程.

②待定系數(shù)法：先由直線滿(mǎn)足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù),

即得所求直線方程.

(2)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程,

使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用.

~?1

直線方程的綜合應(yīng)用

例2已知直線/過(guò)點(diǎn)M(2,l),且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A,2兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB

面積最小時(shí)，求直線/的方程.

解方法一設(shè)直線/的方程為y—1=%(無(wú)一2),

則可得0,5(0,1—2%).

，?,與元軸，y軸正半軸分別交于A,3兩點(diǎn),

2左一1

k'今左<0.于是

、1—2Q0

112k—1

S^-.OA.OB=--(l-2k)

Uli—業(yè))需4+24］一故―40

=4.

當(dāng)且僅當(dāng)一1=—4鼠即左=一；時(shí)，△AOB面積有最小值為4,此時(shí)，直線/的方程為y—1=一；（x—2）,即

rCZZ

x+2y~4=0.

方法二設(shè)所求直線/的方程為‘+1=1（〃>0,z?>o）,貝ij2+[=i.

abab

71歷19111

又：一~/—當(dāng)且僅當(dāng)一=：=;,即〃=4,/?=2時(shí)，/VI05面積有最小值為4.

abab2ab22

此時(shí)，直線/的方程是2+;=l.

引申探究

本例中，當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線/的方程.

解方法一由例2知—;—,01,3（0,1—2左）（左<0）.

%+1々4+4左2

1+k2

=2~W~

（T）+人

=224.

當(dāng)且僅當(dāng)T=d,即-T時(shí)取等號(hào).

此時(shí)直線I的方程為x+y—3=0.

21

-

--±1

方法二由例知（〃）（。），〃+■力

2A,0,50,>0,O,〃

：.MA-MB=\MA\-\MB\

=-MAMB=-(a-2,-l)-(-2,b-l)

=2(a—2)+。-1=2。+。一5

=3+%+￡)-5=26+斜,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線I的方程為x+y—3=0.

思維升華（1）求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題，先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式（或函數(shù)）求解

最值.（2）求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題，一般是利用直線方程中x,y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于無(wú)（或

y）的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.

跟蹤訓(xùn)練2已知直線/i：ax-2y=2a-4,h：2無(wú)+/,=2層+4,當(dāng)0<個(gè)：2時(shí)，直線乙，與兩坐標(biāo)軸圍成

一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)。的值.

解由題意知直線/i,/2恒過(guò)定點(diǎn)P（2,2）,直線/i在y軸上的截距為2—°,直線/2在x軸上的截距為d+2,

所以四邊形的面積S=；X2X（2—a）+；X2X（a2+2）=a2—a+4=[-*）2+亨，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最

小.

1.直線Sx—y+a=O（a為常數(shù)）的傾斜角為（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

答案B

解析設(shè)直線的傾斜角為a,斜率為鼠

化直線萬(wàn)程為??左=tana=

?.?0°Wa<180°,Aa=60°.

2.過(guò)點(diǎn)（一1,2）且傾斜角為150。的直線方程為（）

A.?-3y+6+6=0

B.gx—3y—6+3=0

C.@+3y+6+g=0

D.?+3y-6+g=0

答案D

3

角星析%=tan150。=—―,

，直線方程為y—2=—乎(x+1),

即Sx+3y—6+6=0.

3.如圖中的直線/i,h,/3的斜率分別為自，女2,依，則（）

A.%1<%2〈人3B.左3Vzi〈左2

C.依<%2〈左1D.左1<%3Vz2

答案D

解析直線/1的傾斜角內(nèi)是鈍角，故k<0,直線/2與/3的傾斜角團(tuán)與。3均為銳角且如>。3,所以043<22,

因此匕〈女3<女2,故選D.

4.已知直線/：〃x+y—2—。=0在x軸和y軸上的截距相等，則〃的值是（）

A.1B.-1

C.12或一1D.12或1

答案D

解析令x=0,y=2+a,

人2+i

令k0,x=—

..2+〃

貝M!J2+〃=.

a

即(〃+2)(〃一1)=0,

?2或1.

5.直線x+（〃2+l）y+l=0的傾斜角的取值范圍是（）

71/3兀'

A.0,B.—,71

4JL4,

717171一3兀、

C.0,J鳴兀）喏,u兀

答案B

由直線方程可得該直線的斜率為一七,

解析

4十1

又T6號(hào)產(chǎn)所以?xún)A斜角的取值范圍是李兀）.

6.（2020?保定模擬）已知直線/的斜率為g,在y軸上的截距為另一條直線x—2y—4=0的斜率的倒數(shù)，則

直線I的方程為（）

A.2B.y=:\f^x2

C.j=\/3x+1D.y=-\Hx+2

答案A

解析直線x—2y—4=0的斜率為：，...直線/在y軸上的截距為2....直線/的方程為y=/x+2.

7.（多選）在下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（）

A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率

B.直線傾斜角的取值范圍是［0,兀］

C.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為a

D.若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana

答案ABCD

解析對(duì)于A,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為90。，斜率不存在，，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,直線傾斜角的取值范圍是［0,兀)，；.B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,一條直線的斜率為tana,此直線的傾斜角不一定為a,...C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,一條直線的傾斜角為a時(shí)，它的斜率為tana或不存在，D錯(cuò)誤.

故選ABCD.

8.(多選)若直線過(guò)點(diǎn)A(l,2),且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等，則直線/的方程可能為()

A.x—y+l=0B.x+y—3=0

C.2x—y=0D.x—y—1=0

答案ABC

解析當(dāng)直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，斜率為左=2丁—義0=2,

所求的直線方程為y=2x,即2x—y=0；

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x±y=鼠把點(diǎn)A(l,2)代入可得1-2=火，或1+2=鼠

求得左=-1,或k=3,故所求的直線方程為x—y+l=0,或x+y—3=0.

綜上知，所求的直線方程為2x—y=0,x—y+l=0,或無(wú)+y—3=0.

故選ABC.

9.直線履+y+2=一鼠當(dāng)左變化時(shí)，所有的直線都過(guò)定點(diǎn).

答案(一1,-2)

解析fcv+y+2=-k可化為y+2=—%(x+l),根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式可知，此類(lèi)直線恒過(guò)定點(diǎn)(-1,-2).

10.(2019?福州模擬)若直線以+辦=漏30,6>0)過(guò)點(diǎn)(1,1),則該直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值

為.

答案4

解析直線ax+by=ab(a>0,/?>0)過(guò)點(diǎn)(1,1)，

^.a+b=ab,即1+5=1,

ab

?，?〃+0=(〃+/?)口+?=2+。+:

5blab

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)上式等號(hào)成立.

，直線在x軸、y軸上的截距之和的最小值為4.

11.設(shè)直線/的方程為(o+l)%+y+2—〃=0(〃￡R).

(1)若I在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求I的方程；

(2)若I不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，該直線在x軸和y軸上的截距為零，???〃=2,方程即為3x+y=0.

當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0,

~~—a-2,即〃+1=1.

〃十1

?,?a=0,即方程為x+y+2=0.

綜上，I的方程為3x+y=0或x+y+2=0.

(2)將I的方程化為y=—(〃+1)%+〃一2,

一(〃+1)>0,—(〃+1)=0,

或彳.,.aW—1.

a—2W0a—2W0.

綜上可知。的取值范圍是(一8,—1].

12.己知直線/：區(qū)一y+1+2左=0(%GR).

(1)證明：直線/過(guò)定點(diǎn)；

(2)若直線/交無(wú)軸負(fù)半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)B,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AQ5的面積為S,求S的最小

值及此時(shí)直線/的方程.

⑴證明直線/的方程可化為y=A(x+2)+l,

故無(wú)論左取何值，直線/總過(guò)定點(diǎn)(-2,1).

14-0k

(2)解依題意，直線/在X軸上的截距為一

k

在y軸上的截距為1+2鼠且k>09

所以A(一二產(chǎn)，0),B(0,l+2Q,

,,111+2%

故S=-OA-OB=-X——X(l+2k)

22k

=[必+；+1吳X(4+4)=4,

2\k/2

當(dāng)且僅當(dāng)4%=!即左=:時(shí)取等號(hào)，

K2

故S的最小值為4,此時(shí)直線/的方程為x—2y+4=0.

13.己知P(—3,2),(2(3,4)及直線czx+y+3=0.若沿質(zhì)的方向延長(zhǎng)線段尸Q與直線有交點(diǎn)(不含Q點(diǎn))，則a

的取值范圍是.

答案(-.I)

解析直線/：以+y+3=0是過(guò)點(diǎn)A(0,—3)的直線系，斜率為參變數(shù)一〃，易知尸。，Q4,/的斜率分別為:

1771

kpQ=],%AQ=1,ki~-a.若I與尸。延長(zhǎng)線相交，由圖可知kpQ<ki<kAQ9解得一§<“<一

14.已知?jiǎng)又本€/o：狽+力+c—3=0(a>0,c>0)恒過(guò)點(diǎn)P