《金融學(xué)》第16章：期權(quán)定價(jià)

金融學(xué)丁志國王計(jì)昕顧寧wjx0717@163

第四局部

第13章收益與風(fēng)險(xiǎn)

第14章投資組合選擇第15章資產(chǎn)定價(jià)

第16章期權(quán)定價(jià)第17章資本結(jié)構(gòu)第16章期權(quán)定價(jià)

16.1股票期權(quán)定價(jià)公式

16.2期權(quán)組合交易策略

16.3二項(xiàng)式定價(jià)模型16.4布萊克—舒爾斯公式16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素股票期權(quán)(StockOption)是指買方在交付了期權(quán)費(fèi)后，即取得在合約規(guī)定的到期日或到期日以前按協(xié)議價(jià)買入或賣出一定數(shù)量相關(guān)股票的權(quán)利。股票期權(quán)價(jià)格受到如下6個(gè)根本因素的影響，即股票現(xiàn)行價(jià)格，執(zhí)行價(jià)格，期權(quán)期限，股票價(jià)格的波動(dòng)率，無風(fēng)險(xiǎn)利率，期權(quán)期限內(nèi)預(yù)期發(fā)放的股息(DividendPayouts)。16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素股票現(xiàn)行價(jià)格：股價(jià)股價(jià)看跌期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格圖16-1股票價(jià)格對期權(quán)價(jià)格的影響執(zhí)行價(jià)格：

16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行價(jià)格看跌期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格圖16-2執(zhí)行價(jià)格的變化對期權(quán)價(jià)格的影響期權(quán)期限：

16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素期限期限看跌期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格圖16-3期限變化對期權(quán)價(jià)格的影響股票價(jià)格的波動(dòng)率：16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素波動(dòng)率(%)波動(dòng)率(%)看跌期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格圖16-4股票波動(dòng)率的變化對期權(quán)價(jià)格的影響無風(fēng)險(xiǎn)利率：無風(fēng)險(xiǎn)利率(%)無風(fēng)險(xiǎn)利率(%)看跌期權(quán)價(jià)格看漲期權(quán)價(jià)格圖16-5無風(fēng)險(xiǎn)利率的變化對期權(quán)價(jià)格的影響16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素期權(quán)期限內(nèi)預(yù)期發(fā)放的股息：股息將使股票在除息日的價(jià)格降低。對于看漲期權(quán)，這是一個(gè)壞消息；但對于看跌期權(quán)，這卻是一個(gè)好消息。因此，看漲期權(quán)價(jià)值與預(yù)期股息的大小呈反向關(guān)系；看跌期權(quán)的價(jià)值與預(yù)期股息的大小呈正向關(guān)系。

16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素16.1.1股票期權(quán)價(jià)格的影響因素表16-1期權(quán)的影響因素變量歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美式看跌期權(quán)現(xiàn)行價(jià)格+-+-執(zhí)行價(jià)格-+-+期權(quán)期限不確定不確定++波動(dòng)率++++無風(fēng)險(xiǎn)利率+-+-股息-+-+16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式市場不存在套利時(shí)機(jī)市場無摩擦，即證券交易不支付交易費(fèi)用無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)貸款和存款利率相等，并且均為無風(fēng)險(xiǎn)利率市場中允許賣空標(biāo)的股票不支付紅利根本假設(shè)：記號(hào)：——股票的當(dāng)前價(jià)格；——時(shí)刻股票的價(jià)格；——期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格；——期權(quán)的期限；——在時(shí)刻到期的無風(fēng)險(xiǎn)投資的收益率，即無風(fēng)險(xiǎn)利率——買入一只股票的美式看漲期權(quán)的價(jià)格——買入一只股票的美式看跌期權(quán)的價(jià)格——買入一只股票的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格——買入一只股票的歐式看跌期權(quán)的價(jià)格——期權(quán)的價(jià)值——投資組合16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無套利原理：1、自融資如果在進(jìn)行交易的時(shí)間段內(nèi)，投資人在決定投資組合以后，沒有參加新資金，也沒有資金被消耗或抽走，那么稱整個(gè)交易過程為自融資，或者該投資組合是自融資。如果在交易過程中，有資金抽走或消耗出現(xiàn)，那么該市場存在摩擦，如交易要交納交易費(fèi)或傭金。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無套利原理：2、套利如果在時(shí)間內(nèi)存在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，使得當(dāng)時(shí)，有，且，稱自融資組合在內(nèi)存在套利時(shí)機(jī)。無套利原理：2、無套利原理Ⅰ如果金融市場在期限內(nèi)，對任意兩個(gè)投資組合，，如果，且，那么，對中的任意時(shí)間，都有那么稱無套利。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無套利原理：3、無套利原理Ⅱ如果金融市場在期限內(nèi)，對任意兩個(gè)投資組合，，如果，那么，對中的任意時(shí)間，都有那么市場是無套利的。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式期權(quán)價(jià)格的上限與下限期權(quán)價(jià)格的上限看漲期權(quán)給予其持有者以某指定價(jià)格買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，如果期權(quán)的價(jià)格超過本身標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，那么將不會(huì)有人購置期權(quán)。因此期權(quán)價(jià)格的上限只能是標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，即：

如果看漲期權(quán)以上的不等式不成立，那么一個(gè)套利者可以通過購置股票并同時(shí)出售期權(quán)來獲取無風(fēng)險(xiǎn)盈利。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式期權(quán)價(jià)格的上限

看跌期權(quán)的持有者有權(quán)以價(jià)格賣出一只股票。無論股票價(jià)格下降多少，期權(quán)的價(jià)格都不會(huì)高于執(zhí)行價(jià)格，即在時(shí)刻，歐式期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過。因此，當(dāng)前期權(quán)的價(jià)格不會(huì)超過的貼現(xiàn)值，即：如果看跌期權(quán)以上不等式不成立，那么一個(gè)套利者可以賣出一個(gè)期權(quán)，同時(shí)將賣出期權(quán)所得費(fèi)用以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行投資，將獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益。無股息股票的看漲期權(quán)的下限

考慮以下兩個(gè)交易組合，組合A：一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上數(shù)量為的現(xiàn)金；組合B：一只股票。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無股息股票的看漲期權(quán)的下限

在組合A中，如果將現(xiàn)金按無風(fēng)險(xiǎn)利率行投資，在時(shí)刻將變?yōu)?。在時(shí)間，如果投資者行使看漲期權(quán)，組合A價(jià)值為。如果期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0，這時(shí)組合A的價(jià)值為。因此在時(shí)刻，組合A的價(jià)值為：16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無股息股票的看漲期權(quán)的下限

組合B在時(shí)刻的價(jià)格為。因此在時(shí)刻組合A的價(jià)值不會(huì)低于組合B的價(jià)值。因此，在無套利的條件下，有：對于一個(gè)看漲期權(quán)而言，最差的情況是期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0。因此，期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)值，即。因此16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無股息股票的歐式看跌期權(quán)下限

考慮以下兩個(gè)交易組合，組合C：一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上一只股票；組合D：金額為的現(xiàn)金。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式無股息股票的歐式看跌期權(quán)下限如果投資者在到期時(shí)執(zhí)行組合C中的歐式看跌期權(quán)，組合C的價(jià)值變?yōu)椋蝗绻诘狡跁r(shí)，期權(quán)價(jià)值為0，組合C的價(jià)值為，因此在時(shí)刻組合C的價(jià)值為:無股息股票的歐式看跌期權(quán)下限將現(xiàn)金以無風(fēng)險(xiǎn)利率投資，在時(shí)刻組合C的價(jià)值為。因此在時(shí)刻組合C的價(jià)值總是不低于組合D的價(jià)值。在無套利條件下，組合C的價(jià)值不會(huì)低于組合D在今天的價(jià)值，即：對于一個(gè)看跌期權(quán)而言，最差的情況是期權(quán)到期時(shí)價(jià)值為0，期權(quán)價(jià)值不能為負(fù)值，因此，16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式看漲—看跌平價(jià)公式考慮以下兩個(gè)組合。組合A：一個(gè)歐式看漲期權(quán)加上數(shù)量為的現(xiàn)金；組合C:一個(gè)歐式看跌期權(quán)加上一只股票。這兩個(gè)組合期權(quán)在到期時(shí)價(jià)值均為16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式看漲—看跌平價(jià)公式

由于組合A和C中的期權(quán)均為歐式期權(quán)，在到期日之前不能提前執(zhí)行，因此它們在當(dāng)前必須有相同的價(jià)值，這意味著

這一關(guān)系式就是看漲—看跌平價(jià)公式(put-callparity)。16.1.2看漲-看跌平價(jià)公式第16章期權(quán)定價(jià)

16.1股票期權(quán)定價(jià)公式

16.2期權(quán)組合交易策略16.3二項(xiàng)式定價(jià)模型16.4布萊克—舒爾斯公式

a)股票多頭與看漲期權(quán)空頭的組合股票多頭看漲期權(quán)空頭盈利16.2.1單一期權(quán)和股票的策略

此交易組合是由一個(gè)股票多頭與一個(gè)看漲期權(quán)空頭組成。這種交易策略被稱為“出售受保護(hù)的看漲期權(quán)”(WritingCoveredCall)，這里的股票多頭可以保護(hù)投資者，使其免遭股票價(jià)格急劇上漲帶來的損失。盈虧圖與看跌期權(quán)空頭盈虧圖類似。股票空頭看漲期權(quán)多頭盈利b)股票空頭與看漲期權(quán)多頭的組合16.2.1單一期權(quán)和股票的策略

此交易組合是由一個(gè)股票空頭加上一個(gè)看漲期權(quán)多頭組合而成，其盈利狀態(tài)與出售受保護(hù)的看漲期權(quán)的盈利狀態(tài)相反。盈虧圖與看跌期權(quán)多頭盈虧圖類似。看跌期權(quán)多頭股票多頭盈利c)股票多頭與看跌期權(quán)多頭的組合16.2.1單一期權(quán)和股票的策略此交易組合包括一個(gè)看跌期權(quán)多頭及股票多頭，這一交易策略被稱為“購置受保護(hù)的看跌期權(quán)”(ProtectivePut)。盈利狀況圖與看漲期權(quán)多頭的盈虧圖相似。股票空頭看跌期權(quán)空頭盈利d)股票空頭與看跌期權(quán)空頭的組合16.2.1單一期權(quán)和股票的策略此交易組合是由一個(gè)看跌期權(quán)空頭和一個(gè)股票空頭組成，這一交易策略的盈利狀態(tài)與受保護(hù)的看跌期權(quán)的盈利狀態(tài)相反。盈虧圖與看漲期權(quán)空頭的盈利狀態(tài)相似。變換看漲-看跌平價(jià)公式，可得，

結(jié)論：任何根本的期權(quán)交易策略都可以通過單一股票期權(quán)和股票的組合進(jìn)行替代。16.2.1單一期權(quán)和股票的策略16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略

價(jià)差期權(quán)交易策略是持有相同類型的兩個(gè)或多個(gè)期權(quán)頭寸，通過不同的執(zhí)行價(jià)格買進(jìn)賣出，從而進(jìn)行套利的策略。價(jià)差期權(quán)在不同的證券市場狀態(tài)下，會(huì)有不同的策略，由此分為牛市價(jià)差期權(quán)、熊市價(jià)差期權(quán)、盒式價(jià)差期權(quán)、蝶式價(jià)差期權(quán)、日歷價(jià)差期權(quán)和對角價(jià)差期權(quán)等。牛市價(jià)差期權(quán)、熊市價(jià)差期權(quán)既可以利用看漲期權(quán)組合構(gòu)成也可以通過看跌期權(quán)組合構(gòu)成。盒式期權(quán)(BoxSpread)是牛市價(jià)差和熊市價(jià)差的組合。蝶式期權(quán)(ButterflySpread)策略由3種具有不同執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)構(gòu)成。16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略(1)牛市價(jià)差期權(quán)

盈利圖16-7由看漲期權(quán)構(gòu)造的牛市價(jià)差期權(quán)的盈利

買入一個(gè)具有某一確定執(zhí)行價(jià)格的股票看漲期權(quán)的同時(shí)，賣出一個(gè)標(biāo)的相同但具有較高執(zhí)行價(jià)格的股票看漲期權(quán)，兩個(gè)看漲期權(quán)的期限相同。

表16-2由看漲期權(quán)構(gòu)成的牛市價(jià)差收益股票價(jià)格范圍看漲期權(quán)多頭收益看漲期權(quán)空頭收益整體收益000016.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略(1)牛市價(jià)差期權(quán)16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略(1)牛市價(jià)差期權(quán)圖16-8由看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市價(jià)差期權(quán)的盈利盈利與采用看漲期權(quán)構(gòu)造牛市價(jià)差不同的是，用看跌期權(quán)構(gòu)造的牛市價(jià)差會(huì)給投資者在最初帶來一個(gè)正的現(xiàn)金流〔忽略保證金的要求〕。(2)熊市價(jià)差期權(quán)

16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略盈利圖16-9由看跌期權(quán)構(gòu)造的熊市價(jià)差期權(quán)的盈利由看跌期權(quán)構(gòu)成的熊市價(jià)差期權(quán)是，在買入某一具有較高執(zhí)行價(jià)格()的看跌期權(quán)的同時(shí)，賣出具有較低執(zhí)行價(jià)格()的看跌期權(quán)，兩個(gè)看跌期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)和期限相同。16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略表16-3由看跌期權(quán)所構(gòu)成的熊市價(jià)差期權(quán)的收益

股票價(jià)格范圍看漲期權(quán)多頭收益看漲期權(quán)空頭收益整體收益0000(2)熊市價(jià)差期權(quán)16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略盈利圖16-10由看漲期權(quán)構(gòu)造的熊市價(jià)差期權(quán)的盈利(2)熊市價(jià)差期權(quán)(3)盒式期權(quán)

盒式期權(quán)(BoxSpread)是牛市價(jià)差和熊市價(jià)差的組合，兩個(gè)價(jià)差都是由執(zhí)行價(jià)格為和的看漲期權(quán)構(gòu)成。

16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略表16-4盒式價(jià)差的收益

股票價(jià)格范圍牛市價(jià)差收益熊市價(jià)差收益整體收益00(3)盒式期權(quán)

16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略(4)蝶式期權(quán):由3種具有不同執(zhí)行價(jià)格的期權(quán)構(gòu)成。16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略盈利圖16-11由看漲期權(quán)所構(gòu)造的蝶式價(jià)差期權(quán)的收益16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略表16-5蝶式價(jià)差期權(quán)的收益

股票價(jià)格范圍

第一看漲期權(quán)多頭的收益第二看漲期權(quán)多頭的收益期權(quán)空頭的收益整體收益00000000(4)蝶式期權(quán)16.2.2價(jià)差期權(quán)交易策略(4)蝶式期權(quán)盈利圖16-12由看跌期權(quán)所構(gòu)造的蝶式價(jià)差期權(quán)的收益16.2.3組合期權(quán)交易策略

組合期權(quán)是針對同一標(biāo)的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)的交易策略。下面將要考慮的組合期權(quán)包括條式期權(quán)(Strip)和帶式期權(quán)(Strap)、寬跨式期權(quán)(Strangle)。16.2.3組合期權(quán)交易策略

(1)條式期權(quán)(Strip)和帶式期權(quán)(Strap)

盈利a)條式期權(quán)條式期權(quán)是具有相同執(zhí)行價(jià)格和相同期限的一個(gè)看漲期權(quán)和兩個(gè)看跌期權(quán)的組合。b)帶式期權(quán)盈利(1)條式期權(quán)(Strip)和帶式期權(quán)(Strap)

帶式期權(quán)是由具有相同執(zhí)行價(jià)格和相同期限的兩個(gè)看漲期權(quán)和一個(gè)看跌期權(quán)的組合。16.2.3組合期權(quán)交易策略

(2)寬跨式期權(quán)

16.2.3組合期權(quán)交易策略

盈利圖16-14寬跨式期權(quán)的收益寬跨式期權(quán)是投資者買入具有相同期限但具有不同執(zhí)行價(jià)格的看跌及看漲期權(quán)。第16章期權(quán)定價(jià)

16.1股票期權(quán)定價(jià)公式

16.2期權(quán)組合交易策略

16.3二項(xiàng)式定價(jià)模型16.4布萊克—舒爾斯公式16.3.1風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)(RiskNeutralPricingTheory)又稱風(fēng)險(xiǎn)中性理論，是指在市場不存在任何套利可能性的條件下，如果衍生證券的價(jià)格依然依賴于可交易的根底證券，那么這個(gè)衍生證券的價(jià)格與投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度無關(guān)。這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為衍生證券定價(jià)的微分方程中并不包含有受投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度的變量，尤其是期望收益率。以下是對風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的解釋。1.在風(fēng)險(xiǎn)中性的經(jīng)濟(jì)環(huán)境中，投資者并不要求任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，所以根底證券與衍生證券的期望收益率都恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率；2.正由于不存在任何的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償或風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬，市場的貼現(xiàn)率也恰好等于無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以根底證券或衍生證券的任何盈虧經(jīng)無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)就是它們的現(xiàn)值；3.利用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)過程是鞅(Martingle)，或者現(xiàn)值的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)方法是鞅定價(jià)方法(MartingalePricingTechnique)。16.3.1風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)

二項(xiàng)式定價(jià)模型

股票價(jià)格=10元股票價(jià)格=12元期權(quán)價(jià)格=1元股票價(jià)格=8元期權(quán)價(jià)格=0元圖16-15股票價(jià)格的數(shù)值化實(shí)例

二叉樹模型僅假設(shè)股票價(jià)格向上和向下兩個(gè)方向的變動(dòng)，下面從一個(gè)簡單的例子入手。定價(jià)過程中假設(shè)市場不存在套利時(shí)機(jī)。構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合，并使得這一組合在3個(gè)月后具有確定的收益。按照風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，確定的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。構(gòu)造這一交易組合的本錢，從而獲得期權(quán)的價(jià)格。

二項(xiàng)式定價(jià)模型

考慮一個(gè)有△只股票的多頭頭寸和一份看漲期權(quán)空頭頭寸構(gòu)成的交易組合。下面將求出交易組合具有無風(fēng)險(xiǎn)收益的△。當(dāng)股票價(jià)格由10元變?yōu)?2元時(shí)，所持股票的價(jià)值變?yōu)?2△，期權(quán)價(jià)格變?yōu)?元，證券組合的整體價(jià)值為12△-1；當(dāng)股票的的價(jià)格由10元變?yōu)?元時(shí)，所持股票的價(jià)值變?yōu)?△，期權(quán)的價(jià)值為0，證券組合的整體價(jià)值為8△。如果證券組合在以上兩個(gè)點(diǎn)價(jià)值相等時(shí)，那么該組合不具有任何風(fēng)險(xiǎn)，這意味著12△-1=8△即△=0.25

二項(xiàng)式定價(jià)模型

因此，無風(fēng)險(xiǎn)交易組合為：多頭頭寸：0.25只股票空頭頭寸：1份期權(quán)如果股票價(jià)格上漲為12元，組合價(jià)值為12×0.25-1=2元如果股票價(jià)格下跌到8元，組合價(jià)值為8×0.25=2元無論股票價(jià)格是上漲還是下跌，在期權(quán)到期時(shí)交易組合的價(jià)值總是2元。

二項(xiàng)式定價(jià)模型

二項(xiàng)式定價(jià)模型

假設(shè)這時(shí)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為每年12%，那么該交易組合今天的價(jià)值應(yīng)為2元的貼現(xiàn)值，即=1.941股票今天的價(jià)格為10元，如果期權(quán)的價(jià)格記為,那么交易組合在今天的價(jià)值是：10×0.25-=2.5-因此，2.5-=1.941解得，=0.559元在無套利的前提下，期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格應(yīng)為0.559元。如果期權(quán)市場價(jià)格高于0.559元，那么構(gòu)造交易組合的費(fèi)用就會(huì)低于1.941元，而交易組合的收益率就會(huì)高于無風(fēng)險(xiǎn)利率；如果期權(quán)市場價(jià)格低于0.559元，那么賣空這一交易組合，同時(shí)購置這一交易組合將產(chǎn)生高于無風(fēng)險(xiǎn)利率的收益。

二項(xiàng)式定價(jià)模型

將以上的結(jié)論一般化。假設(shè)股票的價(jià)格為，股票上一個(gè)期權(quán)的價(jià)格為，期權(quán)到期期限為。在期權(quán)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者會(huì)由上漲到，或者會(huì)由下跌到，其中，。當(dāng)股票價(jià)格上漲時(shí)，其增長的比率為。當(dāng)股票下跌時(shí)，其下跌的比率為。與前面例子相同，考慮一個(gè)由只股票的長頭寸及一份期權(quán)的短頭寸所組成的交易組合。投資者可以找到一個(gè)使得交易組合收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率，即在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下不具有風(fēng)險(xiǎn)。如果股票價(jià)格上漲，在期權(quán)到期時(shí)交易組合的價(jià)值為：

二項(xiàng)式定價(jià)模型

如果股票價(jià)格下跌，期權(quán)到期時(shí)組合的價(jià)值為：因假設(shè)該組合在未來具有確定的收益，因此無論在何種情況下，組合的價(jià)值一定，以上兩個(gè)值相等，即，得出：在假定股票收益確定的前提下，該資產(chǎn)組合具有無風(fēng)險(xiǎn)收益率，由上式看出，當(dāng)股票僅有兩種變動(dòng)趨勢時(shí)，為期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化的比率。

二項(xiàng)式定價(jià)模型

如果將無風(fēng)險(xiǎn)利率記為r，那么交易組合的貼現(xiàn)值為而構(gòu)造交易組合的起始本錢為所以，即，將公式(16.6)中的代入上式并簡化，得出

其中，

二項(xiàng)式定價(jià)模型

由簡到難，多步二叉樹如下：

二項(xiàng)式定價(jià)模型

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圖16-16四步二叉樹

上圖顯示了股票價(jià)格在時(shí)間區(qū)間段末，期末的期望股票價(jià)格是：由于假定市場處在一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中立的世界里，股票的期望報(bào)酬率為無風(fēng)險(xiǎn)利率。于是，在期末這個(gè)時(shí)點(diǎn)上的股票期望價(jià)格為。它遵循

二項(xiàng)式定價(jià)模型

解上式得：在二叉樹模型中，股票回報(bào)率的方差為

于是，

二項(xiàng)式定價(jià)模型

忽略了或者假設(shè)很小時(shí)，下面的等式成立：

二項(xiàng)式定價(jià)模型

一般地，使用二叉樹模型估計(jì)的歐式期權(quán)價(jià)值為第16章期權(quán)定價(jià)

16.1股票期權(quán)定價(jià)公式

16.2期權(quán)組合交易策略16.3二項(xiàng)式定價(jià)模型

16.4布萊克—舒爾斯公式

16.4.1歐式期權(quán)定價(jià)公式

股價(jià)遵循預(yù)期收益率和標(biāo)準(zhǔn)差為常數(shù)的馬爾科夫隨機(jī)過程；允許使用全部所得賣空衍生證券；沒有交易費(fèi)用或稅金，且所有證券高度可分；在衍生證券的有效期內(nèi)沒有支付紅利；不存在無風(fēng)險(xiǎn)的套利時(shí)機(jī)；證券交易是連續(xù)的，股票價(jià)格連續(xù)平滑變動(dòng)；無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，能夠用同一利率借入或貸出資金；只能在交割日執(zhí)行期權(quán)。布萊克—舒爾斯模型的主要假設(shè)如下：設(shè)定代表自然對數(shù)，為股票的現(xiàn)行價(jià)格，為執(zhí)行價(jià)格，代表無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利，代表以年計(jì)量的期權(quán)期限，代表標(biāo)的股票的波動(dòng)率，指的是累計(jì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。那么，看漲期權(quán)價(jià)格和看跌期權(quán)價(jià)格可以由下式得到：