第4講二次根式及其運(yùn)算（講義）-2024年浙江中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第一單元數(shù)與式第4講二次根式及其運(yùn)算課標(biāo)要求課標(biāo)要求1.了解二次根式和最簡(jiǎn)二次根式的概念，知道二次根式中被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)并且也是非負(fù)數(shù).2.了解二次根式(根號(hào)下僅限于數(shù))的加、減、乘、除運(yùn)算法則并掌握二次根式的性質(zhì).3.能根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除和綜合運(yùn)算.備考指南備考指南考點(diǎn)分布考查頻率命題趨勢(shì)考點(diǎn)1二次根式的相關(guān)概念☆中考中，對(duì)二次根式的考察主要集中在對(duì)其取值范圍、化簡(jiǎn)計(jì)算等方面，其中取值范圍類考點(diǎn)多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡(jiǎn)計(jì)算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實(shí)數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.考點(diǎn)2二次根式的基本性質(zhì)☆☆考點(diǎn)3二次根式的運(yùn)算☆☆知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)清單知識(shí)清單1．二次根式的有關(guān)概念：(1)二次根式：式子eq\r(,a)(a≥0)叫做二次根式．(2)最簡(jiǎn)二次根式需滿足兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母．②被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．（3）二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)非負(fù)2．二次根式的性質(zhì)：（1）(eq\r(a))2＝a(a≥0)．（2）eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a＞0），,0（a＝0），,－a（a＜0）.))（3）eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．（4）eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)．二次根式的雙重非負(fù)性是指它的被開(kāi)方數(shù)與結(jié)果均為非負(fù)數(shù)．3．二次根式的運(yùn)算：(1)二次根式加減法的實(shí)質(zhì)是合并同類二次根式．(2)二次根式的乘法：eq\r(,a)·eq\r(,b)＝eq\r(,ab)(a≥0，b≥0)．(3)二次根式的除法：eq\f(\r(,a),\r(,b))＝eq\r(,\f(a,b))(a≥0，b＞0)．運(yùn)算結(jié)果中的二次根式，一般都要化成最簡(jiǎn)二次根式或整式．深度講練深度講練■考點(diǎn)一二次根式的相關(guān)概念?

典例1：（2023?恩陽(yáng)區(qū)模擬）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．【答案】．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列不等式組求解．【解析】解：由題意可得，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式和分式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件（被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)），分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023?婺城區(qū)一模）在二次根式中，字母x的取值范圍是x≥2．【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．【答案】x≥2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式計(jì)算即可得解；【解析】解：∵二次根式有意義，∴x﹣2≥0，解得x≥2故答案為：x≥2．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2023?慈溪市模擬）若分式有意義，則x的取值范圍是（）A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．【答案】A【思路點(diǎn)撥】分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解析】解：依題意得：x﹣2＞0，解得x＞2．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式及二次根式有意義的條件，根據(jù)題意列出關(guān)于x的不等式是解題的關(guān)鍵．■考點(diǎn)二二次根式的性質(zhì)?

典例2：（2022?河北）下列正確的是（）A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)＝判斷A選項(xiàng)；根據(jù)＝?（a≥0，b≥0）判斷B選項(xiàng)；根據(jù)＝|a|判斷C選項(xiàng)；根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷D選項(xiàng)．【解析】解：A、原式＝，故該選項(xiàng)不符合題意；B、原式＝×＝2×3，故該選項(xiàng)符合題意；C、原式＝＝92，故該選項(xiàng)不符合題意；D、0.72＝0.49，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握＝?（a≥0，b≥0）是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022?桂林）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A．2 B．3 C．2 D．2【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】A【思路點(diǎn)撥】將被開(kāi)方數(shù)12寫(xiě)成平方數(shù)4與3的乘積，再將4開(kāi)出來(lái)為2，易知化簡(jiǎn)結(jié)果為2．【解析】解：＝2，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，關(guān)鍵在于被開(kāi)方數(shù)要寫(xiě)成平方數(shù)乘積的形式再進(jìn)行化簡(jiǎn)．2．（2022?內(nèi)蒙古）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示，則+1+|a﹣1|的化簡(jiǎn)結(jié)果是（）A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【答案】B【思路點(diǎn)撥】根據(jù)數(shù)軸得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根據(jù)＝|a|和絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可．【解析】解：根據(jù)數(shù)軸得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，掌握＝|a|是解題的關(guān)鍵．■考點(diǎn)三二次根式的運(yùn)算?

典例3：（2021?西寧）計(jì)算：（+3）（﹣3）﹣（﹣1）2．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；完全平方公式；平方差公式．【答案】﹣8+2．【思路點(diǎn)撥】利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．【解析】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）＝﹣4﹣4+2＝﹣8+2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和乘法公式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023?婁星區(qū)校級(jí)一模）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的加減，乘除法，以及化簡(jiǎn)二次根式分別求解，并判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤即可．【解析】解：A、與無(wú)法相加，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】根據(jù)二次根式的加減，乘除法，以及化簡(jiǎn)二次根式，能夠熟練掌握二次根式的加減，乘除法的運(yùn)算規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022?青島）計(jì)算（﹣）×的結(jié)果是（）A． B．1 C． D．3【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】B【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，最后算減法即可．【解析】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考了二次根式的混合運(yùn)算，能正確運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．3．（2022?甘肅）計(jì)算：×﹣．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】﹣．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則和二次根式的化簡(jiǎn)計(jì)算，再合并同類二次根式即可．【解析】解：原式＝﹣2＝﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握?＝（a≥0，b≥0）是解題的關(guān)鍵．4．（2023?蘭州模擬）計(jì)算：．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】2﹣1．【思路點(diǎn)撥】先用乘法分配律，再化為最簡(jiǎn)二次根式，最后合并同類二次根式．【解析】解：原式＝2﹣×+×3＝2﹣4+3＝2﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的綜合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運(yùn)算的法則．■考點(diǎn)四二次根式的化簡(jiǎn)求值及應(yīng)用?

典例4：（2020?金華二模）先化簡(jiǎn)，再求值：（a+）（a﹣）﹣a（a﹣2），其中a＝+1．【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值．【答案】2a﹣2，2．【思路點(diǎn)撥】原式利用平方差公式，以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算，去括號(hào)合并得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把a(bǔ)的值代入計(jì)算即可求出值．【解析】解：原式＝a2﹣2﹣a2+2a＝2a﹣2，當(dāng)a＝+1時(shí)，原式＝2（+1）﹣2＝2．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022?瑞安市校級(jí)三模）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式（a﹣1）2﹣2a+2的值為3﹣2．【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值．【答案】3﹣2．【思路點(diǎn)撥】由a＝+1，得a﹣1＝，再代入所求式子計(jì)算即可．【解析】解：∵a＝+1，∴a﹣1＝，∴（a﹣1）2﹣2a+2＝（）2﹣2（+1）+2＝3﹣2﹣2+2＝3﹣2，故答案為：3﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是整體思想的應(yīng)用．真題演練真題演練1．（2023?金華）要使有意義，則x的值可以是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件．【答案】D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可．【解析】解：由題意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，則x的值可以是2，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2021?杭州）下列計(jì)算正確的是（）A．＝2 B．＝﹣2 C．＝±2 D．＝±2【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】A【思路點(diǎn)撥】利用二次根式的性質(zhì)可知答案．【解析】解：A.，符合題意；B.，不符合題意；C.，不符合題意；D.，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算．3．（2022?湖北）下列各式計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解析】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．4．（2021?金華模擬）代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x的取值范圍為（）A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．【答案】C【思路點(diǎn)撥】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)并且分母不能為0可得問(wèn)題的答案．【解析】解：根據(jù)題意得x+1≥0，且x≠0．∴x≥﹣1且x≠0．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)并且分母不能為0是解決此題關(guān)鍵．5．（2023?蕭山區(qū)一模）已知，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．9 B．3 C． D．±3【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】D【思路點(diǎn)撥】利用二次根式的化簡(jiǎn)的法則進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，∴a2＝9，∴a＝±3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．6．（2023?南湖區(qū)一模）下列各式中，正確的是（）A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)冪的運(yùn)算，算術(shù)平方根，平方根的意義計(jì)算即可．【解析】解：A、（﹣3）2＝9，符合題意；B、（﹣2）3＝﹣8，不符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，算術(shù)平方根，平方根的意義，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．7．（2021?麗水模擬）若方程組，設(shè)x+y＝a2，x﹣y＝b2，則代數(shù)式的值為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)；解二元一次方程組．【答案】B【思路點(diǎn)撥】首先解方程組求得x，y的值，則a2，b2的值即可求得，然后代入代數(shù)式即可求解．【解析】解：解方程組，得：，則a2＝x+y＝9，b2＝x﹣y＝7﹣2＝5．則＝＝3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法，以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確求得x，y的值是關(guān)鍵．8．（2022?杭州）計(jì)算：＝2；（﹣2）2＝4．【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式；有理數(shù)的乘方．【答案】2，4．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方法則計(jì)算即可．【解析】解：＝2，（﹣2）2＝4，故答案為：2，4．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)、有理數(shù)的乘方，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2022?蕭山區(qū)一模）計(jì)算：＝．【考點(diǎn)】二次根式的乘除法．【答案】【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算．【解析】解：＝＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】考查二次根式的乘法法則：（a≥0，b≥0）．10.（2023?青山區(qū)模擬）計(jì)算：﹣3＝2．【考點(diǎn)】二次根式的加減法．【答案】2【思路點(diǎn)撥】直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并求出答案．【解析】解：原式＝3﹣3×＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．11．（2023?杭州）計(jì)算：＝﹣．【考點(diǎn)】二次根式的加減法．【答案】﹣．【思路點(diǎn)撥】直接化簡(jiǎn)二次根式，再利用二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．【解析】解：原式＝﹣2＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．12．（2023?浙江模擬）若最簡(jiǎn)根式與是同類二次根式，則m＝2．【考點(diǎn)】同類二次根式；最簡(jiǎn)二次根式．【答案】2．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)同類根式及最簡(jiǎn)二次根式的定義列方程求解．【解析】解：∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，∴﹣2m+9＝5m﹣5，解得m＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查的是同類二次根式與最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵．13．（2023?龍游縣一模）已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝2．【考點(diǎn)】二次根式的化簡(jiǎn)求值；平方差公式；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．【答案】2．【思路點(diǎn)撥】先計(jì)算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值．【解析】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，∴＝＝＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值、平方差公式、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題的關(guān)鍵是明確它們各自的計(jì)算方法．14．（2023?臨汾模擬）計(jì)算：＝2．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【思路點(diǎn)撥】先提取公因式，再根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算，最后求出答案即可．【解析】解：＝＝﹣1＝3﹣1＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．15．（2023?蕭山區(qū)一模）婷婷對(duì)“化簡(jiǎn)：”的解答過(guò)程如下：解：原式＝2×3＝（2×3）×（）2＝6×2＝12．試問(wèn)婷婷的解答過(guò)程是否正確？若正確，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出一種解答過(guò)程；若有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．【考點(diǎn)】二次根式的乘除法；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【答案】婷婷的解答過(guò)程正確，求解過(guò)程見(jiàn)解析．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘法法則即可得出婷婷的解答過(guò)程正確，先根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：婷婷的解答過(guò)程正確，另一種解答過(guò)程如下：×＝＝＝12．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除和二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，能靈活運(yùn)用二次根式的乘法法則和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是接此題的關(guān)鍵．16．（2021?永嘉縣校級(jí)模擬）計(jì)算：﹣+3+．【考點(diǎn)】二次根式的加減法．【答案】3﹣．【思路點(diǎn)撥】直接化簡(jiǎn)二次根式，進(jìn)而合并得出答案．【解析】解：原式＝2﹣3+3×+2＝2﹣3++2＝3﹣．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．17．（2023?舟山二模）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫(xiě)成另一個(gè)式子的平方，如3+2＝（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：7+4＝（2+1）2；（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值．【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算；完全平方式．【答案】m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【思路點(diǎn)撥】（1）利用完全平方公式展開(kāi)得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；（2）先取m＝2，n＝1，則計(jì)算對(duì)應(yīng)的a、b的值，然后填空即可；（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均為正整數(shù)可先確定m、n的值，然后計(jì)算對(duì)應(yīng)的a的值．【解析】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn；（2）m＝2，n＝1，則a＝7，b＝4，∴7+4＝（2+）2，（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，∵a、m、n均為正整數(shù)，∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，a＝9+3＝12，當(dāng)m＝1，n＝3時(shí)，a＝1+3×9＝28，∴a的值為12或28．故答案為m2+3n2，2mn；7，4，2，1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．18．（2023?張家界）閱讀下面材料：將邊長(zhǎng)分別為a，a+，a+2，a+3的正方形面積分別記為S1，S2，S3，S4．