2024年初中升學考試專題復習數學總復習（按知識點分類）垂徑定理的應用

垂徑定理的應用15．（2023?東營）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”轉化為現在的數學語言表達就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長度為26寸．【答案】26．【分析】連接OA，設⊙O的半徑是r寸，由垂徑定理得到AE=12AB＝5寸，由勾股定理得到r2＝（r－1）2＋52，求出【解答】解：連接OA，設⊙O的半徑是r寸，∵直徑CD⊥AB，∴AE=12AB∵CE＝1寸，∴OE＝（r－1）寸，∵OA2＝OE2＋AE2，∴r2＝（r－1）2＋52，∴r＝13，∴直徑CD的長度為2r＝26寸．故答案為：26．【點評】本題考查垂徑定理的應用，勾股定理的應用，關鍵是連接OA構造直角三角形，應用垂徑定理，勾股定理列出關于圓半徑的方程．垂徑定理的應用40．（2023?永州）如圖，⊙O是一個盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm，水的最深處到水面AB的距離為4cm，則水面AB的寬度為16cm．【答案】16．【分析】過點O作OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA，由垂徑定理可得AC＝BC，然后在Rt△AOC中根據勾股定理求出AC的長，即可得出AB的長．【解答】解：如圖，過點O作OD⊥AB于點C，交⊙O于點D，連接OA，∴AC=BC=1由題意知，OA＝10cm，CD＝4cm，∴OC＝6cm，在Rt△AOC中，AC=OA∴AB＝2AC＝16cm，故答案為：16．【點評】本題考查了垂徑定理，熟練掌握垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，同時需熟練掌握勾股定理．垂徑定理的應用38．（2023?廣西）趙州橋是當今世界上建造最早，保存最完整的中國古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m【答案】B【分析】設主橋拱半徑R，根據垂徑定理得到AD=37【解答】解：由題意可知，AB＝37m，CD＝7m，設主橋拱半徑為Rm，∴OD＝OC﹣CD＝（R﹣7）m，∵OC是半徑，OC⊥AB，∴AD＝BD=12AB=在RtADO中，AD2+OD2＝OA2，∴（372）2+（R﹣7）2＝R2解得R=1565故選：B．【點評】本題主要考查垂徑定理的應用，涉及勾股定理，解題的關鍵是用勾股定理列出關于R的方程解決問題．39．（2023?荊州）如圖，一條公路的轉彎處是一段圓?。ˋC），點O是這段弧所在圓的圓心，B為AC上一點，OB⊥AC于D．若AC＝3003m，BD＝150m，則AC的長為（）A．300πm B．200πm C．150πm D．1003πm【答案】B【分析】先根據垂徑定理求出AD的長，由題意得OD＝OA﹣BD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值，然后再利用三角比計算出AC所對的圓心角的度數，由弧長公式求出AC的長即可．【解答】解：如圖所示：∵OB⊥AC，∴AD=12AC＝1503m，∠AOC＝2在Rt△AOD中，∵AD2+OD2＝OA2，OA＝OB，∴AD2+（OA﹣BD）2＝OA2，∴(1503)2+（OA﹣150）2解得：OA＝300m，∴sin∠AOB=AD∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴AC的長=120×300π180=200故選：B．【點評】本題考查的是垂徑定理，勾股定理及弧長的計算公式，根據垂徑定理得出AD的長，再由勾股定理求出半徑是解答此題的關鍵，同時要熟記圓弧長度的計算公式．垂徑定理的應用43．（2023?山西）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現代化建設的重要標志．如圖是高鐵線路在轉向處所設計的圓曲線（即圓?。哞F列車在轉彎時的曲線起點為A，曲線終點為B，過點A，B的兩條切線相交于點C，列車在從A到B行駛的過程中轉角α為60°．若圓曲線的半徑OA＝1.5km，則這段圓曲線AB的長為（）A．π4km B．π2km C．【答案】B【分析】由圓的切線可得∠OAC＝∠OBC＝90°，進而可證明A、O、B、C四點共圓，利用圓內接四邊形的性質可求得∠AOB＝60°，再根據弧長公式計算可求解．【解答】解：∵過點A，B的兩條切線相交于點C，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∴A、O、B、C四點共圓，∴∠AOB＝α＝60°，∴圓曲線