“平行與垂直”教學研究報告

“平行與垂直”教學研究報告株洲市天元區(qū)栗雨小學數(shù)學組瀟湘數(shù)學教育工作室一、問題“平行與垂直”是“空間與圖形,'領域的一節(jié)“形概念”課°學生是在認識了直線與角的基礎學習本內容的。這個內容是認識平行四邊形和梯形以及深人學習幾何的基礎，也是培養(yǎng)學生空間觀念的載體“之前學習的“形概念”.大都是對一個幾何圖形的認識，而本內容涉及同一平面內兩條直線的位置關系,這對學生的空間觀念要求更高。好在平行和垂直的生活原型還是很常見，喚醒學生的生活經(jīng)驗比較容易「但又正是因為生活經(jīng)驗的影響.學生對平行和垂直的認識往往局限在表面。比如，生活中的“線”往往是有長度的,這就給學生認識永不相交帶來了負遷移。人教版數(shù)學教材把本內容安排在四年級上冊，編排的順序是先認識平行,從相交中分離認識垂直(教材中未出現(xiàn)相交概念);接著學習垂線、平行線的畫法;最后認識梯形和平行四邊形。在平行與垂直這部分,教材的主要目標是:初步理解垂直與平行是同一平面內兩條直線的兩種位置關系.認識垂線和平行線的概念。因為這節(jié)課在整個幾何學習中處于初級階段，因此，對“同一平面”這一前提條件，教材似有刻意回避之意，而在教學中，很多教師卻恰恰相反，特別將之提出且重點強調。對這個問題的不同處理反映了教師處理本教學內容時的左右為難。那么，教師該如何跳出這種在文字上糾纏不休的藩籬，真正去思考本教學內容中應該關注的問題呢？我們數(shù)學組對此提出了一些思考,供大家參考、討論。.教學實踐中的問題問題一:如何跳出靜態(tài)教材，引導學生通過動態(tài)修正和完善實現(xiàn)概念的梳理建構？問題二:如何突破思維定式,引導學生從關注表象到關注概念本質？問題三：如何以概念教學為載體進行數(shù)學思想與方法的滲透與指導？效之困(1)為了創(chuàng)造開放的問題情境,教師有的讓學生用扔擲兩根小棒的方式呈現(xiàn)兩直線位置的基礎性資源;有的則讓學生在紙上任意畫出兩條直線，目的也是希望呈現(xiàn)兩直線的多種位置關系的資源。但實際課堂中,由于學生認識上的局限性，我們看到的資源往往不是足夠豐富。于是，很多教師選取的策略是，事先準備好兩條直線各種可能的位置關系，當學生呈現(xiàn)r一些以后，又以“巧妙”的方式補充一些變式資源這種方式雖然能使教學流程順利流暢.且不會影響后續(xù)教學環(huán)節(jié),但學生對于為什么要補充這些資源完全處于被動狀態(tài)。事實上,平行和垂直是兩種特殊的位置關系。如何在學生對直線位置關系形成整體認識的基礎上引導他們對這兩種特殊位置關系進行研究，從而輕而易舉地理解兩個概念，是本課教學的困惑之一。(2)呈現(xiàn)了豐富的基礎性資源后，通常教師會要求學生按照一定的標準對各種情況進行分類。在分類的過程中，多數(shù)學生習慣采用二分法,把呈現(xiàn)分離狀態(tài)的分成一類(延長后相交的自然也被歸于這一類).把其他相交的情況分為另一類。教師對此類問題常采用的方法是，從中把延長后會相交的“拎”出來，讓學生“試著把兩條直線再畫長一些,看看會怎樣:學生容易發(fā)現(xiàn)，這種情況是相交的。而對于真正的平行線,在沒有學習垂直和距離的概念時，怎么驗證它們是永不相交的？事實上，判斷兩條直線是否平行,最直接的方法是通過測量兩條直線間的距離是否相等，這一方法非常直觀,易于理解。但是，如果這樣做,是不是應該先研究垂直,再研究平行？平行和垂直，到底是先有“雞”還是先有“蛋”？即使學生通過想象理解了永不相交，但又怎樣把“在同一個平面內”這一前提條件自然地加上去？要不要強調在同一個平面內？(3)很多教師備課時對本內容教學目標的定位感到茫然。有教師認為，平行線、垂線內容應以屬于

u自律日R線與角這一單元才算名正言順;也有教師認為，把平行與垂在放到平行四邊形和梯形這一單.元教學更為合適，因為平行是這兩個圖形概念的邏輯起點。盡管兩種歸屈對學生學習概念的影響不明顯，但肯接影響了概念生成建構的層次前者更注意從圖形的角度理解平行線與垂線，這常常出致教師糾纏于文字的闡釋而忽視概念的本質；后者乂往往重視平彳ju自律日R(4)在概念教學中很多教師注重教技法。比如，平彳j線的面法、垂線的畫法(一般放在本單元第二課時)，同時,在概念教學中教判斷也已成為多數(shù)教師潛意以的行為。比如，學生常常被要求在一些位置關系中判斷哪組線互相平行那么，概念教學中要不要教推理，如果要教，教到什么程度？很多教師對此處于進退兩難的狀態(tài)學之難(I)思維定式使探究活動成為走過場，空間想象力的局限使學生思維缺乏開放性，比如，當教師提出“在紙上任意畫兩條直線.會有哪幾種情況”的問題時，學生呈現(xiàn)狀況的總和“［能力,很多，但很少有學生能獨立畫出豐富的位置狀態(tài)、先入為主的認識定式使得學生對概念缺乏本質認識。比如，很多學生能認識水平狀態(tài)下的平行與垂出，但對其他變式缺乏敏感性。究其原因,學生時永不相交或相交成直角這些概念的內涵不甚明晰，而靜態(tài)思維導致的認知局限也使很多學生僅把諸如“〃的位置關系看成一個類似角的組合圖形.對平行與垂直的概念認識僅停留在靜態(tài)的表面認識卜.，不能從位置關系匕深入理解這兩個概念。(2)對于兩直線的位置關系缺乏整體的、結構化的認識。在教學中我們不難發(fā)現(xiàn)，在分類中,學生普遍把“分離的相交“(即延長后會相交的情況)看作是“分開的”。在分類標準沒有確定時,學生分類的方法也是五花八門，有的按線的方向來分,有的按線的長短來分……要把學生引導到按“是否相交”來分，很是費時、費力。(3)無法從整體上認識兩直線的位置關系教材對兩直線的位置關系只命了兩個名 平行和垂直，甚至課題也就是“平行與垂直”,導致學生誤以為兩直線的位置關系不是平行就是垂直。由于知識的局限,教材還回避r異面直線的概念,用“在紙上畫”的提示，把學生的思維固定在同一個平面的范昭，導致學生誤以為兩直線只要永不相交就是平行的。(4)幾何圖形分為單個要素和要素之間的關系兩個方面。研究表明，小學生容易觀察圖形中的單個要素(比如直線、射線、線段等的特點)，但是對于要素之間的關系往往不容易理解。比如,平?行是反映平面內兩條直線既不重合又不相交的一種位置關系，學生對此常常無法準確理解,相當一部分學生對垂直的認識仍然限于直角。.對問題的分析(1)平行概念的描述方式比較抽象，學生難于理解C“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線二這里的平面是無限大的，這里的直線也是可以無限延長的c可現(xiàn)實生活中的“面”是有限大的，現(xiàn)實生活中的“直線”也是有限長的。如何在有限大的面中判斷兩條視覺范圍內有限長的直線是否相交？概念中的“無限”和現(xiàn)實中的“有限”的矛盾.使得學生一旦遇到那種看似沒相交而實際上會相交的情況時就會出現(xiàn)借沒的判斷C(2)從“形概念”的結構體系來看,平行與垂直是聯(lián)結各個概念不可或缺的紐帶。比如,由平彳泗邊形到梯形的認識，就是由“兩組對邊互相平行”到“只有一組對邊平行“。另夕卜?從“形概念”的學習來說，除r認識概念本身的特征，還涉及圖形之間關系的梳理.比起單個要素的概念更為重要。比如垂直，在平行四邊形與長方形、正方形之間的關系上,它構成了平行四邊形的種差。而在實際的教學中，平行卜j垂直沒有被教師們所重視很多教師認為學生只要能感知生活中的平行與垂直現(xiàn)象就足夠了.并沒有讓學生很好地去體驗、去感悟概念的形成過程，里沒有把它放到為后續(xù)概念的學習作基礎的高度去認識，教學中往往采用“頭痛醫(yī)頭，腳痛醫(yī)腳”的處理方式，陷入圍繞“在同一平面內”“無限延長”等字眼上打轉轉的怪圈。（3）教師在概念教學中存在結構化教學意識不強的缺陷。教師對某一個關系概念在概念分支體系中所處的地位和作用缺乏整體認識,對其教學不夠重視。學習平行與垂直的概念是為了什么？我們能不能把它們放到一個更高的高度來學習？教師由于不會引導學生進行梳理，導致學生對點狀知識的認識或記憶出現(xiàn)了負擔I在分類后，教師應該通過對一系列圖形的辨析、動態(tài)的關系演示等突破兩直線位置關系的本質——是否相交，相交成什么角度。只有這樣,學生才能更清晰、準確地把握這兩種直線的特殊位置關系。二、實踐1.畫圖+想象，兩次分類梳理關系，在整體框架中把握概念內涵。活動目標:在想象的基礎上研究兩直線的位置關系?；顒釉O計：（1）看一看：（課件動態(tài)呈現(xiàn)一根直線不斷向兩端延伸）直線有什么特點？在紙上任意畫一條直線。（2）想一想：如果繼續(xù)畫第二條直線，這時這兩條直線的位置可能會出現(xiàn)哪些情況？（3）畫一畫:在自己的本子上把所想的情況畫下來。片段呈現(xiàn)：師：同學們畫的兩條直線形成了怎樣的位置關系呢？出現(xiàn)了哪幾種不同的情況？和小組內的同學交流交流C生:我們發(fā)現(xiàn)了這樣一些位置關系°-—乂」二?。?） （3） （4） （5） （6） （7） （8）師：同學們畫了這么多種位置關系，其中有沒有相同的？（待學生思考片刻后，追問）我們要畫的是兩直線的位置關系，你們畫的線還可以延長嗎？想象一下，把每組的兩條直線延長,會是什么樣子？生.有些圖形延長后變了。比如,（2）、（4）、（6）中的直線延長后都交叉在一起了。二一二 一 4 ,1（4） （6）師：如果讓你們把這些位置關系進行分類，你們會怎么分？生2：。）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）分成一類，因為它們交叉了；（7）和（8）分成一類，因為它們延長后都沒有交叉。師：數(shù)學上，我們把第一類直線的位置關系叫做相交。把同一個平面內延長后也不相交的兩條直線的位置關系叫做平 相交行。（板書，如右所同一平面內兩直線的位置關系,示）在這6種相交的 〔平行情況中，如果讓你再次分類，你會怎么分？生3：（3）、（4）、（5）、（6）中的兩條直線組成了4個直角，分為一類，其他的分為另一類。師：兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直，其余的情況就說這兩條直線是斜交的。請大家在板書圖合適的地方補上垂直與斜交這兩種位置關系。 「垂直「相交，生補充完善 [I斜交/-*一 同一平面內兩直線的位置關系「北板書，如右所不。 L平行師：如果用圖表示平行、相交、垂直三者之間的關系，下面哪個是對的，為什么？（注：不包含兩條直線重合的情況）設計意圖：讓學生先想象直線延長后的樣子再分類，能夠讓學生時刻記得直線是無限長的。不讓學生直接畫，而只采用想象，目的是培養(yǎng)學生的空間想象力。二次分類后，讓學生完成概念結構圖并判斷集合圖的正確性，是為了讓學生對兩直線的位置關系形成結構化的認識。.想象+演示,讓直線“動”起來，從“位置關系”的視角學習概念?；顒幽繕耍焊惺芷叫信c垂直是兩條直線的兩種特殊的位置關系。活動設計:課件動態(tài)演示兩條直線的位置關系變化過程。片段呈現(xiàn)：課件先出示一條紅色直線，再出示一條藍色直線與之重合。師：紅、藍兩條直線的位置有什么關系？生4：疊在一起O師：在數(shù)學里，我們說它們重合。請你想象一下，紅色直線不動，藍色直線怎樣移動可以使它們的位置變成平行呢？生5：把藍色直線往上移。生6：也可以往下移。師：無論往上還是往下，移動時都要怎么樣？生7：平平地移。師：也就是平移，對嗎？（課件演示平移過程）如果把這條藍色直線沿著線上一個點旋轉一點點，那兩條直線的位置會怎樣呢？生8：相交。（課件演示）師：請你閉上眼睛想象一下，再移動一點點，兩條直線的位置會是什么情況？再移動一點點呢？會不會出現(xiàn)比較特殊的關系？什么時候出現(xiàn)？生回答，師用課件演示Q師：現(xiàn)在兩條直線互相垂直，如果這條藍色直線又動了一點點呢？再動呢？是不是一直相交呢？生想象后回答，師用課件演示。師小結：通過剛才的演示，我們進一步了解到平行和垂直就是兩條直線在同一平面內的兩種特殊的位置關系。設計意圖:學生在理解“平行與垂直是同一平面內兩條直線間的特殊位置關系”這一點上總是存在困難。針對這一困難設計這樣一個想象+動態(tài)演示的活動，是為r讓學生進一步體會這兩種位置關系的特殊性，培養(yǎng)空間觀念，并溝通平行與垂直兩個概念之間的內在關系。.動手+推理，跳出概念悟性質,溝通概念間的聯(lián)系?；顒幽繕?初步感悟平行線的性質?；顒釉O計:出示問題,想象會有什么情況。（I）把兩根小棒都擺成和第三根小棒平行，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）把兩根小棒都撰成和第?:根小棒垂直，你有什么發(fā)現(xiàn)？片段呈現(xiàn)：師：請大家閉上眼睛，根據(jù)老師的描述來想象師描述具體操作：先擺一根紅色小棒，再擺一根藍色小棒與它平行，又擺一根藍色小棒與它平行，后面擺的兩根藍色小棒的位置是什么關系？生先想象，再擺小棒驗證自己的想象結果C師：能把你們的發(fā)現(xiàn)和大家說說嗎？生9：我發(fā)現(xiàn)后擺的兩根藍色小棒互相平行。師：很好，那請大家再閉上眼睛，根據(jù)老師的描述來想象.師描述具體操作:先擺一根紅色小棒，再擺一根藍色小棒與它垂直,又擺一根藍色小棒與它垂直，后面擺的兩根藍色小棒的位置是什么關系？生先想象，再擺小棒驗證自己的想象結果師：現(xiàn)在你們又有什么發(fā)現(xiàn)？生小我發(fā)現(xiàn)后擺的兩根藍色小棒也是互相平行的。設計意圖：兩直線同時和第三條直線互相平行（垂直），這兩條直線也互相平行，這是中學進一步學習平行公理和平行線的性質時要接觸到的在小學階段設計此活動,主要目的是增強學生的空間觀念。由此可見，教學時想象、操作的過程必不可少。三、討論.如何準確地把握教學起點？學生對平行和垂直的生活現(xiàn)象并不陌生，但對直線可以無限延長這些常識卻因被表象掩蓋而忽視。這節(jié)課需要做的是讓學生在原有的認知基礎I：體驗在同一平面內.不相交的兩條直線叫做平行線,相交里有一種特殊的叫做互相垂直.從而使學生的認識上升到思維的層面。在實際教學中，大部分學生將這么多的直線分為兩類:看上去交叉的一類，看上去不交叉的一類。這樣的情況在教師的預設之內,所以我們設計從無限延長的角度拓寬