初中數(shù)學(xué)120大招-106 換元法

換元法【規(guī)律總結(jié)】換元法是指引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量代替原來的某些變量的變量求出結(jié)果之后，返回去求原變量的結(jié)果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}.其理論根據(jù)是等量代換.我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"取值范圍對(duì)應(yīng)于\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"原變量的取值范圍，不能縮小也不能\t"/item/%E6%8D%A2%E5%85%83%E6%B3%95/_blank"擴(kuò)大?！镜淅治觥坷?、已知方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，則2(x-2)-3(y+1)=133(x-2)+5(y+1)=30.9的解是：A.x=8.3y=1.2 B.x=10.3y=2.2 C.x=6.3y=2.2【答案】D【解析】【分析】

本題考查了換元法和二元一次方程組的解，掌握其解得定義是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)換元法先令x-2=a，y+1=b，再根據(jù)二元一次方程組的解，得x-2=8.3和y+1=1.2，即可求得x與y的值．

【解答】

解：令x-2=a，y+1=b，

則方程組2(x-2)-3(y+1)=133(x-2)+5(y+1)=30.9,

可化為：2a-3b=133a+5b=30.9，

∵方程組2a-3b=133a+5b=30.9的解為a=8.3b=1.2，

∴x-2=8.3y+1=1.2,例2、已知(2016+a)(2018+a)=b，則(2016+a)2+(2018+a)2=_________________【答案】4+2b【解析】【分析】

本題考查了完全平方公式和整體代入法的思想，靈活使用整體代入法是解本題的關(guān)鍵．

令2016+a=x，2018+a=y，將原式化為(x-y)2+2xy，即可求解．

【解答】

解：令2016+a=x，2018+a=y，

則(2016+a)(2018+a)=xy=b，

(2016+a)2+(2018+a)2

=x2+y2=(x-y若x滿足(80-x)(x-60)=30，求(80-x)解：設(shè)(80-x)=a，(x-60)=b，則(80-x)(x-60)=ab=30，a+b=(80-x)+(x-60)=20，所以(80-x【解決問題】(1)若x滿足(2019-x)2+(2017-x(2)已知a1,a2,a3,...a(3)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，AE=1，CG=2，長(zhǎng)方形EFGD的面積是5，四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是長(zhǎng)方形，則圖中陰影部分的面積為多少？直接寫出答案.(結(jié)果必須是一個(gè)具體的數(shù)值)．【答案】解：(1)設(shè)(2019-x)=c,(2017-x)=d，則c-d=(2019-x)-(2017-x)=2，(2019-x)(2017-x)=cd，∴(2019-x)即2解得：cd=2019，即(2019-x)(2017-x)=2019；(2)設(shè)x=a1+則M=xy，N=(x+aM-N=a由于a1所以-a1aM<N；(3)由題意得：(x-1)(x-2)=5，設(shè)x-1=a，x-2=b，則ab=5，a-b=1，∴a+b則陰影部分的面積為21．【解析】本題考查完全平方公式，換元法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用換元法解決問題，熟練掌握完全平方公式．

(1)模仿例題，利用換元法解決問題即可．

(2)設(shè)x=a1+a2+…+a2014，y=a2+a3+…+a2015，則M=xy，N=(x+a2015)(y-a2015)=xy+a2015(y-x)-a2015【好題演練】一、選擇題1.設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，且11+a-11+b=1b-a，則1+bA.1±52 B.±1±52 【答案】D【解析】【分析】

本題主要考查換元法在解一元二次方程中的應(yīng)用．換元法是借助引進(jìn)輔助元素，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化的一種解題方法．這種方法在解題過程中，把某個(gè)式子看作一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代表它，實(shí)行等量替換．這樣做，常能使問題化繁為簡(jiǎn)，化難為易，形象直觀．先設(shè)1+a=x，1+b=y，則b-a=y-x，原方程可化為1x-1y=1y-x，整理得，y2-3xy+x2=0，方程兩邊同除以x2，解關(guān)于yx的一元二次方程即可．

【解答】

解：解：設(shè)1+a=x，1+b=y，則b-a=y-x，原方程可化為1x-1y=1y-x，

整理得，y2已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，1a+1+1b+3+1A.125 B.120 C.100 D.81【答案】C【解析】【分析】

本題考查換元法和整體代入法，巧妙利用換元法是解題的關(guān)鍵.首先令a+1=x，b+3=y，c+5=z，分別求出x+y+z和xy+yz+xz，然后所求代數(shù)式即為x2+y2+z2，整體代入可求出值．

【解答】

解：令a+1=x，b+3=y，c+5=z，

∵a+b+c=1

∴x+y+z=(a+1)+(b+3)+(c+5)=10，

又1a+1+1b+3+1c+5=0

則1x+1y+已知(x-2015)2+(x-2017)2=34A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】【分析】

本題考查了完全平方公式以及換元法．

將x-2016設(shè)為t，則x-2015=t+1，x-2017=t-1，代入原方程中，可得到關(guān)于t的方程，進(jìn)而求解。

【解答】

解：令x-2016=t，則x-2015=t+1，x-2017=t-1，

∵(t+1)2+(t-1)2=34，

∴t2+2t+1+t2-2t+1=34，

2t2已知x是實(shí)數(shù)，且滿足(x2+4x)2+3(xA.3 B.3或-6 C.-3或6 D.-6【答案】A【解析】【分析】

此題考查了用換元法解一元二次方程，考察了學(xué)生的整體思想．解題的關(guān)鍵是找到哪個(gè)是換元的整體．首先利用換元思想，把x2+4x看做一個(gè)整體換為y，化為含y一元二次方程，解這個(gè)方程即可．

解：設(shè)y=

x2

+4x，則

(x2+4x)2

+3(

x2

+4x)-18=0，

可化為

y解得

y1

=-6，

y2

當(dāng)

x2

+4x=-6時(shí)，

Δ=

b2

-4ac=

42

-4

×

1當(dāng)

x2

+4x=3時(shí)，Δ=

b2

-4ac=

42

-4

×

1

×

(-3)=28>0，符合題意．

若x-1=y+12=z-23，則A.3 B.5914 C.92 【答案】B【解析】【分析】

本題考查了換元法的應(yīng)用及二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是利用換元法得到有關(guān)x、y、z的值．用換元法把x、y、z的值用一個(gè)未知數(shù)表示出來，利用二次函數(shù)的最值即可．

【解答】

解：令x-1=?y+12=z-23=t，

則x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，

于是x2+y故最小值為：5914故選：B．

已知a1,a2,a3…a2019，a2020，a2021為正數(shù)A.M>N B.M<N C.【答案】A【解析】【分析】

本題主要考查了整式的混合運(yùn)算和換元法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．另外，像本題中將一個(gè)整式設(shè)為一個(gè)字母這種方法在很多題型中也很常見，也需重點(diǎn)掌握．

設(shè)S=a1+a2+…+a2019，用S分別表示出M，N，再利用作差法比較大小即可．

【解答】

解：設(shè)S=a1+a2+…+a2019，則

M=S(S-二、填空題若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2=0a≠0有一根為x=2019，則一元二次方程ax-1【答案】x=2020【解析】【分析】

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．對(duì)于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2，設(shè)t=x-1得到at2+bt=-2，利用at2+bt+2=0有一個(gè)根為t=2019得到x-1=2019，從而可判斷一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2必有一根為x=2020．

【解答】

解：對(duì)于一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)=-2，

設(shè)t=x-1，

∴at2+bt=-2，

而關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根為x=2019，

∴a解分式方程xx2-2-x2-2x+3=0時(shí)，設(shè)【答案】y【解析】【分析】

本題考查了解分式方程，利用換元法是解題關(guān)鍵．根據(jù)換元法，可得答案．

【解答】

解：∵xx2-2=y，

∴x2-2x=1y，

∴原方程化為：y-計(jì)算(1+12+?+1【答案】1【解析】【分析】

本題考查的是換元法，整體思想有關(guān)知識(shí)，設(shè)a=12+13+...+12021，b=12+13+...+12020，然后再進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】

解：設(shè)a=12+正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在直線y=kx(k<-1)上，頂點(diǎn)B，D在雙曲線y=4x上，若正方形ABCD的面積為32，則k的值為________．【答案】

-2-【解析】【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、反比例函數(shù)與幾何綜合、兩點(diǎn)之間的距離公式；解題時(shí)根據(jù)正方形ABCD的面積為32求出AC=BD=8，由正方形的性質(zhì)得到OB=4，根據(jù)頂點(diǎn)B，D在雙曲線y=4x上，可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(b,4b)，由兩點(diǎn)之間的距離公式得出方程b2+4b2=42，求出b的值，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)可知OA可由OB旋轉(zhuǎn)90°得到，易得A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在直線y=kx(k<-1)上，易求出k的值；

【解答】∵頂點(diǎn)B，D在雙曲線y=4x，

∴可設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(b,4b)(b>0)，

∵正方形ABCD的面積為32，

∴12BD2=32，OA=OB=12BD，

OA可設(shè)由OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，

解得BD=8，OB=4，

由兩點(diǎn)之間的距離公式得b2+4b2=42，

設(shè)t=b2，則t+16t=16，

即t2-16t+16=0，

解得t=8+43或t=8-43

∴b=8+43三、解答題閱讀探索：解方程組(a-1)+2(b+2)=6,2(a-1)+(b+2)=6.解：設(shè)a-1=x，b+2=y，原方程組可變?yōu)閤+2y=6,2x+y=6.解得x=2,y=2,即(1)拓展提高：運(yùn)用上述方法解方程組(a3-1)+2(b5+2)=4,2(a3-1)+(b5+2)=5.

(2)能力運(yùn)用：已知關(guān)于x，【答案】解：(1)拓展提高

設(shè)a3-1=x，b5+2=y，

方程組(a3-1)+2(b5+2)=4,2(a3-1)+(b5+2)=5.變形得：x+2y=42x+y=5，

解得：x=2y=1，即a3-1=2b5+2=1，

解得：a=9b=-5；

【解析】本題考查了換元法解二元一次方程組，熟練掌握換元法解二元一次方程組的方法是解本題的關(guān)鍵．(1)拓展提高

根據(jù)換元法；

設(shè)a3-1=x，b5+2=y，將原方程組變形為關(guān)于x與y的方程組，求出解得到x與y的值，即可求出a與b的值；

(2)能力運(yùn)用

設(shè)5m+3=x3

下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x解：設(shè)x2原式=y+2(y+6)+4(

=y2

=(y+4)2

(

=(x2

回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的_______法．

A.提取公因式

B.平方差公式

C.兩數(shù)和的完全平方公式

D.兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？________.(填“徹底”或“不徹底”)若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果_________．(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x【答案】解：(1)運(yùn)用了C，兩數(shù)和的完全平方公式；

(2)不徹底；

x-24；

(3)設(shè)x

?2-2x=y.

(x

?2-2x)(x

?2-2x+2)+1，

=y(y+2)+1，

=y

?2+2y+1，

=(y+1)

?2，

=(x

【解析】【試題解析】【分析】

(1)完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差；

(2)x2-4x+4還可以分解，所以是不徹底；

(3)按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可．

【解答】

解：(1)運(yùn)用了C，兩數(shù)和的完全平方公式；

故選C；

(2)x

?x2故答案為不徹底；x-24；

(3)

閱讀探索：解方程組(a-1)+2(b+2)=6解：設(shè)a-1=x，b+2=y，原方程組可變?yōu)閤+2y=6解方程組得：x=2y=2即a-1=2b+2=2所以(1)拓展提高運(yùn)用上述方法解下列方程組：a(2)能力運(yùn)用已知關(guān)于x，y的方程組a1x+b1y=c1a2x+【答案】解：(1)設(shè)a3-1=x，b5+2=y，

方程組變形得：x+2y=42x+y=5,

解得：x=2y=1，即a3-1=2b5+2=1,

解得【解析】此題考查了換元法解二元一次方程組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

(1)設(shè)a3-1=x，b5+2=y，根據(jù)換元法的結(jié)論確定出關(guān)于x與y方程組，求出解得到x與y的值，即可求出a與b的值；

(3)設(shè)5m+3=x閱讀下列材料并解決問題．“換元法”是指運(yùn)用“整體思想”把某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替(即換元)，從而使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，例如：計(jì)算：1解：令t=則原式=t…請(qǐng)根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)請(qǐng)把上面的解題過程補(bǔ)充完整，并求出結(jié)果；(2)計(jì)算：x【答案】解：(1)原式=t(t+2)-(1+t)2+2，

=t2+2t-(1+2t+t2)+2，

=則原式=(t+5)(2-t)-3(-t+1)+t2，

=2t-t2【解析】本題考查整式的混合運(yùn)算以及換元法的運(yùn)用，掌握換元的方法是解題關(guān)鍵．

(1)根據(jù)整式的混合運(yùn)算化簡(jiǎn)即可；

(2)令t=x2閱讀下列“問題”與“提示”后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．

【問題】解方程：x2+2x+4x2+2x-5=0．

【提示】可以用“換元法”解方程．

解：設(shè)x2+2x=t(t≥0)，則有x【答案】解：t2+4t-5=0，

(t+5)(t-1)=0，

t+5=0或t-1=0，

∴t1=-5，t2=1，

當(dāng)t=-5時(shí)，x2+2x=-5，此方程無解；

當(dāng)t=1時(shí)，x2+2x=1，則x【解析】本題考查了解一元二次方程，解無理方程：解無理方程的基本思想是把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．注意：用乘方法來解無理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．

利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1閱讀下列一段材料，運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題．換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使得復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．例如解方程組1x+1y=122x+1y=20，設(shè)m=1x，n=1y，則原方程組可化為m+n=122m+n=20，解化解之后的方程組得m=8n=4，即1x=81y=4，所以原方程組的解為x=18y=14．

運(yùn)用以上知識(shí)解決下列問題：

(1)【答案】解：(1)x=1y=2；

(2)x=4y=0；

(3)設(shè)2x=A，3y=B，則原方程組可化為12A-3B=111①2A=2B=86②,

由①得：4A-B=37③，

由②得：A+B=43④，

③+④得：5A=80，

∴A=16，

把A=16代入④得：【解析】【分析】

此題主要考查了運(yùn)用換元法解二元一次方程組，能正確設(shè)元是解答此題的關(guān)鍵．

(1)根據(jù)示例設(shè)m=1x，n=2y，則原方程組可化為m+n=23m+n=4，解化解之后的方程組得m=1n=1，即1x=12y=1，求解即可；

(2)根據(jù)題意得x-2=2y+1=1，求出方程組的解即可；

(3)設(shè)2x=A，3y=B，則原方程組可化為12A-3B=1112A=2B=86，解方程組求出A、B的值，即可進(jìn)一步求出x、y的值．

【解答】

解：(1)設(shè)m=1x，n=2y，則原方程組可化為m+n=23m+n=4,

解得m=1n=1,

即閱讀下面材料，解答后面的問題解方程：x-1解：設(shè)y=x-1x，則原方程化為：y-4y=0解得：y=±2，經(jīng)檢驗(yàn)：y=±2都是方程y-4y=0的解，∴當(dāng)y=2時(shí)，x-1當(dāng)y=-2時(shí)，x-1x=-2，解得：x=13，經(jīng)檢驗(yàn)：∴原分式方程的解為x=-1或x=1問題：(1)若在方程x-14x-xx-1=0(2)若在方程x-1x+1