專題1.4 極值點偏移第二招-含參數(shù)的極值點偏移問題（解析版）-高中數(shù)學壓軸題講義(解答題)

含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù).★例1.已知函數(shù)有兩個不同的零點，求證：.不妨設，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導，得在上遞增，學*科網(wǎng)所以，因此原不等式獲證.★例2.已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設，學%科網(wǎng)∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設，則，反解出：，學*科網(wǎng)故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.★例3.已知是函數(shù)的兩個零點，且.（1）求證：；（2）求證：.要證：，即證：，等價于，學*科網(wǎng)也即，等價于，令等價于，也等價于，等價于即證：令，則，又令，得，∴在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，∴，即證原不等式成立.【點評】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個關于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應不等式.學*科網(wǎng)★例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.再證：.∵，而，∴.證畢.【招式演練】★設函數(shù)的圖像與軸交于兩點，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：由，易知且，學科.網(wǎng)從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點連線的斜率要比兩點連線的斜率小即可，又因為，即證：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，學*科網(wǎng)∴原不等式成立.★設函數(shù)，其圖像在點處切線的斜率為.當時，令，設是方程的兩個根，是的等差中項，求證：(為函數(shù)的導函數(shù)）.★設函數(shù)，函數(shù)為的導函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點，滿足，線段中點的橫坐標為，證明：【解析】∵，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即……不妨設，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有，學*科網(wǎng)構(gòu)造函數(shù)，則，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，從而不等式式成立，故原不等式成立.學*科網(wǎng)★已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點個數(shù)；（2）若有兩零點（），求證：.【點評】1.方程的變形方向：①是函數(shù)的兩個零點，1是該函數(shù)的極值點.②是函數(shù)的兩個零點，是該函數(shù)的極值點.2.難點的證明依賴利用放縮.★已知函數(shù)f(x)=1（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設a>0，證明：當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x)；（Ⅲ）設x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當0<x<a（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，則g(x)=1=2x-aln(a+x)+a求導數(shù)，得g'當時0<x<a，g'(x)<0，∴g(x)在而g(0)=0，∴g(x)<g(0)=0，故當0<x<a時，f(a+x)<f(a-x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當a≤0時，函數(shù)y=f(x)至多有一個零點，故a>0，從而f(x)的最小值為f(a)，且f(a)<0，不妨設0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a-x1從而x2>2a-x1由（Ⅰ）知，f'(x★已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)，對于曲線上的兩個不同的點，，記直線的斜率為，若，證明：.【答案】（1）（2）見解析由題設得.又，∴.學^科網(wǎng)不妨設，，則，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，學*科網(wǎng)故.又因為，因此，即.又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.★已知函數(shù)，．（Ⅰ）求過點且與曲線相切的直線方程；（Ⅱ）設，其中為非零實數(shù)，有兩個極值點，且，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：．【答案】（1）（2）見解析∴，解得∴切線的斜率為，∴切線方程為（Ⅱ），當時，即時，，在上單調(diào)遞增；當時，由得，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，由得，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，有兩個極值點，即，，即的范圍是學*科網(wǎng)點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù).（1）證明：當時，；（2）若函數(shù)有兩個零點，（，），證明：.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析試題解析：（1）欲證證，，學科#網(wǎng)在上遞增，（2），，令，易知在遞減，，，，，，，，，，，，，要合題意，如圖，，，右大于左，原題得證【新題試煉】【2019江西九江一?！恳阎瘮?shù)（Ⅰ）若函數(shù)存在最小值，且最小值大于，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若存在實數(shù)，使得，求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增?！敬鸢浮?Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實數(shù)x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，不妨設0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），則h′（x），∴x∈（0，a）時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，a）遞減，∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x1）＞f（2a﹣x1），∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2a﹣x1），∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，∵f（x）在（a，+∞）遞增，學.科網(wǎng)∴x2＞2a﹣x1，∴a，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）遞增，∵x1≠x2，∴，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上單調(diào)遞增．【2019山東鄆城一中月考】已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于,兩點，線段中點的橫坐標為，證明：為的導函數(shù)