專題1.4 極值點(diǎn)偏移第二招-含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題（解析版）-高中數(shù)學(xué)壓軸題講義(解答題)

含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，在原有的兩個(gè)變?cè)幕A(chǔ)上，又多了一個(gè)參數(shù)，故思路很自然的就會(huì)想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問(wèn)題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個(gè)變?cè)男碌暮瘮?shù).★例1.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.不妨設(shè)，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在上遞增，學(xué)*科網(wǎng)所以，因此原不等式獲證.★例2.已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)，學(xué)%科網(wǎng)∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價(jià)于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：，學(xué)*科網(wǎng)故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.★例3.已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）求證：.要證：，即證：，等價(jià)于，學(xué)*科網(wǎng)也即，等價(jià)于，令等價(jià)于，也等價(jià)于，等價(jià)于即證：令，則，又令，得，∴在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，∴，即證原不等式成立.【點(diǎn)評(píng)】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過(guò)構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式.學(xué)*科網(wǎng)★例4.已知函數(shù)，若存在，使，求證：.再證：.∵，而，∴.證畢.【招式演練】★設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：由，易知且，學(xué)科.網(wǎng)從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可，又因?yàn)?，即證：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，學(xué)*科網(wǎng)∴原不等式成立.★設(shè)函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處切線的斜率為.當(dāng)時(shí)，令，設(shè)是方程的兩個(gè)根，是的等差中項(xiàng)，求證：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.★設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】∵，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即……不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有，學(xué)*科網(wǎng)構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而不等式式成立，故原不等式成立.學(xué)*科網(wǎng)★已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若有兩零點(diǎn)（），求證：.【點(diǎn)評(píng)】1.方程的變形方向：①是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，1是該函數(shù)的極值點(diǎn).②是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，是該函數(shù)的極值點(diǎn).2.難點(diǎn)的證明依賴?yán)梅趴s.★已知函數(shù)f(x)=1（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a>0，證明：當(dāng)0<x<a時(shí)，f(a+x)<f(a-x)；（Ⅲ）設(shè)x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+∞)上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)0<x<a（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)-f(a-x)，則g(x)=1=2x-aln(a+x)+a求導(dǎo)數(shù)，得g'當(dāng)時(shí)0<x<a，g'(x)<0，∴g(x)在而g(0)=0，∴g(x)<g(0)=0，故當(dāng)0<x<a時(shí)，f(a+x)<f(a-x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，故a>0，從而f(x)的最小值為f(a)，且f(a)<0，不妨設(shè)0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a-x1從而x2>2a-x1由（Ⅰ）知，f'(x★已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)，對(duì)于曲線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，，記直線的斜率為，若，證明：.【答案】（1）（2）見解析由題設(shè)得.又，∴.學(xué)^科網(wǎng)不妨設(shè)，，則，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，學(xué)*科網(wǎng)故.又因?yàn)椋虼?，?又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.★已知函數(shù)，．（Ⅰ）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：．【答案】（1）（2）見解析∴，解得∴切線的斜率為，∴切線方程為（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，，即的范圍是學(xué)*科網(wǎng)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).★已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，（，），證明：.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析試題解析：（1）欲證證，，學(xué)科#網(wǎng)在上遞增，（2），，令，易知在遞減，，，，，，，，，，，，，要合題意，如圖，，，右大于左，原題得證【新題試煉】【2019江西九江一?！恳阎瘮?shù)（Ⅰ）若函數(shù)存在最小值，且最小值大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，使得，求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增?！敬鸢浮?Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），則h′（x），∴x∈（0，a）時(shí)，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，a）遞減，∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x1）＞f（2a﹣x1），∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2a﹣x1），∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，∵f（x）在（a，+∞）遞增，學(xué).科網(wǎng)∴x2＞2a﹣x1，∴a，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）遞增，∵x1≠x2，∴，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[，+∞）上單調(diào)遞增．【2019山東鄆城一中月考】已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線交于,兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：為的導(dǎo)函數(shù)