專題3.3 圖形面積求最值函數(shù)值域正當時（原卷版）-高中數(shù)學壓軸題講義(解答題)

專題3圖形面積求最值，函數(shù)值域正當時【題型綜述】1、面積問題的解決策略：（1）求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標直接進行表示的底（或高）（2）面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數(shù)，再求解函數(shù)的最值，在尋底找高的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段參與運算。這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單，便于分析【典例指引】例1已知橢圓（）的一個頂點為，離心率為，直線（）與橢圓交于，兩點，若存在關于過點的直線，使得點與點關于該直線對稱．（I）求橢圓的方程；（II）求實數(shù)的取值范圍；（III）用表示的面積，并判斷是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．點評：（1）第二小問分為兩個操作程序：=1\*GB3①據(jù)對稱性得到直線斜率與截距之間的關系；=2\*GB3②據(jù)位置關系構建直線斜率與截距之間的不等關系．點關于直線對稱的轉化為對稱軸為垂直平分線，法一進一步轉化為等腰三角形，從而線段相等，利用兩點距離公式進行坐標化，化簡后得到交點坐標縱橫坐標之和及弦的斜率，故可以使用韋達定理整體代入．實際上所有使用韋達定理整體代入這個處理方式的標準是題意韋達定理化：=1\*GB3①條件與目標均能化為交點坐標和與積的形式；=2\*GB3②橫坐標縱坐標；法二則點差法處理弦中點問題．均可得到直線的斜率與截距之間的關系．構建不等式的方式：法一根據(jù)直線與橢圓的位置關系，利用判別式構建參數(shù)的不等式；法二根據(jù)點與橢圓的位置關系，利用中點在橢圓內構建參數(shù)的的不等式；故直線與橢圓相交可與點在橢圓內等價轉化；（2）第三小問分成兩個操作程序：=1\*GB3①構建面積的函數(shù)關系；=2\*GB3②求函數(shù)的值域．法一利用底與高表示三角形面積，三角形的底則為弦長，三角形高則為點線距離．法二利用三角形面積的坐標公式，不管哪種面積公式，均會出現(xiàn)交點坐標之差，故從整道題全局來說，第二問使用韋達定理顯得更流暢，時分比更高，所以要注意方法的選擇與整合．關于分式型函數(shù)求最值，常見思路為：以分母為整體，分子常數(shù)化，往往化簡為反比例函數(shù)、對勾函數(shù)及二次函數(shù)的復合函數(shù)，本題這個函數(shù)形式并不常見．特別要注意基本函數(shù)的和與差這種結構的函數(shù)，特殊情況可以直接判斷單調性，這樣可以避免導數(shù)過程．變式與引申：若過點的直線交橢圓于，求四邊形的面積的取值范圍．例2、已知橢圓的左、右兩個焦點分別為，離心率，短軸長為2.（1）求橢圓的方程；（2）點為橢圓上的一動點（非長軸端點），的延長線與橢圓交于點，的延長線與橢圓交于點，求面積的最大值.例3、已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．【點評】本題主要考查了直線與拋物線相切的性質、切線方程、相互垂直的斜率之間的關系、兩點間的距離公式、三角形的面積公式、二次函數(shù)的性質等知識點的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力、推理與運算能力，試題有一定的難度，屬于難題，本題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程，利用根與系數(shù)的關系，表示出三角形的面積是解答問題的關鍵．例4、已知橢圓的焦距為2,離心率為.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)過點作圓的切線,切點分別為,直線與軸交于點,過點作直線交橢圓于兩點,點關于軸的對稱點為,求面積的最大值.【思路引導】(Ⅰ)由橢圓的焦點為，離心率為，求出，由此能求出橢圓的標準方程；(Ⅱ)由題意，得、、、四點共圓，該圓的方程為，得的方程為，直線的方程為，設，則，從而最大，就最大，可設直線的方程為，由，得，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，能求出的面積的最大值.【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達定理和三角形面積公式及單調性求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用函數(shù)單調法面積的最大值的.【擴展鏈接】橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式：（1）橢圓：設為橢圓上一點，且，則（2）雙曲線：設為雙曲線上一點，且，則【新題展示】1．【2019】廣東江門調研】在平面直角坐標系中，，，為不在軸上的動點，直線、的斜率滿足．（1）求動點的軌跡的方程；（2）若，是軌跡上兩點，，求面積的最大值．【思路引導】（1）設，將利用斜率公式進行化簡整理即可得點P軌跡方程；（2）由斜率為1，設直線MN的方程與橢圓聯(lián)立，寫出韋達定理，計算弦長|MN|和點T到直線MN的距離，表示出三角形的面積，利用導數(shù)即可求出面積最大值．2．【2019四川成都實驗外國語學校二診】已知橢圓：的左右焦點分別是，拋物線與橢圓有相同的焦點，點為拋物線與橢圓在第一象限的交點，且滿足．（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線與橢圓交于兩點，設．若，求面積的取值范圍．【思路引導】（1）由題意可得點P的坐標為，然后求出，根據(jù)橢圓的定義可得，進而得到，于是可得橢圓的方程．（2）由題意直線的斜率不為0，設其方程為，代入橢圓方程后結合根與系數(shù)的關系得到，然后通過換元法求出的范圍即可．3．【2019江西南昌一?！咳鐖D，橢圓：與圓：相切，并且橢圓上動點與圓上動點間距離最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）過點作兩條互相垂直的直線，，與交于兩點，與圓的另一交點為，求面積的最大值，并求取得最大值時直線的方程．【思路引導】（1）由題意可得b＝1，a﹣1，即可得到橢圓的方程；（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），根據(jù)l2⊥l1，可設直線l1，l2的方程，分別與橢圓、圓的方程聯(lián)立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC的面積，利用基本不等式的性質即可得出其最大值．4．【2019浙江溫州2月適應性測試】如圖，A為橢圓的下頂點，過A的直線l交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點．（I）求證：點C的縱坐標是定值；（II）過點C作與直線l傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點，求p的值，使得△BMN的面積最大．【思路引導】（I）根據(jù)點在拋物線上設出B的坐標，可表示出C的坐標，代入拋物線方程求得縱坐標．（II）先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長及到的距離，寫出面積的表達式，利用基本不等式求得最值及相應的參數(shù)即可．5．【2019福建廈門第一次（3月)質量檢查】已知為坐標原點，為橢圓的上焦點，上一點在軸上方，且．（1）求直線的方程；（2）為直線與異于的交點，的弦，的中點分別為，若在同一直線上，求面積的最大值．【思路引導】(1)設，可得，，求出A點坐標，即可得到直線的方程；(2)利用點差法可得，又因為在同一直線上，所以，所以，設出直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理即可表示面積，結合均值不等式即可得到結果．6．【2019湖南懷化一?！吭O橢圓的離心率，橢圓上的點到左焦點的距離的最大值為3．（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓的外切矩形的面積的取值范圍．【思路引導】（1）根據(jù)題意求出，進而可求出結果；（2）當矩形的一組對邊斜率不存在時，可求出矩形的面積；當矩形四邊斜率都存在時，不防設，所在直線斜率為，則，斜率為，設出直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結合韋達定理以及弦長公式等，即可求解．7．【2019江西上饒重點中學聯(lián)考】已知橢圓的短軸長等于，右焦點距最遠處的距離為3．（1）求橢圓的方程；（2）設為坐標原點，過的直線與交于兩點（不在軸上），若，求四邊形面積的最大值．【思路引導】（1）由已知得，即可得橢圓方程．（2）由題意設，與橢圓方程聯(lián)立得，，代入化簡求最值即可．8．【2019安徽馬鞍山一?！恳阎獧E圓的方程為，離心率，且短軸長為4．求橢圓的方程；已知，，若直線l與圓相切，且交橢圓E于C、D兩點，記的面積為，記的面積為，求的最大值．【思路引導】根據(jù)題意列出有關a、b、c的方程組，求出a、b、c的值，可得出橢圓E的方程；設直線l的方程為，先利用原點到直線l的距離為2，得出m與k滿足的等式，并將直線l的方程與橢圓E的方程聯(lián)立，列出韋達定理，計算出弦CD的長度的表達式，然后分別計算點A、B到直線l的距離、，并利用三角形的面積公式求出的表達式，通過化簡，利用基本不等式可求出的最大值。9．【2019山西晉中1月適應性考試】已知橢圓：的右焦點為拋物線的焦點，，是橢圓上的兩個動點，且線段長度的最大值為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求面積的最小值．【思路引導】（1）根據(jù)拋物線和橢圓的幾何性質，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；（2）當，為橢圓頂點時，易得的面積；當，不是橢圓頂點時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根和系數(shù)的關系，以及弦長公式，求得，同理求得，得到面積的表達式，利用基本不等式，即可求解．【同步訓練】1．已知橢圓：（）的短軸長為2，離心率為，直線：與橢圓交于，兩點，且線段的垂直平分線通過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）當（為坐標原點）面積取最大值時，求直線的方程.2．已知拋物線，圓，點為拋物線上的動點，為坐標原點，線段的中點的軌跡為曲線.（1）求拋物線的方程；（2）點是曲線上的點，過點作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點.求面積的最小值.3．已知橢圓的長軸長為，左焦點，若過點的直線與橢圓交于兩點．（1）求橢圓的標準方程；（2）求證：；（3）求面積的最大值．4．已知點，橢圓的離心率為是橢圓的焦點，直線的斜率為為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓相交于兩點，當?shù)拿娣e最大時，求直線的方程.5．在平面直角坐標系中，滿足，設點的軌跡為，從上一點向圓作兩條切線，切點分別為，且.（1）求點的軌跡方程和；（2）當點在第一象限時，連接切點，分別交軸于點，求面積最小時點的坐標.6．如圖，已知橢圓：的離心率為，、為橢圓的左右頂點，焦點到短軸端點的距離為2，、為橢圓上異于、的兩點，且直線的斜率等于直線斜率的2倍．（Ⅰ）求證：直線與直線的斜率乘積為定值；（Ⅱ）求三角形的面積的最大值．7．已知橢圓經過點，離心率.（Ⅰ）求橢圓的標準方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓相交于兩點，求的面積的最大值。8．如圖，已知拋物線的焦點在拋物線上，點是拋物線上的動點．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準線方程；（Ⅱ）過點作拋物線的兩條切線，、分別為兩個切點，求面積的最小值．9．在平面直角坐標系xOy中，橢圓G的中心為坐標原點，左焦點為