2023屆河南省部分重點高中高三年級上冊12月聯(lián)合考試數(shù)學（文）試題

2023屆河南省部分重點高中高三上學期12月聯(lián)合考試數(shù)學(文)試

題

一、單選題

1.設集合4={-1,0,1,2,5},8=卜|f-4*40卜則AB=()

A.{-1,0,5}B.{0,1,2}C.{-1,5}D.{1,2,5}

【答案】B

【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合B,再根據(jù)交集的定義即可得解.

【詳解】解：fi={x|x2-4x<0}={x|0<x<4},

所以A8={0,1,2}.

故選:B.

2.已知命題pHxeR,公+(。-l)x+l<0.若命題。是假命題，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.[1,3]B.[-1,3]C.(-1,3)D.[0,2]

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可知，不等式Y+(a-l)x+120對任意的xeR恒成立，可得出A40,由此可解

出實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】依題意d+(a-l)x+12O對任意實數(shù)x都成立，所以A=(〃-l)2—4=(a+l)(a—3)M0,解

得-14。43,因此，實數(shù)〃的取值范圍是卜1,3].

故選：B.

【點睛】本題考查利用特稱命題的真假求參數(shù)，同時也考查了一元二次不等式恒成立問題，考查運

算求解能力，屬于基礎題.

3.在AABC中，DC=3BD，AB=mAC+nAD(meR,neR),貝()

A.-B.—3C.—D.—

344

【答案】B

【分析】根據(jù)平面向量基本定理求解可得，"=-：1，n=~4,進而可得答案.

3__1?41—.14

【詳解】由00=330可得:+則AB=；AQ—不AC,即僧=—彳，〃=；,所以

443333

m—2cn=--1---8=—3.

33

故選:B.

4.函數(shù)f(犬)=111(5/?石-勾+工去山尢+5在[-兀,兀|上的最大值與最小值的和為()

A.-10B.2C.10D.不確定

【答案】C

【分析】令g(x)=〃x)-5,再計算可得g(x)是奇函數(shù)，從而根據(jù)函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】令g(x)=/(x)-5,則有g(-x)=In(6+1+x)-丁sinx,故

g(x)+g(-x)=ln(x2+l-d)=o,故g(x)是奇函數(shù)，

所以函數(shù)/(x)關于點(0,5)對稱，故最大值與最小值也關于(0,5)對稱，其和為10.

故選：C

2

5.已知x?+ax+b40的解集是｛x|x=c｝,x+ax+b<d的解集為(與，芻)，,—x2|=25/6,則”=()

A.24B.12C.6D.76

【答案】C

22

【分析】根據(jù)解集得到6=三，根據(jù)韋達定理得到西+*=-°,%x,=b-4=《-d,代入計算得到

44

答案.

2

【詳解】A=a2-4b=O,故。=±.

4

2

因為x?+ox+〃vd的解集為(和工2),由韋達定理，知％+%2=-。，x]x2=b-d=^-—d,則

22

|xt-x21=+X2)-4X,X2=^Ja-43-d=2\[d=2A/6,解得d=6,

故選：C

6.已知數(shù)列｛4｝滿足％=2,且(《+1)。卅一%,=2",則％=()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根據(jù)累加法求解即可.

【詳解】由(〃+1)%+「叼,=2",且4=2,根據(jù)累加法可得:

na?=nan+(n-l)tz?_,-(n-2)a?_2+-+2a2-a,+4

=2"T+2"-2+2"3+…+2+2=2",(〃N2),

2"，、?4

所以=一,(/?>2),則%=—=4.

n4

故選：B

7.己知點尸(4,3)是角a的終邊上一點，則tan￡=()

A.—B.—3C.—3或§D.3或-q

【答案】A

【分析】利用三角函數(shù)的定義可求得sin。、cos。的值，再利用二倍角公式可求得tang的值.

3344

【詳解】由三角函數(shù)的定義可得sina=萬耳京=：cosa=

V42+325

.a3.aa3

sin—2sin—cos—

所以，tan—=2_22_sina5

a

cos—2C°S221+cosa3

2

故選：A.

8.已知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+功，滿足〃x)+2礦(x)>0(廣(x)為/(x)的導函數(shù))，設。=〃1),

b=ef(e2),c=2f(4),則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】構造函數(shù)g(x)=&/(x),再求導分析函數(shù)的單調性，進而結合1<4<3判斷大小關系即可.

【詳解】由〃x)+2礦(x)>0,化簡赤“制+何'((>0,令g(x)=?f(x),則

g'(x)=^〃x)+&f'(x)>。，所以函數(shù)g(x)在(0,+e)上單調遞增，l<4<e2,所以b>c>a.

故選：D

9.已知函數(shù)〃x)定義域為R,/(x+2)=-/(-x+2),〃1一4”是偶函數(shù)，設g(x)=/'(x),則下

列選項中一定成立的有()

A.f(0)=0B.g⑷=0

C./(5)=/(-!)D.g(0)=g(2)

【答案】A

【分析】確定/(x+2)為奇函數(shù)，/(1-4力是偶函數(shù)，函數(shù)周期為4,再依次判斷每個選項得到答

【詳解】〃x+2)=-〃r+2),所以/(x+2)為奇函數(shù)，故函數(shù)“X)圖象關于點(2,0)對稱,

f(l-4x)是偶函數(shù),故/(1-4x)=f(l+4x),即〃x+l)=〃r+l),

函數(shù)f(x)圖象關于直線x=l對稱，所以.f(x+2)=—〃—x+2)=-/(x)

所以〃x+4)=/(x),所以函數(shù)周期為4,

對選項A：/(0)=/(2)=0,故A正確;

對選項B：g(4)無法確定，錯誤；

對選項C：/(3)=/(-1)=-/(1)=-/(5),錯誤;

對選項D：/(x+2)=-/(x),故r(x+2)=-1f(x),即g(x+2)=-g(x),g(0)=-g⑵,錯誤.

故選：A

10.己知。>1,b>\,且kia+41nb=2,則log。e+log〃e4的最小值為()

A.91g2B.—C.—D.12

22

【答案】C

【分析】變換得到loglie+log(,e4=gx(lna+41n6)(1L+=],再利用均值不等式計算得到答案.

2\\na\nhJ

i4

【詳解】loge=--,loge4=——,因為a>l,b>\,故lna>0,lnA>0,

o\x\a/,mb

4In/?4Inn>1x17+2,41nb41n〃25

17+----+-----

~2

In。In/?\na\nh7

〃

當且僅當bw=ln/7時，即Q=b=晟2時等號成立.所以log〃e+log”4的最小值為了.

故選：C

11.對于三次函數(shù)/(%)=加+加+6+。(。￥0),給出定義：設廣⑺是函數(shù)3=/(力的導數(shù),/〃(X)

是/'(X)的導數(shù)，若方程/"(x)=o有實數(shù)解％,則稱點&J&))為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探

究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”，任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設

函數(shù)/(6=^-3*2+3辦+6/,若函數(shù)”力的極大值與極小值之和為g(〃)，則g(。)的值域為()

1

A.—00.—[14,+8)B.(14,+oo)

2.

1一8,；(14,+00)

C.—00,—D.

2

【答案】D

【分析】計算函數(shù)的對稱中心為,，4/+3/),確定g(〃)=8/+6/,求導得到單調區(qū)間，計算最值

得到答案.

【詳解】/'(x)=3x2—6or+3a,/"(x)=6x—6“=0,得x=a,〃")=44+3/,

即函數(shù)的對稱中心為(a,4/+3/),

函數(shù)/(X)存在極大值與極小值，設極值點為巧,

A=36?2-36?>0,即a<0或a>l.g(a)=/(%,)+/(^)=2/(?)=8a3+6a2,

g[a)=24a2+12〃=24a(q+；J,

當和xw(l,+x>)時;g'(a)>0,函數(shù)單調遞增；

當時，g，(a)<0,函數(shù)單調遞減.

g(-g)=g，g⑴=14,故g(a)的值域為(14,+8).

故選：D

12.設函數(shù)/(x)=cos0x+sin(0x-^)((y>0),若〃x)在［0,2可上有且僅有5個極值點，則。的

取值范圍是()

B.

138

6’3)D.

【答案】D

【分析】化簡得到〃上sin"+53儲/3喂］,得到|兀＜2小臺齊解得答

案.

【詳解】/(x)=cos@r+sincox——=cos69X+—sin(yx——cosa)x=——sina)x+—coscox

、，I6)2222

.(兀)

I6J

當XW［0,2兀］時，COX+—€—,2.6071+—,

若函數(shù)“X)在［0,2可上有且僅有5個極值點，則苫兀＜2mt+qv：兀，解得;

故選：D

二、填空題

13.命題“Hr()￡R,片一5/+1<0"的否定是.

【答案】VXGR,x2-5x4-1>0

【分析】直接根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題得到答案.

【詳解】命題“叫wR,年-5%+1〈()”的否定是心￡1<,X2-5X+1>0.

故答案為：VXGR,x2-5x+l>0

14.己知：=(1,2),。=(2,加)，a//(a-b],貝巾-力卜.

【答案】75

【分析】根據(jù)向量平行得到機=4,再計算模長得到答案.

【詳解】a-b=(-l,2-/n),由貝ij-lx2=2-m,則，”=4,所以</一6=(-1,一2),則

|?-/?|=>/5.

故答案為：出

15.寫出一個同時滿足下列性質的函數(shù)：f(x)=.

①定義域為R；

②/(0)肛

③設f\x)是函數(shù)"X)的導函數(shù)，且(.f'(x))2+(〃x))2=1.

【答案】sin(x+s)(0WE,keZ),答案不唯一

【分析】確定/(x)=sin(x+°)Q(p手尿,keZ),再驗證即可.

【詳解】f(x)=sin(x+e)(3*碗,keZ),

滿足定義域為R;/(0)=sineH0；(r(x))2+(f(x)y=sin2(x+0+cos2(x+s)=l,

故答案為：sin(x+Q)(夕工而，kwZ)

16.已知某圓臺的上、下底面面積分別為兀和4兀，高為2,上、下底面的圓周在同一球面上，則該

圓臺外接球的表面積為.

【答案】畢

4

【分析】由題意圓臺上下底面的半徑分別為1和2,再分析兩底面在球心同側于異側時兩種情況，

再設球的半徑為R,根據(jù)垂徑定理列式求解即可.

【詳解】由題可知圓臺上下底面的半徑分別為1和2,外接球軸截面如圖所示，

設球的半徑為R,當兩底面在球心同側時，有x/F=I_VF^7=2,即R'-1=(2+正-4『,即

R2-l=4+4j〃2-4+R2-4,即_］=4依_4,方程無解；

當兩底面在球心異側時，有+=1=2,即配-4=(2-7^二?『，所以

R2-4=4-4>jR2-1+R2-1>即4,R2_I=7,則心*，R=~~-

/.這個球的表面積是S=4兀代=4兀乂等=字.

164

故答案為：字

4

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝的前“項和為，，4=1,〃55_(〃+1)5“=攻詈，”eN*.

⑴求S"；

⑵設T?是數(shù)列/的前〃項和，求7；.

.fl,

【答案】(1?“=嗎3；

⑵4=芻?

【分析】(1)由已知可推出，數(shù)列是首項為1,公差為;的等差數(shù)列，即可解出進

I"J2n2

而解得s,,;

(2)由(1)可得!=20—一二］,然后求和即可得到

S?I"n+\)

【詳解】(1)由題〃5向-(〃+1)5“=當2,可得缶一｝=；,

又知今=?=1,所以數(shù)列盧］是首項為1,公差為：的等差數(shù)列，

11InJ2

LLI、IS”.1/nn+l口口+

所以-=i+X〃-i)=k，即s'=J——

n2V72"2

12(11、

(2)由(1)可得不=7丁=2----77>

Sn+n+\)

18.如圖，在四棱錐P-ABC。中，A8C￡>為正方形，平面24￡>，平面ABCD,一F4。是直角三角形,

且E4=AD=4,E,F,G分別是線段E4,PD,8的中點.

⑴證明：PB平面EFG；

(2)求三棱錐B-EFG的體積.

【答案】(1)證明見解析

【分析】(1)證明平面P8C平面EFG,根據(jù)尸3u平面PBC,得到證明.

(2)確定B,D兩點到平面EFG的距離相等，VB.EFC=VD_EFG=VG_EFD,計算得到答案.

【詳解】(1)E,F,G分別是線段R4,PD,的中點，故防〃AD〃BC,FG//PC,

平面PBC,8Cu平面PBC,只3(2平面尸3。，

故EF■平面PBC,FG,平面PBC,

EFcFG=F,EFu平面EFG,FGu平面EFG,平面P8C平面EFG,

PBu平面PBC,故尸8平面EFG.

(2)連接QE,平面附。J_平面ABC。，平面P4￡)c平面ABCD=4。，PAA.AD,

故以_L平面ABC。，C￡)u平面ABC。，PALCD,

四邊形ABCD為正方形，ADLCD,PAr>AD=A,PA,AZ)u平面必。，

故C￡)J_平面%DGD=2,SACT.D=1x2x2=2.

8C，平面EFG,故B,C兩點到平面EFG的距離相等，

G是線段CO的中點，C,。兩點到平面EFG的距離相等，

即B,力兩點到平面EFG的距離相等，

114

VB-EFG=VD-EFG==§x$△￡",X￡>G=§X2X2=§,

4

三棱錐B-EFG的體積為1.

19.己知數(shù)列｛七｝滿足％=4,%=10,a+=4%-3al.

⑴證明：｛。田一3%｝為等差數(shù)列，并求凡；

(2)設b?=210g3(a?-l)+(-l)n.n,求數(shù)歹()｛4｝的前”項和T?.

【答案】⑴證明見解析，“,,=3"+l

/+=,"為偶數(shù)

⑵(=｛1,

〃2+上工,〃為奇數(shù)

2

【分析】(1)定義法證明等差數(shù)列，應用等差數(shù)列通項公式可得通項，再構造等比數(shù)列，應用等比數(shù)列

通項公式計算即可.

(2)分奇偶討論,并應用等差數(shù)列求和公式計算即可得解.

【詳解】(1)根據(jù)題意得3a〃—/,可得。〃打一3。〃=?！ㄒ?助—/,

又知〃—23〃/=—2,

所以數(shù)列｛?！ㄓ?3%｝是首項為一2,公差為0的等差數(shù)列，

所以卬?一,=-2,B[Jan-1=3(an/—1),

又知如一1=4—1=3,所以數(shù)歹式為-1｝是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以q=3"+1.

(2)2=2log33"+(-1)“?”=2〃+(-1)”?〃，

當〃為偶數(shù)時，前"項和7；=2.。+?”+(-1)+2+(一3)+…+…?+日;

當〃為奇數(shù)時，前"項和(=2?上山+七]一〃=r+紇1,

222

川+久,〃為偶數(shù)

則(,=1，

IV+------，〃為奇數(shù)

2

20.如圖，在四棱錐P—ABCO中，AC1BD,垂足為0,PO1平面ABC。，OB=OD=4,OP=2,

OC=8.

(1)證明：平面尸比>_L平面PAC；

(2)求直線PO與平面PBC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

...87105

----

105

【分析】(1)根據(jù)AC15。，尸OLAC證明平面PB4即可

(2)計算SNBC=4V^1，再利用等體積法得到點。到平面P8C的距離為人=是曹，再計算線面夾

角得到答案

【詳解】(1)；尸。/平面ABC。，ACu平面ABCD,故POLAC,

又AC工3。，POBD=O,POu平面P8￡),BDu平面PBD,

故人(7_1_平面戶8￡),又ACu平面P4c.

平面平面PAC

(2)在RtZiPOB中，由依2=尸02+。82得尸8=2后，

在Rt22\POC中，由尸C?=尸。+0。2得PC=2jI7,

在Rt_PO￡>中，由PD?=PO?+OD?得PD=26.

在Rt一80c中，由8c2=3。2+0。2得8c=4后,

在,PBC中，由8,々g_而+叱-叱（2⑸.+（4后）、倒后）[2,

IPBxBC2x2A/5x4V55

由0<ZPBC<凡可得sinNPBC=Vl-cos2ZPBC=率，

?5APfic=-^fiC-sinZPBC=-x2V5x4>/5x—=4>/2?,

225

設點。到平面PBC的距離為力，

由VP-BCD=VD-PBC'得;XJX80X℃XOP=gXSAPPC*〃，

,BDxOCxOP8x8x216721

即Hn,=------------=-----==------

2S&PBC2x4V2121

16歷

設直線尸。與平面尸BC所成的角為。，貝11包型.

PD2石105

21.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，cos[5+8)+cos8=：,AB=AC,

AD=2CD=4.

⑴求角8的大小；

(2)當角。為何值時，四邊形ABC。的面積最大.

【答案】⑴B=

⑦D多3s2=5"

【分析】(1)化簡得到cos8=!，計算得到答案.

2

(2)計算$48=4$出，Sfc=5G-4gcos。，得至”=5行+8sin(￡>-g

根據(jù)三角函數(shù)的有

界性得到最值.

【詳解】(1)因為8S2(J+B]+COSB==,所以sin2B+cos8=3,

12)44

即l-cos，8+cosB=2,解得cosB=J,Be(O,7t),B=-.

423

(2)e=1,AB=AC,ABC為等邊三角形，

在,AS中，由余弦定理知：

AC'=AD2+CD2-2ADCDcosD=16+4-2x4x2cosD=20-16cosD,

而SfCD=gADCDsinO=gx4x2sin￡）=4sin￡）,

S/=gAB-BCsinB=；AC2.sin]=5e-4Gcos￡）,

四邊形ABC。的面積

5=S^ACD+SAASC=56-4>/5cos￡)+4sin￡>=5>/5+8sin(￡)-m)，

Oe(0㈤，當0-1=]即〃=?時、S