3.5 圓周角（5大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.5圓周角（5大題型）分層練習(xí)考查題型一圓周角的概念辨析1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，△ABC內(nèi)接于圓，弦BD交AC于點(diǎn)P，連接AD．下列角中，所對(duì)圓周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【答案】C【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由圖可知：所對(duì)圓周角的是∠ACB或∠ADB，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角的定義，熟練掌握?qǐng)A周角是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，A、B、C是上的三個(gè)點(diǎn)，，，則的度數(shù)是（

）A．25° B．30° C．40° D．55°【答案】B【分析】首先根據(jù)∠B的度數(shù)求得∠BOC的度數(shù)，然后求得∠AOC的度數(shù)，從而求得等腰三角形的底角即可．【詳解】∵OB=OC，∠B=55°，∴∠B=∠OCB，∴∠BOC=180°-2∠B=70°，∵∠AOB=50°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=70°+50°=120°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA==30°，故選：B．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求得∠AOC的度數(shù)，難度不大．3．（2021秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做．圓周角的特征：①頂點(diǎn)在上；②兩邊都和圓．【答案】圓周角圓相交4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)A在DC的延長(zhǎng)線上，∠A＝18°，AE交⊙O于點(diǎn)B，且AB＝OD．則∠EOD＝【答案】54°【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)，可得∠OEB=∠OBE，∠AOB=18°，從而得到∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，繼而得到∠BOE=108°，即可求解．【詳解】解：∵CD是⊙O的直徑，∴OD=OE=OB，∴∠OEB=∠OBE，∵AB=OD，∴AB=OB，∴∠AOB=∠A，∵∠A＝18°，∴∠AOB=18°，∴∠OEB=∠OBE=∠A+∠AOB=36°，∴∠BOE=108°，∴∠EOD=180°-∠BOE-∠AOB=54°．故答案為：54°【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，是圓的直徑，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，的延長(zhǎng)線交圓于點(diǎn)，若，求的度數(shù).【答案】【分析】連接OD，利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得∠EDO，從而利用三角形的外角的性質(zhì)求解．【詳解】連接OD，∵CD=OA=OD,，∴∠ODE=2，∵OD=OE，∴∠E=∠EDO=，∴∠EOB=∠C+∠E=.【點(diǎn)睛】此題考查了半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識(shí)是解題的關(guān)鍵.考查題型二圓周角定理1．（2023春·安徽宿州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D是半圓O上的三等分點(diǎn)，且，點(diǎn)C是上任意一點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求得的度數(shù)，再利用圓周角定理即可求得答案【詳解】解：如圖，連接，

∵點(diǎn)D是半圓O上的三等分點(diǎn)，∴，∴，∴，故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓周角定理，結(jié)合已知條件求得的度數(shù)是解題的關(guān)鍵2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的弦，是的半徑，點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），連接．若，則的度數(shù)可能是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用圓周角定理求得的度數(shù)，然后利用三角形外角性質(zhì)及等邊對(duì)等角求得的范圍，繼而得出答案．【詳解】解：如圖，連接，

，，，，∵點(diǎn)P為上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合），，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形外角性質(zhì)的綜合應(yīng)用，結(jié)合已知條件求得的范圍是解題的關(guān)鍵．3．（2023·廣東梅州·校考一模）如圖，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則度數(shù)是．

【答案】【分析】由圓周角定理即可得到答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點(diǎn)在上，且，過(guò)點(diǎn)的弦與線段相交于點(diǎn)，滿足，連接，則．【答案】20【分析】連接，由圓周角定理可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，再由結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，，，，，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖的弦的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，，弧為．求的度數(shù)．

【答案】，【分析】根據(jù)圓周角定理直接求得，弧的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)求得，根據(jù)圓周角定理求得，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

，，弧為，，，是的一個(gè)外角，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．考查題型三同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等1．（2023春·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形的外接圓為，，，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到，再利用圓周角定理得到，，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算的度數(shù)．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023春·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，是的直徑，是的弦，如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，可得，再利用圓周角定理的含義可得答案．【詳解】解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，熟記圓周角定理的含義是解本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，內(nèi)接于，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則度．

【答案】【分析】延長(zhǎng)交于，連接，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得：，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得：，從而求出，最后利用三角形外角的性質(zhì)即可求出【詳解】解：延長(zhǎng)交于，連接，如下圖所示，

，是直徑，，，．故答案為：68．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)，掌握同弧所對(duì)的圓周角相等和直徑所對(duì)的圓周角是直角是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023春·四川南充·九年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中、三條劣弧、、的長(zhǎng)都相等，弦與相交于點(diǎn)，弦與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)弧相等，得到，設(shè)出，根據(jù)外角的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用三角形的內(nèi)角和求出即可解答．【詳解】解：連接，

弧、、的長(zhǎng)相等，，設(shè)，，，，在中，，解得，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟記定理并靈活運(yùn)用，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．5．（2022秋·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：的兩條弦，相交于點(diǎn)M，且．

(1)如圖1，連接.求證：．(2)如圖2.若．在上取一點(diǎn)E，使，交于點(diǎn)F，連接、．判斷與是否相等，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)與相等．理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)得，即，，得，即可得；（2）連接，根據(jù)得，根據(jù)得，即，根據(jù)，即可得．【詳解】（1）證明：，即，，，．（2）與相等．理由如下：解：連接，如圖，

，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，垂經(jīng)定理，角、弧、弦的關(guān)系．考查題型四直徑所對(duì)的圓周角是直角1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線從處出發(fā)，沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第12秒時(shí)，點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出，根據(jù)圓周角定理求出，即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵射線從處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，∴第12秒時(shí)，，∵，∴點(diǎn)C在以為直徑的圓上，即點(diǎn)C在上，∴，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)，得出點(diǎn)C在以為直徑的圓上，熟記圓周角定理．2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，線段是半圓O的直徑，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線，交半圓O于點(diǎn)C，交于點(diǎn)E，連接，若，則的長(zhǎng)是（

）A． B．4 C．6 D．【答案】A【分析】連接，根據(jù)作圖知垂直平分，即可得，，根據(jù)圓的半徑得，，根據(jù)圓周角的推論得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，根據(jù)作圖知垂直平分，

∴，，∴，即，∵線段是半圓O的直徑，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角為直角、勾股定理知識(shí)，掌握相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行正確求解是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山西忻州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，，，，對(duì)角線平分，則邊的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理得到，利用直角三角形的性質(zhì)得到，利用勾股定理求出，繼而求出結(jié)果．【詳解】解：連接，，是的直徑，，對(duì)角線平分，，，，，，，，，．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·天津?yàn)I海新·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知為的直徑，，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，．則的度數(shù)等于度．【答案】23【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出，，再根據(jù)圓周角定理得到，則利用互余可計(jì)算出，然后計(jì)算即可．【詳解】解：，，，，為直徑，，，．故答案為：23．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．5．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，A是上一點(diǎn)，是直徑，點(diǎn)D在上且平分．

(1)連接，求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)．【分析】（1）利用圓周角定理即可證明結(jié)論；（2）利用圓周角定理得到，再利用勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D在上且平分，∴，∴，∴平分；（2）解：∵是直徑，∴，∵點(diǎn)D在上且平分，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，掌握“直徑所對(duì)的圓周角是直角”是解題的關(guān)鍵．考查題型五90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑1（2023·安徽合肥·合肥38中?？级＃┮阎珼是線段上的動(dòng)點(diǎn)且于點(diǎn)G，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，可得點(diǎn)G在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)O，G，B三點(diǎn)共線時(shí)，的最小，再由勾股定理求出的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵，即，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)O，G，B三點(diǎn)共線時(shí)，的最小，∵，∴，∵，∴，∴，即的最小值為．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意得到點(diǎn)G在以為直徑的圓上是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀⒁粋€(gè)含角的直角三角板和一個(gè)量角器按如圖所示的方式放置，，其中點(diǎn)所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為，連接交于點(diǎn)，則圖中的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取的中點(diǎn)，連接，由已知得出為的直徑，，在上，進(jìn)而得出，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，∵，其中點(diǎn)所在位置在量角器外側(cè)的讀數(shù)為，∴為的直徑，，在上，∵∴∵∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角所對(duì)的弦是直徑，圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽池州·一模）如圖，在正方形中，，分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，則線段的最小值為．【答案】【分析】正方形中，，，當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，即的值最小，取的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)圓心，以為直徑畫圓，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，在中根據(jù)勾股定理可求證的長(zhǎng)，根據(jù)可求出的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)與垂直時(shí)，點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，即的值最小，取的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)圓心，以為直徑畫圓，當(dāng)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，∴，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，在中，是直徑，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形，動(dòng)點(diǎn)，最短路徑，勾股定理的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，求最短距離的方法，勾股定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)南京市科利華中學(xué)校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，以為直徑的圓交于點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值是．

【答案】【分析】連接，根據(jù)圓周角定理，由為直徑得到，接著由得到點(diǎn)E在以為直徑的圓O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，最小，在中利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的最小值．【詳解】解：連接，如圖，∵為直徑，∴，∴，∴點(diǎn)E在以為直徑的圓O上，∵∴圓O的半徑為2，∴當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，最小，在中，∵，∴，∴，即線段長(zhǎng)度的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解題關(guān)鍵在于結(jié)合實(shí)際運(yùn)用圓的相關(guān)性質(zhì)．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的是一塊打碎的圓鏡的一部分，已知弧上有三點(diǎn)，，(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出圖中圓鏡的圓心．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)已知，且，求圓鏡的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；（2）連接，根據(jù)直角所對(duì)的弦是直徑，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求；（2）如圖所示，連接，∵，∴是的直徑，在中，，∴，∴圓鏡的半徑【點(diǎn)睛】本題考查了確定圓心，作垂直平分線，直角所對(duì)的弦是直徑，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．1．（2023春·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，、是以線段為直徑的上的兩點(diǎn)，若，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出答案．【詳解】如圖，連接，

∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、直徑的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是上的兩點(diǎn)，是直徑，若，則度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算可得的度數(shù)．【詳解】解：，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在上，，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】取的中點(diǎn)，連接，則，從而得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得，從而得到，最后再由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可算出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·遼寧鞍山·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．若，．則的面積為（

）

A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理可知，由是直徑得到，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)得到，設(shè)，則，從而由勾股定理得到，解得，從而得到．【詳解】解：是的弦，半徑于點(diǎn)，由垂徑定理可知，在中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則是的中位線，即，，設(shè)，則，，是直徑，，在中，由勾股定理可得，則，解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓背景下求三角形面積問(wèn)題，涉及圓的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理、三角形中位線的判定與性質(zhì)、勾股定理及三角形面積，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)、垂徑定理及中位線的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，D是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．若E是的中點(diǎn)，半徑為3，則的長(zhǎng)為（）

A．4 B． C． D．8【答案】B【分析】連接交于F，如圖，根據(jù)垂徑定理得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，接著證明得到，則，所以，然后利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)．【詳解】解：連接OD交AC于F，如圖，

∵D是弧的中點(diǎn)，∴，，∵是直徑，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，平行線的判定，中位線定理；作出輔助線，運(yùn)用垂徑定理得到相等線段和直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿弦折疊交直徑于圓心O，則度．

【答案】120【分析】過(guò)O點(diǎn)作交于D，交于E，連接，．根據(jù)折疊可得，，根據(jù)三角形中位線定理可得，再根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義即可求解．【詳解】解：過(guò)O點(diǎn)作交于D，交于E，連接，．

由折疊可得：，，則為的中位線，∵是直徑，∴，，則，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴．故答案為：120．【點(diǎn)睛】考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），圓周角定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及鄰補(bǔ)角的定義，綜合性較強(qiáng)，構(gòu)造輔助線是是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東梅州·?？家荒＃┤鐖D，把直角三角板的直角頂點(diǎn)C放在圓周上，兩直角邊與圓弧分別交于點(diǎn)A，B，量得，，則該圓的半徑是．

【答案】5【分析】連接，得到為圓的直徑，由于，根據(jù)勾股定理求出，便可以求出圓的半徑．【詳解】解：連接，如圖．，為圓的直徑，cm，cm，，半徑cm．故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的外接圓，，，則的直徑等于．

【答案】4【分析】連接并延長(zhǎng)交于D，連接，得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)含角直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接并延長(zhǎng)交于D，連接，

則，∵，∴，∵，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，含角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，以為直徑作，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，若點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)且，則周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，交于點(diǎn)，先證明為的中位線，則，，再根據(jù)圓周角定理得出，則，為的中位線，從而得到，利用勾股定理計(jì)算出，則，最后再利用勾股定理計(jì)算出即可得到答案．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，

，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)恰為線段中點(diǎn)，為的中位線，，，為直徑，兩點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，，在中，，，，為的中位線，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，三角形中位線定理，平行線的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．10．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為矩形，，，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，以為折痕將翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M，點(diǎn)Q為線段上一點(diǎn)，連接，，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)可知點(diǎn)M在以為直徑的上，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接交于M，交于點(diǎn)Q，此時(shí)的值最小，為的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出，進(jìn)而可得答案．【詳解】解：由折疊可知，，即，∴點(diǎn)M在以為直徑的上，如圖，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)，連接交于M，交于點(diǎn)Q，此時(shí)的值最小，為的長(zhǎng)，∵在矩形中，，，∴，，∴，∴，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理的推論，矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理以及圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題，判斷出點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·江西九江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，A是的中點(diǎn)，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺，按下列要求作圖．（保留作圖痕跡）

(1)在圖1中，作一個(gè)等腰．(2)在圖2中，作一個(gè)以為對(duì)角線的矩形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，根據(jù)圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)即可得；（2）連接、相交于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及矩形的判定即可得．【詳解】（1）解：如圖所示：

連接，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)E，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，∴，∵是圓O的直徑，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：矩形如圖所示：

連接、相交于點(diǎn)M，連接，，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是三條中線的交點(diǎn)，∴，則，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∵是圓O的直徑，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，矩形的判定定理等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行作圖是解題關(guān)鍵．12．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)B，C為上兩定點(diǎn)，點(diǎn)A為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，交于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線上一動(dòng)點(diǎn)，且平分，連接．(1)求證：；(2)連接，若，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義，可得，再根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，最后再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即可證明結(jié)論；（2）由角平分線的定義，可得，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可得，即，進(jìn)而得到，再根據(jù)矩形的判定定理，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：四邊形是矩形，理由如下：∵平分，∴，又∵，∴，∴為的直徑．∴，又∵，∴，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的判定定理，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑．(1)如圖1，連接，，若，求證：平分；(2)如圖2，E為內(nèi)一點(diǎn)，滿足，．若，，求弦