2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市博碩學(xué)校高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年吉林省長(zhǎng)春市博碩學(xué)校高三（上）期初數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合M={—1,1},下列選項(xiàng)正確的是（）

A.{-l）∈MB.0∈MC.-1?MD.{-l）?M

2.2x>2是/>1的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.某市一次高三模擬考試一共有3.2萬(wàn)名考生參加，他們的總分f服從正態(tài)分布N（480,C∑2）,

若P（430≤ξ≤530）=0.78,則總分高于530分的考生人數(shù)為（）

A.2400B.3520C.8520D.12480

4.已知以+2&+22鬣+23C^+-+2n紹=81,則&+鬣+鬣+…+冊(cè)等于（）

A.15B.16C.7D.8

5.在射擊比賽中，甲乙兩人對(duì)同一目標(biāo)各進(jìn)行一次射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為1,乙擊中目

標(biāo)的概率為，在目標(biāo)被擊中的情況下，甲擊中目標(biāo)的概率為（）

3B12C3

一---

A.425D.7

6.設(shè)某醫(yī)院倉(cāng)庫(kù)中有10盒同樣規(guī)格的X光片，己知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、

丙廠生產(chǎn)的.且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為1?,?,?,現(xiàn)從這10盒中任

JLUXOaU

取一盒，再?gòu)倪@盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（）

A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2

7.為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)

“禮”“樂(lè)”“射”“御書(shū)”“數(shù)”六門體驗(yàn)課程，每周一門，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周.若課程

“樂(lè)”不排在第一周，課程“御產(chǎn)不排在最后一周，則所有可能的排法種數(shù)為（）

A.216B.480C.504D.624

8.已知函數(shù)/（x）滿足/（x+l）+f（X）=2對(duì)任意X恒成立，且Xe（0,1）時(shí)f（X）=2L則

Ol

[/（∕O53405）-2]×f（log3?）的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、多選題（本大題共2小題，共10.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.下列命題為真命題的是（）

A.若QVb,則M<b2

1111

若

B貝

-<-<Q-->--

QbO,Qb

C.若關(guān)于X的不等式a/+b%+2>O的解集為｛x∣-%%則α+&=-10

D.若Q>0,6>0,則"a+b≤8"是"ab≤16”的必要不充分條件

10.已知函數(shù)f(X)=e"-2%,則()

A./(%)在(0,+8)是增函數(shù)

B./(x)有極大值點(diǎn)沏，且Xoe(T今

C.f(x)的極小值點(diǎn)*0,且久O6(—1,—2)

D./(x)沒(méi)有零點(diǎn)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

11.函數(shù)y=lg(x2—4)÷I-+6式的定義域是.

12.曲線y=W在點(diǎn)(1,一1)處的切線方程為.

13.已知m,n是正實(shí)數(shù)，函數(shù)y=血靖-2+n的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q［),則+；的最小值為.

14.已知定義在［0,4］上的連續(xù)函數(shù)∕1(x)滿足：

①∕ι(x)在［0,1］上單調(diào)；

@/i(0)=I=

③方(2+x)=Λ(2~x)對(duì)Xe［一2,2］恒成立;

(4)∕i(x)+∕1(2-X)=0對(duì)X∈［0,2］恒成立?

若④(X)=2Aι-ι(x—4),Xe［4n-4,4n］>n≥2,n∈N,記片(%)與y=2"-2形成的封閉圖

形的面積為α?,n&N*,則滿足的+。2+。3+…+即>511的最小的n的值為.

四、解答題(本大題共4小題，共50.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題12.0分)

已知log2(2-X)≤Iog2(3x+6).

(1)解上述不等式：

(2)在(I)的條件下，求函數(shù)y=G)X-21-χ+2的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的X的值.

16.(本小題12.0分)

甲乙兩所友好學(xué)校舉行籃球聯(lián)誼賽，先獲得3場(chǎng)比賽勝利的學(xué)校獲得冠軍并終止比賽，比賽交

替在甲校與乙校進(jìn)行，第一場(chǎng)比賽在甲校進(jìn)行.已知甲隊(duì)在主場(chǎng)（甲校）獲勝的概率為|,在客場(chǎng)

（乙校）獲勝的概率為每場(chǎng)比賽要分出勝負(fù)且勝負(fù)概率不變.

（1）求中隊(duì)以3勝1負(fù)的成績(jī)贏得冠軍的概率；

（2）設(shè)籃球聯(lián)誼賽比賽進(jìn)行的場(chǎng)數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列與期望.

17.（本小題12.0分）

某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直

方圖（如圖1）

年銷售量乂萬(wàn)件）

180

頻率/組建165

150

0.025135

0.02.120

0.020105

0.0179()

75

0.01160

45

30

0.0041—15

O,50607080901001°性能指數(shù)0102030405060708（）年?duì)I銷費(fèi)用工（萬(wàn)元）

圖1圖2

產(chǎn)品的性能指數(shù)在［50,70）的適合兒童使用（簡(jiǎn)稱4類產(chǎn)品），在［70,90）的適合少年使用（簡(jiǎn)稱B

類產(chǎn)品），在［90,110］的適合青年使用（簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品），A,B,C三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每

件1.5,3.5,5.5（單位：元）.以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指

數(shù)位于該區(qū)間的概率.

（1）該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）對(duì)年銷售量y（單位：萬(wàn)件）的影響，對(duì)近5年的年

營(yíng)銷費(fèi)用Xi和年銷售量%。=1,2,3,4,5）的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點(diǎn)圖（如圖2）及一些統(tǒng)計(jì)

量的值（如下表）.

5555

uv

∑-∑^'^(uf-u)(vz-v)W(Ui-B2

i=li=li=l1=1

16.3024.870.411.64

表中Ui=lnxi,vi=lnyi,u==

根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=α?一可以作為年銷售量y（萬(wàn)件）關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x（萬(wàn)元）的回歸方程,

求y關(guān)于X的回歸方程；（取e4N9=64）

（2）求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)；并用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使

得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？(收益=銷售利潤(rùn)-營(yíng)銷費(fèi)用)

參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(%,%),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線V=α+glt的斜率和截

距的最小二乘估計(jì)分別為S=冷*-")駕Za=v-βu.

Σ陶(Ui-U)

18.(本小題14.0分)

(1)證明：當(dāng)x<l時(shí)，x+l≤ex≤占；

(2)是否存在正數(shù)α,使得/(x)=2P+αsinx-。久2-9+2)%在氏上單調(diào)遞增,若存在,求

出α的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案和解析

I.【答案】。

【解析】解：因?yàn)榧螹={-l,l},

則{一1}是集合M的子集，所以C錯(cuò)誤，。正確，

因?yàn)榧祥g是包含關(guān)系，所以48錯(cuò)誤，

故選：D.

根據(jù)集合的元素以及集合間的包含關(guān)系的定義對(duì)應(yīng)各個(gè)選項(xiàng)即可判斷求解.

本題考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，考查了學(xué)生的分析問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：τ2*>2,二x>l,

X2>1,.?.X>1或X<—1,

V(1,+∞)g(-∞,-l)U(1,+∞),

2x>2是/>1的充分不必要條件，

故選：A.

先解指數(shù)不等式，一元二次不等式，再利用充要條件的定義判定即可.

本題考查了指數(shù)不等式，一元二次不等式的解法，充要條件的判定，屬于中檔題.

3.【答案】B

【解析】解：???總分f服從正態(tài)分布N(480,M),P(430<ξ<530)=0.78,

.?.F,(480≤ξ≤530)=∣P(430≤f≤530)=；X0.78=0.39,

.?.P(f≥530)=0.5-0.39=0.11,

二總分高于530分的考生人數(shù)為32000X0.11=3520.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，考查頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解.

本題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱性，考查頻率與頻數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】4

【解析】解：由二項(xiàng)式定理得第+2禺+22C^+23C≡+…+2nC^=(1+2)n=81,

TI

即3=33所以n=4,所以礙+鬣+*+…+G?=24一1=15,

故選：A.

逆用二項(xiàng)式定理建立方程求出n的值，進(jìn)而可以求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意得目標(biāo)被擊中的概率為：

p1=1-1×1=||,

甲擊中目標(biāo)的概率為：p=+=?

42555525

則在目標(biāo)被擊中的情況下，甲擊中目標(biāo)的概率為：P=今=焉

尸1ZO

故選：C.

先得出目標(biāo)被擊中的概率，再得出甲擊中目標(biāo)的概率，即可得出答案.

本題主要考查條件概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查概率的求法，考查全概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

以分別表示取得的這盒光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，表示取得的光片為次

A2,4X