2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)高一年級上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)高一上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（本大題共6小題，共30.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題

目的一項(xiàng)）

1.已知集合"={"T°g2X，x>2},8=3"4},則加人（）

A.{引0<”4}B.{y|0<y<l}C.例1<”4}D.0

【正確答案】C

【分析】

求出集合A,利用交集的定義可求得集合

【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)丁=log2X為增函數(shù)，當(dāng)x〉2時(shí)，log2X>log22=l,即

/={巾>1}，

又8={y|y<4},因此，4八6={珅<歹<4}.

故選：C.

2.命題“Vx〉0,x2—2x+l?0''的否定是（）

A.3x>0，x2—2x+1<0B.Vx>0>—2x+1<0

C.3x<0,J2-2X+1<0D.VXWO,X2-2X+1<0

【正確答案】A

【分析】

根據(jù)題意，全稱命題的否定是存在命題，全稱改存在，再否定結(jié)論.

【詳解】因?yàn)槊}“Vx>0,X。-2x+120”是全稱命題，全稱命題的否定是存在命題，

所以命題“Dx〉O,X2—2X+120''的否定是“五〉0，/_28+1<0”

故選：A

3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是（）

A.y=-丄B.y=3x-3、C.y=tanxD.y=y[x

X

【正確答案】B

【分析】

對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)?-℃,0)U(0,48),在定義域上沒有單調(diào)性.

對于B選項(xiàng)，歹=3'—3-、=3*-丄在H上是增函數(shù)又是奇函數(shù)，符合題意.

y

對于C選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)閗7r--,k7v+-\,keZ,在定義域上沒有單調(diào)性.

I22丿

對于D選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8),為非奇非偶函數(shù).

綜上所述，符合題意的是B選項(xiàng).

故選：B

本小題主要考查函數(shù)的定義域、單調(diào)性和奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.

4.己知=315,c=1g；,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.

a<h<c

【正確答案】A

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出a,b,c的取值范圍，從而可得結(jié)

果.

【詳解】‘'"=(5)e(0/)，臺=315〉1，。=恒5<0,

:.c<a<b,

故選：A.

5.函數(shù)/(x)=)+lnx2的圖象可能是()

【正確答案】B

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性排除AD；根據(jù)/(-I)￥/⑴排除C.

l+21nx,x>0

【詳解】因?yàn)?(x)=)+ln'

-1+2In(-x),x<0

所以函數(shù)/(x)=「\+lnx2在(-8,0)上遞減，在(0,+8)上遞增，故排除AD；

因?yàn)?(-1)=-1，/(1)=1，所以/(一1)。/(1)，所以函數(shù)/(X)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y

軸對稱，故排除c.

故選：B

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)排除不符合的選型進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵.

(2X~-X—X?]

6.已知函數(shù)/(x)=J4'一是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

logax-l,x>l

【正確答案】B

【分析】分函數(shù)/(x)在R上的單調(diào)遞減和單調(diào)遞增求解.

[21

門/、ax~-X—

【詳解】當(dāng)函數(shù)/(x)=J4是R上的單調(diào)遞減函數(shù),

0<Q<1

所以，丄21,解得丄<4?丄，

2a42

5,

a—>-1

I4

因?yàn)閍>0且ah1.

所以當(dāng)xWl時(shí)，/(x)不可能是增函數(shù),

所以函數(shù)/(x)在R上不可能是增函數(shù)，

綜上：實(shí)數(shù)a的取值范圍為丄二

42

故選：B

二、多選題(本大題共2小題，共10.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

7.函數(shù)/(x)=sin?x+Q)((y>0)的最小正周期為乃,心)“閨,下列說法正確的

是()

A./(X)的一個(gè)零點(diǎn)為一￡是偶函數(shù)

O

3乃7萬

C./(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增D./(x)的一條對稱軸為

T5T8

【正確答案】ABD

【分析】

利用周期公式可求。二2,由恒成立，結(jié)合少的范圍，可求0,求得函數(shù)的

解析式，比較各個(gè)選項(xiàng)即可得答案.

【詳解】由函數(shù)［(x)=sin(<yx+夕)(。>0)的最小正周期為萬,

27r

得丄=",得。=2,

CD

乂小)”閨，

/(x)皿寸用,

即2乂生+〈=工+2依r(無wZ),

82

得<p=$2kMkeZ),

71

故/(x)=sinI2x+—+2k兀I=sinI2x+—\,

44

故選項(xiàng)A正確;

兀

又/嗚—sin2xxH—H—-sin2xH——|=cosix,

84I2J

故選項(xiàng)B正確;

當(dāng)xe,2x+?e(萬,2萬)

所以/(x)在區(qū)間(紅衛(wèi)、不單調(diào);

故選項(xiàng)C不正確;

故選項(xiàng)D正確；

故選：ABD.

8.定義域和值域均為［一。,可的函數(shù)V=/'(X)和y=g(x)的圖象如圖所示，其中

a>c>h>0,下列四個(gè)結(jié)論中正確的有()

A方程/[g(x)]=O有且僅有三個(gè)解B.方程g[/(x)]=O有且僅有三個(gè)

解

C.方程/[/(力]=0有且僅有八個(gè)解D.方程g[g(x)]=O有且僅有一個(gè)

解

【正確答案】ABD

【分析】

通過利用f=/(x)和，=g(x),結(jié)合函數(shù)V=/(X)和y=g(x)的圖象，分析每個(gè)選項(xiàng)中

外層函數(shù)的零點(diǎn)，再分析內(nèi)層函數(shù)的圖象，即可得出結(jié)論.

【詳解】由圖象可知，對于方程y=/(x),當(dāng)一。4丁<一?；騝<y4。，方程y=/(x)只

有一解；

當(dāng)歹=±c時(shí)，方程y=/(x)只有兩解；當(dāng)一c<y<c時(shí)，方程y=/(x)有三解；

對于方程y=g(x),當(dāng)時(shí)，方程y=g(x)只有唯一解.

對于A選項(xiàng)，令。=g(x),則方程/。)=0有三個(gè)根4=-b,q=0,厶=6,

方程g(x)=—b、g(x)=O、g(x)=6均只有一解，

所以，方程/[g(x)]=。有且僅有三個(gè)解，A選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，令f=/(x),方程g(f)=O只有一解乙=b,

方程/(x)=6只有三解，所以，方程g[y(x)]=O有且僅有三個(gè)解，B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，設(shè)f=/(x),方程/(。=。有三個(gè)根乙=-6,q=o,

方程/(x)=—b有三解，方程/(x)=0有三解，方程/(x)=b有三解，

所以，方程/[/(xHuO有且僅有九個(gè)解，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，令f=g(x),方程g(f)=O只有一解厶=b,方程g(x)=b只有一解，

所以，方程g[g(x)]=。有且僅有一個(gè)解，D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

思路點(diǎn)睛：對于復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：

(1)確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=/'(〃)；

(2)確定外層函數(shù)y=/'(〃)的零點(diǎn)〃=%(i=l,2,3,…；

⑶確定直線“=1,2,3,…與內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為％、%、

%、L、an,則函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為卬+%+%+…+勺.

三、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

9.函數(shù)/(工)=愴0-2)+丄的定義域?yàn)開______.

x-3

【正確答案】(2,3)u(3,+8)

【分析】

由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零和分式的分母不為零，列不等式組可得答案

【詳解】解：由題意得

x—2>0

\、八，解得x>2或XH3,

x-3*0

所以函數(shù)的定義域?yàn)?2,3)U(3,+8),

故(2,3)u(3,+?>)

10.把函數(shù)V=cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半(縱坐標(biāo)不變)，然后把圖

象向左平移上TT個(gè)單位，則所得圖形對應(yīng)的函數(shù)解析式為_________.

4

【正確答案】y=-sin2x

【分析】

利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求解.

【詳解】將函數(shù)y=cosx的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一半,

7T

可得y=cos2x的圖象，再向左平移一個(gè)單位,

4

所得圖象的解析式為V=cos+,

即y=cos^2x+yI=-sin2x.

故片一sin2x

sin(萬一a)

11.若a的終邊過點(diǎn)（一1,2）,則tana=「sin('+a)—cos(4+a)

【正確答案】①.-2（2）.-1

【分析】

sin（4-a）

由三角函數(shù)的定義可得tan*利用誘導(dǎo)公式和同角公式化簡sm^+a〕-cos（?a）后,

代入tana可求得結(jié)果.

2

【詳解】因?yàn)?。的終邊過點(diǎn)（-1,2）,由三角函數(shù)的定義可得tana=口=-2,

sin(^--a)sina

—tana=—x(-2)=-1

sinf；+aJ-cos(7+a)cosa+cosa22

故一2；-1

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求解是解題關(guān)鍵.

[log.X（X>°）/1、1

12.設(shè)函數(shù)/（x）=\若/弓=孑，則實(shí)數(shù)"

/(/(2))=.

【正確答案】①.丄.②.也.

42

【分析】

代入分段函數(shù)求解。的值，然后再求.八2)和./(/(2))的值.

【詳解】=[=:，所以)

I，丿aZ，

./-(2)=logl2=log2.22=-i

72

1-1J2

所以/(/(2))=/(-2)=22="

故丄;也

42

x+2x—3,x,°,方程/(X)=左有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則左的范圍是

13.已知函數(shù)/(x)=<

-2+Inx,x>0

【正確答案】{—4}U(—3,+8)

【分析】

由題意可知，直線y=%與函數(shù)/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)上的取值范

圍.

【詳解】由題意可知，直線y=A與函數(shù)/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

作岀直線>=A與函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

由圖象可知I,當(dāng)左=-4或左〉一3時(shí)，直線歹=%與函數(shù)/(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

因此，實(shí)數(shù)一的取值范圍是{-4}U(-3,+oo).

故答案為.{-4}U(-3,+oo)

方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題(本大題共3小題，共36.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟)

X—4

14.已知集合巣={x|——>0},集合8={x|a-2V+1}.

x+3

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求A和但

(2)若xeN是xeS的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)Z={x|x<-3或x〉4},(a/)u8={x|-34x?7}；(2)。<一2或

a>6.

【分析】

(1)當(dāng)a=3時(shí)，得出集合8,解分式不等式即可得集合A,再根據(jù)補(bǔ)集和并集的運(yùn)算，從

而可求岀（QZ）u8；

..a—2W2Q+1

⑵由題意知當(dāng)8=0時(shí)'而2＞2。+1；當(dāng)入。時(shí)，2a+1＜_3或

a—2<2a+1

從而可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

a-2>4

【詳解】解：（1）由題可知，當(dāng)a=3時(shí)，則8={x|lWx＜7},

Y—4

A-<x>0?={x[x<-3或x>4},

則={x|-3WxW4},

所以(a4)uB={x|-3WxW4}u{x|lWxW7}={x|—3WxW7}.

(2)由題可知，xeZ是的必要不充分條件，則

當(dāng)8=0時(shí)，a-2>2a+1>解得：a<-3；

a—2K2。+1。-2<2。+1

當(dāng)8N0時(shí),或＜

2a+1<—3a-2>4

解得：一3?。＜一2或。＞6；

綜上所得：。＜一2或?！?.

結(jié)論點(diǎn)睛：

（1）若，是4的必要不充分條件，則夕對應(yīng)集合是，對應(yīng)集合的真子集；

（2）P是夕的充分不必要條件，則P對應(yīng)集合是夕對應(yīng)集合的真子集；

（3）。是9的充分必要條件，則P對應(yīng)集合與^對應(yīng)集合相等；

（4）P是9的既不充分又不必要條件，9對的集合與P對應(yīng)集合互不包含.

3

15.已知aw1,兀)，tana

4

(1)求tan2a的值;

I、sina+2cosa

(2)求---------；—的值;

5cosa-sina

(3)求sin（2a-質(zhì)）的值.

【正確答案】⑴一")”乎.

【分析】

(1)利用二倍角的正切公式求解即可；

,,sina+2cosa八一八皿一”人/口…tana+2八、小亠…口門一

⑵將---------：—分子分母同除cosa得到-------，代值求解即可;

5cosa-sina5-tana

⑶先求得sin2a,cos2a,再用兩角差的正弦公式求解即可.

3

2tana2、(-4)_24

【詳解】⑴tan2a=

l-tan2a")27

4

sina+2cosa

⑵

5cosa-sina

2sinacosa2tana24

⑶sin2a=

sin2a+cos2a1+tan2a[+(_%25

4

cos2a-sin2a1-tan2a

cos2a=

s.m2-a+cos2~a1+tan2a

.無-7-246

..sin2oa-----=-sin2a--cos2a=

I62250

X

16.函數(shù)/(%)=2斉-『h是夫上的奇函數(shù)，〃，6是常數(shù).

(1)求。，b的值；

(2)若不等式/(仁3*)+/(3'-9'-2)<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)%范圍.

【正確答案】(1)a=2,b=\-(2)(-oo,2V2-l).

【分析】

/(0)=0或紹

（1）根據(jù)函數(shù)〃x）是R上的奇函數(shù)，由

/(-1)=-/(!)

（2）由（1）知/。）=丄』一，先利用單調(diào)性的定義證明“X）是/?上的增函數(shù)，

22+1

再結(jié)合奇偶性，將不等式+9'-2）＜0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為不等

2

式左＜—1+3、+=