滬科版八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期核心考點精講精練 專題19 正方形（專題強化）-【專題重點突破】(原卷版+解析)

專題19正方形（專題強化）一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·廣東揭陽·九年級期中）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分 D．每一條對角線平分一組對角2．(本題4分)(2023·山東·滕州市級索鎮(zhèn)級索中學(xué)九年級期中）如圖，矩形內(nèi)兩個相鄰正方形的面積分別為9和3，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．3．(本題4分)(2023·陜西延安·八年級期末）如圖，在正方形內(nèi)，以為邊作等邊三角形，連接并延長交于點N，則的度數(shù)是（

）A．60° B．45° C．30° D．25°4．(本題4分)(2023·陜西咸陽·九年級期中）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上的一點，且BP＝BC，則∠PCD的度數(shù)是（）A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°5．(本題4分)(2023·福建三明·九年級期中）如圖，是正方形內(nèi)一點，四邊形與也都是正方形，圖中陰影部分的面積是10，則長為（

）A． B． C．10 D．206．(本題4分)(2023·山東·禹城市龍澤實驗學(xué)校八年級期末）如圖，已知正方形，沿直線將折起，使點A落在對角線上的處，連結(jié)，則（

）A．45° B．60° C．67.5° D．75°7．(本題4分)(2023·河北·保定十三中九年級階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是正方形C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是矩形8．(本題4分)(2023·浙江·八年級專題練習(xí)）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于（）A．4 B．5 C．6 D．149．(本題4分)(2023·江西新余·八年級期末）如圖①，在邊長為4cm的正方形ABCD中，點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿AB→BC的路徑運動，到點C停止．過點P作PQ∥BD，PQ與邊AD（或邊CD）交于點Q，PQ的長度y（cm）與點P的運動時間x（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)點P運動2.5秒時，PQ的長是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm10．(本題4分)(2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形的兩邊在坐標軸上，，，點P為OB上一動點，的最小值是（

）A．8 B．10 C． D．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·全國·八年級）正方形的一條對角線長為4，則這個正方形面積是_________．12．(本題5分)(2023·貴州畢節(jié)·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，在對角線BD上有一點P，則PC+PE的最小值是_______．13．(本題5分)(2023·吉林長春·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，則∠AED為___度．14．(本題5分)(2023·湖南·長沙市南雅中學(xué)九年級期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且DH＝CD．（1）連接CG，則∠DCG＝____________．（2）連接GH，GH的最小值為____________．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·福建·廈門市海滄區(qū)北附學(xué)校九年級階段練習(xí)）在正方形ABCD中，E是CD邊上的點，過點E作EF⊥BD于F．(1)尺規(guī)作圖：在圖中求作點E，使得EF=EC；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，連接FC，求∠BCF的度數(shù)．16．(本題8分)(2023·河南濮陽·八年級期末）已知：如圖，正方形中，是邊上一點，，，垂足分別是點、．（1）求證：；（2）連接，若，，求的長．17．(本題8分)(2023·全國·九年級專題練習(xí)）用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個長方體盒子：如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，如圖(1),然后把四邊折合起來，如圖(2)（1）求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)做成的盒子的底面積為900㎝2時,試求該盒子的容積.18．(本題8分)(2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，延長EF交AB于點G，連接DG、BF．(1)求證：DG平分∠ADF；(2)若AB＝12，求△EDG的面積．19．(本題10分)(2023·江西·新余市第一中學(xué)八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點B作射線BM交CD于點F，交AE于點O，且BF⊥AE．(1)求證：BF＝AE；(2)連接OD，猜想OD與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．20．(本題10分)(2023·吉林吉林·八年級期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，線段AB的兩個端點都在格點上，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中，以AB為一邊畫平行四邊形ABCD，使其面積為6；（2）在圖②中，以AB為一邊畫菱形ABEF；（3）在圖③中，以AB為一邊畫正方形ABGH，且與圖②中所畫的圖形不全等．21．(本題12分)(2023·山東泰安·八年級期末）如圖所示，在正方形中，點在邊上，射線交于點，交的延長線于點．求證：（1）：（2）若點是上的中點，連接和，求證：．22．(本題12分)(2023·福建莆田·九年級期末）如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當(dāng)∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．23．(本題14分)(2023·北京一七一中九年級開學(xué)考試）在正方形ABCD中，點P是邊BC上一動點（不包含端點），線段AP的垂直平分線與AB、AP、BD、CD分別交于點M、E、F、N．(1)過點B作BGMN交DC于G，求證：△BGC≌△APB；(2)若AB＝9，BP＝3，求線段MN的長度；(3)請你用等式表示線段ME，EF和FN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．專題19正方形（專題強化）一、單選題(共40分)1．(本題4分)(2023·廣東揭陽·九年級期中）矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分 D．每一條對角線平分一組對角答案:C解析：分析：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，因而平行四邊形的性質(zhì)就是三個圖形都具有的性質(zhì)．【詳解】解：平行四邊形的對角線互相平分，而對角線相等、平分一組對角、互相垂直不一定成立，而矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，故矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是：對角線互相平分．故選：C．【點睛】本題主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四邊形的性質(zhì)，理解四個圖形之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2．(本題4分)(2023·山東·滕州市級索鎮(zhèn)級索中學(xué)九年級期中）如圖，矩形內(nèi)兩個相鄰正方形的面積分別為9和3，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．答案:C解析：分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方求出兩個正方形的面積，然后根據(jù)陰影部分的面積的和為一個矩形的面積列式計算即可得解．【詳解】解：∵兩個相鄰的正方形，面積分別為9和3，∴兩個正方形的邊長分別為3，，∴陰影部分的面積=×（3-）=3-3．故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正方形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記概念并求出兩個正方形的邊長是解題的關(guān)鍵．3．(本題4分)(2023·陜西延安·八年級期末）如圖，在正方形內(nèi)，以為邊作等邊三角形，連接并延長交于點N，則的度數(shù)是（

）A．60° B．45° C．30° D．25°答案:B解析：分析：先求出∠ABM=30°，然后證明AB=BM得到∠BAM=∠AMB，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BMA即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵△BCM是等邊三角形，∴BM=BC，∠MBC=∠BMC=60°，∴AB=BM，∠ABM=30°，∴∠BAM=∠AMB，又∵∠BAM+∠AMB+∠ABM=180°，∴∠BAM=∠BMA=75°，∴∠CMN=180°-∠CMB-∠BMA=45°，故選B．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．4．(本題4分)(2023·陜西咸陽·九年級期中）如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上的一點，且BP＝BC，則∠PCD的度數(shù)是（）A．22.5° B．45° C．60° D．67.5°答案:A解析：分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理即可求得【詳解】四邊形ABCD是正方形,BP＝BC故選A【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．5．(本題4分)(2023·福建三明·九年級期中）如圖，是正方形內(nèi)一點，四邊形與也都是正方形，圖中陰影部分的面積是10，則長為（

）A． B． C．10 D．20答案:B解析：分析：先證四邊形AHOF是矩形，可得AH=OF，由三角形的面積公式可得OG2+OE2=20，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD，四邊形OHBE，四邊形OGDF都是正方形，∴AD∥BC∥HG，AB∥EF∥CD，F(xiàn)O=OG，HO=OE，∴四邊形AHOF是平行四邊形，又∵∠BAD=90°，∴四邊形AHOF是矩形，∴AH=OF，∵陰影部分的面積是10，∴，∴，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，多邊形的面積等知識，求出是解題的關(guān)鍵．6．(本題4分)(2023·山東·禹城市龍澤實驗學(xué)校八年級期末）如圖，已知正方形，沿直線將折起，使點A落在對角線上的處，連結(jié)，則（

）A．45° B．60° C．67.5° D．75°答案:C解析：分析：由于四邊形為正方形，則，，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，所以，則，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算的度數(shù)．【詳解】解：四邊形為正方形，，，正方形，沿直線將折起，使點落在對角線上的處，，，，．故選：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(本題4分)(2023·河北·保定十三中九年級階段練習(xí)）已知四邊形ABCD是平行四邊形，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時，它是菱形 B．當(dāng)時，它是正方形C．當(dāng)時，它是矩形 D．當(dāng)時，它是矩形答案:C解析：分析：根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理進行判斷即可．【詳解】由題意知：四邊形ABCD是平行四邊形；當(dāng)時，，則AC與BD不可能互相垂直，故A項錯誤；當(dāng)時，四邊形ABCD是矩形，故B項錯誤；當(dāng)時，四邊形ABCD是矩形，故C項正確；當(dāng)時，四邊形ABCD是菱形，故D項錯誤；故選：C【點睛】本題主要考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形、正方形的判定定理，熟練地掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．8．(本題4分)(2023·浙江·八年級專題練習(xí)）在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4等于（）A．4 B．5 C．6 D．14答案:A解析：【詳解】如圖，易證△ABC≌△CDE，得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2，同理FG2+LK2=HL2，S1+S2+S3+S4=1+3=4．解：在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴AB=CD，BC=DE，∴AB2+DE2=DE2+CD2=CE2=3，同理可證FG2+LK2=HL2=1，∴S1+S2+S3+S4=CE2+HL2=1+3=4．故答案為A．本題考查了全等三角形的證明，考查了勾股定理的靈活運用，本題中證明AB2+DE2=DE2+CD2=CE2是解題的關(guān)鍵．9．(本題4分)(2023·江西新余·八年級期末）如圖①，在邊長為4cm的正方形ABCD中，點P以每秒2cm的速度從點A出發(fā)，沿AB→BC的路徑運動，到點C停止．過點P作PQ∥BD，PQ與邊AD（或邊CD）交于點Q，PQ的長度y（cm）與點P的運動時間x（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示．當(dāng)點P運動2.5秒時，PQ的長是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm答案:B解析：分析：根據(jù)運動速度乘以時間，可得PQ的長，根據(jù)線段的和差，可得CP的長，根據(jù)勾股定理，可得答案．【詳解】點P運動2.5秒時P點運動了5cm，且5>4，∴點P在線段BC上，且CP＝8﹣5＝3(cm)，∵PQ∥BD，∴CQ=CP=3cm，在Rt△CPQ中，由勾股定理，得PQ＝(cm)．故選：B．【點睛】本題是動點問題，考查了函數(shù)與圖象、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，關(guān)鍵是確定點P的位置．10．(本題4分)(2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，正方形的兩邊在坐標軸上，，，點P為OB上一動點，的最小值是（

）A．8 B．10 C． D．答案:C解析：分析：先找到點A關(guān)于OB的對稱點C，連結(jié)CD交OB于點P′，當(dāng)點P運動到P′時PA+PD最短，在Rt△COD中用勾股定理求出CD即可．【詳解】正方形ABCO，A、C兩點關(guān)于OB對稱，連接CD，交OB于，，，當(dāng)C、P、D三點共線時，取最小值，，，，故選擇：C．【點睛】本題考查動點問題，掌握正方形的性質(zhì)，與軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理，會利用對稱性找對稱點，會利用P、C、D三點一線最短，會用勾股定理求出最短距離是解題關(guān)鍵．二、填空題(共20分)11．(本題5分)(2023·全國·八年級）正方形的一條對角線長為4，則這個正方形面積是_________．答案:8解析：分析：正方形邊長相等設(shè)為，對角線長已知，利用勾股定理求解邊長的平方，即為正方形的面積．【詳解】解：設(shè)邊長為，對角線為故答案為：．【點睛】本題考察了正方形的性質(zhì)以及勾股定理．解題的關(guān)鍵在于求解正方形的邊長．12．(本題5分)(2023·貴州畢節(jié)·九年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC的中點，在對角線BD上有一點P，則PC+PE的最小值是_______．答案:解析：分析：要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化PE，PC的值，從而找出其最小值求解．【詳解】解：如圖，連接AE，PA，∵四邊形ABCD是正方形，BD為對角線，∴點C關(guān)于BD的對稱點為點A，∴PE+PC=PE+AP，根據(jù)兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，∴BE=2，∴AE=AB2故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．根據(jù)已知得出兩點之間線段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵．13．(本題5分)(2023·吉林長春·八年級期末）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，則∠AED為___度．答案:解析：分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得到，，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴，，∵△ABE是等邊三角形，∴，，∴，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，靈活運用從而得到等腰三角形．14．(本題5分)(2023·湖南·長沙市南雅中學(xué)九年級期中）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點E為對角線AC上的動點，以DE為邊作正方形DEFG，點H是CD上一點，且DH＝CD．（1）連接CG，則∠DCG＝____________．（2）連接GH，GH的最小值為____________．答案:

45°

解析：分析：（1）利用正方形的性質(zhì)證明△ADE≌△CDG，即可求解；（2）由∠DCG＝45°，得到點G的運動軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短，即可解答．【詳解】解：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DECG是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCC＝∠DAE＝45°，故答案為：45°；（2）∵∠DCG＝45°，∴點G的運動軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時，GH的值最小，∵DH＝CD，∵∴CH＝CD﹣DH＝CD＝，∴GH最小值＝CH?sin45°＝．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點到直線垂線段最短，證得三角形全等和得到點G的運動軌跡是射線CG，是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共90分)15．(本題8分)(2023·福建·廈門市海滄區(qū)北附學(xué)校九年級階段練習(xí)）在正方形ABCD中，E是CD邊上的點，過點E作EF⊥BD于F．(1)尺規(guī)作圖：在圖中求作點E，使得EF=EC；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)的條件下，連接FC，求∠BCF的度數(shù)．答案:（1）作圖見解析；（2）∠BCF=67.5°.解析：分析：（1）作∠CBD的角平分線即可．（2）證明BF＝BC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖，點E即為所求．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD．∴∠DBC＝∠CDB＝45°，∵EF⊥BD，∴∠BFE＝90°．由（1）得EF＝EC，BE＝BE，∴Rt△BFE≌Rt△BCE（HL）∴BC＝BF．∴∠BCF＝∠BFC，∴∠BCF＝(180°?∠FBC)＝67.5°．【點睛】本題考查作圖?復(fù)雜作圖，正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型16．(本題8分)(2023·河南濮陽·八年級期末）已知：如圖，正方形中，是邊上一點，，，垂足分別是點、．（1）求證：；（2）連接，若，，求的長．答案:（1）詳見解析；（2）解析：分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF，則可判斷△ABE≌△DAF，則BE=AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【詳解】證明：（1）四邊形為正方形，，，，，，，，，在和中，，，；（2），，，，，，，．故答案為（1）詳見解析；（2）．【點睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．17．(本題8分)(2023·全國·九年級專題練習(xí)）用一塊邊長為60㎝的正方形薄鋼片制作一個長方體盒子：如果要做成一個沒有蓋的長方體盒子,可先在薄鋼片的四個角上截去四個相同的小正方形，如圖(1),然后把四邊折合起來，如圖(2)（1）求做成的盒子底面積y(㎝2)與截去小正方形邊長x(㎝)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)做成的盒子的底面積為900㎝2時,試求該盒子的容積.答案:（1）y=4x2-240x+3600；（2）該盒子的容積為13500cm3.解析：分析：（1）先表示出盒子的正方形底面的邊長，然后根據(jù)正方形的面積公式即可得出x，y的函數(shù)關(guān)系式；（2）可將底面積代入（1）的式子中，求出高，然后根據(jù)底面積×高=容積，即可得出容積是多少．【詳解】（1）由題意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600；（2）當(dāng)y=900時(60-2x)2=900∴60-2x=±30∴x1=15x2=45∵x2=45不符合題意∴x=15，∴該盒子的容積為900×15=13500（cm3），答：該盒子的容積為13500cm3.故答案為（1）y=4x2-240x+3600；（2）該盒子的容積為13500cm3.【點睛】本題考查正方形的面積公式的運用，一元二次方程的解法，長方體容器的容積的運用，解答時求出容器的高是解題的關(guān)鍵．18．(本題8分)(2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，將△DCE沿DE折疊，使點C落在點F處，延長EF交AB于點G，連接DG、BF．(1)求證：DG平分∠ADF；(2)若AB＝12，求△EDG的面積．答案:（1）見解析；（2）60解析：分析：（1）由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，證明Rt△ADG≌Rt△FDG即可證明DG平分∠ADF；（2）設(shè)AG=x，則BG=12-x，GE=x+6，在Rt△BEG中，根據(jù)勾股定理建立方程求出x，然后再求出面積即可.【詳解】解：（1）如圖，由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，∴Rt△ADG≌Rt△FDG（HL），∴∠ADG=∠FDG，∴DG平分∠ADF；（2）∵AB=12，點E是BC邊的中點，∴BE=CE=6，∴EF=6，設(shè)AG=x,∴GF=x，BG=12-x，∴GE=x+6，在Rt△BEG中，，即，解得：，∴GE=4+6=10，∴S△EDG=10×12×=60.【點睛】本題是對正方形知識的考查，熟練掌握正方形的性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.19．(本題10分)(2023·江西·新余市第一中學(xué)八年級期末）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，連接AE，過點B作射線BM交CD于點F，交AE于點O，且BF⊥AE．(1)求證：BF＝AE；(2)連接OD，猜想OD與AB的數(shù)量關(guān)系，并證明．答案:(1)見解析(2)OD=AB，理由見解析解析：分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和BF⊥AE，可得∠BAE=∠CBF，從而得到△ABE≌△BCF，即可求證；（2）延長AD交射線BM于點G，根據(jù)△ABE≌△BCF，可得BE=CF，從而得到CF=DF，再由AD∥BC，進而得到∠DGF=∠CBF，可證得△DGF≌△CBF，從而得到DG=BC，進而得到OD為△AOG的中線，再由直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可求解．(1)證明：在正方形ABCD中，∠ABC=∠C=90°，AB=BC，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BF⊥AE，∴∠EOB=90°，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF，∴BF=AE；(2)解：OD=AB，理由如下：如圖，延長AD交射線BM于點G，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴BE=CF，∵E是BC的中點，∴，∴CF=DF，∵AD∥BC，∴∠DGF=∠CBF，在△DGF和△CBF中，∵∠DGF=∠CBF，∠DFG=∠BFC，DF=CF，∴△DGF≌△CBF，∴DG=BC，∴DG=AD，即OD為△AOG的中線，∵BF⊥AE，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．20．(本題10分)(2023·吉林吉林·八年級期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中每個小正方形邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，線段AB的兩個端點都在格點上，以格點為頂點分別按下列要求畫圖．（1）在圖①中，以AB為一邊畫平行四邊形ABCD，使其面積為6；（2）在圖②中，以AB為一邊畫菱形ABEF；（3）在圖③中，以AB為一邊畫正方形ABGH，且與圖②中所畫的圖形不全等．答案:（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．解析：分析：（1）畫出底為3，高為的平行四邊形ABCD即可；（2）根據(jù)菱形的定義，畫出圖形即可；（3）根據(jù)正方形的定義畫出圖形即可．【詳解】解：（1）如圖①中，平行四邊形ABCD即為所求；（2）如圖②中，菱形ABEF即為所求；（3）如圖③中，正方形ABGH即為所求．【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．21．(本題12分)(2023·山東泰安·八年級期末）如圖所示，在正方形中，點在邊上，射線交于點，交的延長線于點．求證：（1）：（2）若點是上的中點，連接和，求證：．答案:（1）見解析（2）見解析解析：分析：（1）首先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，再有DE是公共邊，可以利用SAS判定△ADE和△CDE全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以證出∠1＝∠2，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以證出CH＝HG，進而根據(jù)等邊對等角證出∠G＝∠4，再利用ADBG可以得到∠1＝∠G，再利用等量代換可得到∠2＝∠4，然后由∠4＋∠3＝90°，可得∠2＋∠3＝90°，即可以證出EC⊥CH．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS）；（2）證明：∵△ADE≌△CDE，∴∠1＝∠2，∵在Rt△FCG中，點H是FG上的中點，∴CH＝FG＝GH，∴∠4＝∠G，∵ADBG，∴∠1＝∠G，∴∠4＝∠1，∵∠2＝∠1，∴∠4＝∠2，∵∠4＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴EC⊥CH．【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，此題的難點是證明EC⊥CH，解決問題的突破口是證明∠2＝∠4．22．(本題12分)(2023·福建莆田·九年級期末）如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當(dāng)∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．答案:(1)P（2，2）；(2)①不變，定值為4；②OA2+OB2的最小值為8．解析：分析：（1）根據(jù)在第一象限的角平分線OC上的點的橫坐標與縱坐標相等，構(gòu)建方程求出m即可．（2）①過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．證明四邊形OMPN是正方形，再證明△PMB≌△PNA（ASA），推出BM=AN，可得結(jié)論；②根據(jù)垂線段最短原理以及勾股定理即可求解．(1)解：∵點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m-1=-2m+4，∴m=1，∴P（2，2）；(2)①過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四邊形OMPN是矩形，∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，∴PM=PN，∴四邊形OMPN是正方形，∵P（2，2），∴PM=PN=OM=ON=2，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，∴∠MPB=∠NPA，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM=AN，∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．