新教材高考人教A版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案高考大題專項三數(shù)列含答案

高考大題專項

U(三)數(shù)列

考情分析

從近幾年高考試題分析來看，高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題；

證明一個數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項公式及非等差、等比數(shù)列的前n項和;證明數(shù)

列型不等式.

M典例剖析

題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題

【例1】(2019全國1,文18)記S,為等差數(shù)列｛斯｝的前"項和.已知S9=-a5.

(1)若的=4,求｛。“｝的通項公式；

(2)若0>0,求使得S會%的n的取值范圍.

解題心得L對于等差、等比數(shù)列,求其通項公式及求前〃項的和時,只需利用等差數(shù)列或

等比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.

2.有些數(shù)列可以通過變形、整理，把它轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或

等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.

對點訓(xùn)練1(2020湖南永州高三第三次模擬)已知S,是公差不為零的等差數(shù)列｛如｝的前n

項和,§3=6,03是的與a9的等比中項.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列d=(-1)"普^zGN*),數(shù)列｛6〃｝的前2n項和為若|「2〃+11〈焉，求正整數(shù)n

471,-J.ZUZU

的最小值.

題型二可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合問題

［例2］已知數(shù)列｛“〃｝的前〃項的和為Sn,Sn=^an-l,

(1)求數(shù)列｛飆｝的前〃項和Sn;

(2)判斷數(shù)列F黃1｝是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列，并證明.

解題心得無論是求數(shù)列的通項公式還是求數(shù)列的前〃項和，通過變形整理后，能夠把數(shù)列

轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.

對點訓(xùn)練2已知等差數(shù)列｛詼｝的前n項和為S”,且的=2,$6=15.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

(2)若從數(shù)列｛呢｝中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項,…，第項，按原來的順序組

成一個新的數(shù)列｛%“｝,求數(shù)列｛b｝的前”項和Tn.

題型三數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題

［例3］在0S〃=2%1,②-4b="1(心2),③4="+2(心2)這三個條件中任選一個,補充

在下面的問題中,若問題中的上存在,求出上的值;若%不存在，說明理由.

已知數(shù)列｛?。秊榈缺葦?shù)列，的=|,6=勾。2,數(shù)列｛兒｝的首項8=1,其前n項和為S”,,是否存在

keN*,使得對任意〃eW以加恒成立？

解題心得數(shù)列結(jié)構(gòu)不良題型的解題策略

結(jié)構(gòu)不良主要表現(xiàn)在具體情境缺乏足夠的資源,材料不全或參數(shù)不完整等等.其一般解題

流程可概括為：

通讀整個題目，理解題意|今際適合自己解題突破的條件國把條件代入題目將結(jié)構(gòu)補充

四斗根據(jù)數(shù)列的有關(guān)概念性質(zhì)和公式解題|

對點訓(xùn)練3在①23=5,42+。5=6歷；軟2=2,俏+。4=3匕3；③53=9,。4+。5=8岳,這三個條件中任選

一個，補充在下面問題中，并解答.

已知等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(d>l),前“項和為等比數(shù)列｛仇｝的公比為％且(11=61,d=%.

(1)求數(shù)列｛?〃｝,｛為｝的通項公式;

(2)記c,尸詈,求數(shù)列｛金｝的前n項和Tn.

題型四與數(shù)列有關(guān)的恒成立問題

【例4］在數(shù)列｛詼｝中?=2,02=3,其前n項和S”滿足S,+i+S,.i=2S〃+15'2,weN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式an.

10

⑵設(shè)兒=滔彳，求證:61+岳+63+…+6〃<了

(3)設(shè)。"=4"+(-1)"-1.分2而冊為非零整數(shù),"GN*),是否存在確定的A值，使得對任意"GN*,

有c,+i>a恒成立.若存在，求出入的值;若不存在，說明理由.

解題心得以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題，多與數(shù)列求和相聯(lián)系,一般要通過求和化簡

后將結(jié)果轉(zhuǎn)化或構(gòu)造為函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性分析，若是含參數(shù)的不等式恒成立問題，則可

分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最大(小)值問題.

對點訓(xùn)練4(2020山東日照校際聯(lián)考)己知數(shù)列｛斯｝是首項為公比4=)的等比數(shù)歹！I,

設(shè)/?〃+2=31og工〃〃(〃￡N*),數(shù)歹!!｛6｝滿足c-a'b.

4nnn

(1)求數(shù)列｛金｝的前n項和Sn;

(2)若Cn^^rr^+m-l對一切正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

4

題型五與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題

【例5】設(shè)函數(shù)段)=9+工,各項均為正數(shù)的數(shù)列｛斯｝滿足?i=l,??=/(—心2.

(1)求數(shù)列｛詼｝的通項公式；

1111

(2)求證:---1----------1------+,?,+--------<2.

。2a3a3a4。九。九+1

解題心得數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略

與不等式相關(guān)的數(shù)列問題,通常與由等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本數(shù)列進行復(fù)合、變形后

得到的新數(shù)列的和相關(guān).合理應(yīng)用公式求值變形是關(guān)鍵;若是證明題，則要靈活選擇不等式的

證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.

對點訓(xùn)練5已知數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)歹!J,數(shù)列2“｝為等差數(shù)歹U,且

加=。1=1/2=41+。2,的=263-6.

⑴求數(shù)列｛斯｝，｛勾的通項公式;

(2)設(shè)C,產(chǎn)大^―,數(shù)列｛C.｝的前n項和為證明

°n^n+253

題型六數(shù)列中的存在性問題

【例6】己知S”是等比數(shù)列｛?！ǎ那皀項和,S4&,S3成等差數(shù)列，且02+03+^4--18.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項公式；

(2)是否存在正整數(shù)“，使得S言2017?若存在，求出符合條件的所有n的集合;若不存在，

請說明理由.

解題心得求解數(shù)列中的存在性問題，先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提

條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾,則假設(shè)不成立，即不存在.若推不出矛盾，即得到存

在的結(jié)果.

對點訓(xùn)練6已知數(shù)列｛%｝的前n項和為5”,。1=1,。"4,。“斯+1=/1%1,其中4為常數(shù).

(1)證明:an+2-a"=/l；

(2)是否存在Z使得｛%｝為等差數(shù)歹!I?并說明理由.

高考大題專項(三)數(shù)列

例1解⑴設(shè)｛。%｝的公差為d.由S9=-〃5得〃1+4d=0.由(23=4得41+2d=4.于是

ai=8,d=-2.

因此｛斯｝的通項公式為斯=10-2幾

(2)由⑴得ai=-4d,故斯=(〃-5)d$=專足.由0>0知d<0,故8泊〃等價于

層-ll〃+10W0,解得1W〃W1O.所以n的取值范圍是｛川1W〃W10,〃￡N｝.

對點訓(xùn)練1解(1)公差d不為零的等差數(shù)列｛呢｝，由。3是m與。9的等比中項，可得

〃1?.9=通，即〃i(ai+8(7)=(ai+2dy,解得ai=d.

又因為S3=3m+3d=6,可得ai=d二l,

所以數(shù)列｛斯｝是以1為首項和公差的等差數(shù)列，

所以?！?〃，"QN*.

⑵由⑴可知3(⑴展+(一1)〃(亳+焉)，

匕匕

所Z以nP2l=-1,1.-1---,--1-------1------1-F…---1---------1----,---1-----,--1-------=-11H----1---

月外r1335574n-34n-l4n-l4n+l4n+l'

因為|P2〃+1|=±<焉，所以心竽，所以n的最小值為505.

471十工ZUZU4

□

例2解(1)當(dāng)n>l時$一1\即1-1.

??Cln=Sn~Sn-\

=\嚴(yán)-11-^-an-1-l1.

???斯=3斯一1「??。1=2,0,???數(shù)歹U｛斯｝是等比數(shù)歹山???斯=2x3〃」,???S〃=3〃一l.

證明殷瓦=2,

3幾

&?!?+11

萬尸jrF=3+義.

3-13-1

.,八_22_2(3n-3n+1)

+1

??仇+廣仇=/可一鏟五二(3"-1)(3--1)-

72三1,??.3/1>3〃>1,???3"+1-3">0,3"+1-1>0,3"-1>0,???瓦+廣瓦<0.

對點訓(xùn)練2解(1)設(shè)等差數(shù)列｛劣｝的公差為d,已知?=2,56=15,

可得］ar+2d=2,解得仁

6al+15d=15,

/.an=n-l.

(2)由題意知bn=a2n-1二2"」-1,

i_2n

二?數(shù)列｛瓦｝的前〃項和〃=(〃=/廠〃=幾

1+2+4+3+2"-1)-J.-Z2"-1-

例3解設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為q,因為。1二|以3=。1。2,所以q二毀=|,

3。23

故a〃=q)".

方案一:選擇條件①.

的=2瓦-1,則S*=20"-i-l(〃N2),兩式相減灌理得^^=2(〃三2),又因為61=1,

0n-l

所以｛瓦｝是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，所以bn=2nA.

所以外及=(|)*2止1=3(,口.

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，數(shù)列｛斯瓦｝為遞增數(shù)列,且沒有最大值，所以選擇條件①

時,不存在左?N*,使得對任意“GN*,a〃歷Wa新恒成立.

方案二:選擇條件②.

-4加三2）,由力=1,知數(shù)列｛加｝是首項為1,公比為［的等比數(shù)列，所以bn=

q

所以偽及=（|）"?（1）"J=（-4）x（-1）?

34O

因為外瓦=（-4）x（士）"W4x（py4x）=，當(dāng)且僅當(dāng)n=l時，取得最大值|,所以

66633

選擇條件②時，存在攵=1,使得對任意"UN*,a〃b〃Wakbk恒成立.

方案三:選擇條件③.

為二篇1+2（〃22）,可知數(shù)列｛瓦｝是公差為2的等差數(shù)列，

又因為歷=1,所以bn=2n-l.

則為+1-扇=(2〃+1)(|)"+1-(2“-1)(|)"=早(I)”.

所以當(dāng)n<2時當(dāng)“23時,。即ci<C2<C3>C4>C5>…

所以選擇條件③時，存在女=3,使得對任意nGN*,aEWakbk恒成立.

對點訓(xùn)練3解方案一:選條件①.

(1)Vas=5,02+45=6岳⑷=bi,d=q,d>1,

.+2d—5,

?+5d=6ald,

_25

電一『'(舍去)

{d=談

力瓦二”

lq—2.

nAnA

an=ai+(n-1)d=2n-1.bn=biq=2.

(2Y：Cn=^,：.。尸箸=(2"-l)x(I)"1.

unZ乙

4=1+3x[+5x(J2+…+(2〃一3‘(I)?-2+(2n-l)x(|)

「*+3x（；）2+5x（g+…+（2〃-3）x（J）叫（2〃-l）x（J",

乙乙乙乙乙乙

.爭=1+2/(，2+…+

q)"」]-(2%l)x(?〃=1+2x2口？_l(2n-i)xQ)"

=3-(2"+3)x(J”,

???4=6-(2〃+3)x(?"-i.

方案二:選條件②.

CL]d—2,

(1)Vbi=2,a3+OA=/3b3,ax=bi,d=q,d>1,/.

2@i+5d=3al序,

解得伊=1，或曰1=”(舍去)

[4=21a=-Z,

.pl=1,

?%=2.

ninA

/.an=ai+(n-l)d=2n-l,bn=biq'=2.

(2)：c#

un

?2?1-1/c1、(1)〃]

??。尸赤=(2止1田/-1.

z乙

T?=l+3x1+5x(|)2+…+(2〃-3)x(|)?-2+(2H-1)X(|)叫

/=：+3x(J)2+5*(：)3+…+Q〃一3*(+(2%l)x(；)”,

乙乙乙乙乙乙

--(2H-1)X(1)

，zzzZi_A

"=3-(2〃+3)x(；)",

?,.4=6-(2〃+3)x(，"-i

方案三:選條件③.

a1+d=3,

(1)VS3=9,〃4+〃5=8歷,〃1=bi,d=q,d>1,

2a1+7d=8ald,

_21

;一3百’(舍去)

{8

(q—2.

ninA

/.an=ai+(n-l)d=2n-l,bn=biq'=2.

⑵???c”喈,。尸得=(2%l)x(I)『1.

unL乙

/.4=1+3x[+5x(I)2+…+(2%3)x(I)?2+(2n-l)x(J

JA=2+3X(；)2+5X(J3+…+(2%3)x(I)+(2%l)x(J",

乙乙乙乙乙乙

.,.17；=1+2[1+(1)24—?+(|)nlJ-(2n-l)x(i)?

乙乙乙乙乙

Y2〃-1)X(/=3-(2〃+3)X

=1+2xzHp

畤

4=6-(2〃+3)x(&i.

例4(1)解由已知可得

(5,l+i-S?)-(5n-Sn-i)=l(n>2,neN*),

即加+1-癡=1(幾22,〃￡N*),且=

，數(shù)列｛人｝是以2為首項,1為公差的等差數(shù)列,???酸=〃+1.

(2)證明由(1)知an=n+l,

7111（11）

bn—r---------------\——------/

a^-1n（n+2）2nn+2'

/.Z?1+Z?2+Z?3+,?,+Z?nL]_■!）+（；

22n+ln+2

22n+ln+2

=3_1（+

42n+ln+2'

.1

VnEN*,.----1---->0,

,2n+ln+2

?,?3廠/H+能1〈下目即口歷7+。72+加7+…+及J<]3.

(3)解,.,。行,+1,

.?.G=4"+(-1)"-I42+1,

假設(shè)存在確定的A值，使得對任意“?N*,有G+i>G,恒成立，

即G+i-C〃>0,對任意〃GN*恒成立，即4"+1-4"+(-1)“2"+2-(-1產(chǎn)1?九2"+i>0,對任

意“?N*恒成立，

即(-1尸兒<2叫對任意〃GN*恒成立.

①當(dāng)n為奇數(shù)時，即7<2口對任意恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)n=l時2」有最小值為1,

②當(dāng)〃為偶數(shù)時，即7>-2小1,對任意“?N*恒成立，

當(dāng)且僅當(dāng)”=2時,2」有最大值-2,

.,">-2.綜上

又7為非零整數(shù)，則丸=-1.

綜上所述，存在％=-1,使得對任意〃GN*,有G+i>G恒成立.

對點訓(xùn)練4解(1)由題意知，麗=(。)"(neN*),

4

所以b〃=310g工加2=31ogJ；）"-2=3〃-2（〃￡N*）,

444

故（：）"川=3〃-2（〃￡N*）,

所以盤=（3〃-2>（P%zGN*）.

4

所以S〃=1x；+4x（，2+7x（3）3+…+（3〃-5）x（；）"-1+（3〃-2）x（，”,

11I

/J2+4X；）3+7X（，4+…+（3止5）x（.）"+（3止2）x（，"+1,

4-4-

兩式相減得*SM=；+3[(?2+(13+…+(J]-(3〃-2)x(，=[(3"+2)x(?

〃+l

所以

334

4一誓3)%"中*).

w+1

(2)因為cw+i-Cn=(3n+l)-(P"+i-(3〃-2>(7)"=9(1-〃)?(7)(n￡N*),

444

1

當(dāng)

所以n

4-

當(dāng)“22時,金+1<。%即Cl=C2>C3>C4>,??>Cn,

所以當(dāng)n=i或2時,以取最大值是J.又加_]對一切正整數(shù)n恒成立,

44

11

所以了蘇+機-12了,即川+4機-520,解得或mW-5.

44

故實數(shù)m的取值范圍為(①,-5]U[1,+8).

例5(1)解因為,

an-l

所以O(shè)〃=5+O“-I,〃￡N*，且?guī)?2,

所以數(shù)列｛麗｝是以1為首項3為公差的等差數(shù)列,

141

(2)證明由(1)可知，W),所以吃+-^―+

。九。幾+1(n+l)(n+2)=4島-幾+2CL\Q.2a2a3

1141_11_11_111

+???+4

-------+???+-----------=4-+-+-=2

。3a4^nan+l233445n+1n+2

4

=2-<2.

□+2

對點訓(xùn)練5(1)解設(shè)數(shù)列｛a“｝的公比為q,數(shù)列｛瓦｝的公差為d,由題意得

1+d=1+/d=2(1+2辦6,

n

解得d=q=2,所以an=2'\bn=2n-l.

11(1]1

⑵證明因為滬高，所以4S+(A