2023-2024學(xué)年江蘇省南京高二年級(jí)上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年江蘇省南京高二上冊期末數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題（共8題）

L設(shè)相為實(shí)數(shù),已知直線4：2》+3丁-2=0,4：祗+（2加7R+l=0,若〃/￡則wj

的值為O

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

【分析】利用兩直線的方程及平行關(guān)系，列式計(jì)算作答.

【詳解】直線4：2x+3y-2=0,l2-.mx+（2m-1）^+1=0,且〃/乙，則有

生=2HL解得%=2,

23-2

所以機(jī)的值為2.

故選：B

2.設(shè)S,,為等差數(shù)列｛α,,｝（wwN*）的前"項(xiàng)和，若Sg=27,則4+%,=（）

A.9B.6C.3D.0

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.

［詳解］等差數(shù)列｛%｝（〃eN*）的前〃項(xiàng)和為Sn,則Sq=9（%廣）=27,解得％+%=6,

所以4+4=q+%=6.

故選：B

3.過點(diǎn)（3,2）且與橢圓3χ2+8/=24有相同焦點(diǎn)的雙曲線方程為O

【正確答案】D

r2V294

【分析】設(shè)雙曲線的方程為二-一J=I,再代點(diǎn)解方程二-----=1即得解.

a25-a2a25-a-7

22

【詳解】解：由3/+8/=24得上+乙=I,

83

所以橢圓的焦點(diǎn)為(石,o),(-7?,0).

22

設(shè)雙曲線的方程為二-一UF=1，

a25-a2

因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(3,2),

所以雙曲線的方程為工-乙=1.

32

故選：D

4.如圖，己知函數(shù)兀V)的圖像在點(diǎn)尸(2J(2))處的切線為/,則/(2)+/'⑵=()

【正確答案】D

【分析】數(shù)形結(jié)合，求出切線斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，即可計(jì)算/(2)+∕'(2).

【詳解】由圖像可得，切線過點(diǎn)(0,4)和(4,0),切線斜率為左=士，=一1,/(2)=-1,

切線方程為(+]=1,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),有/(2)=2,

所以/(2)+∕'(2)=2-I=L

故選：D.

5.直線y=2x+m與曲線9=，4—/恰有兩個(gè)交點(diǎn),則實(shí)數(shù)〃?取值范圍是O

A.[-4,4]B.[4,2√5)C.(-2√5,4]D.[-2,4]

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及直線與圓相切的充要條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】曲線y="∑P^表示圓f+y2=4在X軸的上半部分,

當(dāng)直線歹=2x+∕w與圓χ2+「=4相切時(shí)2,解得=+2?∣5，

當(dāng)點(diǎn)(-2,0)在直線y=2X+∕H上時(shí)，m=4,可得4≤m<2j5,

所以實(shí)數(shù)〃?取值范圍為［4,26).

故選：B.

6,中國古代的武成王廟是專門祭祀姜太公以及歷代良臣名將的廟宇，這類廟宇的頂部構(gòu)造

,

頗有講究.如圖是某武成王廟頂部的剖面直觀圖，其中,Aι+lBιlAiAi,

2

44=4+∣4+/i=ι,2,3,4),且數(shù)列(i=1,2,3,4)是第二項(xiàng)為I的等差數(shù)歹U.若以

4為坐標(biāo)原點(diǎn)，以耳瓦，瓦%分別為X,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則直線44的

斜率為()

A.0.4B.0.45C.0.5D.0.55

【正確答案】A

2A1,2

【分析】根據(jù)數(shù)列1,2,3,4)是第二項(xiàng)為W的等差數(shù)列可得送令

A2B2=5t,則根據(jù)題干可得：44=&4+1=5∕(i=1,2,3,4),再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即

可求解.

4B,2

【詳解】由題意可知：二噎=￡，令4與=5/，AiB2=2t,因?yàn)?/p>

4耳=4a(i=1,2,3,4),

所以4我=4+出+1=夕。=1,2,3,4),

4B?

因?yàn)閿?shù)列?iMi=1,2,3,4)是第二項(xiàng)為W的等差數(shù)列,

力65

AB,2,2—5d

設(shè)公差為d,則-T1U=W-d=一^，因?yàn)楱M4=5f,所以4g=2∕-5力，

AxDxJJ

同理4員=2￡+5力,

4B∣+A3B2+4B32/二54±2/±2/+54=里=9=04

則直線44的斜率4

A1B1÷A2B1÷A3B33x5/15/15

故選.A

X—e?+2,X≤O

7.設(shè)。為實(shí)數(shù)，若函數(shù)/(x)=41,有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

—X-4x+α,x〉O

13

()

16

B.—∞,——CD.

3?(PH

【正確答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)/(X)在(-8,0］上

只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/(x)在(0,+e)上無零點(diǎn)，并利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(x)在(0,+8)上

的單調(diào)性，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，解之即可.

【詳解】當(dāng)χ≤0時(shí)，/(x)=x-e*+2,則/'(X)=I-e'20且/'(x)不恒為零，

所以，函數(shù)/(x)在(-8,0］上單調(diào)遞增，所以，/(x)≤∕(0)=2-l=l,

又因?yàn)?(-2)=-e<<0,所以，函數(shù)/(x)在(—8,0］上只有一個(gè)零點(diǎn)；

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)/.(X)在(0,+e)上無零點(diǎn)，

則當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=→3-4x+a,則/'(X)=X2-4,

由廣(x)<0可得0<x<2,由/心)>0可得x>2.

所以，函數(shù)/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以，只需/(2)=a—g>0,解得4>^?

故選：C.

√V2

8.已知點(diǎn)尸為雙曲線C：彳一彳=l(4>0,b>0)右支上一點(diǎn)，耳,弱分別為C的左，右

ab~

焦點(diǎn)，直線P片與C的一條漸近線垂直，垂足為“，若歸川=川班則該雙曲線的離心

率為（）

A.叵B.應(yīng)CTD.?

3333

【正確答案】C

【分析】

取的中點(diǎn)連接煙，由條件可證明孫J?P6,說明IP閭=2c,利用點(diǎn)到直線

的距離求∣0"∣=α,AO”耳中，根據(jù)勾股定理可得/+（等）=。2,整理為

3c2-2ac-5a2=O，再求雙曲線的離心率.

【詳解】取P片的中點(diǎn)連接M4，由條件可知I班I=TPGl=JM￡|,

??,0是耳耳的中點(diǎn)，，。"http://5

又?/OH1PF1,:.MF2±PR

.?.?FlF2?=?PF2?=2c,

根據(jù)雙曲線的定義可知?PF↑=2a+2c,

??.I班I=等,

直線P耳的方程是：y=—（x+c）,即αx—"+αc=O,

b

原點(diǎn)到直線的距離|。"I=&匚=4,

√a2+〃

.?.△OS中，a2+[^^?=C2,

整理為：3C2-2ac-5a2=O，

即3e2-2e-5=0，

解得：e=2,或e=-l（舍）

3

故選：C

本題考查求雙曲線的離心率，意在考查轉(zhuǎn)化和化歸，計(jì)算能力，屬于中檔題型，一般求雙曲

線離心率的方法是1.直接法：直接求出4,c,然后利用公式e=￡求解：2.公式法:

a

3.構(gòu)造法：根據(jù)條件，可構(gòu)造出4,c的齊次方程，通過等式

兩邊同時(shí)除以Y,進(jìn)而得到關(guān)于e的方程.

二、多選題(共4題)

9.將y=∕(χ)和y=∕'(χ)的圖象畫在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不正確的是()

【分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系判斷各選項(xiàng)中y=/(χ)和y=∕'(χ)的圖象是

否合乎要求，同時(shí)也要注意特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值作為切線的斜率，由此可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由函數(shù)y=∕'(x)的圖象可知，/'(0)=0,但函數(shù)y=/(X)在X=O

處的切線斜率不存在，不合乎題意；

對(duì)于B選項(xiàng)，由函數(shù)y=∕'(χ)的圖象可知，函數(shù)y=∕(χ)存在增區(qū)間，但B選項(xiàng)的圖中，

函數(shù)V=∕(x)為減函數(shù)，不合乎題意；

對(duì)于C選項(xiàng)，由函數(shù)y=∕'(χ)的圖象可知，函數(shù)y=/(χ)在R上為增函數(shù)，合乎題意；

對(duì)于D選項(xiàng)，由函數(shù)y=∕'(x)的圖象可知，函數(shù)y=∕(x)有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，但D選項(xiàng)的

圖中，函數(shù)y=∕(x)有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，不合乎題意.

故選：ABD.

本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，在判斷時(shí)要注意導(dǎo)函數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的聯(lián)

系，考查推理能力，屬于中等題.

22

10.已知直線y=x+l與橢圓C：工+匕=1交于A,8兩點(diǎn)，若尸是直線48上一點(diǎn)，O

63

為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有O

B

A.橢圓C的離心率乃

2

B.|陽=小

C.OALOB

D.若小月是橢圓C的左右焦點(diǎn)，則IP周尸凰≤2五

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)橢圓方程即可求離心率，從而判斷A；根據(jù)直線與橢圓相交弦長求解公式，利

用“聯(lián)消判韋”即可求得M用長，從而判斷B；根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系即可

判斷C；利用對(duì)稱性，結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可得IPQITP最大值，從而判斷D.

22

【詳解】解：由橢圓C:二+匕=1知，a=6,b=3,則￠2=/-/=3,所以

63

a=瓜,b=也,c=??β,故離心率e=￡=^==

故A正確；

6f√62

設(shè)Z(XQl)，3(々，々)，則IX2y2，所以3X2+4x-4=O，則

I63

44

F+x2=--,x1x2=--

=√∑xj[-—4x]-g)=?^,故B正確；

故卜

則

XXXXXX

OA.OB-xx+yy=xx2+(1+1)(2+1)=2,2+(I+2)+1=2×∣|+|I+1--3

12[2l??J?JJ

，所以O(shè)Z與08不垂直，故C不正確；

因?yàn)槠?鳥是橢圓C的左右焦點(diǎn)，所以一百,o),g(G,o),若P是直線/3上一點(diǎn)，

如圖：

F，0FIX

∕'I

%-01

-------j=?L1=-1

、X3

設(shè)z則a,解得

設(shè)F2關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)為E，E(XOJ°),J°

??+O_x0+√3ι?

.2-2'

，工行Hp^(-l,l+√3^);

則IP居IT尸耳I=IPEITpEI,又由三角形三邊關(guān)系可得|「目_|尸片區(qū)山目-山周

22

又同I=^(l+√3)+(-l+√3)=2后，即IPElTp耳∣≤2√∑,故D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)S,為數(shù)列{〃■}(〃€N*)的前〃項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的有O

A.若｛〃“｝為等比數(shù)列，公比為g,則S20=(l+q")S,,

B.若｛αzl｝為等比數(shù)列，s,3p,q∈N,且。皿=%劭，貝∣Js+/=P+q

C.若｛為｝為等差數(shù)列，則:j(P為常數(shù))仍為等差數(shù)列

D.若｛α.｝為等差數(shù)列，則必存在不同的三項(xiàng)沏，aq,ar,使得α∕=的α,?

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于A：直接公式代入驗(yàn)證即可；對(duì)于B：當(dāng)公比q=1時(shí)，可排除；對(duì)于C：公式

代入，再定義證明即可；對(duì)于D：假設(shè)成立，推出夕=「可判斷.

n

[詳解】對(duì)于A：當(dāng)q=1時(shí)，S?,,=2叫，(1+q)Sn=(l+l)nɑ,=2nal,/.S2n=(1+，)Sn；

當(dāng)gγi時(shí)，S2"==q(i+0')(iT)=(i+∕)s,,故A正確；

?-q?-q

對(duì)于B：當(dāng)公比q=l時(shí)，顯然不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，設(shè)S“=2/+8〃(48是常數(shù))，令兇=2，則

n

b?=pAn+pB,:也-b,T=pAn+pB-pA(n-1)-pB=pA,則｛?^l｝為等差數(shù)歹!1.

故C正確；

對(duì)于D：假設(shè)必存在不同的三項(xiàng)劭，Clq,Clr,使得即2=劭④

.,.Qp~=[4+(P—l)d]*^=a；+2q(P—Y)d+(p—])~d~,

2

aqar=[a1+(q—l)d][(71+｛r-V)d=+al(q+r-2)d+(?-l)(r-l)d,

.*.Q；+2q(P—1)(7+(P-1)?d~=Q[+%(q+r_2)d+(q—?)(r1—1)(72,

根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，可得???2(p-l)=q+∕"-2,且(夕一1)2二g一1)(r一1),

.(q+;2)2=(q_])(,._]),即⑨―,.)2=0,即g=「，與4/不同矛盾.故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

12.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知產(chǎn)為拋物線V=X的焦點(diǎn)，點(diǎn)Z(XQJ在

UULUUJl

該拋物線上且位于X軸的兩側(cè)，OAOB=2'則()

A.x1x2=6B.直線過點(diǎn)(2,0)

C.A450的面積最小值是20D.AZBO與VNEO面積之和的最小

值是3

【正確答案】BCD

【分析】設(shè)48：x=my+n,聯(lián)立方程后得關(guān)于N的一元二次方程，由韋達(dá)定理寫出

UUIUlUCC

n977

yly2=->χ∣%2=""=〃，再由0/.08=2，即可得〃2—〃=2，再結(jié)合y%<0,

求解出〃=2,從而判斷AB,再根據(jù)三角形面積公式表示出AZ8。與VNFO的面積，由基

本不等式可判斷CD.

X=my+n

【詳解】設(shè)48：x=my+n,,消X可得V_my_“=0.

y=X

2

yly2=-n,得XlX2=1，：方?礪=2，n-n=2>則〃=2或-1

Vy}y2<0,.?n>0,：.n=2,xix2=4,故A錯(cuò)；

AB：X=〃少+2過(2,0),故B對(duì)；

設(shè)定點(diǎn)?(2,0),S“B。=+=；?2?聞+g?2也I

2

,

=IΛ-J2∣=??+-≥2√2,當(dāng)且僅當(dāng)必=±、/5時(shí)，取等號(hào)，故C對(duì)；

y↑

又S"BO+S"F。=|必一切+<亞>J=E凹I，

Z4o

l

不妨設(shè),>0,又為，,。)，SΔABO+SΛAFO^yl-y2+∣?1=?∣>1-y2≥2yJ-^yly2=3?

9

當(dāng)且僅當(dāng)‘μ=一外時(shí)，取等號(hào)，故D對(duì).

8

故選：BCD.

解決直線與拋物線的綜合問題時(shí)，要注意：

(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、拋物線的條件；

(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)

系、弦長、斜率、三角形的面積等問題.

三，填空題(共4題)

13.設(shè)拋物線/=2PX(P>0)的焦點(diǎn)R,若拋物線上一點(diǎn)M(2,%)到點(diǎn)E的距離為6,則

Vo=—.

【正確答案】±4&

【分析】根據(jù)拋物線定義得p=8,由點(diǎn)M(2,%)在拋物線上，代方程即可解決.

【詳解】由題知，拋物線V=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)尸，拋物線上一點(diǎn)M(2,%)到點(diǎn)尸的距

離為6,

所以IMEl=2+5=6,得p=8,

所以拋物線為必=i6x,

所以J√=I6?2=32,解得為=±4√Σ,

故土4√Σ

14.函數(shù)/("=——,則/'仔］=

【正確答案】y

TT

【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)除法法則求出導(dǎo)函數(shù)，然后將2代入求值，即可求出所求.

4

,,,COSX(SinX+cosX)-SinMCOSX-SinX)1

［詳解］/'(X)=77√=^Γ.√^，

(SlnX+cosX)(sinx+cosx)

.?./(I)=2，故答案為g.

本題考查基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和兩項(xiàng)商的導(dǎo)數(shù)公式，公式要記準(zhǔn)記牢，訓(xùn)練運(yùn)算能力，屬基

礎(chǔ)題.

15.設(shè)加為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)/(x)=e=eτ+2sinx,則不等式/(2〃?)>/(陽—2)的解集

為______

【正確答案】(-2,+0))

【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)/O)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=e'-eτ+2sinx的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得：∕,(x)=et+e^v+2cosx,

而8+—a27小b=2,當(dāng)且僅當(dāng)X=O時(shí)取等號(hào)，2cosx>-2,當(dāng)且僅當(dāng)

X=(2左一1)兀,左eZ時(shí)取等號(hào)，

因此/'(x)>0,即函數(shù)/(χ)在R上單調(diào)遞增，則

/(2τn)>/(〃z-2)=2m>m-2<^>m>-2,

所以不等式/(2m)>,/(/?-2)的解集為(-2,+∞).

故(-2,+∞)

16.已知數(shù)列{α,,}(〃eN*)滿足：an>0,其前〃項(xiàng)和S,,=文號(hào)二?,數(shù)列

｛5｝(〃€1^滿足”,=(一1廣'」包，其前〃項(xiàng)和7；,設(shè)a為實(shí)數(shù)，若7；<4對(duì)任意

anan+?

(〃eN)恒成立，則7的取值范圍是.

【正確答案】(工,+8)

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出”并裂項(xiàng)，再按“分奇偶求

出7；即可推理作答.

【詳解】V〃eN*，%>0,且4S,=α,j+24—3,則當(dāng)〃≥2時(shí)，4Si=+2%τ-3,

兩式相減得4%="：_吮+2%_241，即(%—%τ)(4,,+%τ)=2(%+α,τ),

因止匕an-a“T=2,而4α∣=4S∣=a；+2%—3,即a：—2q—3=O,又q>O,解得％=3,

于是數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，即有。“=%+2(〃-1)=2〃+1,

b,=(-l)n+,—————=(-l)n+'?-(—F,

l"(2〃+1)(2〃+3)42/?+12?+3

T_1"11\/11、/11、/11\/?1、/1?

T2n=1[(丁+Z)一《+?)+匕+n^^?+力+…+匕---i-h7----；)_(41÷τ----?)v.

43557799114?-14z+14?+14?+3

111、TT71Λ1、I,11、1/1、

434及+32w12〃2〃4'34〃+344〃+14〃+3434H+Γ

,

顯然數(shù)列名,,｝是單調(diào)遞增的，?∕j∈N1與“<\，數(shù)列｛%,,τ｝是單調(diào)遞減的，?w∈N*，

2

因?yàn)?“WN*,不等式(<4恒成立，則?∕7WN*,不等式心“<丸且心〃一1<4恒成立，

122

因此丸≥—且丸〉—,即有力>—,

121515

2

所以4的取值范圍是(?p+8).

故([,+S)

易錯(cuò)點(diǎn)睛：裂項(xiàng)法求和，注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被

消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.

四、解答題(共6題)

17.已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線x-y+2=0相切、切點(diǎn)為4(2,4).

(I)求圓C的方程；

(2)已知斜率為-1的直線/與圓C相交于不同的兩點(diǎn)〃、N,若直線/被圓截得的弦MN

的長為14,求直線/的方程.

【正確答案】(I)(X-7)2+(y+l)2=50

(2)x+y-6+V∑=0或x+y-6-&=0

【分析】(1)根據(jù)垂直得到直線方程，設(shè)圓心為(α,-α+6),半徑為，?，將兩點(diǎn)帶入圓方程

解得答案.

(2)設(shè)直線方程為V=r+b,計(jì)算圓心到直線的距離為d=l,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式

得到答案.

【小問1詳解】

直線χ-y+2=0斜率為1,故左￡=一1,故直線/C方程為歹=一(X-2)+4=-x+6,

設(shè)圓心為(a,—α+6),半徑為r,貝IJ(X—4)2+(y+α-6)2=/，

(-a)2+(a-6)2=r2[a=7

將原點(diǎn)和/(2,4)帶入原方程得到《'I'',,解得《廣，

(2-α)2+(4+α-6)2=r2[r=5√2

故原方程為.(x-7)2+(y+l)2=50

【小問2詳解】

設(shè)直線方程為y=-χ+b,即x+y-b=0,

弦長為14,故圓心到直線的距離為d=√r2-72=√50-49=1，

?7-l-h?r.

即d=-22=L解得b=6±J∑,

√12+12

故直線方程為x+y-6+√Σ=0和x+y-6-√Σ=0.

18.已知數(shù)列｛??｝(neN*)的各項(xiàng)均不為0,且滿足

(1)求｛《,｝通項(xiàng)公式

(2)令4='+〃(〃GN*),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為Z,.

4”

【正確答案】(1)a=——

"l-4n

If1Y?(?-l)

4m+F-

【分析】(I)根據(jù)遞推公式，當(dāng)〃=1時(shí)，直接求％,當(dāng)“≥2時(shí)，用前〃項(xiàng)積除以前〃-1

項(xiàng)積的方法化簡，可求｛%｝通項(xiàng)公式;

(2)bn=?+n-?,然后利用分組求和的方法即可求解.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，1+，=出，解得αl4

^3

當(dāng)n≥2時(shí)由得

4

當(dāng)〃=1時(shí)a=—滿足,

l3

4”

所以4“

1一4"

【小問2詳解】

1l-4π111

由(可知，--所以"“=一+〃=*+〃-1

1)-77π~?1

an4"4an4

所以7L=["+可+((+1)+(.+2)+…—1

<111I)JCr/八1

=[不+不+不+…+不J+[1+2+3+…+("T)]

ι(1+n-1)(?-1)ifι-±L≤^12

23(4"J2

21

19.設(shè)。為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)〃x)=§x3-](α+l)χ2+9

⑴討論/(x)的單調(diào)性

(2)若過點(diǎn)(0,10)有且只有兩條直線與曲線y=33-jα+ι)χ2+αχ+［相切，求。的值.

【正確答案】(1)答案見解析

(2)a=5

【分析】(1)求得/'(x)=2f-(α+l)χ,對(duì)實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)的符

號(hào)變化，即可得出函數(shù)/(x)的增區(qū)間和減區(qū)間：

(2)設(shè)切點(diǎn)為“；(4+1)/+袱+1),利用導(dǎo)數(shù)寫出切線方程，將點(diǎn)(0,10)的坐標(biāo)

代入切線方程，可得出/(。=0,結(jié)合(2)中的結(jié)論以及三次函數(shù)的基本性質(zhì)可得出關(guān)于

。的等式，解之即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?(》)=：--；(。+1)/+9,則/"(x)=2χ2一(α+i)χ,

=,

由/'(x)=?？傻肵l=0，X2~y^

①當(dāng)手■=()時(shí)，即當(dāng)α=-l時(shí)，對(duì)任意的XeR,/'(x"0且/'(x)不恒為零,

此時(shí)，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(-∞,+8),無減區(qū)間；

②當(dāng)?shù)?lt;O時(shí)，即當(dāng)a<—1時(shí)，由r(x)<O可得等<X<O,由/心)>0可得X<等

或x>0,

此時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(g?,θ),增區(qū)間為［一℃,號(hào)?)、(0,+∞)；

③當(dāng)?shù)?gt;0時(shí)，即當(dāng)a>—IH寸，由，(x)<0可得0<x<等，由/C(x)>O可得x<0或

+1

>

2

此時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(θ,等)，增區(qū)間為(—8,0)、(等,+8

綜上所述，當(dāng)α=-l時(shí)，函數(shù)/(x)的增區(qū)間為(一叫+8),無減區(qū)間；

當(dāng)a<—1時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(等,θ),增區(qū)間為1—8,等)、(0,+∞);

當(dāng)α>-l時(shí)，函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(θ,g?),增區(qū)間為(一力,0)、∣±+oc)

【小問2詳解】

解：設(shè)切點(diǎn)為卜,：『一；(4+1-2+m+]1,

對(duì)函數(shù)y=—](α+l)x~+ax+1求導(dǎo)得y'=—(α+l)x+α,

所以，切線方程為N—-e(a+1)廣+αf+1=[廠—(α+1)/+a](x—/),

21

將點(diǎn)(0,10)的坐標(biāo)代入切線方程整理可得5(a+1*2+9=0,即/(/)=0,

故關(guān)于f的方程/(7)=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，

①當(dāng)“=-1時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則方程/(f)=0至多一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；

②當(dāng)〃<一1時(shí)，則/。)極小值=∕(0)=9>0,故當(dāng)Z〉一■時(shí)，/(r)>0,

此時(shí)方程/(f)=0至多一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；

③當(dāng)a>—1時(shí),則/(')極大值=/(0)=9>。，

則/(/)極大值=/(等)=9一5(。+1)3=°，解得。=5,合乎題意?

綜上所述，α=5.

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體

現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出α=g(x),將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線N=α與

函數(shù)y=g(χ)的圖象的交點(diǎn)問題.

20.如圖，曲線y=?下有一系列正三角形，設(shè)第〃個(gè)正三角形AQ,IE,Q,,(00為坐標(biāo)原點(diǎn))

的邊長為%,

（2）記S“為數(shù)列｛α,,｝的前〃項(xiàng)和，探究a.與S“的關(guān)系，求｛4｝的通項(xiàng)公式.

24

【正確答案】（1）%=—,4=—；

33

2

⑵%=]”?

【分析】（1）根據(jù)給定條件，用用,外表示出點(diǎn)6,鳥的坐標(biāo)，再代入曲線方程，計(jì)算作答.

（2）根據(jù)給定條件，利用4+∣與S,表示出點(diǎn)匕+1的坐標(biāo)，代入曲線方程即可得a,,+∣與S”的

關(guān)系，再利用遞推關(guān)系求出通項(xiàng)作答.

【小問1詳解】

依題意，A以片。為正三角形，且∣QoQJ=q>O,觀察圖象得勺（；%,亭《）,而點(diǎn)片在曲

線y=y[x上，

即且q=JE，解得q=[,△。鳥①為正三角形，且1。?2卜的>0,點(diǎn)

2V23

巴（。1+；。2，管^。2）在曲線歹二?上，

生，整理得3蟾一2/一：二0,解得。2=；

24

所以Cli=—,CI）=一.

1323

【小問2詳解】

△2月+?川是正三角形，點(diǎn)Q（S,,0）,∣QQ+"=α,川>0,于是點(diǎn)2M（S.+｝,.M,3%J

在曲線y=y[χ上，

a

則?n+?=Js,,+；%'即Sn=?匕|-?al,+i,當(dāng)〃≥2時(shí),Si=Han,

3ι3ι

λ

兩式相減得：an=-^+1--aw+1-(-an~~^n)，整理得

/、、2、

(%+ι+%)(%+ι-%)=§(%+i+%)，

22田q2

則?！?§，而。一％=§滿足上式，因此ΛA=

4+1-2V"∈N*,M+1~N~>

222

即數(shù)列｛α,,｝是首項(xiàng)為6=§,公差的等差數(shù)列，a,,=ai+(n-?)d=-n,

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是4=：〃.

223

21.已知橢圓C：彳+%?=l(α>b>0)的離心率為方，且過點(diǎn)(I,])

(1)求C的方程

(2)已知/,8是C的左右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)尸且斜率不為0的直線交C于點(diǎn)"，N,直線

k.+k..

血W與直線尸4,交于點(diǎn)P,記Bl,PF,BN的斜率分別為左,右,左3，問二“，是否是定

尢2

值如果是，請求出該定值，如果不是，請說明理由.

【正確答案】(1)—+^=1；

43

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)給定的離心率及曲線過的點(diǎn)，求出6作答.

(2)根據(jù)已知，設(shè)出直線MN的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線Z"

與直線x=4交點(diǎn)尸的坐標(biāo)，求出左2的表達(dá)式，即可計(jì)算推理作答.

【小問1詳解】

橢圓C：0+｝=l(α>b>θ)的離心率為3，即'Y"=g,有4?=(,又

1O

—7H----Z-=1,解得CT=4/2=3,

a鉆

22

所以橢圓C的方程為—+^-=1.

43

【小問2詳解】

由⑴知,4(—2,0),8(2,0),F(L0),設(shè)Ma,必)，％(々,為)，直線My的方程為X=啊+1,

由L2\2,C消去X并整理得，(3加2+4)/+6吵—9=0，則乂+%=—,—,

3x2+4y2=12`,刀/23〃/+4

-3，、

有叩I%=,%+%)，

直線/Miy=-?(x+2)與直線χ=4交于點(diǎn)P(4,%)，則右=2?,而《=-?