備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)精講精練第三講 特殊三角形及其性質(zhì)(含解直角三角形)（題型突破+專題精練）（含答案與解析）

第第頁→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一等腰三角形1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，則圖中等腰三角形有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)2．在△ABC中，∠BAC，∠ACB的平分線相交于I，DE過點(diǎn)I且DE∥AC，若AD＝3cm，CE＝5cm，則DE＝（）A．8 B．6 C．7 D．53．在△ABC中，已知∠A＝∠B，且該三角形的一個(gè)內(nèi)角等于100°．現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論：①∠A＝100°；②∠C＝100°；③AC＝BC；④AB＝BC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N經(jīng)過點(diǎn)O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周長(zhǎng)等于12，則AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．45．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，MN經(jīng)過點(diǎn)O，且MN∥BC，MN分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長(zhǎng)是．6．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周長(zhǎng)分別為13cm和8cm．（1）求證：△MBE為等腰三角形；（2）線段BC的長(zhǎng)．7．已知：∠ABC，∠ACB的平分線相交于F點(diǎn)，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，（1）請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；（2）請(qǐng)寫出BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）并對(duì)第（2）問中BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系給予證明．8．（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是，△AEF的周長(zhǎng)是（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．題型二等邊三角形9．關(guān)于等邊三角形，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．等邊三角形中，各邊都相等 B．等腰三角形是特殊的等邊三角形 C．兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形 D．有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形10．如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，D、E、F分別是AC、AB、BC邊上的三點(diǎn)，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)11．如圖，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足為Q，延長(zhǎng)MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周長(zhǎng)為12，MQ＝a，則△MGQ周長(zhǎng)是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a12．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．4.513．如圖，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，則DF＝（）A．3 B．4 C．5 D．614．如圖，△ABC是等邊三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求證：△DEF是等邊三角形．15．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．題型三直角三角形16．下列條件中，不能確定一個(gè)直角三角形的條件是（）A．已知兩條直角邊 B．已知兩個(gè)銳角 C．已知一邊和一個(gè)銳角 D．已知一條直角邊和斜邊17．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（除∠C外）相等的角的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．518．如圖，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥CA．∠ADE的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．44° D．46°19．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分∠DAC，給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正確的結(jié)論是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E在AC邊上且2∠CBE＝∠ABE，過點(diǎn)A作AD∥BC，AD與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE＝，則AB＝．21．直線EF、GH之間有一個(gè)直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．（1）如圖1，點(diǎn)A在直線EF上，B、C在直線GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．試說明：EF∥GH；（2）將三角形ABC如圖2放置，直線EF∥GH，點(diǎn)C、B分別在直線EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度數(shù)；（用α的代數(shù)式表示）（3）在（2）的前提下，直線CD平分∠FCA交直線GH于D，如圖3．在α取不同數(shù)值時(shí)，∠BCD的大小是否發(fā)生變化？若不變求其值，若變化請(qǐng)求出變化的范圍．22．小明在學(xué)習(xí)三角形知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下三個(gè)有趣的結(jié)論：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點(diǎn)，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點(diǎn)F．（1）M為邊AC上一點(diǎn)，則BD、MF的位置是．請(qǐng)你進(jìn)行證明．（2）M為邊AC反向延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，則BD、MF的位置關(guān)系是．請(qǐng)你進(jìn)行證明．（3）M為邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，猜想BD、MF的位置關(guān)系是．請(qǐng)你進(jìn)行證明．

→?題型突破←→?專題訓(xùn)練←題型一等腰三角形1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，則圖中等腰三角形有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】D【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAC＝108°，AD、AE三等分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，∴∠DAC＝∠BAE＝72°，∴∠AEB＝∠ADC＝72°，∴BD＝AD＝AE＝CE，AB＝BE＝AC＝CD，∴△ABE、△ADC、△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，∴一共有6個(gè)等腰三角形．故選：D．2．在△ABC中，∠BAC，∠ACB的平分線相交于I，DE過點(diǎn)I且DE∥AC，若AD＝3cm，CE＝5cm，則DE＝（）A．8 B．6 C．7 D．5【答案】A【解析】解：∵DE∥AC，∴∠ACI＝∠CIE，∵CI平分∠ACB，∴∠ACI＝∠ECI，∴∠ECI＝∠CIE，∴EI＝CE＝5，同理可得：DI＝AD＝3，∴DE＝DI+EI＝5+3＝8；故選：A．3．在△ABC中，已知∠A＝∠B，且該三角形的一個(gè)內(nèi)角等于100°．現(xiàn)有下面四個(gè)結(jié)論：①∠A＝100°；②∠C＝100°；③AC＝BC；④AB＝BC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】解：∠A＝∠B＝100°時(shí)，∠A+∠B+∠C＞180°，不符合三角形的內(nèi)角和定理，∴①錯(cuò)誤；∠C＝100°時(shí)，∠A＝∠B＝（180°﹣∠C）＝40°，∴②正確；∵∠A＝∠B，∴AC＝BC，③正確；④錯(cuò)誤；正確的有②③，2個(gè)，故選：B．4．如圖，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N經(jīng)過點(diǎn)O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周長(zhǎng)等于12，則AC的長(zhǎng)為（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】A【解析】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，∴MO＝MB，NO＝NC，∵AB＝5，△AMN的周長(zhǎng)等于12，∴△AMN的周長(zhǎng)＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，∴AC＝7，故選：A．5．如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的平分線，MN經(jīng)過點(diǎn)O，且MN∥BC，MN分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則△AMN的周長(zhǎng)是．【答案】15【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，∴BM＝OM，CN＝ON，∴△AMN的周長(zhǎng)是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．故答案為：15．6．如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若△ABC、△AMN周長(zhǎng)分別為13cm和8cm．（1）求證：△MBE為等腰三角形；（2）線段BC的長(zhǎng)．【解析】解：如圖所示：（1）∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠1＝∠2，又∵M(jìn)N∥BC，∴∠5＝∠2，∴∠1＝∠5，∴△MBE為等腰三角形；（2）∵△MBE為等腰三角形，∴MB＝ME，同理可得：NE＝NC，又∵l△AMN＝AM+AN+MN，MN＝ME+NE，∴l(xiāng)△AMN＝AM+AN+ME+NE＝AM+BM+AN+CN，∴l(xiāng)△AMN＝AB+AC＝8．又∵l△ABC＝AB+AC+BC＝13，∴BC＝13﹣8＝5cm．7．已知：∠ABC，∠ACB的平分線相交于F點(diǎn)，過點(diǎn)F作DE∥BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，（1）請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；（2）請(qǐng)寫出BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系；（3）并對(duì)第（2）問中BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系給予證明．【解析】解：（1）等腰三角形有：△BDF和△CEF；（2）BD+CE＝DE；（3）∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2，∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴BD＝DF，同理可得CE＝EF，∴BD+CE＝DF+EF＝DE，即BD+CE＝DE．8．（1）如圖1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是，△AEF的周長(zhǎng)是（2）如圖2，若將（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改為“若△ABC為不等邊三角形，AB＝8，AC＝10”其余條件不變，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、CF之間的數(shù)量關(guān)系是什么？證明你的結(jié)論，并求出△AEF的周長(zhǎng)（3）已知：如圖3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點(diǎn)D作DE∥BC，分別交AB、AC于E、F兩點(diǎn)，則EF與BE、CF之間又有何數(shù)量關(guān)系呢？直接寫出結(jié)論不證明．【解析】解：（1）BE+CF＝EF．理由如下：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，AE＝AF，∴等腰三角形有△ABC，△AEF，△DEB，△DFC，△BDC共5個(gè)，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF，△AEF的周長(zhǎng)＝AE+EF+AF＝AE+BE+AF+FC＝AB+AC＝20．故答案為：5；BE+CF＝EF；20；（2）BE+CF＝EF，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠BCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∴等腰三角形有△BDE，△CFD，∴BE+CF＝DE+DF＝EF，即BE+CF＝EF．可得△AEF的周長(zhǎng)為18．（3）BE﹣CF＝EF，由（1）知BE＝ED，∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DCG＝∠ACD，∴CF＝DF，又∵ED﹣DF＝EF，∴BE﹣CF＝EF．題型二等邊三角形9．關(guān)于等邊三角形，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．等邊三角形中，各邊都相等 B．等腰三角形是特殊的等邊三角形 C．兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形 D．有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形【答案】B【解析】解：A、等邊三角形中，各邊都相等，此選項(xiàng)正確；B、等邊三角形是特殊的等腰三角形，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩個(gè)角都等于60°的三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)正確；D、有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形，此選項(xiàng)正確；故選：B．10．如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，D、E、F分別是AC、AB、BC邊上的三點(diǎn)，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)【答案】D【解析】解：延長(zhǎng)EP交BC于點(diǎn)G，延長(zhǎng)FP交AC于點(diǎn)H，如圖所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四邊形AEPH、四邊形PDCG均為平行四邊形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC為等邊三角形，∴△FGP和△HPD也是等邊三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故選：D．11．如圖，△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP，MQ⊥PN，垂足為Q，延長(zhǎng)MN至G，取NG＝NQ，若△MNP的周長(zhǎng)為12，MQ＝a，則△MGQ周長(zhǎng)是（）A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a【答案】D【解析】解：∵△MNP中，∠P＝60°，MN＝NP∴△MNP是等邊三角形．又∵M(jìn)Q⊥PN，垂足為Q，∴PM＝PN＝MN＝4，NQ＝NG＝2，MQ＝a，∠QMN＝30°，∠PNM＝60°，∵NG＝NQ，∴∠G＝∠QMN，∴QG＝MQ＝a，∵△MNP的周長(zhǎng)為12，∴MN＝4，NG＝2，∴△MGQ周長(zhǎng)是6+2a．故選：D．12．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．4 C． D．4.5【答案】B【解析】解：如圖，以CD為邊作等邊△CDE，連接AE．∵∠BCD＝∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD＝∠ACE，∴在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE．又∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AE＝5，AD＝3，于是DE＝，∴CD＝DE＝4．故選：B．13．如圖，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，則DF＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】解：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC，交BC于點(diǎn)G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝∠ACB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故選：D．14．如圖，△ABC是等邊三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求證：△DEF是等邊三角形．【解析】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等邊三角形．15．如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是△ABC外的一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當(dāng)α為多少度時(shí)，△AOD是等腰三角形．【解析】解：（1）∵△BOC≌△ADC，∴OC＝DC，∵∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC＝60°，∵△BOC≌△ADC，α＝150°，∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝150°﹣60°＝90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝∠ODC＝60°．∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．①當(dāng)∠AOD＝∠ADO時(shí)，190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°．②當(dāng)∠AOD＝∠OAD時(shí)，190°﹣α＝50°，∴α＝140°．③當(dāng)∠ADO＝∠OAD時(shí)，α﹣60°＝50°，∴α＝110°．綜上所述：當(dāng)α＝110°或125°或140°時(shí)，△AOD是等腰三角形．題型三直角三角形16．下列條件中，不能確定一個(gè)直角三角形的條件是（）A．已知兩條直角邊 B．已知兩個(gè)銳角 C．已知一邊和一個(gè)銳角 D．已知一條直角邊和斜邊【答案】B【解析】解：A、已知兩條直角邊，可以確定一個(gè)直角三角形；B、一直兩個(gè)銳角，若兩個(gè)銳角的和不等于90°，則不能確定一個(gè)直角三角形；C、已知一邊和一個(gè)銳角，可以得到一直角，則能確定一個(gè)直角三角形；D、已知一條直角邊和斜邊，可以確定一個(gè)直角三角形．故選：B．17．如圖，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（除∠C外）相等的角的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，∴∠C＝∠ADE，∴圖中與∠C（除之∠C外）相等的角的個(gè)數(shù)是3，故選：B．18．如圖，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝56°，AD⊥BC，DE∥CA．∠ADE的度數(shù)為（）A．56° B．34° C．44° D．46°【答案】A【解析】解：∵∠BAC＝90°，DE∥AC（已知）∴∠DEA＝180°﹣∠BAC＝90°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵AD⊥BC，∠B＝56°，∴∠BAD＝34°，在△ADE中，∵DE⊥AB，∴∠ADE＝56°．故選：A．19．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)F，AG平分∠DAC，給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正確的結(jié)論是（）A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【答案】C【解析】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對(duì)頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時(shí)∠EBC＝∠C，故③錯(cuò)誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：C．20．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)E在AC邊上且2∠CBE＝∠ABE，過點(diǎn)A作AD∥BC，AD與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，DE＝，則AB＝．【答案】【解析】解：如圖，取DE的中點(diǎn)F，連接AF，∵AD∥BC，∠C＝90°．∴∠D＝∠CBE，∠EAD＝90°，∵2∠CBE＝∠ABE∴∠ABE＝2∠D，∵F為DE的中點(diǎn)，∴AF＝DF＝EF，∴∠D＝∠FAD，∵∠AFB＝∠D+∠FAD，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝DE，∵DE＝，∴AB＝．故答案為：．21．直線EF、GH之間有一個(gè)直角三角形ABC，其中∠BAC＝90°，∠ABC＝α．（1）如圖1，點(diǎn)A在直線EF上，B、C在直線GH上，若∠α＝60°，∠FAC＝30°．試說明：EF∥GH；（2）將三角形ABC如圖2放置，直線EF∥GH，點(diǎn)C、B分別在直線EF、GH上，且BC平分∠ABH．求∠ECA的度數(shù)；（用α的代數(shù)式表示）（3）在（2）的前提下，直線CD平分∠FCA交直線GH于D，如圖3．在α取不同數(shù)值時(shí)，∠BCD的大小是否發(fā)生變化？若不變求其值，若變化請(qǐng)求出變化的范圍．【解析】（1）證明：∵∠EAB＝180°﹣∠BAC﹣∠FA