四川省宜賓市高三下學(xué)期第二次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷-1

宜賓市普通高中2021級(jí)第二次診斷性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘全卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求，1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求集合A，再結(jié)合交集運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題.【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定有：命題“”的否定是：.故選：C3.已知向量，向量滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出，根據(jù)題意利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)，則，由，得，又，得，即，聯(lián)立，解得..故選：C.4.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，某市未來(lái)新能源汽車保有量基本滿足模型，其中（單位：萬(wàn)輛）為第年底新能源汽車的保有量，為年增長(zhǎng)率，為飽和度，為初始值.若該市2023年底的新能源汽車保有量是20萬(wàn)輛，以此為初始值，以后每年的增長(zhǎng)率為，飽和度為1300萬(wàn)輛，那么2033年底該市新能源汽車的保有量約為（）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A.65萬(wàn)輛 B.64萬(wàn)輛 C.63萬(wàn)輛 D.62萬(wàn)輛【答案】B【解析】【分析】把已知數(shù)據(jù)代入模型，求出對(duì)應(yīng)的值即可．【詳解】根據(jù)題中所給模型，代入有關(guān)數(shù)據(jù)，注意以2023年的為初始值，則2033年底該省新能源汽車的保有量為，因，所以，所以，所以2033年底該市新能源汽車的保有量約為64萬(wàn)輛.故選：B.5.已知，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合中間值分析判斷.【詳解】因?yàn)?，且，即；；；所?故選：A.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化為，利用二倍角公式即可即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D7.為確保馬拉松賽事在某市順利舉行，組委會(huì)在沿途一共設(shè)置了7個(gè)飲水點(diǎn)，每?jī)蓚€(gè)飲水點(diǎn)中間再設(shè)置一個(gè)服務(wù)站，一共6個(gè)服務(wù)站.由含甲?乙在內(nèi)的13支志愿者服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)這13個(gè)站點(diǎn)的服務(wù)工作，每一個(gè)站點(diǎn)有且僅有一支服務(wù)隊(duì)負(fù)責(zé)服務(wù)，則甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)古典概型結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)分析求解.【詳解】由題意可知甲隊(duì)和乙隊(duì)共有種不同安排方法，甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰，分以下三種情況，1、從2個(gè)端點(diǎn)飲水點(diǎn)任選一個(gè)安排甲，再?gòu)呐c該飲水點(diǎn)不相鄰的5個(gè)服務(wù)站選一個(gè)安排乙；2、從中間5個(gè)飲水點(diǎn)任選一個(gè)安排甲，再?gòu)牟慌c該飲水點(diǎn)相鄰的4個(gè)服務(wù)站選一個(gè)安排乙；3、從6個(gè)服務(wù)站任選一個(gè)安排甲，再?gòu)牟慌c該服務(wù)站相鄰5個(gè)飲水站選一個(gè)安排乙；共有種不同安排方法，所以甲隊(duì)和乙隊(duì)在不同類型的站點(diǎn)服務(wù)且不相鄰的概率為.故選：D.8.在數(shù)列中，已知，且滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】用去換中的，得，相加即可得數(shù)列的周期，再利用周期性運(yùn)算得解.【詳解】由題意得，用替換式子中的，得，兩式相加可得，即，所以數(shù)列是以6為周期的周期函數(shù).又，，.所以數(shù)列得前2024項(xiàng)和.故選：A.9.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】由題意可得，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的最小值即可得解.【詳解】圓的圓心，半徑，由題意可得，則，則當(dāng)取得最小值時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小，，所以.故選：D.10.設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是漸近線上位于第二象限的點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求出，，進(jìn)而求出，在中，由正弦定理列式求得，再根據(jù)離心率公式運(yùn)算得解.【詳解】如圖，根據(jù)題意可得，，，又，，，，在中，由正弦定理可得，，即，化簡(jiǎn)得，.故選：D.11.在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)分別為棱和中點(diǎn)，則四棱錐和四棱錐的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，根據(jù)題意利用割補(bǔ)法分析求解.【詳解】連接，由題意可知：，，則，所以.故選：C.12.已知不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由題意問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.二?填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則|z|＝__.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可得結(jié)果.【詳解】∵，∴|z|＝1故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14.數(shù)列中，是數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，數(shù)列為等差數(shù)列，則__________.【答案】57【解析】【分析】根據(jù)題意，求出數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而求得，利用分組求和得解.詳解】令，，，，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，所以公差，，即，，.故答案為：57.15.所有棱長(zhǎng)均為6的三棱錐，其外接球和內(nèi)切球球面上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，求出外接球半徑，內(nèi)切球半徑，線段長(zhǎng)度的最大值為得解.【詳解】由正四面體的棱長(zhǎng)為6，則其外接球和內(nèi)切球的球心重合且在正四面體的內(nèi)部，設(shè)球心為，如圖，連接并延長(zhǎng)交底面于，則平面，且為底面的中心，所以，在中，可求得，設(shè)外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，解得，，所以線段長(zhǎng)度的最大值為.故答案為：.16.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)直線上的動(dòng)點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)分別是，則與為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積之和的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意直線PQ斜率存在，設(shè)其方程為，利用導(dǎo)數(shù)可得出拋物線在點(diǎn)P、Q處的切線斜率，聯(lián)立直線AB的方程與拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出的值，再利用面積公式結(jié)合基本不等式得出最小值.【詳解】由，得，，求導(dǎo)得，根據(jù)題意直線PQ斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，可知在處切線斜率分別為，設(shè)，顯然過(guò)點(diǎn)M的切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，聯(lián)立方程，消去y得，則，整理得，可得，即，聯(lián)立方程，消去y整理得，則，可得，則直線PQ的方程為，過(guò)定點(diǎn)，且，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以與為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積之和的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解．（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時(shí)需先換元后再求最值）．三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.在中，角所對(duì)的邊分別是，在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)作為條件，解答下列問(wèn)題.三個(gè)條件為：①；②；③.（1）求角A的大??；（2）若，求的值.【答案】17.所選條件見(jiàn)解析，；18.3.【解析】【分析】（1）若選①：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；若選②：利用正弦定理邊化角即可結(jié)果；若選③：利用三角恒等變換分析求解；（2）利用余弦定理分析求解.【小問(wèn)1詳解】若選①：因?yàn)?，由正弦定理可得，且，則，可得，且，所以；若選②：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，且，則，可得，且，所以；若選③：因?yàn)?，則，可得且，則，可得，且，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，由余弦定理可得：，即，解得.18.為了加強(qiáng)企業(yè)文化建設(shè)，某公司組織了一次趣味答題比賽，題目分為生活和文化兩大類，比賽規(guī)則如下：（i）選手在每個(gè)類別中回答5道題目，每個(gè)類別中答對(duì)3道及以上為合格；（ii）第一個(gè)類別答完5道題并且合格后可以進(jìn)入下一個(gè)類別，否則該選手結(jié)束比賽；（iii）選手進(jìn)入第二個(gè)類別后再回答5道題，無(wú)論答對(duì)與否均結(jié)束比賽.若選手甲在生活類答題比賽中每道題目答對(duì)的概率都是0.5.（1）求選手甲參加生活類答題合格的概率；（2）已知選手甲參加文化類答題合格的概率為0.4.比賽規(guī)定每個(gè)類別答題合格得5分，不合格得0分.設(shè)累計(jì)得分為X，為使累計(jì)得分X的期望最大，選手甲應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)類別的答題比賽（每個(gè)類別合格的概率與次序無(wú)關(guān)），并說(shuō)明理由.【答案】（1）0.5（2）選手甲先進(jìn)行生活類答題【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；（2）分析討論甲先進(jìn)行生活類答題或甲先進(jìn)行文化類答題，分別求相應(yīng)的期望，對(duì)比分析即可結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】若選手甲參加生活類答題合格，則答對(duì)的題目數(shù)量為：3，4，5，所以選手甲參加生活類答題合格的概率.【小問(wèn)2詳解】選手甲先進(jìn)行生活類答題，理由如下：若選手甲先進(jìn)行生活類答題，可知：X的可能取值為0，5，10，則，可得；若選手甲先進(jìn)行文化類答題，可知：X的可能取值為0，5，10，則，可得；因?yàn)椋赃x手甲先進(jìn)行生活類答題.19.如圖，在正三棱柱中，延長(zhǎng)至，使，連接分別是的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線上，.（1）證明：∥平面；（2）試確定點(diǎn)位置，使二面角的余弦值為.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）點(diǎn)為點(diǎn)或點(diǎn)【解析】【分析】（1）連接，結(jié)合線面平行的判定定理分析證明；（2）建系，設(shè)，利用空間向量處理二面角問(wèn)題.【小問(wèn)1詳解】連接，可知為的中點(diǎn)，且分別是的中點(diǎn)，則∥，且平面，平面，所以∥平面.【小問(wèn)2詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)作平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，由題意可得：，整理得，解得或，結(jié)合圖形可知或均符合題意，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)或點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.20.已知橢圓的下、上頂點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，四邊形的面積為，若橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最大值和最小值之和為6.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率不為0直線與交于（異于兩點(diǎn)，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，探究三角形的面積是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）三角形的面積是定值，理由見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)列式求，即可得結(jié)果；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，聯(lián)立直線方程可得點(diǎn)在直線上，即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】三角形的面積是定值，理由如下：由（1）可知：，因?yàn)樵跈E圓的內(nèi)部，可知直線與橢圓必相交，由題意可設(shè)：直線，聯(lián)立方程，消去x得，，則，可知，又因?yàn)橹本€，直線，聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)在直線上，所以三角形的面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．21.已知函數(shù).（1）若是上的單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，恒成立.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意可得在上恒成立，利用參變分離法結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解；（2）構(gòu)建，可知在上恒成立，分、和三種情況，利用正弦函數(shù)的有界性進(jìn)行放縮，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由題意可知：在上恒成立，即在上恒成立，且，即，可得，所以的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】構(gòu)建，即在上恒成立，（?。┤簦?dāng)趨近于時(shí)，則趨近于0，趨近于，，可知趨近于，即存在，使得，不合題意；（ⅱ）若，則，①當(dāng)，即時(shí)，則，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，令，則，存在，使得，不合題意；（ⅲ）若，則構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可得，①當(dāng)，即時(shí)，可知，符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，令，則，因?yàn)?，取，即，則，即不恒成立，不合題意；綜上所述：或，符合題意.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題1.分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．2.函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．（二）選做題：共10分.請(qǐng)考生在第22?23題中選一題作答如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系