2021-2022學(xué)年貴州省黔東南州凱里市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

2021-2022學(xué)年貴州省黔東南州凱里市第一中學(xué)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知且，若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用集合的含義解答.【詳解】解：由題得.故選：B2．若（i是虛數(shù)單位），則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出即得解.【詳解】解：，∴．故選：C3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，得，求出的值，從而可求出的坐標(biāo)【詳解】解：由得，解得，∴．故選：D4．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到的圖像，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【分析】由題得,即得解.【詳解】解：由題得，所以．故選：B5．某品牌計(jì)算器在計(jì)算對(duì)數(shù)時(shí)需按“l(fā)og（a，b）”．某生在計(jì)算時(shí)（其中且）順序弄錯(cuò)，誤按“l(fā)og（b，a）”，所得結(jié)果為正確值的4倍，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得，然后利用換底公式化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】解：由題，∴，即，由于且，∴，即．故選：C6．若，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，再利用平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系求解.【詳解】解：由得，∴或，因?yàn)?，，所?由及得，∴，所以．故選：A7．一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45°，沿點(diǎn)A向北偏東30°前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30°，則水柱的高度是()A．50m B．100mC．120m D．150m【答案】A【分析】如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，由∠DAC=45°，可得AC=h．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt△BCD中，∠CBD=30°，可得BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．代入即可得出．【詳解】如圖所示，設(shè)水柱CD的高度為h．在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h．∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B，A，C在同一水平面上，∴△BCD是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=．在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC?ABcos60°．∴（）2=h2+1002﹣，化為h2+50h﹣5000=0，解得h=50．故選A．【點(diǎn)睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟(1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.8．在△ABC中，，AC邊的中線長(zhǎng)，則△ABC周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B．6 C． D．9【答案】B【分析】由題意得，平方化簡(jiǎn)結(jié)合余弦定理可得，設(shè)，，由可求出的最大值，從而可求出△ABC周長(zhǎng)的最大值【詳解】解：由題，∵，∴，即，即，設(shè)，，由得，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即，是取等），∴周長(zhǎng)的最大值為6．故選：B二、多選題9．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示，則滿足不等式的x可能是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】BC【分析】由題得，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象即得解.【詳解】解：由題得，在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，結(jié)合圖象可知B，C正確．故選：BC10．關(guān)于平面向量，，，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則存在，使得B．若，為非零向量且，則，的夾角為鈍角C．若，則D．若，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)即可判斷A；舉例說(shuō)明即可判斷B；根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律即可判斷C；當(dāng)時(shí)結(jié)論不成立，進(jìn)而判斷D.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，向量與共線，由向量共線定理可知存在使得，故A正確；B：當(dāng)，夾角為時(shí)，，故B錯(cuò)誤；C：，則，得，無(wú)法判斷與的關(guān)系，故C錯(cuò)誤；D：當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，故D錯(cuò)誤.故選：BCD11．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則B．若復(fù)數(shù)z滿足，則C．若復(fù)數(shù)（a，），則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是D．若復(fù)數(shù)z滿足，則【答案】ACD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的乘方即可判斷A；舉例即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷D.【詳解】A：∵，∴，故A正確；B：若，則，但，故B錯(cuò)誤；C：若z為純虛數(shù)，必然有；若，則z為實(shí)數(shù)，∴“”是“z為純虛數(shù)”的必要不充分條件，故C正確；D：根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義可知，設(shè)，則，所以，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為圓心為、半徑為1的圓，所以，故D正確．故選：ACD12．在△ABC中，，，，則（

）A．△ABC外接圓面積為定值，且定值為 B．△ABC的面積有最大值，最大值為C．若，則 D．當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，△ABC有一解【答案】ABD【分析】對(duì)于A：利用正弦定理求半徑；對(duì)于B：利用余弦定理建立邊之間的關(guān)系，再利用基本不等式求得；對(duì)于C：利用正弦定理求得，再利用大邊對(duì)大角進(jìn)行判斷；對(duì)于D：利用余弦定理得，結(jié)合二次函數(shù)零點(diǎn)分布理解計(jì)算．【詳解】由容易得到，由得，，A正確；由得，解得，∴，B正確．若，由得，∴或（均符合題意），C錯(cuò)誤．由得，，此方程有唯一正解等價(jià)于或，又由于，∴或，D正確．故選：ABD．三、填空題13．表面積為24的正方體的頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的體積為_(kāi)___________．【答案】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，求出的值，設(shè)球的半徑為R，求出R即得解.【詳解】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則，得．設(shè)球的半徑為R，則，即．所以球的體積．故答案為：14．歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，虛數(shù)單位i，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”若復(fù)數(shù)滿足，則=________．【答案】【分析】利用歐拉公式可得：．代入，化簡(jiǎn)可得，再利用模的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【詳解】解：．，，，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了歐拉公式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、模的計(jì)算公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可得，從而可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】因?yàn)樗允桥己瘮?shù)，作出的圖象如下：由得，，∴．故答案為：16．已知△ABC中，，，，則____________．【答案】【分析】根據(jù)三角形重心的定義可得，結(jié)合題意和平面向量的線性運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】由知，點(diǎn)O是△ABC的重心，∵，∴，，∴．故答案為：.四、解答題17．如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，，．(1)用，表示，；(2)若向量與的夾角為，求．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）直接利用平面向量的三角形法則求解；（2）求出，即得解.【詳解】(1)解：，．(2)解：．，同理，∴．18．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，．(1)計(jì)算，并求的模；(2)求向量在向量上的投影向量，其中O為復(fù)平面的原點(diǎn)．【答案】(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算即可求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出；(2)根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得、，進(jìn)而求出、，結(jié)合投影向量的計(jì)算公式即可求解.【詳解】(1)由復(fù)數(shù)的幾何意義，得，，∴．∴．(2)，，∴，，設(shè)為，∵，∴向量在向量上的投影向量是．19．已知向量，．(1)若，且，求；(2)若，且存在使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示得出，結(jié)合倍角公式求解即可；（2）由數(shù)量積公式、三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】(1)由得，由知，∴，即，∴．(2)由題，其中．，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，∴，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．(1)若，求A；(2)在第（1）問(wèn)的前提下，若，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)條件選擇見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）由正弦定理的邊化角公式，結(jié)合三角恒等變換得出；（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式得出，再由，得出△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．【詳解】(1)選①．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．選②．由及正弦定理得，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．選③．由及正弦定理得，∴，∴，由于△ABC中，，，∴，即，∴．(2)由將，代入余弦定理得，∴，即，由于得，∴，解得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）又，∴，即，∴求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍是．21．如圖，在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)．(1)求三棱錐的體積；(2)點(diǎn)E，F(xiàn)，確定的平面為，試作出平面截長(zhǎng)方體的截面圖，并計(jì)算該截面的面積（不必寫(xiě)出畫(huà)法和理由）．【答案】(1)(2)作圖見(jiàn)解析，【分析】（1）由直接求解，（2）延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)，交與點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，則五邊形為求的截面，【詳解】(1)，∴三棱錐是體積為．(2)延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)，延長(zhǎng)DA交EF于點(diǎn)，交與點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，平面截正方體的截面圖為五邊形（如圖所示）．由相似三角形的知識(shí)可知，，，同理，，易求得，，∴，∴該截面的面積為．22．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，(1)求a；(2)若，D是線段BC上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），且AD⊥AC，求△ABD的面