遼寧省錦州市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試卷與參考答案

遼寧省錦州市2023年高三《數(shù)學(xué)》上學(xué)期期末試題與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.集合，，為實數(shù)集，則（）A. B. C. D.【答案】D【分析】化簡集合A，B，后由交集補集定義可得答案.【詳解】由題可得或，則，故.故選：D2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法運算及復(fù)數(shù)模的定義計算作答.【詳解】由得：，所以.故選：B3.已知，為實數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【分析】通過分析條件能否推出結(jié)論，結(jié)論能否推出條件，即可確定正確選項.【詳解】因為，則，所以，即由可推出，取，可得，而，即由不可推出，所以“”是“”的充分不必要條件，故A對，B,C,D錯,故選：A.4.某科技研發(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A.2027年 B.2028年 C.2029年 D.2030年【答案】D【分析】設(shè)年后公司全年投入的研發(fā)資金為，根據(jù)題意列出與的關(guān)系，即可列不等式解出的最小值，即可得出答案.【詳解】設(shè)年后公司全年投入的研發(fā)資金為，則根據(jù)題意有，研發(fā)資金開始超過600萬元，即，解得，則的最小值為8，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是年，故選：D.5.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.24【答案】A【分析】利用二項式定理計算展開式中的系數(shù)即可.【詳解】原式，因展開式中沒有項，展開式中項為，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：A6.雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（）A.7 B.9 C.1或9 D.3或7【答案】B【分析】由漸近線方程可得，則，后由雙曲線定義可得答案.【詳解】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B7.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，，通過其單調(diào)性后可得，整理后可得；構(gòu)造函數(shù)，由及單調(diào)性可得，則可得.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，得在上單調(diào)遞減，又，則，即.構(gòu)造函數(shù)，則令，則在上單調(diào)遞增.又注意到，，則，即.故，即.綜上所述，.故選：A8.平行四邊形中，，，，點在邊上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把的取值范圍轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題，即可求得本題答案.【詳解】作，垂足為，以點為原點，所在直線為軸，軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.因為，而,所以，在直角中，因為，，所以，，則，設(shè)，所以，所以，因為二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，且，所以當(dāng)時，取最小值，當(dāng)時，取最大值，所以的取值范圍是.故選：C二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)（，），將的圖像上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像．若為偶函數(shù)，且最小正周期為，則下列說法正確的是（）A.的圖像關(guān)于對稱B.在上單調(diào)遞增C.的解集為（）D.方程在上有3個解【答案】BCD【分析】先根據(jù)圖像平移伸縮變換可得，再根據(jù)奇偶性和最小正周期可求得和，通過賦值法可判斷A，根據(jù)整體代入法可判斷B，通過余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)可判斷C，通過正切函數(shù)圖像的性質(zhì)可判斷D.【詳解】將函數(shù)的圖像上所有點向右平移個單位長度，得到，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到，若最小正周期為，則有，得，又因為為偶函數(shù)，所以，即又，所以，，故，，對于A，，所以的圖像不關(guān)于對稱，A錯誤；對于B，令，得，，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上單調(diào)遞增，B正確；對于C，由，得，所以，所以（），解得（），C正確；對于D，等價于，即，所以，所以（），即（），又，故當(dāng)時，可得，，.即方程在上有3個解，D正確.故選：BCD10.甲箱中有4個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有3個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以，和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.事件與事件（）相互獨立B.C.D.【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由條件概率公式以及乘法公式，全概率公式分別代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】，，先發(fā)生，則乙袋中有4個紅球3白球3黑球，先發(fā)生，則乙袋中有3個紅球4白球3黑球，，先發(fā)生，則乙袋中有3個紅球3白球4黑球，，，B對，，，，C錯，，A錯，，D對．故選:BD.11.已知正方體的棱長為1，是線段上的動點，則下列說法正確的是,（）A.存在點使 B.點到平面的距離為C.的最小值是 D.三棱錐的體積為定值【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，當(dāng)時，，此時與重合，所以A選項正確.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點到平面的距離為，B選項錯誤.，，，所以當(dāng)時，取得最小值為，C選項錯誤.，定值，D選項正確.故選：AD12.已知函數(shù)對任意實數(shù)，都滿足，且，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C. D.【答案】AC【解析】【分析】令可得，從而可判斷B；令可判斷A；令，可得，令可判斷C；由AC的解析可得函數(shù)的周期為2，從而可判斷D.【詳解】在中，令，可得，即，解得，故B錯誤；令可得,即，故函數(shù)是偶函數(shù)，即是偶函數(shù),故A正確；令，則，故，令，可得,故，故C正確；因為是偶函數(shù)，所以，故,即，所以,所以，故函數(shù)周期為2，因為，，所以，.所以，故D錯誤.故選：AC.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖，扇形中，，，將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為______．【答案】【分析】根據(jù)題意得到幾何體為以為圓心，為半徑的半個球體，再求其表面積即可.【詳解】將扇形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體為以為圓心，為半徑的半個球體.幾何體的表面積為.故答案為：14.已知曲線：，點是曲線上的一點，則點到坐標(biāo)原點的距離的最小值是______．【答案】3【分析】設(shè)點，得出，從而得出點到坐標(biāo)原點的距離，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值即可.【詳解】設(shè)點，則有，所以，點到坐標(biāo)原點的距離，設(shè)，，則，在上，，在上，，所以在時有最小值，所以的最小值為.故答案為：315.已知圓：，圓的弦是過點最短的弦，為坐標(biāo)原點，則的面積為______．【答案】7【分析】當(dāng)時，弦最短，求得直線的斜率，從而求得直線的方程，進一步求得點到直線的距離，利用垂徑定理求得，即可求解.【詳解】因為圓：，所以圓心，半徑為，又，所以點在圓內(nèi)，如圖，當(dāng)時，弦最短，此時而,，所以直線的方程為，即，則點到直線的距離為.因為，所以.故的面積為.故答案為：7.16.過點（）有條直線與函數(shù)的圖像相切，則的最大值是______，此時的取值范圍是______．【答案】①.3②.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解出切線方程，利用代入法、常變量分離法、數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.【詳解】設(shè)切點為，對函數(shù)求導(dǎo)得，切線斜率為，所以，曲線在點處的切線方程為，將點的坐標(biāo)代入切線方程可得，所以，，令，其中，所以，，列表如下：減極小值增極大值減由可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有二個交點，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點，當(dāng)，或時，直線與函數(shù)的圖象沒有交點，故答案為：3；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用過曲線外一點作曲線切線的條數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于寫出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，將切線與切點建立一一對應(yīng)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想求解.四、解答題本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，已知．（1）求；（2）若，，求的周長．【答案】（1）（2）【分析】（1）由兩角和的余弦公式和正弦公式以及正弦定理即可求解；（2）由余弦定理和數(shù)量積的定義即可求解.【小問1詳解】因為，所以，所以，可得，由正弦定理得：，所以，所以，因為，所以，由，可得.【小問2詳解】由余弦定理得：，即，所以，因為，所以，所以，解得，所以的周長為．18.2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，這是一件讓全國人民普遍關(guān)注的大事，因此每天有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將每天關(guān)注這件大事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，并從參與調(diào)查的人群中隨機抽取了100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女2050男15合計100（1）將上表中的數(shù)據(jù)填寫完整，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見詳解；能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)；（2）分布列見詳解；.【分析】（1）根據(jù)題意，即可得出完整的列聯(lián)表，再根據(jù)給出的公式求出，并與比較，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣得出在女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，再從5人中隨機選出3人，再根據(jù)超幾何分布的概率求法求出概率，進而得出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】解：由題意，得列聯(lián)表如下：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100，所以能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān).【小問2詳解】解：由題得，抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為，則的可能值為0，1，2，，，，所以的分布列如下表：012所以數(shù)學(xué)期望為：.19.已知數(shù)列的前項和為，滿足，，．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記，設(shè)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）當(dāng)時可求得；當(dāng)時，由與關(guān)系可得，驗證知，由此可證得結(jié)論；（2）由等比數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到；當(dāng)為奇數(shù)時，由知；當(dāng)為偶數(shù)時，令，可知遞增，得到，知；采用分組求和的方式對奇數(shù)項和偶數(shù)項分別求和，結(jié)合等比和等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，解得：；當(dāng)時，由得：，兩式作差得：，即；經(jīng)檢驗：，滿足；數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）得：，；則當(dāng)為奇數(shù)時，，，；當(dāng)為偶數(shù)時，；令，則，，即，；.20.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是梯形，．（1）證明：平面；（2）若，為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）因為平面平面，故要證平面，需證，需證平面，需證，而不難證明（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：取中點，連接．∴，∴四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形．∴，∴．又∵，∴平面．又∵平面，∴．又∵平面平面，且平面平面，∴平面．【小問2詳解】∵平面，∴，∴．又∵，∴，又∵，∴底面是直角梯形．以所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則．，．平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，由得?。?，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．21.已知離心率為的橢圓C1：(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點，△PF1F2的周長為6，且F1為拋物線C2：的焦點.（1）求橢圓C1與拋物線C2方程；（2）過橢圓C1的左頂點Q的直線l交拋物線C2于A，B兩點，點O為原點，射線OA，OB分別交橢圓于C，D兩點，△OCD的面積為S1，△OAB的面積為S2.則是否存在直線l使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1），；（2）存在，或.【分析】（1）由題可得，即求；（2）設(shè)直線l方程為，聯(lián)立拋物線方程利用韋達(dá)定理可得，利用直線與橢圓的位置關(guān)系可求，再利用三角形面積公式及條件列出方程，即得.【小問1詳解】由題意得，解得∴橢圓的方程為，，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由題意得直線l的斜率不為0，，設(shè)直線l的方程為，設(shè)，由，得，∴，∵，∴，∵，∴直線OA的斜率為