《為什么要證明》示范公開課教學設(shè)計【北師大版八年級數(shù)學上冊】

第七章平行線的證明7.1為什么要證明教學設(shè)計一、教學目標經(jīng)歷觀察、歸納、驗證等活動過程，在活動中體會到觀察、實驗、歸納所得到的結(jié)論未必可靠，初步感受證明的必要性，發(fā)展學生的推理意識．二、教學重點及難點重點：了解推理的意義，知道要判斷一個數(shù)學結(jié)論是否正確，必須進行推理．難點：會用實驗驗證、舉出反例、推理等方法簡單地驗證一個數(shù)學結(jié)論是否正確．三、教學用具多媒體課件，三角板。四、相關(guān)資源《視覺錯覺》多圖，《鐵絲圍地球一圈》圖片，《三角形中位線》圖片．五、教學過程【情境導入】以前，我們通過觀察、實驗、歸納得到了很多正確的結(jié)論．觀察、實驗、歸納得到的結(jié)論一定正確嗎？我們再感受幾個！圖1圖2（1）圖1中兩條垂直線段a,b的長度相等嗎？圖2中的四邊形是正方形嗎？請先觀察，再設(shè)法檢驗?zāi)阌^察到的結(jié)論．答：觀察感覺線段a,b的長度不相等，通過實際測量，線段a,b的長度相等；觀察感覺正方形往里凹，但用直尺比較，四邊形的邊是直的并且長度相等，所以是正方形.如圖，把地球看成球形，假如用一根比地球的赤道長1米的鐵絲將地球赤道圍起來，那么鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大（把地球看成球形）？能放進一個紅棗嗎？能放進一個拳頭嗎？先憑感覺想象一下，再具體算一算，看看與你的感覺是否一致，并與同伴進行交流．分析：設(shè)赤道周長為c，鐵絲與地球赤道之間的間隙為：它們的間隙不僅能放進一個紅棗，而且也能放進一個拳頭．設(shè)計意圖：通過呈現(xiàn)的幾個素材，讓學生認識到基于觀察和直覺的結(jié)論未必可靠，就是可靠的結(jié)論也需要進行嚴格的推理論證?！竞献魈骄俊刻骄浚簲?shù)學的結(jié)論必須經(jīng)過嚴格的論證此圖片是視頻縮略圖，本視頻資源通過具體實例引入負數(shù)，加深對負數(shù)的理解，適用于正數(shù)和負數(shù)的教學.若需使用，請插入【情景演示】認識負數(shù).此圖片是視頻縮略圖，本視頻資源在“為什么要證明引入—眼見未必真實”學習中使用，加深對樣本的代表性的理解。若需使用，請插入【情景演示】為什么要證明.做一做：（1）代數(shù)式n2－n＋11的值是質(zhì)數(shù)嗎？取n＝0，1，2，3，4，5試一試．你能否由此得到結(jié)論：對于所有的自然數(shù)n，式子n2－n＋11的值都是質(zhì)數(shù)嗎？解析：把0，1，2，3，4，5等自然數(shù)代入n2－n＋11中進行驗證．解：列表歸納為n01234567891011…n2-n+1111111317233141536783101121是否為質(zhì)數(shù)是是是是是是是是是是是不是當n＝0，1，2，3，4，5時，n2－n＋11的值分別是5，5，7，11，17，全是質(zhì)數(shù)．而當n＝11,時，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112.所以對于所有自然數(shù)，式子n2－n＋11的值不都是質(zhì)數(shù)．如圖，在△ABC中，點D，E分別是AB，AC的中點，連接DE．DE與BC有怎樣位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系？請先猜一猜，在設(shè)法檢驗?zāi)愕牟孪耄隳芸隙愕慕Y(jié)論對所有的△ABC都成立嗎？與同伴交流．分析：通過測量可能得出猜想DE∥BC，DE=BC，并通過改變?nèi)切蔚男螤睿诓煌娜切沃性俅蔚玫津炞C，因而較為相信這個結(jié)論的正確性；但畢竟是測量結(jié)果，難免有誤差，因此難以令人信服，還需要尋求更為可信的證明．方法總結(jié)：判斷一個數(shù)學結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗、觀察是不夠的，必須給出嚴格的證明或?qū)嶒烌炞C．設(shè)計意圖：對現(xiàn)在結(jié)論進行驗證，讓學生感受到知識有時具有一定的迷惑性（欺騙性），從而對不完全歸納的合理性產(chǎn)生懷疑，為下一步的學習提供必要的精神準備．“做一做”呈現(xiàn)的兩個素材，讓學生感受到歸納和測量得到的結(jié)論也未必可靠．議一議：實驗、觀察、歸納是人們認識事物的重要手段．通過實驗、觀察、歸納得到的結(jié)論都正確嗎？在上面的問題中，你是怎樣判斷一個結(jié)論是否正確的?說說你的經(jīng)驗與困惑．師生活動：讓學生列舉更多的例子．同時，在討論中自然形成共識：尋求一種辦法，更為明確的說明一個結(jié)論的正確與否．設(shè)計意圖：通過相互交流，讓學生進一步對“通過實驗、觀察、歸納得到的結(jié)論不一定都正確”有一個更深刻、更全面的認識，進而認識到證明的必要性．【典例精析】例1先觀察再驗證．(1)圖①中實線是直的還是彎曲的？(2)圖②中兩條線段a與b哪一條更長？(3)圖③中的直線AB與直線CD平行嗎？解析：①②用直尺量；③用三角板平推．解：觀察可能得出的結(jié)論是：(1)實線是彎曲的；(2)a更長一些；(3)AB與DC不平行．而我們用科學的方法驗證后發(fā)現(xiàn)：(1)實線是直的；(2)a與b一樣長；(3)AB平行于CD.設(shè)計意圖：有時視覺受周圍環(huán)境的影響，往往誤導我們，讓我們得出錯誤的結(jié)論，所以僅靠經(jīng)驗、觀察是不夠的，只有通過科學的實驗進行嚴格的推理，才能得出最準確的結(jié)論．例2當n為正整數(shù)時，代數(shù)式(n2－5n＋5)2的值都等于1嗎？解析：對于代數(shù)式(n2－5n＋5)2，n的取值為正整數(shù)，要判斷(n2－5n＋5)2的值是否為1，可以先取值分別求出代數(shù)式的值．解：當n＝1時，(n2－5n＋5)2＝12＝1；當n＝2時，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；當n＝3時，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；當n＝4時，(n2－5n＋5)2＝12＝1；當n＝5時，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.所以當n為正整數(shù)時，(n2－5n＋5)2不一定等于1.方法總結(jié)：驗證特例是判斷一個結(jié)論錯誤的最好方法．【課堂練習】1.如圖中三條線段a、b、c,哪一條線段與線段d在同一直線上？請你先觀察，再用三角尺驗證一下.答：線段b與線段d在同一直線上.2.當n為正整數(shù)時，n2+3n+1的值一定是質(zhì)數(shù)嗎？答：不一定。當n=6時，n2+3n+1=55=5×11，是一個合數(shù).3.下列結(jié)論中你能肯定的是（）BA.今天下雨，明天必然還下雨B.三個連續(xù)整數(shù)的積一定能被6整除C.小明在數(shù)學競賽中一定能獲獎D.兩張相片看起來佷像，則肯定照的是同一個人4.下列問題用到推理的是（）AA.根據(jù)a=10，b=10,得到a=bB.觀察得到三角形有三個角C.老師告訴我們關(guān)于金字塔的許多奧秘D.由經(jīng)驗可知過兩點有且只有一條直線5.順次連接等腰梯形四邊中點，所得到的四邊形是（）DA.平行四邊形B.矩形C.正方形D.菱形6.某超級市場失竊，大量的商品在夜間被罪犯用汽車運走，三個嫌疑犯被警察局傳訊，警察局已經(jīng)掌握了以下事實：①罪犯不在A,B,C三人之外；②C作案時總得有A作從犯；③B不會開車.在此案中肯定的作案對象是（）DA．嫌疑犯AB．嫌疑犯BC．嫌疑犯CD．嫌疑犯A和C7.如圖，從點O出發(fā)作出四條射線OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度數(shù)；(3)由(1)、(2)你發(fā)現(xiàn)了什么？(4)你能肯定上述的發(fā)現(xiàn)嗎？解析：圖中∠AOB、∠COD均與∠BOC互余，根據(jù)角的和、差關(guān)系，可求得∠AOB與∠COD的度數(shù)．通過計算發(fā)現(xiàn)∠AOB＝∠COD，于是可以歸納∠AOB＝∠COD.解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.(3)由(1)、(2)可發(fā)現(xiàn)：∠AOB＝∠COD.(4)∵∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.∴∠AOB＝∠COD.【方法總結(jié)】檢驗數(shù)學結(jié)論具體經(jīng)歷的過程是：觀察、度量、實驗→猜想歸納→結(jié)論→推理→正確結(jié)論．六、課堂小結(jié)今天這節(jié)課你學到了什么知識？1．要說明一個數(shù)學結(jié)論是否正確，無論驗證多少個特