2024年九年級數(shù)學下冊第三章圓單元檢測北師大版

Page1第三章圓得分________卷后分________評價________一、選擇題(每小題3分，共30分)1．下列說法正確的是(B)A．長度相等的弧是等弧B．圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．弧是半圓D．三點確定一個圓2．若⊙O的半徑為8，圓心O到直線l的距離為4，則直線l與⊙O的位置關系是(B)A．相切B．相交C．相離D．不能確定3．如圖，點A，B，C是⊙O上的點，∠AOB＝70°，則∠ACB的度數(shù)是(B)A．30°B．35°C．45°D．70°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第4題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第5題圖))4．如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝40°，∠APD＝75°，則∠B的度數(shù)為(C)A．15°B．40°C．35°D．75°5．如圖，AD，BC是⊙O的直徑，點P在BC的延長線上，PA與⊙O相切于點A，連接BD，若∠P＝40°，則∠ADB的度數(shù)為(A)A．65°B．60°C．50°D．25°6．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)是(C)A．90°B．100°C．110°D．120°eq\o(\s\up7(),\s\do5(第6題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第7題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第8題圖))7．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E.若AC＝4eq\r(2)，DE＝4，則BC的長是(C)A．1B．eq\r(2)C．2D．48．如圖，△ABC的內切圓⊙O與AB，BC，CA分別相切于點D，E，F(xiàn)，若∠DEF＝52°，則∠BOC的度數(shù)是(B)A．121°B．128°C．146°D．166°9．如圖，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則eq\x\to(DE)的長為(B)A．eq\f(1,3)πB．eq\f(2,3)πC．eq\f(7,6)πD．eq\f(4,3)πeq\o(\s\up7(),\s\do5(第9題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第10題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第11題圖))10．如圖，點P(3，4)，⊙P的半徑為2，點A(2.5，0)，點B(5，0)，M是⊙P上的動點，點C是MB的中點，則線段AC長度的最小值是(B)A．1.4B．1.5C．2.5D．2.6【解析】連接OM，∵點A，C分別是OB，MB的中點，∴AC＝eq\f(1,2)OM.而當M為線段OP與⊙P的交點時OM最小，此時OM＝OP－PM＝5－2＝3，∴AC最小值＝1.5.二、填空題(每小題3分，共15分)11．如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則tan∠ADC＝__eq\f(3,2)__．12．如圖是一個古代車輪的碎片，小明為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點A，B，并使AB與車輪內圓相切于點D，作CD⊥AB交外圓于點C，測得CD＝10cm，AB＝60cm，則這個車輪的外圓半徑是__50__cm.eq\o(\s\up7(),\s\do5(第12題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第13題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第14題圖))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第15題圖))13．如圖，A，B，C是⊙O上的點，且∠ACB＝130°，在這個圖中，要畫出下列度數(shù)的圓周角：30°，40°，50°，90°，其中僅用無刻度的直尺能畫出的圓周角有__40°或50°或90°__．14．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，以AD為直徑的半圓O與BC相切于點E，連接BD，則圖中陰影部分的面積為__eq\f(9,4)π__(結果保留π).15．如圖，正方形ABCD的邊長為8，M是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，連接PM，以點P為圓心，PM的長為半徑作⊙P，當⊙P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為__3或4eq\r(3)__．【解析】分如下兩種情況討論：①當⊙P與直線CD相切時，如圖①，在Rt△BPM中，∵PM2＝BM2＋BP2，∴PC2＝42＋(8－PC)2，∴PC＝5，∴BP＝BC－PC＝3；②當⊙P與直線AD相切時，如圖②，設切點為K，連接PK，則四邊形PKDC是矩形，∴PM＝PK＝CD＝8，∴BP＝eq\r(PM2－BM2)＝4eq\r(3).綜上所述，BP的長為3或4eq\r(3)．三、解答題(共75分)16．(6分)如圖，點B在⊙O外，以點B為圓心，OB為半徑畫圓，與⊙O相交于C，D兩點，與OB的延長線相交于A點，連接AC，AD，當AC＝5時，求AD的長．解：連接OC，OD，∵OA是⊙B的直徑，∴∠OCA＝∠ODA＝90°，∴AC，AD都是⊙O的切線，∴AD＝AC＝517．(8分)某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需要確定管道圓形截面的半徑，如圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面圖(要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)若有水部分的水面寬AB＝32cm，水最深處的地方水深CD為8cm，求這個圓形截面的半徑．解：(1)如圖所示(2)連接OA，易知點D為AB的中點．∵AB＝32cm，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝16cm.設這個圓形截面的半徑為xcm.又∵CD＝8cm，∴OD＝(x－8)cm.在Rt△OAD中，∵OD2＋AD2＝OA2，即(x－8)2＋162＝x2，解得x＝20，∴圓形截面的半徑為20cm18．(8分)如圖，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°，以點O為圓心，eq\f(1,2)OA的長為半徑作圓，分別交OA，OB于點C，D，弦MN∥AB.(1)判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)求證：eq\x\to(MC)＝eq\x\to(ND).解：(1)AB與⊙O相切，理由如下：過點O作OE⊥AB于點E，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝eq\f(1,2)(180°－∠AOB)＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴OE＝eq\f(1,2)OA＝OC，即OE是⊙O的半徑．∴AB是⊙O的切線，即AB與⊙O相切(2)連接CD，延長EO交MN于點F，∵OC＝OD，∴∠OCD＝eq\f(1,2)×(180°－∠AOB)＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°＝∠A，∴CD∥AB.又∵OE⊥AB，∴OE⊥CD，∴eq\x\to(CE)＝eq\x\to(DE).又∵MN∥AB，∴EF⊥MN，∴eq\x\to(ME)＝eq\x\to(NE)，∴eq\x\to(ME)－eq\x\to(CE)＝eq\x\to(NE)－eq\x\to(DE)，即eq\x\to(MC)＝eq\x\to(ND)19．(8分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點O在△ABC的內部，⊙O經(jīng)過B，C兩點，交AB于點D，連接CO并延長交AB于點G，以GD，GC為鄰邊作?GDEC.(1)判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；(2)若點B是eq\x\to(DBC)的中點，⊙O的半徑為2，求劣弧eq\x\to(BC)的長．解：(1)DE與⊙O相切，理由如下：連接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，即OD⊥CG.又∵四邊形GDEC為平行四邊形，∴ED∥CG，∴OD⊥ED，∴DE是⊙O的切線，即DE與⊙O相切(2)連接OB，∵點B是eq\x\to(DBC)的中點，∴∠COB＝∠DOB＝eq\f(1,2)(360°－∠COD)＝eq\f(1,2)×(360°－90°)＝135°，∴l(xiāng)eq\a\vs4\al(\x\to(BC))＝eq\f(135π×2,180)＝eq\f(3π,2)20．(9分)如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AC為⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線與AD的延長線相交于點E，EF⊥BC，交BC的延長線于點F.(1)求證：∠BAC＝∠ECF；(2)若AD＝4，CD＝2，cos∠BAC＝eq\f(\r(10),10)，求CF的長．解：(1)證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠B＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.又∵CE為⊙O的切線，∴AC⊥CE，∴∠ACE＝90°，∴∠ACB＋ECF＝90°，∴∠BAC＝∠ECF(2)∵AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).∵∠CAD＝∠EAC，∠ADC＝∠ACE，∴△ACD∽△AEC，∴eq\f(CD,CE)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(2,CE)＝eq\f(4,2\r(5))，∴CE＝eq\r(5).又∵EF⊥BC，∴CF＝CE·cos∠ECF＝CE·cos∠BAC＝eq\r(5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)21．(10分)如圖，在?ABCD中，AC是對角線，∠CAB＝90°，以點A為圓心，AB為半徑作⊙A，交BC于點E，交AC于點F，連接DE.(1)求證：DE與⊙A相切；(2)若∠ABC＝60°，AB＝4，求陰影部分的面積．解：(1)證明：連接AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC(SAS)，∴∠DEA＝∠CAB＝90°，∴DE⊥AE，∴DE與⊙A相切(2)∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴∠ACB＝30°，AC＝eq\r(3)AB＝4eq\r(3)，△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∴∠CAE＝∠CAB－∠EAB＝30°＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ACE＝eq\f(1,2)S△ABC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,4)×4×4eq\r(3)＝4eq\r(3)，∴S陰影＝S△ACE－S扇形AEF＝4eq\r(3)－eq\f(30π×42,360)＝4eq\r(3)－eq\f(4π,3)22．(12分)筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，車輪縛以竹筒，旋轉時低則舀水，高則瀉水．如圖，水力驅動筒車按逆時針方向轉動，竹筒把水引至A處，水沿射線AD方向瀉至水渠DE，水渠DE所在直線與水面PQ平行．設筒車為⊙O，⊙O與直線PQ交于P，Q兩點，與直線DE交于B，C兩點，恰有AD2＝BD·CD，連接AB，AC.(1)求證：AD為⊙O的切線；(2)筒車的半徑為3m，AC＝BC，∠C＝30°，當水面上升，A，O，Q三點恰好共線時，求筒車在水面下的最大深度(精確到0.1m，參考值：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7).解：(1)證明：連接AO并延長，交⊙O于點G，連接BG，則∠ACB＝∠AGB.∵AG是⊙O的直徑，∴∠ABG＝90°，∴∠BAG＋∠AGB＝90°.∵AD2＝BD·CD，∴eq\f(AD,CD)＝eq\f(BD,AD).又∵∠ADB＝∠CDA，∴△DAB∽△DCA，∴∠DAB＝∠ACB＝∠AGB，∴∠DAB＋∠BAG＝90°，即∠DAG＝90°，∴AD⊥AO，∴AD為⊙O的切線(2)當水面上升，A，O，Q三點恰好共線時，Q與G重合，水面到GH，過點O作OM⊥GH于點M，則GH∥PQ.∵CA＝CB，∠C＝30°，∴∠ABC＝75°，∴∠CBG＝∠ABG－∠ABC＝90°－75°＝15°.又∵BC∥PQ∥GH，∴∠BGH＝∠CBG＝15°，∴∠AGM＝∠AGB＋∠BGH＝∠C＋∠BGH＝30°＋15°＝45°，∴OM＝OG·sin∠AGM＝3sin45°＝3×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3\r(2),2)(m)，∴筒車在水面下的最大深度為3－eq\f(3\r(2),2)≈0.9(m)23．(14分)請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學家之一，他流傳于世的數(shù)學著作有十余種．下面是《阿基米德全集》的《引理集》中記載的一個命題：如圖①，AB是⊙O的弦，點P在⊙O上，PC⊥AB于點C，點D在弦AB上，且AC＝CD，在eq\x\to(PB)上取一點Q，使eq\x\to(PQ)＝eq\x\to(PA)，連接BQ，則BQ＝BD.小明思考后，給出如下證明：如圖②，連接PA，PD，PB，PQ，∵AC＝CD，PC⊥AB，∴PA＝PD(依據(jù)1)，∴∠A＝∠PDA.∵eq\x\to(PQ)＝eq\x\to(PA)，∴∠QBP＝∠ABP(依據(jù)2)……任務：(1)寫出小明證明過程中的依據(jù)：依據(jù)1：__線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等__；依據(jù)2：__等弧所對的圓周角相等__；(2)請你將小明的證明過程補充完整；(3)小亮想到了不同的證明方法：如圖③，連接PA，PD，PQ，DQ，請你按照小亮的證明思路寫出證明過程；(4)結論應用：如圖④，將材料中的“弦AB”改為“直徑AB”，作直線l與⊙O相切于點Q，過點B作BM⊥l于點M，其余條件不變，若AB＝4，且D是OA的中點，求QM的長．解：(2)證明：如圖②，連接PA，PD，PB，PQ，∵AC＝CD，PC⊥AB，∴PA＝PD，∴∠A＝∠PDA.∵eq\x\to(PQ)＝eq\x\to(PA)，∴∠QBP＝∠ABP.又∵四