高中數(shù)學(xué)選擇性必修三：6-2-2 排列數(shù)（學(xué)案）

6.2排列與組合

6.2.1排列+6.2.2排歹!!數(shù)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

課程標(biāo)準(zhǔn)素養(yǎng)要求一

通過實(shí)例,理解排列的概念,能1.理解并掌握排列、排列數(shù)的概念,能用列舉法、

利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公樹狀圖法列出簡單的排列.(數(shù)學(xué)抽象)

式.

2.理解排列數(shù)公式的推導(dǎo)并應(yīng)用.(邏輯推理)

3.掌握排列數(shù)公式并會運(yùn)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)___________

【自主學(xué)習(xí)】

一、排列的相關(guān)概念

L排列:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(mgn)個(gè)元素,并按照排成一列,叫做從n個(gè)不

同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

2.兩個(gè)排列相同的充要條件是：兩個(gè)排列的元素,且元素的_______也相同.

思考1：如何判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題？

二、排列數(shù)與排列數(shù)公式

從n個(gè)不同元素中取出m(mWn)個(gè)元素的所有_______的個(gè)數(shù),叫做從n

排列數(shù)定義

個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)

排列數(shù)表示法

n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列,且

全排列

∕4^=n×(n-l)×...×3×2×l

階乘正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示

乘積式限____________

排列數(shù)公

τt

式階乘式Λm_'

n^(n-m)!

性質(zhì)4J!=_,0!=—

備注n,m∈N*,m<n

思考2：排列與排列數(shù)有何不同?

【小試牛刀】

1.思維辨析(對的打“加’,錯(cuò)的打"X”)

(1)在一個(gè)排列中，若交換兩個(gè)元素的位置，則該排列不發(fā)生變化.()

(2)同一個(gè)排列中，同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).()

(3)從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.()

(4)若A；，=10x9x8x7x6,則n=10,m=6.()

2.從5面不同顏色的小旗中取出三面,按從上到下的順序排在一起表示信號,不同的順序表示不

同的信號,則一共可表示種不同的信號.

【經(jīng)典例題】

題型一簡單的排列問題

點(diǎn)撥：利用“樹形圖”法解決簡單排列問題的適用范圍及策略

1.適用范圍：“樹形圖”在解決排列元素個(gè)數(shù)不多的問題時(shí)，是一種比較有效的表示方式.

2.策略：在操作中先將元素按一定順序排出，然后以先安排哪個(gè)元素為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再

安排第二個(gè)元素，并按此元素分類，依次進(jìn)行，直到完成一個(gè)排列，這樣能做到不重不漏，然

后再按樹形圖寫出排列.

例1判斷下列問題是不是排列問題：

(1)某班共有50名學(xué)生，現(xiàn)要投票選舉正、副班長各一人，共有多少種可能的選舉結(jié)果？

(2)從2,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，共有多少個(gè)不同的

對數(shù)值？

(3)有12個(gè)車站，共需準(zhǔn)備多少種車票？

(4)某會場有50個(gè)座位，從中任選出3個(gè)座位，共有多少種不同的選法？

【跟蹤訓(xùn)練】1從0,1,2,3這四個(gè)數(shù)字中，每次取出三個(gè)不同數(shù)字排成一個(gè)三位數(shù).

若組成的三位數(shù)中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在個(gè)位，則這樣的三位數(shù)共有多少

個(gè)，并寫出這些三位數(shù).

題型二排列數(shù)的計(jì)算

點(diǎn)撥：排列數(shù)的計(jì)算方法

1.排列數(shù)的計(jì)算主要是利用排列數(shù)的乘積公式進(jìn)行，應(yīng)用時(shí)注意：連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某

個(gè)排列數(shù)，其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù)，而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù)，這是

排列數(shù)公式的逆用.

2.排列數(shù)在方程或不等式中出現(xiàn)時(shí)，尤其是上標(biāo)為未知數(shù)時(shí)，用階乘的形式解題比較好.

例2)

AB.—c

-?54?

【跟蹤訓(xùn)練】2解方程：3抬=4Af1.

題型三排列的綜合應(yīng)用問題

角度1元素“相鄰”與“間隔”問題

點(diǎn)撥：相鄰與不相鄰問題的解決方法

(1)“相鄰”問題：元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一

個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列.

(2)“不相鄰”問題：元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”

元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素.

例3有6個(gè)人排成一排拍照，其中甲和乙相鄰，丙和丁不相鄰的不同的排法有()

A.240種B.144種C.72種D.24種

角度2特殊元素、特殊位置問題

點(diǎn)撥：特殊元素、特殊位置問題的解決方法

1.原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時(shí)，可以從元素入手也可以從位置入手，

原則是誰特殊誰優(yōu)先.

2.方法：從元素入手時(shí)，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入

手時(shí)，先安排特殊位置，再安排其他位置.

例4有4名男生、5名女生,全體排成一行,問下列情形各有多少種不同的排法？

(1)甲不在中間,也不在兩端；

(2)甲、乙兩人必須排在兩端；

(3)男女相間.

角度3定序問題

點(diǎn)撥：定序問題的解決方法

這類問題的解法是采用分類法.〃個(gè)不同元素的全排列有A：種排法，加個(gè)元素的全排列有A：種

排法.因此A；種排法中，關(guān)于m個(gè)元素的不同分法有A：類，而且每一類的排法數(shù)是一樣的.當(dāng)

A”

這6個(gè)元素順序確定時(shí)，共有片種排法.

A.

例5某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要先后單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進(jìn)行，工

程丙必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行，那么安排這6項(xiàng)工

程的不同的排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

1.（多選）下列問題中是排列問題的是（）

A.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)和物理學(xué)習(xí)小組

B.從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名同學(xué)參加一項(xiàng)活動

C.從α,b,c,d四個(gè)字母中取出2個(gè)字母

D.從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)

2.已知At1-A^=10,則n的值為（）

A.4B.5C.6D.7

3.記者要為4名志愿者和他們幫助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相鄰，不同的

排法種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

4.安排甲、乙、丙3位黨員干部在周一至周五的5天中參加精準(zhǔn)扶貧活動，要求每人參加1天

且每天至多安排1人，并要求甲安排在另外2位前面，則不同的安排方法共有（）

A.20種B.30種C.40種D.60種

5.某詩詞大會共設(shè)有十場比賽，每場比賽都有一首特別設(shè)計(jì)的開場詩詞.若將《將進(jìn)酒》《山居

秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外確定的兩首詩詞排在后六場，并要求《將進(jìn)酒》

與《望岳》相鄰，且《將進(jìn)酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》

不相鄰，且均不排在最后，則后六場開場詩詞的排法有（）

A.144種B.48種C.36種D.72種

6.3名男生，4名女生站成一排照相，若甲不站中間也不站兩端，則有種不同的站法.

7,將A,B,C,。四名同學(xué)按一定順序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，8不排在

第二，C不排在第三，。不排在第四，試用樹狀圖列出所有可能的排法.

8.7人站成一排.

⑴甲、乙兩人相鄰的排法有多少種？

(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種？

⑶甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種？

⑷甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種?

【課堂小結(jié)】

兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

分類法：應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理

:分步法：應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理一

I捆綁法：相鄰問題

:插空法：間隔問題

去序法：某些元素不考慮順序

SJ反面法：考慮問題的否定

有限制條件的排列元素分析法：首先考慮特殊元素

問題的主要策略(位置分析法：首先考慮特殊位置

【參考答案】

【自主學(xué)習(xí)】

--一定的順序完全相同排列順序

思考1：(1)首先要保證元素?zé)o重復(fù)性,即從n個(gè)不同元素中,取出m個(gè)不同的元素,否則不是排列

問題.

(2)要保證元素的有序性,即安排這m個(gè)元素時(shí)是有序的,有序就是排列,無序則不是排列.而檢驗(yàn)

它是否有序的依據(jù)是變換元素的位置,看結(jié)果是否發(fā)生變化,有變化是有序,無變化就是無序.

二.不同排列n(n-1)(n-2)?...?(n-m+1)n!1

思考2：排列與排列數(shù)是兩個(gè)不同的概念,“排列”是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素按照一

定順序排成一列,是一種排法;“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素所得不同排列的個(gè)

數(shù),是一個(gè)數(shù),用AJJl表示.

【小試牛刀】

1.(1)×.(2)√.(3)×.(4)×.

2.60解析:一共可表示AS=5x4x3=60(種)不同的信號.

【經(jīng)典例題】

例1解：(1)是.選出的2人，擔(dān)任正、副班長人選，與順序有關(guān)，所以是排列問題.

⑵是.對數(shù)值與底數(shù)和真數(shù)的取值有關(guān)系，與順序有關(guān).

(3)是.起點(diǎn)站或終點(diǎn)站不同，則車票不同，與順序有關(guān).

(4)不是.只是選出3個(gè)座位，與順序無關(guān).

【跟蹤訓(xùn)練】1解：直接畫出樹狀圖：

由樹狀圖知，符合條件的三位數(shù)有8個(gè)：201,210,230,231,301,302,310,312.

例2A解析：生*9晨黑曹呈吟?故選A?

3x8I4×9!

【跟蹤訓(xùn)練】2解：由3AL4AG,得T=

(lθ-?)!

3x8!________________4x9x8!___________

T'(8—x)!(10—x)(9—x)(8—%)!

化簡得％2—19x+78=0,解得Xl=6,X2=13.

因?yàn)?<Λ≤8JI(Kr—1W9,所以原方程的解得x=6.

例3分析：甲和乙相鄰，捆綁法，閃和丁不相鄰用插空法，即先捆甲和乙，再與丙和丁外的

兩人共“3人”排列，再插空排丙和丁.

B解析：甲和乙相鄰，捆綁在一起有Al種，再與丙和丁外的兩人排列有Al種，再排丙和

丁有Ai種，故共有AT??A4=144（W1）.

例4解:（1）（方法一元素分析法）先排甲有6種排法,其余有AM種排法,故共有6?A≡=24I920（種）

排法.

（方法二位置分析法）中間和兩端有髭種排法,包括甲在內(nèi)的其余6人有純種排法,故共有髭?

=336x720=241920（種）排法.

（方法三等機(jī)會法）9個(gè)人的全排列數(shù)有Aa種,甲排在每一個(gè)位置的機(jī)會都是均等的,依題意，

甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是能X合241920（種）.

（方法四間接法）共有嚼3W=6Ag=241920（種）排法.

（2）先排甲、乙,再排其余7人,共有鹿?A洗10080（種）排法.

（3）（插空法）先排4名男生,有AZ種方法,再將5名女生插空,有AW種方法,故共有ArAW=2

880（種）排法.

例520解析：根據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進(jìn)行，故可把丁丙視為一個(gè)元素，先不

管其他限制條件，使其與其他四項(xiàng)工程進(jìn)行全排列共有A1種排法，這些排法中，甲、乙、丙

相對順序共有A；種，所以滿足條件的排法種數(shù)是蕭=20.

【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】

LAD解析：A是排列問題，因?yàn)閮擅瑢W(xué)參加的學(xué)習(xí)小組與順序有關(guān)；B不是排列問題，因

為兩名同學(xué)參加的活動與順序無關(guān)；C不是排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)字母與順序無關(guān)；D是

排列問題，因?yàn)槿〕龅膬蓚€(gè)數(shù)字還需要按順序排成一列.故選AD.

2.B解析：A3-A：=〃（〃+1）-〃（〃-1）=10,化簡得2M=10,所以〃=5.故選B.

3.C解析：先將4名志愿者排成一排，再將2位老人插到4名志愿者形成的5個(gè)空中，則不

同的排法有A：Ai=480種，故選C.

4.A解析：分三類：甲在周一，有A；種安排方法；甲在周二，有A；種安排方法；甲在周三，

有A；種安排方法.故共有A：+A；+A；=20種不同的安排方法.故選A.

5.C解析：將《將進(jìn)酒》與《望岳》捆綁在一起和另外確定的兩首詩詞進(jìn)行全排列有A；=6種

排法，再將《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》插排在除最后一個(gè)空外的3個(gè)空里，有A；=6

種排法，則后六場開場詩詞的排法有6x6=36（種），故選C.

6.2800解析：第一步，安排甲，在除中間，兩端以外的4個(gè)位置上任選一個(gè)位置安排，有AL

種排法.

第二步，安排其余6名學(xué)生，有AE種排法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有ALA*=2