數(shù)列求和的幾種方法的

關(guān)于數(shù)列求和的幾種方法的四、裂項(xiàng)求和法二、倒序相加法

三、錯位相減法五、分組求和法數(shù)列求和一、直接求和法第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天1等差數(shù)列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2)Sn=na1+n(n-1)d/22等比數(shù)列求和公式：(1)Sn=1-qa1(1-qn)q≠1

q≠1

(2)Sn=1-qa1-anq

當(dāng)q=1時,Sn=na1第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天

練習(xí):求和1.1+2+3+……+n

+（n+1）

答案:Sn=（n+2)(n+1)/22.2+4+8+……+2n

答案:Sn=2n+1-2方法一：直接求和法（公式法）第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天二、倒序相加法如果一個數(shù)列{an}，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和的方法稱為倒序相加法.第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天三、錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項(xiàng)是由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積組成，此時求和可采用錯位相減法.第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例1求數(shù)列x,2x2,3x3,

…

nxn，…的前n項(xiàng)和。

解：⑴當(dāng)x=0時Sn=0⑵當(dāng)x=1時Sn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2⑶當(dāng)x≠1時

Sn=x+2x2+3x3+…

+nxn①

xSn=x2+2x3+3x4…

+(n-1)xn+nxn+1②①－②得：(1-x)Sn=x+x2+x3+…

+xn-nxn+1化簡得：Sn=x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)

第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天0(x=0)

綜合⑴⑵⑶得Sn=n(n+1)/2(x=1)x(1-xn)/(1-x)2-nxn+1/(1-x)(x≠1）第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)1:“錯位相減法”求和,常應(yīng)用于通項(xiàng)型如{anbn}的數(shù)列求和,其中{an}為等差數(shù)列,{bn}

為等比數(shù)列.第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1求和:1/2+2/4+3/8+……+n/2n

方法:可以將等式兩邊同時乘以2或1/2,然后利用“錯位相減法”求和.第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天四、裂項(xiàng)求和法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即數(shù)列的每一項(xiàng)都可按此法拆成兩項(xiàng)之差，在求和時一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)的和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和，這一求和方法稱為裂向求和法.第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例2：求和解：∵數(shù)列的通項(xiàng)公式為第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)2：本題利用的是“裂項(xiàng)法”，此法常用于形如{1/f(n)g(n)}的數(shù)列求和，其中f(n),g(n)是關(guān)于n（n∈N)的一次函數(shù)。把數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)的差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項(xiàng)，最后剩下有限的幾項(xiàng)。方法：對裂項(xiàng)公式的分析，通俗地說，裂項(xiàng)，裂什麼？此方法應(yīng)注意：裂通項(xiàng)第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天五、分組求和法：求和方法稱為分組求和法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)，或把數(shù)列的項(xiàng)“集”在一塊重新組合，或把整個數(shù)列分成兩部分，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一方法叫分組求和法。

第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天例3：求和解：第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)3：本題利用的是“分組求和法”方法：把數(shù)列的通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，再根據(jù)公式進(jìn)行求和。第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)3：若數(shù)列{an}中，an=-2[n-(-1)n]，求S10和S99．

分析：利用分組求和法第18頁,共20頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)：

直接求和（公式法）等差、或等比數(shù)列用求和公式，常數(shù)列直接運(yùn)算。倒序相加法類比等差數(shù)列的求和方法。錯位相減法數(shù)列{anbn}的求和，其中{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列。裂項(xiàng)法分組求和法把通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，如 {an+bn}。常見求