方向?qū)?shù)與梯度

關(guān)于方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)的定義

討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．第2頁,共34頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)沿著趨于時，是否存在？第3頁,共34頁，2024年2月25日，星期天記為方向?qū)?shù)的幾何意義第4頁,共34頁，2024年2月25日，星期天過直線作平行于z

軸的平面與曲面z=f(x,y)所交的曲線記為C

表示C的割線向量即即割線轉(zhuǎn)化為切線第5頁,共34頁，2024年2月25日，星期天上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn)趨于點(diǎn)曲線C在點(diǎn)P0

有唯一的切線它關(guān)于方向的斜率就是方向?qū)?shù)LCM0TP0PMl第6頁,共34頁，2024年2月25日，星期天證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到第7頁,共34頁，2024年2月25日，星期天故有方向?qū)?shù)第8頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解第9頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解由方向?qū)?shù)的計算公式知故第10頁,共34頁，2024年2月25日，星期天推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義第11頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解令故方向余弦為第12頁,共34頁，2024年2月25日，星期天故第13頁,共34頁，2024年2月25日，星期天二、梯度的概念第14頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第15頁,共34頁，2024年2月25日，星期天在幾何上表示一個曲面曲面被平面所截得所得曲線在xoy面上投影如圖梯度為等高線上的法向量等高線第16頁,共34頁，2024年2月25日，星期天等高線的畫法第17頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例如,第18頁,共34頁，2024年2月25日，星期天等高線圖舉例這是利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica繪制的曲面及其等高線圖,帶陰影的等高線圖中,亮度越大對應(yīng)曲面上點(diǎn)的位置越高等高線圖帶陰影的等高線圖第19頁,共34頁，2024年2月25日，星期天梯度與等高線的關(guān)系：第20頁,共34頁，2024年2月25日，星期天此時f(x,y)沿該法線方向的方向?qū)?shù)為

故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)，這個法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。第21頁,共34頁，2024年2月25日，星期天梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.第22頁,共34頁，2024年2月25日，星期天第23頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解由梯度計算公式得故第24頁,共34頁，2024年2月25日，星期天例5求函數(shù)沿曲線在點(diǎn)處的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)解一用方向?qū)?shù)計算公式即要求出從x

軸正向沿逆時針轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角在兩邊對x

求導(dǎo)第25頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解得（切線斜率）故法線斜率為內(nèi)法線方向的方向余弦為而由得第26頁,共34頁，2024年2月25日，星期天解二用梯度梯度是這樣一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值,即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長最快的方向從等高線的角度來看，f(x,y)在點(diǎn)P

的梯度第27頁,共34頁，2024年2月25日，星期天方向與過點(diǎn)P

的等高線f(x,y)=C在這點(diǎn)的法線的一個方向相同，且從數(shù)值較低的等高線指向數(shù)值較高的等高線等高線為f(x,y)=C即橢圓大于橢圓因此在點(diǎn)處的內(nèi)法線恰好是梯度方向第28頁,共34頁，2024年2月25日，星期天故方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在?可微第29頁,共34頁，2024年2月25日，星期天三、小結(jié)1、方向?qū)?shù)的概念（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）2、梯度的概念（注意梯度是一個向量）3、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系思考題第30頁,共34頁，2024年2月25日，星期天思考題解答第31頁,共34頁，2024年2月25日，星