2023年高考全國甲卷數(shù)學(理)真題（原卷版）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（全國甲卷）

理科數(shù)學

一、選擇題

1設集合A={x|x=3k+1,左￡Z},B={%|x=3k+2,左wZ},0為整數(shù)集，為（4與）=

A.{x\x-3k,kGZ}B.{x\x=3k—l,kGZ}

C.{x|x=3k-2,keZ]D.0

2.若復數(shù)(a+i)(l-ai)=2,aeR,則。=(

3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的5=（

（開始）

n=n+1

/輸出B/

4.向量同=忸|=1,卜|=0,且a+/>+c=o，貝！lcos〈a—c,〃一2〉=()

5.已知正項等比數(shù)列{%}中，q=1,S〃為{叫前〃項和，S5=5S3-4,則$4=（）

6.有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球

俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8

7.“sin2a+sin2尸=1”是“sina+cos/=0”的（）

A.充分條件但不是必要條件B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件D.既不充分條件也不是必要條件

22

8.已知雙曲線二-1=1（。>0,6>0）的離心率為石，其中一條漸近線與圓（X—2）2+（y—3/=1交于A,

ab

B兩點,則|AB|=（）

1逑

A.-D.--------

55丁

9.有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連

續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

10.己知/（尤）為函數(shù)y=c（42x+g]向左平移四個單位所得函數(shù)，則丁=/（力與丁=!兀—’的交點個

I6J622

數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

11.在四棱錐尸一ABCD中，底面ABCD為正方形，A5=4,PC=PD=3,NPC4=45°,貝U,PBC的面

積為（）

A.2A/2B.3亞C.4&D.50

22§

12.己知橢圓=耳，工為兩個焦點，。為原點，尸為橢圓上一點，cosN《Pg=《，貝U|PO|=

（）

A2R同r3n735

5252

二、填空題

13.若y=（x-l）2+ax+sin[x+|J為偶函數(shù)，則。=.

-2x+3y<3

14.設尤，y滿足約束條件（3x-2y?3,設z=3x+2y,則z的最大值為.

x+y>l

15.在正方體ABC。-A4CR中，E,尸分別為CDA用的中點，則以EF為直徑的球面與正方體每條

棱的交點總數(shù)為.

16.在ABC中，AB=2,ZBAC=60°,BC=46,。為上一點，為/B4c的平分線，則AT>=

三、解答題

17.已知數(shù)列｛?！埃校?1，設S”為｛a.｝前〃項和，2Sn=nan.

(1)求｛4｝的通項公式；

\a+11

(2)求數(shù)列的前〃項和北.

18.在三棱柱A3C-4用。］中，A4=2,AC，底面ABC,ZACB=90°,&到平面5CC1用的距離為1.

(1)求證：AC=AC；

(2)若直線Ad與8耳距離為2,求A與與平面5CC4所成角的正弦值.

19.為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對照組(不加藥物)和實驗組

(加藥物).

(1)設其中兩只小鼠中對照組小鼠數(shù)目為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)測得40只小鼠體重如下(單位：g)：(已按從小到大排好)

對照組：17318.420.120.421.523.224.624.825.025.4

26.126.326.426.526.827.027.427.527.628.3

實驗組：5.46.66.86.97.88.29.410.010.411.2

14.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0

(i)求40只小鼠體重的中位數(shù)并完成下面2x2列聯(lián)表：

<m>m

對照組

實驗組

(ii)根據(jù)2x2列聯(lián)表，能否有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

參考數(shù)據(jù)：

k。0.100.050.010

P(嚴次)2.7063.8416.635

20已知直線x—2y+l=。與拋物線C:y2=2px(p>0)交于A3兩點，且|A8|=4而.

(1)求P；

(2)設C焦點、為F,M,N為C上兩點，MF-N戶=0,求AAGVF面積的最小值.

一八，/、sinx(c無、

21.已知/(x)=ax---—,xe0,—

cosxI2J

(1)若a=8,討論人元)的單調(diào)性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求a的取值范圍.

四、選做題

%=2+teasa

22.已知尸(2,1),直線/:〈G為參數(shù))，a為/的傾斜角，/與無軸，y軸正半軸交于A,B兩