2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí) 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

2024屆新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)配套練習(xí)專題6.2平面向量的基本定理

及坐標(biāo)表示

練基礎(chǔ)

1.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知向量a=（-l,2）,^=（3,-1）,c=（m,2）,c丄（2"b）,則加的值

為（）

A.72B.&C.2D.10

2.（2021?全國高三其他模擬（文））已知同=2,忖=4,。一匕=（-4,3）,記力與人夾角為氏則cos。的值

為（）

13535

A.—B.——C.-D.——

201647

3.（2021?天津和平區(qū)?高一期末）已知正方形ABCO的邊長為2,E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AE上的點(diǎn),

則AF-CF的最小值為（）

99

A.—B.—C.1D.—1

55

4.（2021?全國高三其他模擬（文））如圖，平行四邊形ABC。中,E是的中點(diǎn)，尸在線段BE上，且=

記a=BA，b=BC，則CP=（）

33334848

5.（2021?全國高一專題練習(xí)）已知A,B,尸三點(diǎn)共線，。為直線外任意一點(diǎn)，若O%=x&+），oZ，則

x+y=.

6.（遼寧高考真題）在平面直角坐標(biāo)系X。'中，四邊形ABCD的邊AB//DC，AD//BC,已知點(diǎn)4（-2,0）,

3（6,8）,C（8,6）則D點(diǎn)的坐標(biāo)為,

7.（2021?中牟縣教育體育局教學(xué)研究室高一期中）設(shè)已知向量@=（1,1）,向量6=（—3,2）.

（1）求向量4-2萬的坐標(biāo);

（2）當(dāng)左為何值時，向量癡+/?與向量Q—2萬垂直.

8.（2022江西新余市?高一期末（文））已知|。|=4,/?=（—1,月）

（1）若a//b,求〃的坐標(biāo)；

rr

（2）若o與b的夾角為120。，求。一此

CDAF1

9.（2021?全國高一專題練習(xí)）如圖，在AABC中，D,E分別為AC,AB邊上的點(diǎn)，——=—=—，記

DAEB2

C4=]?試用向量”E表示DE-

10.（2021?江西省萬載中學(xué)高一期末（理））已知向量*=（1,一3）1=（l,f）,若日+2]）丄1

（1）求向量）與W的夾角;

(2)求3a-b的值.

練提升

777.YI

1.【多選題】（2021?浙江高一期末）任意兩個非零向量和加，〃，定義：加區(qū)〃=——,若平面向量a,。滿

n-n

足|a|221bl>0,a與石的夾角Oi；1,y,且&③0和〃都在集合｛（bez｝中，則&③石的值可能

為（）

A.5B.4C.3D.2

2.（2021?江西新余市?高一期末（文））如圖所示，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與84的延

長線交于圓O外的一點(diǎn)。，若OC=〃?Q4+〃O3，則m+〃的取值范圍是.

D

3.(2021?寧夏銀川市?高三其他模擬(理))已知A(l,1).8(0,1),C(l,0),M為線段上一點(diǎn)，且

CM=2CB，若則實(shí)數(shù)2的取值范圍是.

4.(江蘇高考真題)在同一個平面內(nèi)，向量市，礪,而的模分別為1,1,企，成與方的夾角為a,且tana=7,OB

與OC的夾角為45°,若0C=??1。4+nOB(m,neR),則m+n=..

5.(2021?福建漳州市?高一期末)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知向量加=---,n=(sinx,cosx),

(22丿

xe(O,?).若力//則》=；若存在兩個不同的1值，使得|〃+冋=煙恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值

范圍為.

、__UUUULIU

6.(2021?天津?yàn)I海新區(qū)?高一期末)已知四邊形ABC。，ABBC=0>AD=ABC>AB=AD=\，且

——；=-^>(D丸=；5)若DE=2EC，動點(diǎn)F在線段BE上，則。尸.尸C的最大

\CB\\CD\2

值為.

7(2021-全國高一專題練習(xí))己知厶(-2,4),8(3,-1)((-3,-4).設(shè)筋=凡加1="以=3,且。^=3c,CN=-2b.

⑴求3a+Z?-3c；

(2)求滿足a=+的實(shí)數(shù)，*，〃；

(3)求A/,N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).

8.(2021?全國高一課時練習(xí))己知厶48(?的面積為5滿足百勺2543,且AB-BC=3,AB與的夾

角為。?求A3與8C夾角的取值范圍-

9.（2021?全國高一專題練習(xí)）已知。，A,B是不共線的三點(diǎn)，且。2=〃?。4+〃。6（機(jī)，ne/?）

（1）若加+"=1,求證：A,P,B三點(diǎn)共線；

（2）若A,P,8三點(diǎn)共線，求證：m+〃=I.

10.（2021?北京首都師大二附高一期末）在AABC中.NBAC=120。，AB=AC=1

⑴求A8-6C的值；

（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊AB在x軸上，設(shè)動點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半

徑的劣弧BC上運(yùn)動.求BPCP的最小值.

練真題

1.（2019?全國高考真題（理））已知A5=（2,3）,AC=（3,f）,\BC\=1,則A6.8C=（）

A.-3B.-2

C.2D.3

2.（2021?全國高考真題（理））已知向量a=（3,l）,6=（l,0）,c=a+%。.若。丄c，則％=.

3.（202卜全國高考真題（理））已知向量a=（l,3）,b=（3,4）,若（a-/lb）丄厶，則2=.

4.（2021?全國高考真題（文））已知向量a=（2,5）,b=（44）,若二〃力，則4=.

5.（2018?北京高考真題（文））（2018年文北京卷）設(shè)向量a=（1,0）,b=，若a丄（ma-b）,則

ZZF.

AP=—（AB+AC）.?.

6.（2020?北京高考真題）已知正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)卩滿足2,則1以D川=

；PBPD=.專題6.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

練基礎(chǔ)

------------------/

1.(2021?全國高一課時練習(xí))已知向量0=(-1,2),/?=(3,-1),c=(m,2),c丄(2a-A),則加的值

為()

A.72B.百C.2D.10

【答案】C

【解析】

先求出2a-匕的坐標(biāo)，再借助向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】

Stz=(-1,2),5=(3,-1),則2a—力=(-5,5),而c=(m,2),c±(2a-b)>

于是得c-(2a-。)=0,即—5m+5-2=0,解得m=2,

所以加的值為2.

故選：C

2.(2021.全國高三其他模擬(文))已知同=2利=4,。一厶=(-4,3),記d與匕夾角為6,則8S。的值

為()

13535

A.—B.-----C.-D.—

201647

【答案】B

【解析】

利用平面向量數(shù)量積的定義以及模長公式求解即可.

【詳解】

因?yàn)閍—b=(T,3),所以卜-0=5,

因?yàn)椴芬荒?J(a—Z?)2=—2a?Z?+/?2,

所以25=4+16-16cos6,所以cos6?=-一.

16

故選:B.

3.(2021?天津和平區(qū)?高一期末)已知正方形ABQ9的邊長為2,E是的中點(diǎn)，尸是線段AE上的點(diǎn),

則A尸的最小值為（）

99

A.-B.----C.1D.—1

55

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】

如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意知,A（0,0）,￡（2,1）,C（2,2）,

由尸是線段AE上的點(diǎn)，設(shè)尸且0?xW2,

因此CF=（X-2,'-2）,

故..6=用_2）+[楙_2]=^--3x,

69

因0WxW2,所以當(dāng)x時，AQ.C/取最小值-g.

故選：B.

4.（2021?全國高三其他模擬（文））如圖，平行四邊形ABC。中，E是4。的中點(diǎn)，尸在線段BE上，且8b=3FE,

記a=8A，b=BC，則CF=()

AE

■D

B

21,C.丄+喋35

A.—a+—bB.—a——bD.—a——b

33334848

【答案】D

【解析】

取a=B4，=作為基底，把BE、8尸用基底表示出來，利用向量的減法即可表示出CF-

【詳解】

取“=3厶，作為基底，則BE=a+gb.

33，1八33

因?yàn)?/=3尸石，所以=a+~b\-~a+~b,

4412丿48

3335

所以CF=BF-BC=」a+=b—b=」a-2b.

4848

故選：D.

5.（2021?全國高一專題練習(xí)）已知A,B,P三點(diǎn)共線，。為直線外任意一點(diǎn)，若O%=x&+yO%，則

x+y=.

【答案】1

【解析】

由共線可設(shè)6=丸向°，進(jìn)而得d-&=人（加-厶），化簡對應(yīng)的乂丁即可得解.

【詳解】

VA,aP三點(diǎn)共線,

/.存在非零實(shí)數(shù)2,使得/=義而，

ff/—>—>

OB-OA=X\OP-OB

f?+2->]->

:.OP=^~^OB——OA

A2

—>r—>

,:OP=xOA+yOB'

故答案為：1

6.(遼寧高考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABC。的邊A3//DC,AD//BC,已知點(diǎn)A(-2,0),

5(6,8),C(8,6)則D點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】(0,-2)

【解析】

平行四邊形ABCO中，OB+QD=QA+OC，

。。=OA+OC—。8=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),

即。點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),故答案為(0,-2).

7.(2021.中牟縣教育體育局教學(xué)研究室高一期中)設(shè)已知向量。=(1,1),向量方=(一3,2).

(1)求向量°一2)的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)上為何值時，向量3+b與向量d—2萬垂直.

97

【答案】(1)(7,-3)；(2)k=十.

【解析】

(1)進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算即可得出a-26=(7,-3)；

(2)可求岀履+6=(&-3,々+2),然后根據(jù)妬+厶與a—力垂直即可得出7(A—3)-3(&+2)=0,解出女即

可.

【詳解】

(1)?:a=(1,1),〃=(—3,2),

ri

/?a—2b=(7,-3).

(2)*：kci+b=1k-3,k+2),且如+/?與〃—2Z?垂直，

77

??.7(%—3)—3(攵+2)=0,解得厶=亍.

8.(2021?江西新余市?高一期末(文))已知|a|=4,b=C

(1)若4〃若求°的坐標(biāo)；

(2)若4與b的夾角為120。，求

【答案】⑴(2,-26)或(—2,26)；(2)277.

【解析】

(1)先求與向量〃共線的單位向量，結(jié)合“〃匕，即可得出a的坐標(biāo)；

(2)先根據(jù)夾角求出“力，根據(jù)模的運(yùn)算律，即可得到

【詳解】

解：(1)3=卜1,@,.?.仍|=2

-b(1

??.與共線的單位向量為c=±E=±

l2

Ia1=4,a/lb?

??.a■a|c=(2,-2⑹或(-2,2碼.

(2)|a|=4,\h\=2,<a出>=120。，

：.a-b-\a\\b\cos(a,--4,

.22

(?—Z?)2=a—2a?b+b=28，

:]a-b\=2>/7.

CDAF1

9.(2021?全國高一專題練習(xí))如圖，在“8C中，。，￡分別為AGA8邊上的點(diǎn)，手=蕓=：,記

DAEB2

C4=]?試用向量/g表示DE-

1—?

【答案】DE=-(b-a)

【解析】

根據(jù)向量的減法及向量的數(shù)乘，化簡即可求解.

【詳解】

]1jff22f

因?yàn)锳E=3A6=I(C6—CA)=1(—a—6),AD=-AC=--b,

1->2f1——

所以。E=AE—A0=§(—a-8)—(—=a).

即=工)

10.(2021?江西省萬載中學(xué)高一期末(理))已知向量1=(1,_3)1=(1/)，若(：+2])丄7

(1)求向量：與己的夾角；

—>—>

(2)求3a—b的值.

【答案】⑴卜2)5卮

【解析】

(1)根據(jù)?；+2])丄W得到r=2,再求岀:斤=_5,"=屈，卩|=遂，即得解；(2)直接利用向量的

模的坐標(biāo)公式求解.

【詳解】

(1)a=(1,-3),Z?=(l,r)，,a+2Z?=(3,-3+2。，

―>—>—>fTT

(a+2/丄a，，(a+2為?a=3x1+(—3+2/)x(-3)=0,解得，=2,

.dlxl+(-3)x2=-5，卜卜府，M=百，

T—>

一7a-b-5V2

cos<a,b>=-；~~；—i_r——7=—r=

所以向量:與^的夾角為彳，

—>->2—2—>—>—>24

(2)3a-b=9a-6a,b+b=9x10-6x(-5)+5=125,

3a-b=5\[i.

練提升

ni?ri

1.【多選題】（2021?浙江高一期末）任意兩個非零向量和加，〃，定義：m?n=——，若平面向量a/滿

n-n

aggnrni

足|a|Z21bl>0,a與匕的夾角M隸可，且和b③a都在集合j,中，則a（g）b的值可能

為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】CD

【解析】

由已知得集合｛—|〃wZ｝的元素特征，再分析和）（8）a的范圍，再由定義計算后，可得答案.

4

【詳解】

31]]]3

L—-,——,從而分析a?〃和8（g）a的范圍如下：

｛*乙I*4*

因?yàn)橄Α辏?,g）,???彳<cos6<1,而匕《）4=""二!_l-cos0?且|a21/?|>0,

32a-a\a\

z\b\i

可得0cH'Cos。<—，

同2

n\b\i\b\i

又???〃§）〃￡｛二l〃￡Z｝中，ALlcos^--,從而H=--------,

4冋4\a\4cos。

a-bd2i

—cos^=4cos-^（又；<cos2g<l,所以]（“⑤人=4cos26<4,且a<8）6也在集

D-Db4

n

合｛—|"GZ｝中，

4

故有a?b=2或3.

故選：CD.

2.（2021.江西新余市.高一期末（文））如圖所示，A,B,C是圓。上的三點(diǎn)，線段CO的延長線與厶4的延

長線交于圓。外的一點(diǎn)。，若。。=加。4+〃。6，則加+鹿的取值范圍是.

D

【答案】(TO)

【解析】

如圖所示，由A,B,。三點(diǎn)共線，利用向量共線定理可得：存在實(shí)數(shù)4滿足00=204+(1-2)08,

OD=tOC，t<-l，tOC=WA+(\-X)OB,即。。=7。厶+丁08,與+兩比較，即

可得出.

【詳解】

解：如圖所示，

A,B,。三點(diǎn)共線，

存在實(shí)數(shù)2滿足0D=WA+(1-2)08,

又OD=tOC，t<-\,

:.tOC=WA+(\-X)OB,

J1_J

即OC=；OA+亍。8,與0C=〃?Q4+〃。分兩比較，

一r/Fi九1一幾

可得"I=—,n=----,

tt

則，〃+〃=1w(-1,0).

t

/71+〃的取值范圍是(一1,0).

故答案為：(一1,0).

3.(2021?寧夏銀川市?高三其他模擬(理))已知A(l,1),3(0,1),C(l,0),M為線段上一點(diǎn)，且

CM=ACB)若加?■SC〉兒布?M。，則實(shí)數(shù)力的取值范圍是.

【答案】「1一夜號，1I

【解析】

根據(jù)CM=7C9可得《.，再表示出M4M8,何C,8C坐標(biāo)，由條件可得一+寸一2丁40,再將

x=1—A

\,代入可得關(guān)于X的不等式，從而可得答案.

y=A.

【詳解】

%=1_X

解析：設(shè)點(diǎn)M(x,y),由CA/=4C5，得(x-l,y)=/l(—l,l),所以｛.

y=^

因?yàn)樗?1-x,l-y>(l,T”(r,l-y)(l-x,-y),

即1—x—1+yN—x+X?—y+y~,化簡得x~+y~-2y<0

將<；二，'代入/+：/一2y40,得(1—義)2+；12-2義40,即2^2—4X+1W0，

-<A<1+—.

22

因?yàn)镸為線段BC上一點(diǎn)，且CM=/ICB，所以0W/IWL綜上，可知1-也M4Ml.

2

「

故實(shí)數(shù)；I的取值范圍是1—-V2』1.

2

4.(江蘇高考真題)在同一個平面內(nèi)，向量方,而,灰的模分別為1,1,方與府的夾角為a,且tana=7,OB

與而的夾角為45°,若而=m視+n赤(m,7ieR),則漢+九=.

L

OA

【答案】3

【解析】

以。4為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則4(1,0),由沆的模為加與萬?與灰的夾角為a,且tana=7知，cosa=

y|,sina=y|,可得Cd),B(cos(a+45)sin(a+45。))，二B(一|,§,由OC=mCM+nOB可得&：)=

7

=5s

\jn--n,-nj,y74m=-,n=-,m+n=3,故答案為3.

I-5=-5n

5.（2021?福建漳州市?高一期末）在平面直角坐標(biāo)系宜為中，已知向量"7=,n=(sinx,cosx),

2'2

I丿

xe(O,?).若為//則％=;若存在兩個不同的X值，使得〃+，〃=，〃恒成立，則實(shí)數(shù)，的取值

范圍為

■z宀.3K

【答案】—

4

【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可求尢=手；用坐標(biāo)表示出,+加"“，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可得實(shí)數(shù)f的取值

范圍.

【詳解】

0.

由向量共線得----cosx=-------sinx，則tanx=—1,

22

4萬

又XG（0,%）,則％=??；

計算得用+〃=-----1-smx,cosx------,

I22丿

、2(6

2+2sin(工一；

則\m+n+sinx+------COSX

7I2丿

又存在兩個不同的x值，使得〃+，〃=/〃恒成立,

則f=j2+2sinx一(在(0,%)上有兩個不同的解,

冗713乃

令y=2+2sin[x-?,xe(0,^),由xe(0,?),得彳一^^

作出簡圖如下，所以有j2+0<r<2-

3K

故答案為：—

4

__uuuuuu

6.（2021?天津?yàn)I海新區(qū)?咼一期末）已知四邊形ABC。，ABBC=0>AD=ABC>AB=AD=\,S

.(i)A=_________；(ii)若。E=2EC，動點(diǎn)b在線段應(yīng):上，則。尸.FC的最大

|CB\ICDIZ

值為.

【答案】——

213

【解析】

7T

利用向量的數(shù)量積可得ZBCO=工，過點(diǎn)。作的垂線，垂足為。，可得OO=OC=1，進(jìn)而可得

4

BC=2AD,求出/I；以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,3。為x,y建立平面直角坐標(biāo)系，首先求出點(diǎn)E坐標(biāo)，設(shè)

F(x,y),利用向量共線求出x=5)，，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

CBCD41n,IIII

由両.両=子則44=卜#2際48=3，

因?yàn)椤〤De[0,句，所以=

過點(diǎn)。作BC的垂線，垂足為。，可得。O=OC=1,

因?yàn)锳B=AD—1?所以BC=2AD,

UUIUUUU1

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，3c8。為建立平面直角坐標(biāo)系，如圖:

則。(1,1),C(2,0),設(shè)雙孫〃)

由DE=2EC，即(根-1,〃-1)=2(2-W0-〃),

解得，即du),

JD\JJ丿

設(shè)產(chǎn)(工,丁)，0<x<-,0<y<^,

則8E=(|，；),BF=(x,y),

因?yàn)锽,三點(diǎn)共線，

所以gy=；x,即x=5y,

DF=(x-l,y-l),FC=(2-x,-y),

所以。戶.fC=(x_l)(2_x)+y(l_y)=(5y_l)(2_5y)+y_y2

(4Y6

=-26/+16y-2=-26y—-+—，

I13丿13

46

當(dāng)y=R時，。尸,尸。取得最大值為行.

故答案為：丄；—

213

7.(2021?全國高一專題練習(xí))已知4-2,4),8(3,-1),以-3,-4).設(shè)厶8=々,8。=。,04=八且。加=3c,CN=-2〃.

(1)求3。+。-3。；

(2)求滿足a=,泌+的實(shí)數(shù)，小n；

(3)求M,N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).

m=-1

【答案】(1)(6,-42)；(2)〈；(3)M(0,20),NQ,2),MN=(9,—18).

n--\

【解析】

(1)利用向量加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

(2)利用向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量相等即可求解.

(3)利用向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】

由已知得a=(5,-5),〃=(-6,-3),c—(1,8).

(I)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(l,8)

=(15-6-3,-15324)=(6,-42).

(2)mb+nc=(-6/w+n,-3zn+8n),

-6m+n-5[m=—\

.yc0-解得〈,.

—3m+8n=-5[〃=-l

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，0C=3c，

，OM=3c+OC=(3，24)+(-3,-4)=(0,20).

20).

又?：CN=ON-OC=~2b，

；.ON=-2b+OC",6)+(-3,-4)=(9,2),

.?.N(9,2),:.MN=(9,-18).

8.(2021.全國高一課時練習(xí))已知AABC的面積為S滿足百42s<3，且A88C=3,A3與的夾

角為。.求A8與8c夾角的取值范圍.

7rn

【答案】

【解析】

3

可設(shè)A3與BC夾角為。，則據(jù)題意得出。為銳角，且|43||3C|=告，從而根據(jù).ABC的面積Se

cos夕

可得出且領(lǐng)kan。1,這樣根據(jù)正切函數(shù)在（0,工）的單調(diào)性即可求出。的范圍.

32

【詳解】

解：AB-BC=3,

，AB,BC的夾角為銳角，設(shè)AB,BC的夾角為。，則：|AB||BC|cos9=3,

3

\AB\\BC\=

COS0

sG

2

若

世

一

22

對3

>/322-

一2

^3

2-

一2

^

3一

■■A8與8C夾角的取值范圍為

64

9.(2021?全國高一專題練習(xí))已知。，4,8是不共線的三點(diǎn)，且OP=mOA+〃O3(m,/?e/?)

(1)若加+"=1,求證：A,P,B三點(diǎn)共線；

(2)若A,P,8三點(diǎn)共線，求證：機(jī)+“=1.

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)由加+〃=1原式可代換為。尸=利。4+(1—加)。5,再由OP=[〃?+(1-〃?)]。尸，兩式聯(lián)立變形即可

求證；

(2)由A,P,B三點(diǎn)共線，可得”=丸冃5,變形得OP-QA=4(O8-OP),整理成關(guān)于。4,08的

表達(dá)式，再結(jié)合OP=mQ4+〃O8，由對應(yīng)關(guān)系即可求證

【詳解】

(1)證明：

若，"+〃=1,則OP=/na4+(l—加)03,OP=[〃2+(1—m)]。尸，

mOP+(1—MI)OP=mOA+(1—MJ)OB,HPm{()P—OA\=(1—in)(0B—0P\,

mAP=(\-m)>PB,即AP,BP共線，又AP,BP有公共點(diǎn)，則A,P,B三點(diǎn)共線;

（2）證明:

若A,P,8三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)九使得”=/1P5,變形得OP-O4=X（O8-OP）,即

0+為?！?。8+。4'8=丁=鬻+呂'又。「="辦+〃。8'￡+匕=1'故"+〃=1

10.（2021?北京首都師大二附高一期末）在AABC中./BAC=120。，AB=AC=\

（2）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A與原點(diǎn)重合，邊A8在x軸上，設(shè)動點(diǎn)尸在以A為圓心，A8為半

徑的劣弧8c上運(yùn)動.求3PCP的最小值.

31

【答案】（1）----;（2）-----.

22

【解析】

（1）由8（1,0）,C一；當(dāng),利用坐標(biāo)公式求得數(shù)量積即可.

（24）1（TT\

（2）設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為（cos。,sin。）owes：-,求得8PCP二彳-sin0+—,利用三角函數(shù)的最值

I3丿216丿

求得數(shù)量積的最值.

【詳解】

解：⑴3(1,0),C

AB.8C=(1，°)?-|,23

\72

（2）點(diǎn)P在以A為圓心，AB為半徑的劣弧BC上運(yùn)動,

<2乃、

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為（cosasin。）［,

\3丿

BPCP-(cos6-1,sing),cos9+；,sin9-曰］=cos2^-cos^+^cos^-^-+sin2^-^-sin(9

1.(

——sin0QH—,

2I6丿

c八,八j2乃「11乃,八7t,5乃

又—,則一—<—

66

一4sin

2

故當(dāng)sin=1時，BPCP有最小值一Q.

練真題

1.(2019?全國高考真題(理))已知A3=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,則A8-6C=()

【答案】C

【解析】

22

由8C=AC-A5=(l,r-3),|SC|=71+(^-3)=1,得f=3,則3c=(1,0),

LILUlLlUll

ABBC=(2,3)-(l,0)=2xl+3x0=2.故選C.

2.(2021?全國高考真題(理))已知向量a=(3,l),b=(l,0),c=a+妬.若a丄c，則左=

【答案】一羋.

3

【解析】

利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量c的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得％的值

【詳解】

-a=(3,1),6=(1,0),;.c=a+妨=(3+左,1),

d丄乙.=3(3+%)+lxl=0,解得％=-1,

故答案為：——.

3.(2021?全國高考真題(理))已知向量a=(1,3)]=(3,4),若(a—4勿丄匕，則幾=.

3

【答案】-

【解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出.

【詳解】

因?yàn)閍—肪=(1,3)—2(3,4)=(1—343—4/1),所以由(a—勸)丄b可得，

3(1—32)+4(3—44)=0,解得;1=,.

3

故答案為：—.

4.(2021?全國高考真題(文))已知向量a=(2,5)力=(44),若;〃)，則；I=.

Q

【答案】-

【解析】

利用向量平行的充分必要條件得到關(guān)于A的方程，解方程即可求得實(shí)數(shù)2的值.

【詳解】

由題意結(jié)合向量平行的充分必要條件可得：2x4-；1*5=0,

Q

解方程可得：2=-.

Q

故答案為：—.

5.(2018?北京高考真題(文))(2018年文北京卷)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m),若a丄(ma—b),則

nF.

【答案】T.

【解析】

a=(1,0),h=(-l,m),

：?ma—b=(m,0)—(—l,7n)=(m4-1,—m),

由五1(ma—b)得:a?(ma—b)=0,

：?a?(ma—6)=m+l=0,

即?n=-1.

1_.

6.(2020?北京高考真題)已知正方形ABC。的邊長為2,點(diǎn)戶滿足AP=/(A8+AC),則|PO|=

；PB?PD=?

【答案】舊-1

【解析】

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD所在直線分別為X、＞軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)A（0,0）、8（2,0）、C（2,2）、D（0,2）,

AP=；（AB+4Cj=；（2,0）+；（2,2）=（2』），

則點(diǎn)P（2,l）,.?.PO=（—2,1）,PB=（0,-l）,

因止匕，|PD|=^（-2）2+12=y/5,PBPD=0x（-2）+lx（-l）=-l.

故答案為：V5；-1.

專題6.3平面向量的應(yīng)用

練基礎(chǔ)

1.(2021.重慶九龍坡區(qū).高三二模)已知等邊aABC的邊長為2丿扌,尸為它所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且

\AP-AB-AC\=\＜則|AP|的最大值為（)

A.4百+1B.7C.5D.273-1

2.（2021?浙江高一期末）在八ABC中，ABBC=BCCA=CA.AB，則sinA:sin3:sinC=（）

32

A.5：3：4B.5：4：3C.非：2：下）D.石：6：2

3.【多選題】（2021?浙江高一期末）已知,.A3C中，角AB,C的對邊分別為a,4c,4"為BC邊上的高,

以下結(jié)論：其中正確的選項(xiàng)是（）

A.AH（AC-AB）=0B.ARBC＜0=AABC為銳角三角形

C.厶。,網(wǎng)=csin8D.BC-（AC-AB）=b2+c2-2bccosA

4.【多選題】（2021.麻城市實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)。為...A3C外接圓的圓心，|AC|=6,

NO4C=30。，則（）

A.OC=6B.OC=2A/3

C.OAOC=6D.OAOC=-6

5.（2021,河北高一期中）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙

爽弦圖”.類比趙爽弦圖，由3個全等的小三角形拼成如圖所示的等邊亠A3C,若二A3C的邊長為近，且

AF=FD，則..DEF的面積為.

6.（2021.蘇州市第三中學(xué)校高一期中）在,A8C中，AB=5,AC=10,ABAC=25＞點(diǎn)P是_A8C

內(nèi)（包括邊界）的一動點(diǎn)，且AP=|AB+/lAC（/le/?）,則卜尸上勺最大值是

7.（2021?河南商丘市?高一月考）在平面直角坐標(biāo)系X。），中，非零向量。=（根,2m），在圓

（x—3）2+（y—l）2=5上存在點(diǎn)尸，使得a.OP=a2,則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

8.（2021?浙江高三月考）已知平面向量4/夾角為?，且平面向量e滿足卜一4=k一司=1,

（0一4＞卜"）=一3，記用為“。=弧+（1-訓(xùn)（re/?）的最小值，則m的最大值是.

9.（2021?江蘇蘇州市?高一月考）我們知道，“有了運(yùn)算，向量的力量無限''.實(shí)際上，通過向量運(yùn)算證明某些

幾何圖形的性質(zhì)比平面幾何的“從圖形的己知性質(zhì)推出待證的性質(zhì)“簡便多了.下面請用向量的方法證明“三

角形的三條高交于一點(diǎn)”.已知A￡＞，BE,CF是,.ABC的三條高，求證：AD,BE,CF相交于一點(diǎn).

10.（2021?浙江高一期末）甲船在靜水中的速度為40海里/小時，當(dāng)甲船在點(diǎn)A時，測得海面上乙船擱淺在

其南偏東60°方向的點(diǎn)P處，甲船繼續(xù)向北航行0.5小時后到達(dá)點(diǎn)B,測得乙船P在其南偏東30。方向，

（1）假設(shè)水流速度為0,畫岀兩船的位置圖，標(biāo)出相應(yīng)角度并求出點(diǎn)8與點(diǎn)P之間的距離.

（2）若水流的速度為10海里/小時，方向向正東方向，甲船保持40海里/小時的靜水速度不變，從點(diǎn)8走

最短的路程去救援乙船，求甲船的船頭方向與實(shí)際行進(jìn)方向所成角的正弦值.

練提升

4?

1.（2020.江蘇高考真題）在AABC中，AB=4,AC=3,/B4C=90。,。在邊BC上，延長AD到P,使得AP=9,

若=〃7P8+（3-M）PC（根為常數(shù)），則C。的長度是_______.

2一—一一

2.（2021?寧夏石嘴山市?高三二模（理））AABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為小b,c,

x/3?sinCsin（A+C）=2csinAsin234-,則角3的值為；若a+c=6,則AC邊的中線的最小值

2

為.

3.（2021.全國高三專題練習(xí)（理））A3C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是且

2asinC=GccosA+csinA，則角A=;設(shè)點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)，若b+c=6，則線段AO的取

值范圍是.

4.（2021?浙江高一期末）在,..ABC中，AB-AC=6-G為其重心，直線￡）后經(jīng)過點(diǎn)G,且與射線A3、

s.

AC分別交于。、E兩點(diǎn)，記cAQG和..CEG的面積分別為H.S2,則當(dāng)試?取得最小值時，A0.AE的值

為,

5.（2021?上海普陀區(qū)?高三二模）如圖，在AABC中，C=gAC=g，BC=\.若。為AABC內(nèi)部

OAOBOC.|.N||?

的點(diǎn)且滿足H+H+M叫叫叫。牛

6.（2021?浙江高三其他模擬）已知單位向量a，e；與非零向量a滿足Rej+e2卜2加,a-^-e^O,

則pi-卜4+2,2）的最大值是.

7.（2021.上海浦東新區(qū).華師大二附中高三三模）已知邊長為2的正方形A38邊上有兩點(diǎn)P、Q,滿足

|P2|>L設(shè)。是正方形的中心，則OP-OQ的取值范圍是.