2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章《方程(組)與不等式(組)》第二節(jié)：分式方程及其應(yīng)用（附答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章《方程（組）與不等式（組）》第

二節(jié)：分式方程及其應(yīng)用

★解讀課標(biāo)★--------------熟悉課標(biāo)要求，精準(zhǔn)把握考點(diǎn)

1.能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型：

2.能解可化為一元一次方程的分式方程；

3.能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.

★中考預(yù)測(cè)★--------------統(tǒng)計(jì)考題頻次，把握中考方向

本考點(diǎn)內(nèi)容以考查分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考

查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查,分值為10分左右，預(yù)計(jì)2024年各地

中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問(wèn)題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免

丟分，學(xué)生應(yīng)扎實(shí)掌握。

★聚焦考點(diǎn)★--------------直擊中考考點(diǎn)，落實(shí)核心素養(yǎng)

分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

分式方程的解法1.解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是去分

母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡(jiǎn)公分母.

2.解分式方程的步驟：①找最簡(jiǎn)公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因

式；②去分母，方程兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母，約去分母，化為整式方程；

③解整式方程；④驗(yàn)根.

增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增

根.由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最

簡(jiǎn)公分母中，使最簡(jiǎn)公分母為零的根是增根，否則是原方程的根.

分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問(wèn)題，有工作量問(wèn)題、行程問(wèn)題等.

每個(gè)問(wèn)題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，

如：工作時(shí)間=，時(shí)間=馨等.

_在L作效翦率速度

列分式方程解應(yīng)用①設(shè)未知數(shù)；

題的一般步驟②找等量關(guān)系；

③列分式方程；

④解分式方程；

第1頁(yè)共40頁(yè)

⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問(wèn)題）；

⑥答.

★方法導(dǎo)引★--------------總結(jié)思想方法，提升解題效率

1.注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分

式方程的依據(jù).

2.解分式方程過(guò)程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要

漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是

零的解才是原方程的解.

3.增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根.若這個(gè)整式

方程本身無(wú)解，當(dāng)然原分式方程就一定無(wú)解.

★真題呈現(xiàn)★-------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點(diǎn)01分式方程的概念

1.（2022?南明區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（）

A.—-3=—B.—x--ly=5C.旦=乏+三D.-A—=1-2

2523'K322+xx

【考點(diǎn)】分式方程的定義.

【專題】分式方程及應(yīng)用；符號(hào)意識(shí).

【答案】D

【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母里含有字母的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷.

【解答】解：A.方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；

B.方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；

C.方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，n是常數(shù)，故不是分式方程；

D.方程分母中含未知數(shù)X,故是分式方程.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式方程的定義，判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)

分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表

示未知數(shù)的字母）.

2.（2022??？谀M）叫分式方程.

【考點(diǎn)】分式方程的定義.

第2頁(yè)共40頁(yè)

【專題】分式方程及應(yīng)用；符號(hào)意識(shí).

【答案】分母中含未知數(shù)的方程.

【分析】根據(jù)分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程即可得出答案.

【解答】解：分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.

故答案為：分母中含有未知數(shù)的方程.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程是解題

的關(guān)鍵.

★變式訓(xùn)練★-------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)

1.（2022秋?青龍縣期中）方程2=3、!」一、三=2、上一一中分式方程的個(gè)數(shù)

x+1xX-12X-1乂2-1

是（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】分式方程的定義.

【專題】分式方程及應(yīng)用；符號(hào)意識(shí).

【答案】C

【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【解答】解：根據(jù)分式方程的定義可知：工一=3、工」----匚一一是分式方程，

x+1xx-1x-1

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是分式方程的定義，熟知判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這

個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)，這是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2022春?鄭州期末）請(qǐng)寫出一個(gè)未知數(shù)是x的分式方程，并且當(dāng)x=l時(shí)沒(méi)有意

義.

【考點(diǎn)】分式方程的定義.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】

X-1

【分析】根據(jù)分式方程的定義及分式無(wú)意義的條件即可得到答案.

【解答】解：一個(gè)未知數(shù)是X且當(dāng)x=l時(shí)沒(méi)有意義的分式方程為工=6（答案不唯一）?

X-1

故答案為：一--=6.

x-l

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是分式方程的定義及分式無(wú)意義的條件，分母中含有未知數(shù)的方程

第3頁(yè)共40頁(yè)

叫做分式方程.

★真題呈現(xiàn)★--------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點(diǎn)02分式方程的解法

2

1.（2022?海南）分式方程三-1=0的解是（）

x-1

A.x=lB.x=—2C.x=3D.x=—3

【答案】c

【分析】按照解分式方程的步驟解答即可.

【詳解】解：-^2-1=0

x-\

2-（x-1）=0

2-x+l=0

-x=-3

x=3

檢驗(yàn)，當(dāng)x=3時(shí)，x-l#0,故x=3是原分式方程的解.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解分式方程的基本步驟為去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合

并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,以及檢驗(yàn)，特別是檢驗(yàn)是解分式方程的關(guān)鍵.

3r

2.（2022?湖南岳陽(yáng)）分式方程上j=2的解為工=.

【答案】2

【分析】去分母，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，再對(duì)所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.

3Y

【詳解】解：上-=2,

3x=2x4-2,

x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是方程的解.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，熟練掌握分式方程的解法，注意對(duì)所求的根進(jìn)行檢驗(yàn)是

解題的關(guān)鍵.

21

3.（2022?北京）方程―7=上的解為__________.

x+5x

【答案】x=5

第4頁(yè)共40頁(yè)

【分析】觀察可得最簡(jiǎn)公分母是x(x+5),方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程求解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可得解.

【詳解】解：展2」1

x+5x

方程的兩邊同乘x(x+5),得：2x=x+5,解得：x=5,經(jīng)檢驗(yàn)：把x=5代入x(x+5)=50W0.故

原方程的解為：x=5

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的求解方法，注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，注意解分式方程一定

要驗(yàn)根.

4.(2022?四川成都)分式方程一+--=1的解是_________.

x-44-x

【答案】x=3

【分析】找出分式方程的最簡(jiǎn)公分母，方程左右兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母后再利用

去括號(hào)法則去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x的系數(shù)化為1,求出x的值，將求出的x的值代入最筒

公分母中進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得到原分式方程的解.

解：化為整式方程為：3-x-1=x-4,

解得：x=3,

經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的解，

故答案為：x=3.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解法.注意解分式方程一定要驗(yàn)根，熟練掌握分式方程的解

法是關(guān)鍵.

5.(2022?黑龍江齊齊哈爾)若關(guān)于x的分式方程一二+一々=乎?的解大于1,則m的

取值范圍是

【答案】m>0且mWl

【分析】先解分式方程得到解為》=m+1，根據(jù)解大于1得到關(guān)于m的不等式再求出m的取

值范圍，然后再驗(yàn)算分母不為0即可.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以(x+2)(x-2)得到：x+2+2(x-2)=x+2〃?，

整理得到：x=m+\,

???分式方程的解大于1,

m+\>1,解得：m>0,

第5頁(yè)共40頁(yè)

又分式方程的分母不為0,

，機(jī)+1?2且加+1?2,解得：，*#1且〃7工-3,

.?.m的取值范圍是m>0且m#L

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，要注意分式方程的分母不為0這個(gè)隱藏條

件.

6.解方程：

XX—1

(1)(2022?廣西玉林)——=-----.

x-12x—2

【答案】x=-l

【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以公分母(x-1),先去分母化為整式方程，計(jì)算出X,然后檢驗(yàn)分母不

為0,即可求解.

2''

解得x=-l,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-l是原方程的解，

故原方程的解為：x=-1

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，注意分式方程要檢驗(yàn).

(2)(2022?眉山).

x-12x+l

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：

x-l2x+l

方程兩邊同乘(X-1)(2x+l)得：

2x+l=3(x-1),

解這個(gè)整式方程得：

x=4,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，(x-1)(2x+l)#0,

???x=4是原方程的解.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，熟記解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，需要特別注意

第6頁(yè)共40頁(yè)

解分式方程需要檢驗(yàn).

24

(3)(2022?廣西梧州)1----=——

3-xx-3

【答案】x=5

【分析】先方程兩邊同時(shí)乘以(x-3),化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可.

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以(x-3)得到：X—3+2=4,

解出：x=5,

當(dāng)x=5時(shí)分式方程的分母不為0,

分式方程的解為：x=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過(guò)程中細(xì)心即可.

(4)(2022?西寧)解方程：—^―-0.

x2上+xX2-X

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】利用解分式方程的一般步驟解答即可.

【解答】解：方程兩邊同乘以X(x+l)(X-1)得：

4(x-1)-3(x+l)=0.

去括號(hào)得：

4x-4-3x-3=0,

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：

x=7.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=7時(shí)，，x(x+l)(x-1)W0,

；.x=7是原方程的根.

Ax=7.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程，利用解分式方程的一般步驟解答是解題的關(guān)鍵.

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)

32

1.(2022?遼寧營(yíng)口)分式方程二=—的解是()

xx-2

A.x=2B.x=—6C.x=6D.x=-2

【答案】c

【分析】先去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出答案，最后檢驗(yàn)即可.

第7頁(yè)共40頁(yè)

【詳解】解：±3=三2，

xx-2

去分母，得3（x-2）=2x,

去括號(hào)，得3x-6=2x,

移項(xiàng)，得3x—2x=6,

所以x=6.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

2.（2022?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程幺二/-丁二=1的解是正數(shù)，則m的取值范圍

X-1[-X

是（）

A.〃？>4B.m<4C.，〃>4且加w5D.〃？<4且，

【答案】C

【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，根據(jù)分式方程的解為正

數(shù)得到加一4>0且加一4一140,即可求解.

【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以（X-D,得2x-m+3=x-l,

解得x=M-4,

,關(guān)于X的分式方9_r程—M7三怖3=1的解是正數(shù)，

x-11-X

x>0,且X-1H0,

即加一4>0且加一4-1工0,

，〃>4且相片5,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不為0,熟練掌握知識(shí)

點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖南長(zhǎng)沙）分式方程42=—5的解是.

【答案】x=2

【詳解】解：兩邊同乘x（x+3）,得2（x+3）=5x,解得x=2,

經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的根；

故答案為：x=2.

【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：解分式方程.

第8頁(yè)共40頁(yè)

4.(2022?濟(jì)南)代數(shù)式旦與代數(shù)式上的值相等，則x=_____.

x+2x-1

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】7.

【分析】根據(jù)題意列方程，再根據(jù)解分式方程的步驟和方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得，

3_2

x+2x-1

去分母得，3(x-1)—2(x+2),

去括號(hào)得,3x-3=2x+4,

移項(xiàng)得,3x-2x=4+3,

解得x=7,

經(jīng)檢驗(yàn)x=7是原方程的解，

所以原方程的解為x=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法是正確解答的前提，注意

解分式方程要檢驗(yàn).

5.解方程：

(1)(2022?隨州)』=_E.

xx+3

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】方程思想；運(yùn)算能力.

【分析】把分式方程化為整式方程，解整式方程即可.

【解答】解：工二土左右兩邊同時(shí)乘以(x+3)x得

xx+3

x+3=4x,

3=3x,

x=l.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=l時(shí)，分母x(x+3)WO,

???x=l是原分式方程的解.

第9頁(yè)共40頁(yè)

【點(diǎn)評(píng)】考查解分式方程，關(guān)鍵是去分母把分式方程變整式方程.

(2)(2022?蘇州)-^+3=1.

x+1x

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】先兩邊同乘以X(x+1)化為整式方程：x，3(x+1)=x(x+1),解整式方程得

x=-3,再檢驗(yàn)即可得答案.

2

【解答】解：方程兩邊同乘以x(x+1)得：

X2+3(X+1)=x(x+1),

解整式方程得：X=-1,

2

經(jīng)檢驗(yàn)，x=-3是原方程的解，

2

二原方程的解為x=-3.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的一般步驟，特別注意解

分式方程必須檢驗(yàn).

2xI

(3)(2022?江蘇宿遷)——=1+——.

x-2x-2

【答案】x=-1

【分析】根據(jù)解分式方程的步驟，先去分母化為整式方程，再求出方程的解，最后進(jìn)行檢驗(yàn)

即可.

2x—x-2+1,

x=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是原方程的解，

則原方程的解是*=-1.

【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，得出方程的解之后一定要驗(yàn)根.

(4)(2022?青海)1=————.

x-2X2-4X+4

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

第10頁(yè)共40頁(yè)

【解答】解:-1=4

>-2X2-4X+4

—^―-1=-------,

2

x-2（x-2）

x（x-2）-（x-2）’=4,

解得：x=4,

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，（x-2）V0,

，x=4是原方程的根.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn).

★真題呈現(xiàn)★---------------直面中考考題，總結(jié)考法學(xué)法

考點(diǎn)03分式方程的應(yīng)用

1.（2022?山東泰安）某工程需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，如果甲工程隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完

成；如果乙工程隊(duì)單獨(dú)做，則多用3天，現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做2天，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)做，

恰好如期完成，求規(guī)定時(shí)間.如果設(shè)規(guī)定日期為x天，下面所列方程中錯(cuò)誤的是（）

A.-+^-=1B.-=^-C.0+―^）x2+與=1D.-+-^-=1

xx+3xx+31Xx+3Jx+3xx+3

【答案】D

【分析】設(shè)總工程量為1,因?yàn)榧坠こ剃?duì)單獨(dú)去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率為

因?yàn)橐夜こ剃?duì)單獨(dú)去做，要超過(guò)規(guī)定日期3天，所以乙的工作效率為一二，根據(jù)甲、

乙兩隊(duì)合做2天，剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，列方程即可.

【詳解】解：設(shè)規(guī)定日期為x天，由題意可得，（L+―1]X2+==1,

（xx+3Jx+3

整理得上2+/x7=1,或2』=1-x一J或24=-3j.

xx+3xx+3xx+3

則ABC選項(xiàng)均正確，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意,設(shè)出未知數(shù)，

找出合適的等量關(guān)系，列方程.

2.（2022?山東臨沂）將5kg濃度為98%的酒精，稀釋為75%的酒精.設(shè)需要加水xkg,根

據(jù)題意可列方程為（）

A.0.98x5-0.75xB.0,8x5=0.75C.0.75x5-0.98%D.0,75x5=0.98

5+x5-x

【答案】B

【分析】利用酒精的總質(zhì)量不變列方程即可.

第11頁(yè)共40頁(yè)

【詳解】設(shè)需要加水xkg,

日0.98x5

由題思得—----=0.75,

5+x

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2022?遼寧)2022年3月23日“天官課堂”第二課在中國(guó)空間站開講了，精彩的直播

激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣.某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，

決定購(gòu)入A、B兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)是B款套裝單價(jià)的1.2倍，用9900

元購(gòu)買的A款套裝數(shù)量比用7500元購(gòu)買的B款套裝數(shù)量多5套.求A、B兩款套裝的單價(jià)分

別是多少元.

【答案】A款套裝的單價(jià)是180元、B款套裝的單價(jià)是150元.

【分析】設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是L2x元，即可得出關(guān)于x的分式

方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)B款套裝的單價(jià)是x元，則A款套裝的單價(jià)是1.2x元，

,99007500"

由題意得：——=——+5,

1.2xx

解得：x=150,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=150是原方程的解，且符合題意，

Al.2x=180.

答：A款套裝的單價(jià)是180元、B款套裝的單價(jià)是150元.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

4.(2022?廣西桂林)今年，某市舉辦了一屆主題為“強(qiáng)國(guó)復(fù)興有我”的中小學(xué)課本劇比賽.某

隊(duì)伍為參賽需租用一批服裝，經(jīng)了解，在甲商店租用服裝比在乙商店租用服裝每套多10元，

用500元在甲商店租用服裝的數(shù)量與用400元在乙商店租用服裝的數(shù)量相等.

(1)求在甲，乙兩個(gè)商店租用的服裝每套各多少元？

(2)若租用10套以上服裝，甲商店給以每套九折優(yōu)惠.該參賽隊(duì)伍準(zhǔn)備租用20套服裝，請(qǐng)

問(wèn)在哪家商店租用服裝的費(fèi)用較少，并說(shuō)明理由.

【答案】(D甲，乙兩個(gè)商店租用的服裝每套各50元，40元

(2)乙商店租用服裝的費(fèi)用較少，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)解：設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套(x+10)元，由題

第12頁(yè)共40頁(yè)

意列篝=竽解分式方程并檢驗(yàn)即可得出答案?

（2）分別計(jì)算甲、乙商店的費(fèi)用，比較大小即可得出答案.

（1）解：設(shè)乙商店租用服裝每套x元，則甲商店租用服裝每套（x+10）元,

但500400

由題意可得：——=——

x+10x

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是該分式方程的解，并符合題意,

.*.x+10=50,

甲，乙兩個(gè)商店租用的服裝每套各50元，40元.

（2）解：乙商店租用服裝的費(fèi)用較少.

理由如下:

該參賽隊(duì)伍準(zhǔn)備租用20套服裝時(shí)，甲商店的費(fèi)用為：50X20X0.9=900（元），乙商店的

費(fèi)用為：40X20=800（元），

V900>800,

.??乙商店租用服裝的費(fèi)用較少.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，能夠根據(jù)題意找出等量關(guān)系建立方程是解決本題

的關(guān)鍵，但要注意分式方程的解需要進(jìn)行檢驗(yàn).

★變式訓(xùn)練★--------------深挖數(shù)學(xué)思想，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)

1.（2022?云南）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木,

該活動(dòng)開始后、實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植

樹300棵所需時(shí)間相同.設(shè)實(shí)際每天植樹x棵.則下列方程正確的是（）

*400300,300400八400300、300400

A.-----=—B.-----=—C.-----=—D.-----=一

x-50xx-50xx+50xx+50x

【答案】B

【分析】設(shè)實(shí)際平均每天植樹x棵，則原計(jì)劃每天植樹（x-50）棵，根據(jù)：實(shí)際植樹400

棵所需時(shí)間=原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間，這一等量關(guān)系列出分式方程即可.

【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天植樹x棵，則原計(jì)劃每天植樹（x-50）棵，

根據(jù)題意，可列方程：獸;=必叫，故選：B.

x-50x

【點(diǎn)睛】此題考查了由實(shí)際問(wèn)題列分式方程，關(guān)鍵在尋找相等關(guān)系，列出方程.

2.（2022?山東濰坊）觀察我國(guó)原油進(jìn)口月度走勢(shì)圖，2022年4月原油進(jìn)口量比2021年4

第13頁(yè)共40頁(yè)

月增加267萬(wàn)噸，當(dāng)月增速為6.6%(計(jì)算方法：笑;xl00%a6.6%).2022年3月當(dāng)月

4036

增速為-14.0%,設(shè)2021年3月原油進(jìn)口量為x萬(wàn)噸，下列算法正確的是()

原油進(jìn)口月度走勢(shì)

4月1-2月

=□當(dāng)月進(jìn)口量(萬(wàn)噸)—當(dāng)月增速(%)

Y-42714271-x

A.x100%=-14.0%B.-x100%=-14.0%

42714271

Y-42714271-x

C.--------x100%=-14.0%D.―-~~-x100%=-14.0%

xx

【答案】D

【分析】根據(jù)題意列式即可.

【詳解】解：設(shè)2021年3月原油進(jìn)口量為x萬(wàn)噸,

則2022年3月原油進(jìn)口量比2021年3月增加(4271-x)萬(wàn)噸，

4271-x

依題意得：—~-x100%=-14.0%,故選：D.

x

【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程，關(guān)鍵是找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系.

3.(2022?江西)甲、乙兩人在社區(qū)進(jìn)行核酸采樣，甲每小時(shí)比乙每小時(shí)多采樣10人，甲

采樣160人所用時(shí)間與乙采樣140人所用時(shí)間相等，甲、乙兩人每小時(shí)分別采樣多少人？設(shè)

甲每小時(shí)采樣x人，則可列分式方程為.

【分析】先表示乙每小時(shí)采樣(x-10)人，進(jìn)而得出甲采樣160人和乙采樣140人所用的時(shí)

間，再根據(jù)時(shí)間相等列出方程即可.

【詳解】根據(jù)題意可知乙每小時(shí)采樣(x-10)人，根據(jù)題意，得毀=

xx-10

第14頁(yè)共40頁(yè)

故答案為：岑=事

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列分式方程，確定等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵.

4.（2022?吉林長(zhǎng)春）為了讓學(xué)生崇尚勞動(dòng)，尊重勞動(dòng)，在勞動(dòng)中提升綜合素質(zhì)，某校定

期開展勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).甲、乙兩班在一次體驗(yàn)挖土豆的活動(dòng)中，甲班挖1500千克土豆與乙

班挖1200千克土豆所用的時(shí)間相同.已知甲班平均每小時(shí)比乙班多挖100千克土豆，問(wèn)乙

班平均每小時(shí)挖多少千克土豆？

【答案】乙班每小時(shí)挖400千克的土豆

【分析】設(shè)乙班每小時(shí)挖x千克的土豆，則甲班每小時(shí)挖（100+x）千克的土豆，根據(jù)題意列

出分式方程即可求解.

【詳解】設(shè)乙班每小時(shí)挖x千克的土豆，則甲班每小時(shí)挖（100+x）千克的土豆，

用田中?生?七

根據(jù)題意有：—150—0=1——200，

x+100x

解得：x=400,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=400是原方程的根,

故乙班每小時(shí)挖400千克的土豆.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意列出分式方程是解答本題的關(guān)鍵.

5.（2022?江蘇揚(yáng)州）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級(jí)（1）班的4個(gè)小組

制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩

旗才能完成任務(wù).如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？

【答案】每個(gè)小組有學(xué)生10名.

【分析】設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名，根據(jù)題意列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果.

【詳解】解：設(shè)每個(gè)小組有學(xué)生x名,

360360

根據(jù)題意，得

3x4x

解這個(gè)方程，得x=10,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=10是原方程的根,

.?.每個(gè)小組有學(xué)生10名.

【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

（2022?重慶）在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛(ài)好者約定從A

地沿相同路線騎行去距A地30千米的8地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

（1）若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎行的速

第15頁(yè)共40頁(yè)

度；

（2）若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)8地，求甲騎行的速

度.

【答案】（1）24千米/時(shí)（2）18千米/時(shí)

【分析】（1）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2x千米/時(shí)，根據(jù)甲出發(fā)半小時(shí)恰

好追上乙列方程求解即可：（2）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2x千米/時(shí)，根

據(jù)甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)B地列方程求解即可.

（1）解：設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為L(zhǎng)2x千米/時(shí)，

由題意得：（）.5xl.2x=0.5x+2,解得：x=20,

則1.2x=24（千米/時(shí)），

答：甲騎行的速度為24千米/時(shí)；

（2）設(shè)乙的速度為x千米/時(shí)，則甲的速度為1.2x千米/時(shí)，

由題意得：-30-41=-3^0-,解得x=15,

x3l.2x

經(jīng)檢驗(yàn)&=15是分式方程的解，

則1.2x=18（千米/時(shí)），

答：甲騎行的速度為18千米/時(shí).

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程

是解題的關(guān)鍵.

★熱身小卷★--------------夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，提升能力水平

一.選擇題：

22

1.（2022?永嘉縣三模）解方程x-3x用工以下去分母正確的是（）

x-22-x

A.x2-3x-x2-3=5B.x2-3x-x2+3=5

C.x2-3x-xJ-3=5（x-2）D.x2-3x-x2+3=5（x-2）

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】利用等式的性質(zhì)在分式方程兩邊分別乘（x-2）即可.

【解答】解：A、X2-3X-X2+3=5（x-2）,故此選項(xiàng)不符合題意.

x2-3x-X2+3=5（X-2）,故此選項(xiàng)不符合題意.

第16頁(yè)共40頁(yè)

C^x2-3x-X2+3=5(x-2),故此選項(xiàng)不符合題意.

D、x2-3x-X2+3=5(x-2),故此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解分式方程去分母，根據(jù)等式的性質(zhì)在分式方程兩邊分別乘以

分母的最簡(jiǎn)公分母，熟練掌握等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

2.(2022?石家莊三模)小明和小亮在解答“解分式方程：在至=1-2二工”的過(guò)程如框

xx

對(duì)他們的解答過(guò)程(每一步只對(duì)上一步負(fù)責(zé))有以下判斷，判斷錯(cuò)誤的是()

小明的解法：小亮的解法：

解：去分母得：2x+3=l-(x-1)①解：去分母得：2x+3=x-(x-1)①

去括號(hào)得：2x+3=1-x+l(2)去括號(hào)得：2x+3=x-x+1,②

移項(xiàng)得：2x+x=l+l-3③移項(xiàng)得：2x=-3+1③

合并同類項(xiàng)得：3x=-l④合并同類項(xiàng)得：2x=-2④

系數(shù)化為1得：x=-3⑤系數(shù)化為1得：x=-l⑤

；.x=-3是原分式方程的解⑥

A.小明的步驟①錯(cuò)誤，漏乘

B.小明的步驟②、③、④都正確

C.小明的步驟⑤錯(cuò)誤

D.小亮的解答完全正確

【考點(diǎn)】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】I)

【分析】觀察解方程的步驟，找出出錯(cuò)的即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

小亮的解答沒(méi)有檢驗(yàn)過(guò)程，出錯(cuò)；

小明的步驟①錯(cuò)誤，漏乘，

小明的步驟②、③、④都正確，

小明的步驟⑤錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵.

第17頁(yè)共40頁(yè)

3.（2022?荷塘區(qū)校級(jí)二模）分式方程Z+-—=2的解為x=2,則a的值為（）

xx-l

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】分式方程的解.

【專題】分式方程及應(yīng)用：運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】把x=2代入原方程，解方程即可.

【解答】解：把x=2代入原方程，2+3=2,

XX-1

l+a=2,

解得a=l,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，掌握分式方程的解的定義，注意檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.

2m

4.（2022?四川遂寧）若關(guān)于x的方程一二：；―；無(wú)解，則m的值為（）

x2x+\

A.0B.4或6C.6D.0或4

【答案】D

【分析】現(xiàn)將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無(wú)解的情況分類討論，當(dāng)加-4=0時(shí)，當(dāng)

機(jī)一4#（）時(shí)，％=0或2x+l=0,進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】方程兩邊同乘x（2x+l）,得2（2x+l）=〃優(yōu)，整理得（〃L4）X=2,

原方程無(wú)解，，當(dāng)機(jī)一4二0時(shí)，機(jī)=4；

21

當(dāng)他一4w0時(shí)，x=0或2x+l=0,止匕時(shí)，x=----,解得x=0或1=一：7，

團(tuán)一42

2

當(dāng)冗=0時(shí)，x=---7=。無(wú)解；

機(jī)一4

I21

當(dāng)工=-彳時(shí)，x=----=-角軍得相=0;

2團(tuán)一42

綜上，m的值為0或4；故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡(jiǎn)公

分母為0和化成的整式方程無(wú)解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?黑龍江哈爾濱）方程展=±的解為（）

x-3x

A.x=3B.x=-9C.x=9D.x=—3

【答案】C

第18頁(yè)共40頁(yè)

【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到X的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得

到分式方程的解.

【詳解】解：義2=士3

x-3x

去分母得：2x=3（x-3）,

去括號(hào)得：2x=3x-9,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：-x=-9,

解得：x=9,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=9是原分式方程的解，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗(yàn)，

避免出現(xiàn)增根.

6.（2022?四川德陽(yáng)）關(guān)于x的方程生號(hào)=1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是（）

x-1

A.a>—1B.a>—1且aWOC.aV—1D.aV—1且a2—2

【答案】D

【分析】將分式方程變?yōu)檎椒匠糖蟪鼋猓俑鶕?jù)解為正數(shù)且不能為增根，得出答案.

【詳解】方程左右兩端同乘以最小公分母x-1,得2x+a=xT.解得：x=-aT且x為正數(shù).所

以-aT>0,解得aVT,且aW-2.（因?yàn)楫?dāng)a=-2時(shí)，方程不成立.）

【點(diǎn)睛】本題難度中等，易錯(cuò)點(diǎn)：容易漏掉了a#-2這個(gè)信息.

7.（2022?利川市模擬）關(guān)于x的方程里」一=0有解，則m的取值范圍是（）

Xx+1

A.mWOB.mWlC.mNO或mHlD.m#0且

【考點(diǎn)】分式方程的解.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

【分析】去分母，化分式方程為整式方程，由分式方程有解得出xWO且xN-1,據(jù)此可

得m的范圍.

【解答】解：去分母，得：m（x+1）-x=0,

整理，得：mx+m-x=0,

即x=-』-,

m-1

第19頁(yè)共40頁(yè)

?.?分式方程有解，

-^-#0且--1且m-1W0,

m-1m-1

則mWO且mWl,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分式方程的解，由分式方程有解得出x的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?廣西）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個(gè)

長(zhǎng)為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是8：13,且四周邊襯的寬

度相等，則邊村的寬度應(yīng)是多少米?設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程

1.4-x81.4+x81.4—2x81.4+2x8

A.-----=—B.------——C.-------——D.-------——

2.4-X132.4+x132.4-2x132.4+2x13

【答案】D

【分析】設(shè)邊襯的寬度為x米，則整幅圖畫寬為（1.4+2x）米，整幅圖畫長(zhǎng)為（2.4+2x）米，根

據(jù)整幅圖畫寬與長(zhǎng)的比是8：13,列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意，得

【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.（2022?鄂爾多斯二模）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b,定義一種新運(yùn)算為：于，這里

a-b2

等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：183=」^：二」.則方程x@（一2）」--1的解是（）

1-328x-4

A.x=5B.x=6C.x=7D.x=8

【考點(diǎn)】解分式方程；實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】新定義；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】所求方程利用題中的新定義化簡(jiǎn),求出解即可.

第20頁(yè)共40頁(yè)

【解答】解：根據(jù)題意，得,=2-1,

x-4x-4

去分母得：1=2-（x-4）,

解得：x=5,

經(jīng)檢驗(yàn)x=5是分式方程的解.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

X-1》號(hào)L'的解集為XW-2,且關(guān)于

10.（2022?重慶）若關(guān)于x的一元一次不等式組4

5x_l<a

y的分式方程工工=_1--2的解是負(fù)整數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）

y+1y+1

A.-26B.-24C.-15D.-13

【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組.

【專題】分式方程及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【答案】D

'x4-2

【分析】解不等式組得出/a+1，結(jié)合題意得出a>-11.解分式方程得出丫=三3，

x<83

b

結(jié)合題意得出a=-8或-5,進(jìn)而得出所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是-8-5=-13,

即可得出答案.

*1)3得一x4-2

【解答】解：解不等式組4a+l'

x<

5x-l<a5

:不等式組Ix"3的解集為xW-2,

5xT<a

-2,

5

Aa>-11,

解分式方程工工=，一-2得：y=Ql,

y+1y+13

；y是負(fù)整數(shù)且yr-1,

...三工是負(fù)整數(shù)且總二工--1,

33

.,.a=-8或-5,

所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是-8-5=-13,

第21頁(yè)共40頁(yè)

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解，解一元一次不等式組，正確求解分式方程和一元一

次不等式組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二.填空題：

11.（2022?浙江金華）若分式三2的值為2,則x的值是

x-3

【答案】4

【分析】根據(jù)題意建立分式方程，再解方程即可；

【詳解】解：由題意得：T=2

x-3

去分母：2=2（x-3）

去括號(hào)：2-2x-6

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)：2x=8

系數(shù)化為1：x=4

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解，

故答案為：4；

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵.

215

12.（2022?湖南常德）方程［+而二可=上的解為.

【答案】x=4

【分析】根據(jù)方程兩邊同時(shí)乘以2x（x-2）,化為整式方程，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可求解，最后

注意檢驗(yàn).

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2x（x-2）,

2x2（x-2）+2=5x（x-2）

4x—8+2=5x70

解得x=4

經(jīng)檢驗(yàn)，x=4是原方程的解

故答案為：x=4

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解分式方程一定要注意檢驗(yàn).

13.（20