江蘇省常州市金壇區(qū)2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page242023年秋學(xué)期高二期中質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效，3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為又直線斜率為，所以，又，所以，故選：C2.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.且【答案】A【解析】【分析】由焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程的結(jié)構(gòu)特征列出關(guān)于m的不等式組求解即得.【詳解】因方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A3.某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05m C.2.7m D.5.4m【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上．設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線上，所以，解得，因此，該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.4.已知、，直線過(guò)定點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.或【答案】A【解析】【分析】設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，其中，利用斜率公式可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，其中，所以，.故選：A.5.17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程(k>0，k≠1，a≠0)表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長(zhǎng)軸AB(異于A，B兩點(diǎn))引垂線，垂足為Q，則為常數(shù).據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（）A.橢圓的離心率 B.橢圓離心率的平方C.短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 D.短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)比的平方【答案】D【解析】【分析】特殊化，將P取為橢圓短軸端點(diǎn).【詳解】設(shè)橢圓方程為，為上頂點(diǎn)，則為原點(diǎn).，，則.故選：D.6.已知橢圓C：上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得四邊形為矩形，得，然后在中，表示出，再利用橢圓的定義列方程化簡(jiǎn)可求出離心率.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以根?jù)橢圓的對(duì)稱性可知：四邊形為矩形，所以，在中，，根據(jù)橢圓定義可知：，所以，所以，，所以，所以離心率為故選：B．7.若方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將化為，作出直線與半圓的圖形，利用兩個(gè)圖形有個(gè)公共點(diǎn)，求出切線的斜率，觀察圖形可得解.【詳解】解：由得，所以直線與半圓有個(gè)公共點(diǎn)，作出直線與半圓的圖形，如圖：當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，，解得或（舍），由圖可知，當(dāng)直線與曲線有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，故選：B.8.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】實(shí)數(shù)，滿足，通過(guò)討論，得到其圖象是橢圓、雙曲線的一部分組成的圖形，借助圖象分析可得的取值就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，求出切線方程根據(jù)平行直線距離公式算出最小值，和最大值的極限值即可得出答案.【詳解】因?qū)崝?shù)，滿足，所以當(dāng)時(shí)，，其圖象是位于第一象限，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的一部分（含點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第四象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象是位于第二象限，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的一部分，當(dāng)時(shí)，其圖象不存在，作出橢圓和雙曲線的圖象，其中圖象如下：任意一點(diǎn)到直線的距離所以，結(jié)合圖象可得的范圍就是圖象上一點(diǎn)到直線距離范圍的2倍，雙曲線，其中一條漸近線與直線平行通過(guò)圖形可得當(dāng)曲線上一點(diǎn)位于時(shí)，取得最小值，無(wú)最大值，小于兩平行線與之間的距離的倍，設(shè)與其圖像在第一象限相切于點(diǎn)，由因?yàn)榛颍ㄉ崛ィ┧灾本€與直線的距離為此時(shí)，所以的取值范圍是．故選：C．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一條直線都存在傾斜角和斜率B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為C.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】A注意垂直于x軸的直線；B由對(duì)稱點(diǎn)所在直線的斜率與斜率關(guān)系，及其中點(diǎn)在對(duì)稱直線上判斷正誤；C求直線與數(shù)軸交點(diǎn)即可求面積；D注意直線也符合要求即可判斷.【詳解】A：垂直于x軸的直線不存在斜率，錯(cuò)誤；B：由、中點(diǎn)為且，兩點(diǎn)所在直線的斜率為，故與垂直，正確；C：令有，令有，所以圍成的三角形的面積是，正確；D：由也過(guò)且在x軸和y軸上截距都為0，錯(cuò)誤.故選：BC10.已知直線，圓，則（）A.直線恒過(guò)定點(diǎn)B.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為D.當(dāng)時(shí)，直線上存在點(diǎn)，使得以為圓心，為半徑的圓與圓相交【答案】ACD【解析】【分析】由直線的方程，直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，【詳解】對(duì)于A，方程可化為，由得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)與圓相切時(shí)，則圓心到直線距離，解得，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線方程為，圓心到直線距離，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線方程為，圓心到直線的距離，則直線上存在點(diǎn)使得以為圓心，為半徑的圓與圓相交，故D正確，故選：ACD11.已知點(diǎn)P在圓上，點(diǎn)，，，則（）A. B.當(dāng)面積最大時(shí)，C.當(dāng)最小時(shí)， D.當(dāng)最大時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離、三角形的面積、角的大小等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，則，，，所以，A選項(xiàng)正確.，當(dāng)，時(shí)，面積最大，對(duì)應(yīng)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于CD選項(xiàng)，只需過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切即可，而，則當(dāng)與圓相切時(shí)，，所以CD選項(xiàng)正確.故選：ACD12.在數(shù)學(xué)史上，平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積等于1，化簡(jiǎn)得曲線.則下列結(jié)論正確的是（）A.滿足的點(diǎn)P有兩個(gè) B.的最小值為2C.的面積大于 D.的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：由解出即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)：結(jié)合條件利用基本不等式得到即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)：由面積為即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)：根據(jù)條件得到，從而求得，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式和條件得到即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由可得：，所以，解得：，代入，則，解得：，所以滿足的點(diǎn)P有一個(gè)，為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，所以B正確；對(duì)于C，面積為：，當(dāng)時(shí)，面積的最大值為，故的面積小于等于，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意得：，即，則，解得：，因?yàn)?，則的取值范圍為，所以D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若曲線是雙曲線，則其焦距為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程可得，即可求解.【詳解】表示雙曲線，則，

因此，，故答案為：14.若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線l的方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而得到結(jié)果．【詳解】由題意可知在圓內(nèi)，設(shè)圓心到直線的距離為，則，故當(dāng)最大時(shí)，弦最短，作出示意圖如圖所示：故當(dāng)直線，此時(shí)最大，最短時(shí)，所以．又，所以，所以的方程為，即．故答案為：15.雙曲線的右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)M，N均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱，若直線，的斜率之積為，則C的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率公式即可結(jié)合雙曲線的方程求解得，進(jìn)而可求解.【詳解】雙曲線的右頂點(diǎn)為，則，又點(diǎn)，均在上，且關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，，又直線，的斜率之積為，則，即，①又，即，②聯(lián)立①②可得：，即，即．故答案為：16.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則C的離心率是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義，都用表示，由，構(gòu)造齊次式即可求解.【詳解】依題得，，又，則，，則，則，即，則，則，即.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知兩條直線，.設(shè)m為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求m的值.（1）；（2）直線在x軸與在y軸上截距之積等于.【答案】17.18.或.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線平行的公式，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，分別令直線中的，結(jié)合直線在x軸與在y軸上的截距之積等于，即可求解．【小問(wèn)1詳解】?jī)蓷l直線，，由可得：，所以，解得：或.當(dāng)時(shí)，，此時(shí);當(dāng)時(shí)，，此時(shí)重合，．【小問(wèn)2詳解】令中，則，令中，則，直線在x軸與在y軸上的截距之積等于，則，則，化簡(jiǎn)可得：，解得：或.18.在①焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，②準(zhǔn)線方程是，③通徑的長(zhǎng)等于.這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，______.（1）求拋物線的方程；（2）若過(guò)的直線與拋物線相交于點(diǎn)、，求證：是直角三角形.注；如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，拋物線的方程為（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）選①或②，根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)求出的值，可得出拋物線的方程；選③，求出拋物線的通徑長(zhǎng)，可得出的值，即可得出拋物線的方程；（2）分析可知，直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將該直線方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算出，即可證得結(jié)論成立.【小問(wèn)1詳解】解：若選①，則拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故拋物線的方程為；若選②，拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得，則，故拋物線的方程為；若選③，將代入拋物線的方程可得，解得，所以，拋物線的通徑長(zhǎng)為，則，故拋物線的方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意額可知，直線過(guò)點(diǎn)，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，所以，，則，所以，為直角三角形.19.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）1765年在所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.（1）求外接圓的方程；（2）求歐拉線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：設(shè)外接圓的一般方程，利用待定系數(shù)法求得外接圓的一般方程；方法二：求得外接圓的圓心和半徑，由此求得外接圓的方程.（2）方法一：先求得三角形重心、外心坐標(biāo)，從而求得歐拉線；方法二：先求得垂心、外心坐標(biāo)，從而求得歐拉線.【小問(wèn)1詳解】（方法1）設(shè)所求圓的方程為（），因?yàn)辄c(diǎn)，，在所求的圓上，所以，解得.所以外接圓的方程為.（方法2）線段AB的中點(diǎn)為，直線AB的斜率，所以線段AB中垂線的方程為.同理可得，AC中垂線的方程為，由，解得.所以外接圓的圓心為.外接圓的半徑.所以外接圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】（方法1）因?yàn)椋?，，所以由三角形重心坐?biāo)公式，得的重心為，由（1）可知，外心為，所以歐拉線的方程為，即.（方法2）在中，由（1）可知，直線AB的斜率為，直線AC的斜率為1，所以.所以垂心為.由（1）可知，外心為，所以歐拉線的方程為，即.20.如圖，已知的圓心在原點(diǎn)，且與直線相切.（1）求的方程；（2）點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P引的兩條切線、，切點(diǎn)為A、B.①求四邊形面積的最小值；②求證：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）①，②詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出圓心到切線的距離得圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①由勾股定理求得切線長(zhǎng)，由求得四邊形面積，由此得當(dāng)最小時(shí)，四邊形面積最小，從而得結(jié)論；②在以為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，寫出此圓方程，此圓方程與已知圓方程相減得公共弦所在直線方程，由直線方程得定點(diǎn)坐標(biāo)．【小問(wèn)1詳解】依題意得：圓心到直線的距離，所以，所以的方程為【小問(wèn)2詳解】①連接，∵是圓的兩條切線，∴，，所以，當(dāng)取最小值為時(shí)，四邊形面積的最小值為.②由①得，在以為直徑的圓上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴以為直徑的圓的方程為，即，∵為兩圓的公共弦，∴由得直線的方程為，，即，則直線恒過(guò)定點(diǎn).21.在直角坐標(biāo)系中，直線是雙曲線的一條漸近線，點(diǎn)在雙曲線C上，設(shè)為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與y軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，直線與y軸相交于點(diǎn)Q.（1）求雙曲線C的方程；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得，若存在，求T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（3）求M點(diǎn)的坐標(biāo)，使得的面積最小.【答案】（1），（2）存在或，（3）的坐標(biāo)是或.【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得,點(diǎn)在雙曲線上，列出方程組求解即可;（2）假設(shè),由直線方程得坐標(biāo),由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得,用坐標(biāo)表示這個(gè)結(jié)論可得與關(guān)系,再由點(diǎn)在雙曲線可得結(jié)論;（3）直接計(jì)算的面積,用基本不等式可得最小