3.1 圓（10大題型）（分層練習(xí)）（解析版）

第3章圓的基本性質(zhì)3.1圓（10大題型）分層練習(xí)考查題型一圓的基本概念辨析1．（2022·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）下列命題中，是真命題的個數(shù)有（

）直徑是弦；弦是直徑；半圓是??；弧是半圓．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)圓的弦、弧的概念判斷即可．【詳解】解：直徑是弦，是真命題；弦是直徑，是假命題；半圓是弧，是真命題；弧是半圓，是假命題；故選：．【點睛】此題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題，解題的關(guān)鍵是要熟悉圓的有關(guān)概念．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）下列說法正確的有（）①圓中的線段是弦；②直徑是圓中最長的弦；③經(jīng)過圓心的線段是直徑；④半徑相等的兩個圓是等圓；⑤長度相等的兩條弧是等?。虎藁∈前雸A，半圓是?。瓵．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】利用圓的有關(guān)定義和性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】解：①連接圓上任意兩點的線段是弦，故原命題錯誤，不符合題意；②直徑是圓中最長的弦，正確，符合題意；③經(jīng)過圓心的線段不一定是直徑，故原命題錯誤，不符合題意；④半徑相等的兩個圓是等圓，正確，符合題意；⑤長度相等的兩條弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；⑥弧不一定是半圓，但半圓是弧，故原命題錯誤，不符合題意，正確的有2個，故選：A．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解圓的有關(guān)定義和性質(zhì)，難度不大.3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）（1）圖①中有條弧，分別為；（2）寫出圖②中的一個半圓；劣?。海粌?yōu)?。海敬鸢浮?；,；；；．【分析】（1）根據(jù)弧的定義求解可得；（2）根據(jù)半圓、劣弧、優(yōu)弧概念求解可得．【詳解】解：（1）圖①中有2條弧，分別為,；故答案為：2，,；（2）寫出圖②中的一個半圓；劣?。?；優(yōu)?。海蚀鸢笧椋?；；．【點睛】本題主要考查圓的認(rèn)識，解題的關(guān)鍵是掌握優(yōu)弧、半圓、劣弧的概念．4．（2022秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）下列說法中正確的有（填序號）．（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等??；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等?。敬鸢浮浚?）（3）（4）【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可．【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說法正確；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長度相等，彎曲程度也要相同；（3）半徑相等的兩個圓是等圓，說法正確；（4）面積相等的兩個圓是等圓，說法正確；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，同一條弦所對的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是直徑．故答案為：（1）（3）（4）．【點睛】本題考查了圓的有關(guān)概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·九年級單元測試）已知：如圖，矩形中交于點，求證：、、、個點在以為圓心，為半徑的圓上．

【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明、、、到的距離相等即可．【詳解】證明：四邊形是矩形∴、且、，，、、、個點在以為圓心，為半徑的圓上．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，矩形的對角線相等且互相平分．考查題型二求圓中弦的條數(shù)1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點，，，點，，以及點，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條【答案】A【分析】根據(jù)弦的定義進行分析，從而得到答案．【詳解】解：圖中的弦有，共2條．故選：A．【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關(guān)鍵．2．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，圖中⊙O的弦共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)弦的定義即可求解．連接圓上任意兩點的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是一個圓里最長的弦．【詳解】解：圖中有弦共3條，故選C．【點睛】本題考查了弦的定義，理解弦的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，點A、O、D和點B、O、C分別在一條直線上，圖中共有條弦，它們分別是．【答案】三/3，，【分析】根據(jù)連接圓上任意兩點的線段叫弦回答即可．【詳解】解：圖中的弦有，，共三條．故答案為：三；，，．【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握弦的概念是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O中，點A、O、D以及點B、O、C分別在一條直線上，圖中弦的條數(shù)有條．【答案】三/3【分析】根據(jù)弦的定義（連接圓上任意兩點的線段叫做弦）進行分析，即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)弦的定義可得：圖中的弦有AB，BC，CE共三條，故答案為：三．【點睛】本題考查了弦的定義：連接圓上任意兩點的線段叫弦，充分理解其定義是解題關(guān)鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個與全等的三角形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)CO并延長交于E，連接BO并延長交于D，連結(jié)ED，再證△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE；（2）連結(jié)AO并延長交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長交于C′，OC=OC′，利用邊角邊判定方法先證△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三邊對應(yīng)相等判定方法可證△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【詳解】解：（1）如圖1，DE為所作；連結(jié)CO并延長交于E，連接BO并延長交于D，連結(jié)ED，∵OB=OD=OE=OC，在△BOC和△DOE中，，∴△BOC≌△DOE（SAS），∴BC=DE；（2）如圖2，△A′B′C′為所作．連結(jié)AO并延長交于A′，OA=OA′，連結(jié)BO并延長交于B′，OB=OB′，連結(jié)CO并延長交于C′，OC=OC′，在△BOC和△B′OC′中，，∴△BOC≌△B′OC′（SAS），∴BC=B′C′；同理可證△BOA≌△B′OA′（SAS），∴AB=A′B′，同理可證△AOC≌△A′OC′（SAS），∴AC=A′C′，在△ABC和△A′B′C′中，，∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．【點睛】本題考查僅用無刻度的直尺畫線段，畫三角形，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的性質(zhì)，掌握圓的性質(zhì)與三角形全等判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考查題型三求過圓內(nèi)一點最長的弦1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個不同的點，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)可直接進行求解．【詳解】∵圓中最長的弦為直徑，∴．∴故選D．【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·九年級課時練習(xí)）一個在圓內(nèi)的點，它到圓上的最近距離為3cm，到最遠距離為5cm，那么圓的半徑為（

）

A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm【答案】D【詳解】圓內(nèi)的點到圓上的最近距離和最遠距離之和為此圓的直徑，故半徑為cm.故選D.3．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O中最長的弦為16cm，則⊙O的半徑為cm【答案】8cm．【詳解】試題分析：⊙O最長的弦就是直徑從而不難求得半徑的長．試題解析：∵⊙O中最長的弦為16cm，即直徑為16cm，∴⊙O的半徑為8cm．考點：圓的認(rèn)識．4．（2021秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）小明同學(xué)非常喜歡數(shù)學(xué)，他在課外書上看到了一個有趣的定理“中線長定理”：在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則的最小值為．【答案】10【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得，，即，，即可得．【詳解】解：如圖，設(shè)點M為DE的中點，點N為FC的中點，連接MN交半圓于點P，此時PN取最小值，∵DE=4，四邊形DEFG為矩形，∴，，∴，∴，∴，故答案為：10．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形三條邊的關(guān)系，中線長定理，解題的關(guān)鍵是掌握中線長定理．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，點A，B，C在⊙O上，按要求作圖：(1)過點A作⊙O的直徑AD；(2)過點B作⊙O的半徑；(3)過點C作⊙O的弦．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）作射線，交于點，則線段即為的直徑；（2）連接，線段即為所求；（3）連接，線段即為所求（答案不唯一）．【詳解】（1）如圖所示，作射線，交于點，則線段即為的直徑；（2）如圖所示，連接，線段即為所求；（3）如圖所示，連接，線段即為所求的一條弦（答案不唯一）．【點睛】本題考查了圓的基本概念，連接圓上任意兩點是圓的弦，直徑是經(jīng)過圓心的弦，半徑是圓上一點與圓心的連線，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考查題型四圓的周長和面積問題1．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為（

）A．π B．2π C．3π D．4π【答案】C【分析】根據(jù)題意、利用圓的面積公式計算即可．【詳解】解：由所有到已知點O的距離大于或等于1，并且小于或等于2的點組成的圖形的面積為以2為半徑的圓與以1為半徑的圓組成的圓環(huán)的面積，即，故選：C．【點睛】本題考查的是圓的認(rèn)識、圓的面積的計算，掌握圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）適時的休閑可以緩解學(xué)習(xí)壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，像素，，那么周圍圓環(huán)面積約為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】圓環(huán)的面積等于大圓面積減去小圓面積，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)同心圓的圓心為，連接，則大圓的半徑為，小圓的半徑為，

∴設(shè)小圓的半徑為，大圓的半徑，∵像素，，∴，在中，，即，∴，∵，∴，故選：．【點睛】本題主要考查圓與直角三角形的綜合，掌握圓環(huán)面積的計算方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·上海青浦·六年級?？计谀┤鐖D，陰影面積是大圓面積的，是小圓面積的，小圓的半徑是10，則大圓的半徑是．【答案】【分析】根據(jù)題意得陰影部分的面積：，即可得大圓的面積，再根據(jù)圓面積的計算公式即可得．【詳解】解：∵陰影面積是小圓面積的，小圓的半徑是10，∴陰影部分的面積：，∵陰影面積是大面積的，∴大圓的面積：，則大圓半徑的平方：，∴大圓的半徑：，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的面積，解題的關(guān)鍵是掌握圓的面積公式．4．（2022秋·黑龍江哈爾濱·六年級校聯(lián)考期中）如圖，陰影部分的面積為cm2．（π取3.14）【答案】1.14【分析】根據(jù)，列出算式即可求解．【詳解】解：（cm2），故答案為：1.14．【點睛】本題主要考查陰影部分面積計算，掌握割補法和圓面積公式是關(guān)鍵．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）為了落實“二十大”報告精神，辦人民滿意教育，決定重新修建學(xué)校運動場，設(shè)計圖如下：兩端是半圓形，中間是長方形．（取）(1)求這個運動場的周長．(2)求這個運動場的面積．(3)已知整個運動場由草坪和塑膠跑道組成，塑膠跑道和草坪的面積比是：，每平方米草坪的價格是元，比每平方米塑膠的價格低，則購買鋪滿該運動場所需要的塑膠和草坪的總費用是多少元？【答案】(1)(2)(3)（元）【分析】（1）用長方形的兩條長邊加上一個圓的周長即可；（2）用長方形的面積加上圓的面積；（3）根據(jù)等量關(guān)系列方程求出塑膠的單價，然后按比例分配求出塑膠跑道的面積和草坪的面積，進而求得結(jié)果；【詳解】（1）解：運動場的周長：答：這個運動場的周長為米．（2）解：運動場的面積：答：運動場的面積為：（3）解：設(shè)平方米塑膠的價格為元根據(jù)題意得：解得：該運動場塑膠跑道的面積為：該運動場草坪的面積為：故總費用為：（元）【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，圓的基本知識；熟練根據(jù)等量關(guān)系列方程式解題的關(guān)鍵．考查題型五判斷點與圓的位置關(guān)系1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知⊙O的半徑是8，點P到圓心O的距離d為方程的一個根，則點P在（）A．的內(nèi)部 B．的外部C．上或的內(nèi)部 D．上或的外部【答案】A【分析】先解一元二次方程，得到d值，再比較d與半徑8的大小，若，則點P在的外部，若，則點P在的內(nèi)部，若，則點P在上，即可解答．【詳解】解：解方程可得，，，∵點P到圓心O的距離d為方程的一個根，∴，∴點P在的內(nèi)部，故選A【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系、解一元二次方程，熟練掌握點與圓的位置關(guān)系的判斷方法是解答的關(guān)鍵．2．（2023秋·河南信陽·九年級校聯(lián)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為圓心的半徑是4，點的坐標(biāo)為，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在圓內(nèi) B．點在圓上 C．點在圓外 D．不能確定【答案】C【分析】先利用勾股定理求出點P到原點的距離d，再判斷d與半徑r的大小關(guān)系，從而得出答案．【詳解】解：∵點的坐標(biāo)是，∴由勾股定理可得點P到圓心的距離，又半徑，∴∴點在內(nèi)外，故選：C．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握點與圓的3種位置關(guān)系，設(shè)的半徑為r，點P到圓心的距離，則有：點P在圓外，點P在圓上，點P在圓內(nèi)．3．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）在中，圓心O在坐標(biāo)原點上，半徑為5，點P的坐標(biāo)為，則點P在（填“圓內(nèi)”，“圓外”或“圓上”）【答案】圓上【分析】先根據(jù)兩點間的距離公式計算出，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷點P與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵點P的坐標(biāo)為，∴，∵半徑為5，∴點P在上．故答案為：圓上．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系：點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為r，點P到圓心的距離，當(dāng)點P在圓外；當(dāng)點P在圓上；當(dāng)點P在圓內(nèi)．4．（2023春·九年級單元測試）如圖，在矩形中，，，以頂點D為圓心作半徑為x的圓，使點A和點B有且只有一個點在內(nèi)，則x的取值范圍是．【答案】【分析】要確定點與圓的位置關(guān)系，主要根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系來進行判斷．當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi)．【詳解】解：在直角中，，，，∵點A和點B有且只有一個點在內(nèi)，故答案為．【點睛】此題考查點與圓的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵在于確定點與圓的位置關(guān)系．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關(guān)系是什么？(2)若作，使、、三點至少有一個點在內(nèi)，至少有一點在外，則的半徑的取值范圍是．【答案】(1)點在內(nèi)，點在外，點在上(2)【分析】（1）根據(jù)點到圓的位置關(guān)系，比較與圓的半徑之間的大小關(guān)系，即可得解；（2）根據(jù)題意，和點到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，的半徑為8，點在內(nèi)，點在外，點在上；（2）解：，，，又以點為圓心作，使，，三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，的半徑的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，判斷點與圓的位置關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．考查題型六確定圓心（尺規(guī)作圖）1．（2023河北）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過A，B，C三點，那么這條圓弧所在圓的圓心是（

）A．點P B．點Q C．點R D．點M【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，分別作AB，BC的垂直平分線即可得到答案．【詳解】解：作AB的垂直平分線，作BC的垂直平分線，如圖，它們都經(jīng)過Q，所以點Q為這條圓弧所在圓的圓心．故選：B．【點睛】本題考查了垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心．這也常用來確定圓心的方法．2．（2023·山東德州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，．小麗按照下列方法作圖：①作的角平分線，交于點D；②作的垂直平分線，交于點E．根據(jù)小麗畫出的圖形，判斷下列說法中正確的是（

）A．點E是的外心 B．點E是的內(nèi)心C．點E在的平分線上 D．點E到邊的距離相等【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”，可得是底邊BC的垂直平分線，進而即可得到答案．【詳解】∵在中，，∴的角平分線也是底邊BC的垂直平分線，∵的垂直平分線，交于點E，∴點E是的外心，故選A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外心的定義，掌握“三角形各邊上的垂直平分線的交點是三角形的外心”是解題的關(guān)鍵．3．（2021秋·北京·九年級?？计谥校┯幸环N化學(xué)實驗中用的圓形過濾紙片，如果需要找它的圓心，請你簡要說明你找圓心的方法是【答案】在圓形紙片的邊緣上任取三點則線段的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.【分析】如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點連接再作的垂直平分線得到兩條垂直平分線的交點即可.【詳解】解：如圖，在圓形紙片的邊緣上任取三點連接則的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.故答案為：在圓形紙片的邊緣上任取三點則線段的垂直平分線的交點是圓形紙片的圓心.【點睛】本題考查的是確定圓的圓心，掌握“作三角形的外接圓的圓心”是解本題的關(guān)鍵.4．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為．【答案】（2，1）【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點即為圓心．如圖所示，則圓心是（2，1）．故答案為（2，1）．【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”．5．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，平分，

(1)在邊上找一點O，以點O為圓心，且過A、D兩點作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為2．【分析】（1）作的垂直平分線與的交點為圓心，為半徑作圓即可；（2）設(shè)的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）解：如圖：即為所求；

；（2）解：連接，設(shè)的半徑為x，即，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，∴的半徑為2．【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考查題型七求能確定的圓的個數(shù)1．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．【詳解】解：依題意，；；；；，加上點可以畫出一個圓，∴共有6個，故選：D．【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，過已知A，B，C三個點可以作的圓的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】D【詳解】分析：分兩種情況討論：①A、B、C三個點共線，不能做圓；②A、B、C三個點不在同一條直線上，有且只有一個圓．解答：解：當(dāng)A、B、C三個點共線，過A、B、C三個點不能作圓；當(dāng)A、B、C不在同一條直線上，過A、B、C三個點的圓有且只有一個，即三角形的外接圓；故選D．3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）經(jīng)過兩點可以作個圓，不在同一直線的個點可以確定一個圓．【答案】無數(shù)三【分析】根據(jù)確定圓的條件解答即可．【詳解】解：經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓，故答案為：無數(shù)，三．【點睛】本題考查了確定圓的條件，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，點A，B，C在同一直線上，點M在AC外，經(jīng)過圖中的三個點作圓，可以作個．【答案】3【分析】根據(jù)“不在同一直線上的三點確定一個圓”確定圓的個數(shù)即可．【詳解】過A、B、M；A、C、M；B、C、M共能確定3個圓，故答案為3．【點睛】本題考查了確定圓的條件，注：過三點作圓，分兩種情況：①三點共線；②三點不共線．5．（2021春·九年級課時練習(xí)）已知點A，B和直線l，作一個圓，使它經(jīng)過點A和點B，并且圓心在直線l上．（1）當(dāng)直線l與直線不垂直時，可作幾個圓？（2）當(dāng)直線l與直線垂直但不經(jīng)過的中點時，可作幾個圓？（3）當(dāng)直線l是線段的垂直平分線時，可作幾個圓？【答案】（1）1個；（2）0個；（3）無數(shù)個．【分析】（1）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l只有1個交點，據(jù)此可得答案；（2）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l沒有個交點；（3）過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l重合，即直線l上所有點均可作為經(jīng)過A，B的圓的圓心．【詳解】解：（1）如圖1，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l只有1個交點，∴當(dāng)直線l與直線AB不垂直時，只能作1個圓；（2）如圖2，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l沒有個交點，∴當(dāng)直線l與直線AB垂直但不經(jīng)過AB的中點時，不能作圓；

（3）如圖3，過A、B的圓的圓心在線段AB垂直平分線m上，而直線m與直線l重合，即直線l上所有點均可作為經(jīng)過A，B的圓的圓心，∴當(dāng)直線l是線段AB的垂直平分線時，能作無數(shù)個圓．【點睛】本題主要考查確定圓的條件，不在同一直線上的三點確定一個圓．即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．考查題型八求一點到圓上點距離的最值1．（2022秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點是邊上的動點，連接，過點作于點，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】取中點，連接、．易得點在以長為直徑的圓周上上運動，當(dāng)點、、在同一直線上時，最短．據(jù)此計算即可．【詳解】解：如圖，取中點，連接、．，，點在以長為直徑的圓周上上運動，當(dāng)點、、在同一直線上時，最短．，，，，，即的最小值為2．故選：A．【點睛】本題考查了線段最小值，正確理解圓外一點到圓上的最短距離等于點與圓心連線與圓的交點到點到這點的線段長是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最大值為（

）A．3 B．14 C．6 D．8【答案】B【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最大值，則PO需取得最大值，連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P＇位置時，OP＇取得最小值，據(jù)此即可求解AB的最大值．【詳解】解：∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°．∵點A與點B關(guān)于原點O對稱，∴AO＝BO．∴AB＝2OP．若要使AB取得最大值，則OP需取得最大值，連接OM，交⊙M于點P＇，當(dāng)點P位于P＇位置時，OP取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝3，MQ＝4，由勾股定理得：OM＝5．∵MP＇＝2，∴OP＇＝3．∵P在OP＇的延長線與⊙M的交點上時，OP取最大值，∴OP的最大值為3＋2×2＝7．則AB的最大值為7×2＝14．故選：B．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最大值時點P的位置．3．（2023春·江蘇連云港·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，為上一個動點，連接，線段與線段關(guān)于直線對稱，連接，當(dāng)點從點運動到點時，點與點的最近距離為．【答案】【分析】由矩形的性質(zhì)由勾股定理求出，即可求出答案．【詳解】解：當(dāng)點從點運動到點時，，點運動軌跡是圓弧，如圖，矩形中，，，，點與點的最近距離為，故答案為：1．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·重慶江津·九年級統(tǒng)考期末）已知在中，，，，點是的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則的最大值是．【答案】【分析】由勾股定理可求出的長，根據(jù)題意可得點在以點為圓心，長為半徑的圓上運動，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，進而得到的最大值為：．【詳解】解：∵，，∴∵點是的中點∴∵將繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段∴點在以點為圓心，為半徑的圓上運動∴∴∴當(dāng)點，點，點三點共線，且點E在線段的延長線上時，的值最大∴【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，確定點的運動路徑是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動點，求PE＋PF的最小值．【答案】3【分析】由題意易得，BE＝1，AF＝2，進而把問題轉(zhuǎn)化為求PB＋PA－3的最小值，即為求PB＋PA的最小值，過點B作BP⊥CD，并延長，交AD的延長線于點，進而問題可求解．【詳解】解：由題意得BE＝1，AF＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AB＝3，∴，，欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如圖5-2），過點B作BP⊥CD，并延長，交AD的延長線于點，如圖5-3，∴，∵，，BC∥AD，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，即點B與關(guān)于DC對稱，∴PB＋PA的最小值為，，∴PE＋PF的最小值等于3．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型九求圓內(nèi)的角度1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑的延長線與弦的延長線交于點，且，已知，則等于（）

A．36° B．30° C．18° D．24°【答案】D【分析】連接，如圖所示，由圓中半徑相等及已知，由等腰三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形外角性質(zhì)得到，解方程即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

，在等腰中，，是的一個外角，，，，是的一個外角，，，，故選：D．【點睛】本題考查圓中求角度，涉及圓的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，找準(zhǔn)各個角度之間的和差倍分關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦的延長線交于點，若，，則等于()

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)已知可得，則，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得，由，可得，等量代換可得，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得．【詳解】解：連接，如圖，，，，，，，而，，，，．故選：B．

【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東濰坊·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖的直徑與弦的延長線交于點E，若，，則等于．【答案】【分析】利用半徑相等得到，則，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得，所以，同理得到，然后利用進行計算即可．【詳解】解：連接OD，如圖，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查了等邊對等角，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握在圓中，所有的半徑都相等，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．4．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，為半圓O的直徑，點C、D在半圓上，沿、折疊半圓，若點A、B的對應(yīng)點落在同一點E處，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，再根據(jù)平角的定義得到，再根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出，，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知，∵，∴，∵，∴，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，等邊對等角，折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，C是延長線上一點，點D在上，且，的延長線交于點E，若，試求的度數(shù)．【答案】．【分析】利用半徑相等和等腰三角形的性質(zhì)求得，從而利用三角形的外角的性質(zhì)即可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考查題型十求圓內(nèi)的線段長1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，⊙O的直徑CD垂直弦于點E，且，則（）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)題意先求出半徑，在中，利用勾股定理求解．【詳解】解：連接，如圖所示．，，，，在中，．故選：C．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，熟練運用相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點．若，則的長為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】連接，由勾股定理得，，從而即可得到，最后由計算即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，，，弦于點，，是的直徑，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的相關(guān)概念進行計算是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形中，，，為上一動點，于點，則的最小值為．

【答案】【分析】如圖，由題意易知，動點Q在以為直徑的圓上；連接,交于點E，當(dāng)點Q運動至點E處，取最小值，即長；易證是等邊三角形，進而求出，從而求得長．【詳解】如圖，點P運動過程中，

∴∴A、Q、D在以為直徑的圓上，即點Q在以為直徑的圓上設(shè)的中點為O，連接，交于點E當(dāng)點Q運動至點E處，取最小值，即長菱形中，∴是等邊三角形∴，∴∴即最小值為故答案為．【點睛】本題主要考查直角三角形外接圓、菱形的性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)、圓外一點到圓上距離的最值問題；能夠結(jié)合直角三角形外接圓的知識確定點Q運動軌跡，進而確定取最小值時，點Q的位置是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·九年級單元測試）如圖，等腰直角中，，，為線段上一動點，連接，過點作于，連接，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)，是定值，可知點是在以為直徑的半圓上運動，當(dāng)、、三點共線時，最短，借助勾股定理求解．【詳解】解：，是定值，點是在以為直徑的半圓上運動（不包括點和點），連接，則．，當(dāng)、、三點共線時，最短，此時．故答案為．【點睛】本題主要考查勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)點運動的軌跡．5．（2023·湖北武漢·?？家荒＃┤鐖D，在中，，點D，E在上，．過A，D，E三點作，連接并延長，交于點F．(1)求證；(2)若，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)5【分析】（1）如圖所示，連接，先證明．得到，再由得到垂直平分，即可證明；（2）利用三線合一定理得到．則．求出．設(shè)半徑為r，則．在中，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵．∴．又∵．∴．∴，又∵．∴垂直平分，∴．（2）解：∵．∴．∵．∴．∵．∴．設(shè)半徑為r，則．在中，，∴，解得．∴的半徑長為5．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）在中，，，．以點C為圓心，4為半徑畫圓，則（）A．點A在圓上 B．點A在圓外 C．點B在圓上 D．點B在圓外【答案】C【分析】先由勾股定理求得，再由和，的大小關(guān)系即可判斷點和點與的位置關(guān)系．【詳解】解：，，．，，，，可得點在內(nèi)，點在上．故選：C．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷，勾股定理．關(guān)鍵要記住若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上，當(dāng)時，點在圓內(nèi)．2．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）下列說法錯誤的是（

）A．直徑是圓中最長的弦B．半圓是弧C．已知圓O的半徑為，P為平面內(nèi)一點，且，則點P在圓O外D．如果圓A的周長是圓B周長的2倍，那么圓A的面積是圓B面積的2倍【答案】D【分析】分別根據(jù)直徑的定義、弧的定義、點與圓的位置關(guān)系、周長與面積公式逐項判斷即可．【詳解】解：A、直徑是圓中最長的弦，說法正確，故選項不符合題意；B、半圓是弧，說法正確，故選項不符合題意；C、已知圓O的半徑為，P為平面內(nèi)一點，且，,則點P在圓O外，說法正確，故選項不符合題意；D、圓A的周長是圓B周長的2倍，則圓A的半徑是圓B半徑的2倍，那么圓A的面積是圓B面積的4倍，說法錯誤，故選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了圓的認(rèn)識、點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記圓的相關(guān)定義并靈活運用．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點在內(nèi)且點在外時，的值可能是（）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由勾股定理求出的長度，再由點在內(nèi)且點在外求解即可．【詳解】解：在中，由勾股定理得，點在內(nèi)且點在外，，故選：C．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，勾股定理，點與圓的位置關(guān)系為：假設(shè)圓的半徑為，點到圓形的距離為，當(dāng)時，點在圓內(nèi)，當(dāng)時，點在圓上，當(dāng)時，點在圓外，解題關(guān)鍵是掌握點與圓的位置關(guān)系．4．（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到答案．【詳解】解：

連接，如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，∴為等邊三角形，∵，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查的是圓內(nèi)半徑相等，平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運用，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長線交于點E，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得到，利用三角形內(nèi)角和定理，得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：連接，，，，，，，，，，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形等邊對等角的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023春·廣西南寧·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形中，，，以A為圓心，1為半徑畫，E是上一動點，P是上一動點，則最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【分析】作點關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點，交于點，此時最小，最小值等于，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點，交于點，此時最小，最小值等于，由軸對稱的性質(zhì)得：，四邊形是矩形，，，，，，，，，，即的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、圓的性質(zhì)求最值等知識點，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)和圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習(xí)）已知與點在同一平面內(nèi)，若的半徑為，線段的長為，則點與的位置關(guān)系是．【答案】點在圓內(nèi)【分析】根據(jù)半徑和圓心距的大小關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵的半徑為，線段的長為，，∴點在內(nèi)，故答案為：點在圓內(nèi)．【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握若點與圓心的距離d，圓的半徑為，則當(dāng)時，點在圓外；當(dāng)時，點在圓上；當(dāng)時，點在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，，點P是的外接圓的圓心，則點P的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)網(wǎng)格特點找出和的垂直平分線即可找出點P的位置即可．【詳解】解：分別作出邊，的垂直平分線，則它們的交點即為的外接圓的圓心P，如圖，則，故答案為：．【點睛】本題考查了三角形的外接圓的圓心，線段的垂直平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用外心的定義找出點P的位置是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·吉林·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點A所表示的數(shù)是1，點C所表示的數(shù)是5，與數(shù)軸垂直，并且，連接，以A為圓心，為半徑畫弧，交數(shù)軸的負半軸于點D，則點D所表示的數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)勾股定理求，，進而求出點D表示的數(shù)．【詳解】解：如圖，中，，∴，∴點D表示的數(shù)為；故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理，圓的性質(zhì)，數(shù)軸上點表示數(shù)，運用勾股定理求解線段長度是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·貴州銅仁·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點，將沿對折至，連接，當(dāng)?shù)拈L最小時，則的長是．

【答案】【分析】由翻折可得，故可確定點的軌跡，即可求解．【詳解】解：由題意得：故點在以點為圓心，為半徑的圓弧上運動，如圖所示：

設(shè)則在中，，∴解得：故答案為：【點睛】本題考查動點軌跡問題．矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，確定點的軌跡是解題關(guān)鍵．11．（2022春·九年級單元測試）將一個含有角的三角板，按圖所示的方式擺放在半圓形紙片上，O為圓心，則度．

【答案】【分析】證明是等邊三角形，根據(jù)鄰補角的定義即可求解．【詳解】解：由圖可知，，∵，∴是等邊三角形，∴，則．【點睛】本題考查與圓有關(guān)的性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·北京海淀·九年級人大附中校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為2，圓心坐標(biāo)為，軸上有點，點是上的動點，點是的中點，則的取值范圍是．【答案】【分析】取點，連接，，可得，勾股定理得出，進而得出的范圍，進而即可求解．【詳解】解：如圖所示，取點，連接，∴是的中點，依題意，點是的中點，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題考查了勾股定理求兩點距離，三角形中位線的性質(zhì)，點到圓上的距離的最值問題，熟練掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，點在上，與交于點．連接．求證：

(1)；(2)四邊形是菱形．【答案】(1