新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案4-4-2第1課時(shí)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)（一）

4．4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第1課時(shí)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(一)必備知識·探新知基礎(chǔ)知識知識點(diǎn)1對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)0＜a＜1a＞1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0在(0，＋∞)上是減函數(shù)在(0，＋∞)上是增函數(shù)思考1：(1)對于對數(shù)函數(shù)y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x，…，為什么一定過點(diǎn)(1，0)?(2)在下表中，？處y的范圍是什么？底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>1？0<x<1？0<a<1x>1？0<x<1？提示：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，loga1＝0恒成立，即對數(shù)函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)(1，0)．(2)底數(shù)x的范圍y的范圍a>1x>1y>00<x<1y<00<a<1x>1y<00<x<1y>0知識點(diǎn)2反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們定義域與值域正好互換．思考2：函數(shù)y＝log2x與y＝(eq\f(1,2))x互為反函數(shù)嗎？提示：不是，同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．基礎(chǔ)自測1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是(C)(1)對數(shù)函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(0，1)．(2)對數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸的右側(cè)．(3)若對數(shù)函數(shù)y＝log2ax是減函數(shù)，則0<a<eq\f(1,2).A．0 B．1C．2 D．3[解析]對于(1)，對數(shù)函數(shù)的圖象都過定點(diǎn)(1，0)，不正確；對于(2)，由對數(shù)函數(shù)的圖象可知正確；對于(3)，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)，正確．2．函數(shù)y＝log2x在區(qū)間(0，2]上的最大值是(B)A．2 B．1C．0 D．－1[解析]y＝log2x在(0，2]上單調(diào)遞增，∴ymax＝1，故選B．3．函數(shù)y＝log3x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖象關(guān)于x軸對稱．4．(2020·河南永城實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末測試)函數(shù)y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(2，0)．[解析]令x－1＝1，∴x＝2，則y＝0，故函數(shù)y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)(2，0)．關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小例1比較下列各組中兩個(gè)值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.[分析](1)底數(shù)相同時(shí)如何比較兩個(gè)對數(shù)值的大??？(2)底數(shù)不同、真數(shù)相同時(shí)如何比較兩個(gè)對數(shù)值的大?。?3)底數(shù)和真數(shù)均不同時(shí)，應(yīng)如何比較兩個(gè)對數(shù)值的大??？[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝lnx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因?yàn)?＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.(4)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log3x是增函數(shù)，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.[歸納提升]比較對數(shù)值大小時(shí)常用的四種方法(1)同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．(2)同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化．(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量．(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對底數(shù)進(jìn)行分類討論．提醒：比較數(shù)的大小時(shí)先利用性質(zhì)比較出與0或1的大?。緦c(diǎn)練習(xí)】?(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則(D)A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a(2)(2021·遵義高一檢測)已知：a＝log65，b＝π0.3，c＝lneq\f(1,2)，則下列結(jié)論正確的是(D)A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b[解析](1)因?yàn)楹瘮?shù)y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因?yàn)楹瘮?shù)y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.(2)a＝log65<log66＝1，b＝π0.3>π0＝1，c＝lneq\f(1,2)<ln1＝0.∴b>a>c，故選D．題型二對數(shù)函數(shù)的圖象例2已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數(shù)y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的圖象，則a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是(B)A．a(chǎn)4<a3<a2<a1B．a(chǎn)3<a4<a1<a2C．a(chǎn)2<a1<a3<a4D．a(chǎn)3<a4<a2<a1[分析]由圖象來判斷參數(shù)的大小情況，需要抓住圖象的本質(zhì)特征和關(guān)鍵點(diǎn)．根據(jù)圖中的四條曲線底數(shù)不同及圖象的位置關(guān)系，利用logaa＝1，結(jié)合圖象判斷．[解析]在圖中作一條直線y＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1,y＝loga3x))，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直線y＝1與曲線C3：y＝loga3x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a3，1)．同理可得直線y＝1與曲線C4，C1，C2的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．由圖象可知a3<a4<a1<a2，故選B．[歸納提升]1．對數(shù)函數(shù)底數(shù)對圖象的影響其中a，b，c，d是圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)，根據(jù)圖象，其大小關(guān)系為0<c<d<1<a<b.2．關(guān)于定點(diǎn)問題求函數(shù)y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)時(shí)，只需令f(x)＝1求出x，即得定點(diǎn)為(x，m)．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)已知lga＋lgb＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是(B)(2)利用作圖工具作出的a＝1.5，4，eq\f(1,7)時(shí)的對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象如圖所示，請你判斷對應(yīng)于C1，C2，C3的a的值分別為(C)A．1.5，4，eq\f(1,7) B．4，1.5，eq\f(1,7)C．eq\f(1,7)，1.5，4 D．eq\f(1,7)，4，1.5[解析](1)由lga＋lgb＝0得ab＝1，則f(x)與g(x)的單調(diào)性一致，故選B．(2)由于對數(shù)函數(shù)的圖象規(guī)律知C1為減函數(shù)，對應(yīng)a1＝eq\f(1,7)，C2圖象在x＝1的右側(cè)高于C3，所以a2<a3，故a2＝1.5，a3＝4.故選C．題型三與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的定義域和值域角度1求函數(shù)的定義域例3函數(shù)y＝eq\r(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）)的定義域是(D)A．[1，＋∞) B．(eq\f(2,3)，＋∞)C．(1，＋∞) D．(eq\f(2,3)，1][解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）≥0，,3x－2>0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≤1，,3x－2>0，))∴eq\f(2,3)<x≤1，故選D．角度2簡單的值域問題例4若函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)在區(qū)間[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為eq\f(\r(2),4)．[解析]由題意得f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝eq\f(\r(2),4).[歸納提升]1.求對數(shù)型函數(shù)的定義域時(shí)常用的模型2．與對數(shù)函數(shù)值域相關(guān)的問題(1)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求值域是解決問題的主要方法．(2)若底數(shù)中含有字母，需要對字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．【對點(diǎn)練習(xí)】?(1)函數(shù)y＝eq\r(lg（x＋2）)的定義域?yàn)閇－1，＋∞)；(2)若函數(shù)f(x)＝4＋log2x在區(qū)間[1，a]上的最大值為6，則a＝4．[解析](1)要使函數(shù)有意義，須使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（x＋2）≥0，,x＋2>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥1，,x＋2>0，))解得x≥－1.(2)∵y＝log2x是R上的增函數(shù)，∴x＝a時(shí)f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.題型四反函數(shù)例5(1)已知函數(shù)f(x)＝2x的反函數(shù)為y＝g(x)，則g(eq\f(1,2))的值為(A)A．－1 B．1C．12 D．2(2)若f(x)為y＝3－x的反函數(shù)，則f(x－1)的圖象大致是(C)[分析](1)由已知函數(shù)解析式求得x，再把x與y互換可得原函數(shù)的反函數(shù)．[解析](1)由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函數(shù)的反函數(shù)為g(x)＝log2x，則g(eq\f(1,2))＝log2eq\f(1,2)＝－1.故選A．(2)由y＝3－x.解得x＝－log3y，∴該函數(shù)的反函數(shù)為y＝－log3x，即f(x)＝－log3x，而f(x－1)的圖象是f(x)的圖象右移1個(gè)單位，故選C．[歸納提升]互為反函數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)(1)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)．(2)互為反函數(shù)的定義域與值域互換．(3)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．【對點(diǎn)練習(xí)】?若函數(shù)g(x)是函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的反函數(shù)，則函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇eq\f(1,2)，4]．[解析]函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的值域?yàn)閇eq\f(1,2)，4]，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)是其反函數(shù)，所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇eq\f(1,2)，4]．課堂檢測·固雙基1．(2020·山東金鄉(xiāng)縣高一期中測試)已知函數(shù)f(x)＝loga(x＋2)，若其圖象過點(diǎn)(6，3)，則f(2)的值為(B)A．－2 B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]由題意得3＝loga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.2．(2020·河北滄州市高一期中測試)函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定義域(D)A．(eq\f(1,2)，3] B．(eq\f(1,2)，3)C．(－eq\f(1,2)，3] D．(－eq\f(1,2)，3)[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x>0,2x＋1>0))，∴－eq\f(1,2)<x<3，故選D．3．y＝2x與y＝log2x的圖象關(guān)于(B)A．x軸對稱 B．直線y＝x對稱C．原點(diǎn)對稱 D．y軸對稱[解析]函數(shù)y＝2x與函數(shù)y＝log2x是互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．4．對數(shù)函數(shù)y＝logax與y＝logbx的圖象如圖，則(C)A．a(chǎn)<0，b<0B．a(chǎn)<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1，0<b<1[解析]y＝logbx為增函數(shù)，故b>1，y＝logax為減函數(shù)，故0<