新教材數學人教A版學案4-4-2第1課時對數函數的圖象和性質（一）

4．4.2對數函數的圖象和性質第1課時對數函數的圖象和性質(一)必備知識·探新知基礎知識知識點1對數函數的圖象及性質0＜a＜1a＞1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質過定點(1，0)，即x＝1時，y＝0在(0，＋∞)上是減函數在(0，＋∞)上是增函數思考1：(1)對于對數函數y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x，…，為什么一定過點(1，0)?(2)在下表中，？處y的范圍是什么？底數x的范圍y的范圍a>1x>1？0<x<1？0<a<1x>1？0<x<1？提示：(1)當x＝1時，loga1＝0恒成立，即對數函數的圖象一定過點(1，0)．(2)底數x的范圍y的范圍a>1x>1y>00<x<1y<00<a<1x>1y<00<x<1y>0知識點2反函數指數函數y＝ax與對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數，它們定義域與值域正好互換．思考2：函數y＝log2x與y＝(eq\f(1,2))x互為反函數嗎？提示：不是，同底數的指數函數與對數函數互為反函數．基礎自測1．下列說法正確的個數是(C)(1)對數函數的圖象都過定點(0，1)．(2)對數函數的圖象都在y軸的右側．(3)若對數函數y＝log2ax是減函數，則0<a<eq\f(1,2).A．0 B．1C．2 D．3[解析]對于(1)，對數函數的圖象都過定點(1，0)，不正確；對于(2)，由對數函數的圖象可知正確；對于(3)，由對數函數的單調性可知，0<2a<1，所以0<a<eq\f(1,2)，正確．2．函數y＝log2x在區(qū)間(0，2]上的最大值是(B)A．2 B．1C．0 D．－1[解析]y＝log2x在(0，2]上單調遞增，∴ymax＝1，故選B．3．函數y＝log3x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖象關于x軸對稱．4．(2020·河南永城實驗中學高一期末測試)函數y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(2，0)．[解析]令x－1＝1，∴x＝2，則y＝0，故函數y＝loga(x－1)(a>0且a≠1)的圖象恒過定點(2，0)．關鍵能力·攻重難題型探究題型一利用對數函數的單調性比較大小例1比較下列各組中兩個值的大小：(1)ln0.3，ln2；(2)loga3.1，loga5.2(a＞0，且a≠1)；(3)log30.2，log40.2；(4)log3π，logπ3.[分析](1)底數相同時如何比較兩個對數值的大??？(2)底數不同、真數相同時如何比較兩個對數值的大??？(3)底數和真數均不同時，應如何比較兩個對數值的大小？[解析](1)因為函數y＝lnx在(0，＋∞)上是增函數，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.(2)當a＞1時，函數y＝logax在(0，＋∞)上是增函數，又3.1＜5.2，所以loga3.1＜loga5.2；當0＜a＜1時，函數y＝logax在(0，＋∞)上是減函數，又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.(3)因為0＞log0.23＞log0.24，所以eq\f(1,log0.23)＜eq\f(1,log0.24)，即log30.2＜log40.2.(4)因為函數y＝log3x是增函數，且π＞3，所以log3π＞log33＝1.同理，1＝logππ＞logπ3，所以log3π＞logπ3.[歸納提升]比較對數值大小時常用的四種方法(1)同底數的利用對數函數的單調性．(2)同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化．(3)底數和真數都不同，找中間量．(4)若底數為同一參數，則根據底數對對數函數單調性的影響，對底數進行分類討論．提醒：比較數的大小時先利用性質比較出與0或1的大?。緦c練習】?(1)已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，則(D)A．b＜a＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a(2)(2021·遵義高一檢測)已知：a＝log65，b＝π0.3，c＝lneq\f(1,2)，則下列結論正確的是(D)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．c<a<b[解析](1)因為函數y＝log2x在(0，＋∞)上是增函數，且3.6＞2，所以log23.6＞log22＝1，因為函數y＝log4x在(0，＋∞)上是增函數，且3.2＜3.6＜4，所以log43.2＜log43.6＜log44＝1，所以log43.2＜log43.6＜log23.6，即b＜c＜a.(2)a＝log65<log66＝1，b＝π0.3>π0＝1，c＝lneq\f(1,2)<ln1＝0.∴b>a>c，故選D．題型二對數函數的圖象例2已知圖中曲線C1，C2，C3，C4分別是函數y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的圖象，則a1，a2，a3，a4的大小關系是(B)A．a4<a3<a2<a1B．a3<a4<a1<a2C．a2<a1<a3<a4D．a3<a4<a2<a1[分析]由圖象來判斷參數的大小情況，需要抓住圖象的本質特征和關鍵點．根據圖中的四條曲線底數不同及圖象的位置關系，利用logaa＝1，結合圖象判斷．[解析]在圖中作一條直線y＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝1,y＝loga3x))，得loga3x＝1，所以x＝a3.所以直線y＝1與曲線C3：y＝loga3x的交點坐標為(a3，1)．同理可得直線y＝1與曲線C4，C1，C2的交點坐標分別為(a4，1)，(a1，1)，(a2，1)．由圖象可知a3<a4<a1<a2，故選B．[歸納提升]1．對數函數底數對圖象的影響其中a，b，c，d是圖象對應的對數函數的底數，根據圖象，其大小關系為0<c<d<1<a<b.2．關于定點問題求函數y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的圖象過定點時，只需令f(x)＝1求出x，即得定點為(x，m)．【對點練習】?(1)已知lga＋lgb＝0，則函數f(x)＝a－x與函數g(x)＝logbx在同一坐標系中的圖象可能是(B)(2)利用作圖工具作出的a＝1.5，4，eq\f(1,7)時的對數函數y＝logax的圖象如圖所示，請你判斷對應于C1，C2，C3的a的值分別為(C)A．1.5，4，eq\f(1,7) B．4，1.5，eq\f(1,7)C．eq\f(1,7)，1.5，4 D．eq\f(1,7)，4，1.5[解析](1)由lga＋lgb＝0得ab＝1，則f(x)與g(x)的單調性一致，故選B．(2)由于對數函數的圖象規(guī)律知C1為減函數，對應a1＝eq\f(1,7)，C2圖象在x＝1的右側高于C3，所以a2<a3，故a2＝1.5，a3＝4.故選C．題型三與對數函數相關的定義域和值域角度1求函數的定義域例3函數y＝eq\r(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）)的定義域是(D)A．[1，＋∞) B．(eq\f(2,3)，＋∞)C．(1，＋∞) D．(eq\f(2,3)，1][解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,3))（3x－2）≥0，,3x－2>0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2≤1，,3x－2>0，))∴eq\f(2,3)<x≤1，故選D．角度2簡單的值域問題例4若函數f(x)＝logax(0<a<1)在區(qū)間[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，則a的值為eq\f(\r(2),4)．[解析]由題意得f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2，∴1＝3×(1＋loga2)，∴a＝eq\f(\r(2),4).[歸納提升]1.求對數型函數的定義域時常用的模型2．與對數函數值域相關的問題(1)利用對數函數的單調性求值域是解決問題的主要方法．(2)若底數中含有字母，需要對字母分大于1，小于1大于0兩種情況討論．【對點練習】?(1)函數y＝eq\r(lg（x＋2）)的定義域為[－1，＋∞)；(2)若函數f(x)＝4＋log2x在區(qū)間[1，a]上的最大值為6，則a＝4．[解析](1)要使函數有意義，須使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（x＋2）≥0，,x＋2>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2≥1，,x＋2>0，))解得x≥－1.(2)∵y＝log2x是R上的增函數，∴x＝a時f(x)取最大值，即f(x)max＝4＋log2a＝6，即a＝4.題型四反函數例5(1)已知函數f(x)＝2x的反函數為y＝g(x)，則g(eq\f(1,2))的值為(A)A．－1 B．1C．12 D．2(2)若f(x)為y＝3－x的反函數，則f(x－1)的圖象大致是(C)[分析](1)由已知函數解析式求得x，再把x與y互換可得原函數的反函數．[解析](1)由y＝f(x)＝2x，得x＝log2y，∴原函數的反函數為g(x)＝log2x，則g(eq\f(1,2))＝log2eq\f(1,2)＝－1.故選A．(2)由y＝3－x.解得x＝－log3y，∴該函數的反函數為y＝－log3x，即f(x)＝－log3x，而f(x－1)的圖象是f(x)的圖象右移1個單位，故選C．[歸納提升]互為反函數的函數的性質(1)同底數的指數函數與對數函數互為反函數．(2)互為反函數的定義域與值域互換．(3)互為反函數的兩個函數的圖象關于直線y＝x對稱．【對點練習】?若函數g(x)是函數f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的反函數，則函數g(x)的定義域為[eq\f(1,2)，4]．[解析]函數f(x)＝(eq\f(1,2))x，x∈[－2，1]的值域為[eq\f(1,2)，4]，因為函數g(x)是其反函數，所以函數g(x)的定義域為[eq\f(1,2)，4]．課堂檢測·固雙基1．(2020·山東金鄉(xiāng)縣高一期中測試)已知函數f(x)＝loga(x＋2)，若其圖象過點(6，3)，則f(2)的值為(B)A．－2 B．2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)[解析]由題意得3＝loga8，∴a3＝8，∴a＝2.∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log24＝2.2．(2020·河北滄州市高一期中測試)函數y＝eq\f(1,\r(3－x))＋lg(2x＋1)的定義域(D)A．(eq\f(1,2)，3] B．(eq\f(1,2)，3)C．(－eq\f(1,2)，3] D．(－eq\f(1,2)，3)[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x>0,2x＋1>0))，∴－eq\f(1,2)<x<3，故選D．3．y＝2x與y＝log2x的圖象關于(B)A．x軸對稱 B．直線y＝x對稱C．原點對稱 D．y軸對稱[解析]函數y＝2x與函數y＝log2x是互為反函數，故它們的圖象關于直線y＝x對稱．4．對數函數y＝logax與y＝logbx的圖象如圖，則(C)A．a<0，b<0B．a<0，b>0C．0<a<1，b>1D．0<a<1，0<b<1[解析]y＝logbx為增函數，故b>1，y＝logax為減函數，故0<