空間向量與空間角 高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習專題

空間向量與空間角考情預(yù)覽

明確考向1.[異面直線所成的角與線面角](多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則(

)A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°√√√解析:如圖,連接B1C,BC1,因為DA1∥B1C,所以直線BC1與B1C所成的角即為直線BC1與DA1所成的角,因為四邊形BB1C1C為正方形,則B1C⊥BC1,故直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確;連接A1C,因為A1B1⊥平面BB1C1C,BC1?平面BB1C1C,則A1B1⊥BC1,因為B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所以BC1⊥平面A1B1C,又A1C?平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,故B正確;2.[線線平行與二面角](2023·新課標Ⅰ卷)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點P在棱BB1上,當二面角P-A2C2-D2為150°時,求B2P.(1)證明:BD⊥PA;所以AD2+BD2=AB2,所以AD⊥BD,因為PD⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PD⊥BD,又PD∩AD=D,PD,AD?平面PAD,所以BD⊥平面PAD,又因為PA?平面PAD,所以BD⊥PA.(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.考法聚焦

講練突破熱點一異面直線所成的角典例1

(2023·遼寧丹東統(tǒng)考二模)如圖,平行六面體ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,平面CDD1C1⊥平面ABCD,AD⊥DC,二面角D1-AD-C的大小為120°,E為棱C1D1的中點.(1)證明:CD⊥AE;(1)證明:因為平面CDD1C1⊥平面ABCD,平面CDD1C1∩平面ABCD=DC,AD⊥DC,AD?平面ABCD,所以AD⊥平面CDD1C1,又D1D?平面CDD1C1,所以AD⊥D1D,所以∠D1DC是二面角D1-AD-C的平面角,故∠D1DC=120°.連接DE,C1D,由題意得四邊形CDD1C1為菱形,所以DD1=C1D1,∠C1DD1=60°,所以△C1DD1為等邊三角形,又E為棱C1D1的中點,則DE⊥C1D1,因為C1D1∥CD,從而DE⊥CD.又AD⊥CD,DE∩AD=D,DE,AD?平面AED,所以CD⊥平面AED,又ED?平面AED,因此CD⊥AE.(2)點F在棱CC1上,AE∥平面BDF,求直線AE與DF所成角的余弦值.熱點訓(xùn)練1

(2023·天津模擬)如圖所示,在幾何體ABCDEF中,四邊形ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AE⊥底面ABCD,AE∥CF,AD=3,AB=BC=AE=2,CF=1.(1)求證:BF∥平面ADE;(1)證明:因為AE∥CF,AE?平面BFC,CF?平面BFC,所以AE∥平面BFC,因為AD∥BC,同理可得AD∥平面BFC,又AD∩AE=A,AD,AE?平面ADE,所以平面BFC∥平面ADE,因為BF?平面BFC,所以BF∥平面ADE.(2)求直線BE與直線DF所成角的余弦值.熱點二直線與平面所成的角設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則(1)證明:A1C1⊥A1B;(1)證明:取AC的中點D,連接A1D,BD,由A1A=A1C,AB=BC,則AC⊥A1D,AC⊥BD,又A1D,BD?平面A1BD,A1D∩BD=D,故AC⊥平面A1BD,因為A1B?平面A1BD,故AC⊥A1B,又AC∥A1C1,則A1C1⊥A1B.(2)求直線A1C1與平面A1CB所成的角.(2)利用方程思想求法向量,計算易出錯,要認真細心.(1)求證:平面MCE⊥平面ABDE;(2)求直線CD與平面MCE所成角的正弦值.熱點三平面與平面的夾角設(shè)平面α,β的法向量分別為u,v,二面角α-l-β的平面角為θ,則典例3

(2022·新高考Ⅱ卷)如圖,PO是三棱錐P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E是PB的中點.(1)證明:OE∥平面PAC;(1)證明:連接BO并延長交AC于點D,連接OA,PD,因為PO是三棱錐P-ABC的高,所以PO⊥平面ABC,又AO,BO?平面ABC,所以PO⊥AO,PO⊥BO,又PA=PB,所以△POA≌△POB,即OA=OB,所以∠OAB=∠OBA,又AB⊥AC,即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD,所以AO=DO,即AO=DO=OB,所以O(shè)為BD的中點,又E為PB的中點,所以O(shè)E∥PD,又OE?平面PAC,PD?平面PAC,所以O(shè)E∥平面PAC.(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.兩向量夾角的范圍是[0,π],二面角的平面角與其對應(yīng)的兩法向量的夾角之間不一定相等,而是相等或互補的關(guān)系,