《應用一元一次方程-水箱變高了》示范公開課教學設(shè)計【北師大版七年級數(shù)學上冊】

第五章一元一次方程5.3應用一元一次方程——水箱變高了教學設(shè)計一、教學目標1．通過分析圖形、問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程解決問題．2．進一步體會運用方程解決問題的關(guān)鍵是抓住等量關(guān)系，認識方程模型的重要性.3.解決生活中相關(guān)的等積變形和等周長變形問題，使學生進一步體會運用方程解決問題的關(guān)鍵是抓住等量關(guān)系，列出方程．二、教學重點及難點重點：分析等量關(guān)系，建立方程．難點：關(guān)鍵是讓學生抓住問題變化中的不變量，確定等量關(guān)系，列出方程．三、教學準備實物投影，課件，2瓶純凈水，量杯，橡皮泥，30厘米長的鐵絲.四、相關(guān)資源動畫《阿基米德檢驗皇冠》故事，動畫《應用一元一次方程——水箱變高了》五、教學過程【復習回顧】復習回顧，引入新課動畫《阿基米德檢驗皇冠》故事情境1：同學們都聽說過“阿基米德檢驗皇冠”的故事吧，那么：阿基米德要判斷制作精美的皇冠是否純金的，必須得知道皇冠的體積，那么在故事中阿基米德是用什么方法算出皇冠的體積的？在這個問題的討論交流中，學生不難發(fā)現(xiàn)：皇冠的體積＝溢出容器的水的體積．設(shè)計意圖：故事的講述側(cè)重點要盡量傾向于建立“皇冠體積＝溢出水的體積”的等量關(guān)系，為感受等量關(guān)系提供直觀素材．【新課講解】合作交流，新課講解探究一：問題1：復習常見圖形的體積、面積、周長公式．師生活動：結(jié)合提出的問題，組織學生討論，重視圖形變化過程中相等關(guān)系的建立，理順變量與不變量的關(guān)系．教師可組織學生多做幾個橡皮泥的圖形變化，借此復習各種立體圖形的體積公式，為例題的教學積累數(shù)學活動經(jīng)驗，化解難點，排除知識障礙．（1）常用的體積公式：長方體的體積＝長×寬×高；正方體的體積＝棱長×棱長×棱長；圓柱的體積＝底面積×高＝πr2h．（2）常用的面積、周長公式：長方形的面積＝長×寬；長方形的周長＝2×（長＋寬）；正方形的面積＝邊長×邊長；正方形的周長＝邊長×4；三角形的面積＝×底×高；平行四邊形的面積＝底×高；梯形的面積＝×（上底＋下底）×高；圓的面積＝πr2；圓的周長＝2πr．問題2.解決問題：某居民樓頂有一個底面直徑和高均為4m的圓柱形儲水箱，現(xiàn)該樓進行維修改造，為減少樓頂原有儲水箱的占地面積需要將它的底面直徑由4m減少為3.2米，那么在容積不變的前提下，水箱的高度將由原先的4米增高為多少米？解：設(shè)水箱的高為x厘米．根據(jù)題意，得π×（1.6）2×x＝π×22×4．解得x＝6.25．答：水箱的高變成了6.25厘米．探究二：如下圖，將一個底面直徑是20厘米，高為9厘米的“矮胖”形圓柱鍛壓成底面直徑是10厘米的“瘦長”形圓柱，高變成了多少？（1）討論分析：在鍛壓過程中哪些量改變了？哪些量沒變？問題中的等量關(guān)系是什么？設(shè)計意圖：由情境2的啟發(fā)，學生很容易得出結(jié)論．圓柱的底面直徑和高發(fā)生了變化，但圓柱的體積沒有改變．所以，在這個問題中的等量關(guān)系是：鍛壓前的體積＝鍛壓后的體積．（2）列表分析：設(shè)鍛壓后圓柱的高為x厘米，填寫下表：（單位：厘米）鍛壓前鍛壓后底面半徑105高9x體積π×102×9π×52×x解：設(shè)鍛壓后圓柱的高為x厘米．根據(jù)題意，得π×52×x＝π×102×9．解得x＝36．答：鍛壓后高變成了36厘米．（3）規(guī)律探究：圓柱在鍛壓過程中，隨著直徑的變化，圓柱高度的變化有什么規(guī)律？直徑4020105高936師生活動：通過小組內(nèi)分工協(xié)作，計算得出．當圓柱直徑為40時，高度變?yōu)?.25；當圓柱直徑為5時，高度變?yōu)?44．觀察直徑和高的變化規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)：圓柱在鍛壓過程中體積不變，隨著直徑逐漸變小，圓柱高度不斷增大．（4）你認為解決問題的關(guān)鍵是什么？你采用了什么方法輔助分析？在解題過程中有哪些易錯點？在分析問題過程中最關(guān)鍵的是抓住鍛壓變化中的不變量——物體的體積．為了更好地理清問題中的變量和不變量以及它們之間的關(guān)系可以采用圖示法或列表法．設(shè)計意圖：在解題過程中，學生易出現(xiàn)半徑與直徑混淆、算式中直接用3.14替代π、圓柱體積計算公式遺忘等問題，要注意及時糾正．【典型例題】例1.用一根長為10米的鐵絲圍成一個長方形．（1）使得該長方形的長比寬多1.4m，此時長方形的長、寬各為多少米？（2）使得該長方形的長比寬多0.8m，此時長方形的長、寬各為多少米？它圍成的長方形與（1）中所圍成的長方形相比，面積有什么變化？（3）使得該長方形的長與寬相等，即圍成一個正方形，此時正方形的邊長是多少米？它所圍成的面積與（2）中相比又有什么變化？師生活動：用你手里的線繩親自動手操作，根據(jù)你的生活經(jīng)驗和操作過程以及用一元一次方程解決實際問題的基礎(chǔ)，分組獨立完成例1中的（1）（2）（3）三個問題．選派小組代表板演解題過程，教師規(guī)范步驟、發(fā)現(xiàn)問題及時指出并加以糾正．解：（1）設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為（x＋1.4）m．根據(jù)題意，得[x＋（x＋1.4）]×2＝10．2x＝5－1.4.x＝1.8．x＋1.4＝1.8＋1.4＝3.2．此時長方形的長和寬分別為3.2m、1.8m．（2）設(shè)此時長方形的寬為xm，則它的長為（x＋0.8）m．根據(jù)題意，得[x＋（x＋0.8）]×2＝10．2x＝5－0.8，x＝2.1．x＋0.8＝2.1＋0.8＝2.9．此時長方形的長和寬分別是2.9m和2.1m．它圍成的長方形的面積為2.1×2.9＝6.09（m2）．而（1）中長方形的面積為3.2×1.8＝5.76（m2）．此時長方形的面積比（1）中面積增大6.09－5.76＝0.33（m2）．（3）設(shè)正方形的邊長為xm．根據(jù)題意，得4x＝10，x＝2.5.正方形的邊長為2.5m，它所圍成的面積為2.5×2.5＝6.25（m2），比（2）中面積增大6.25－6.09＝0.16（m2）．討論：解決這道題的關(guān)鍵是什么？從解這道題中你有何收獲和體驗．解答這道題的關(guān)鍵是要認識到在改變長方形的長和寬的同時，長方形的周長不變，始終是鐵絲的長度（10m），由此便可建立等量關(guān)系；同時我們也發(fā)現(xiàn)，雖然長方形的周長不變，但改變長方形的長和寬時，長方形的面積卻在發(fā)生變化，而且大家發(fā)現(xiàn)長和寬越接近面積就越大．2．（1）一個圓柱體，半徑增加到原來的3倍，而高變成原來的，則變化后的圓柱體體積是原來圓柱體體積的（B）．A．2倍B．3倍C．6倍D．8倍（2）將一灌滿水的直徑為40厘米、高為60厘米的圓柱形水桶A里的水全部灌于另一半徑為30厘米的圓柱形水桶B里．問這時水桶B里的水的高度是多少厘米？若設(shè)水的高度是x厘米．下面方程正確的是（B）．A．π×40×60＝π×30xB．πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,2)))2×60x＝π×302C．πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(40,2)))2×60＝π×302xD．π×402×60＝π×302x設(shè)計意圖：有了“分析問題，探究新知”環(huán)節(jié)作鋪墊，找出引例問題中等量關(guān)系比較容易，教師要注意組織學生對“解題感悟”的反思和提升，對于學生在解題過程中出現(xiàn)的列式計算問題，教師應及時指出并加以糾正．【隨堂練習】1．用5.2米長的鐵絲圍成一個長方形，使得長比寬多0.6米，求圍成的長方形的長為多少米？設(shè)長方形的寬為x米，可列方程為（）．CA．x＋（x＋0.6）＝5.2B．x＋（x－0.6）＝5.2C．2（x＋x＋0.6）＝5.2D．2[x＋（x－0.6）]＝5.22.把一塊長、寬、高分別為5cm、3cm、3cm的長方體木塊，浸入半徑為4cm的圓柱形玻璃杯中（盛有水），水面將增高多少？（不外溢）分析：相等關(guān)系：水面增高體積＝長方體體積．解：設(shè)水面增高x厘米．根據(jù)題意，得π×42×x＝5×3×3．解得x＝≈0.9．因此，水面增高約為0.9厘米．3．如下圖，墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的裝飾物，小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，那么，小穎所釘長方形的長和寬各為多少厘米？師生活動：鼓勵學生自主思考解答，然后小組交流，各小組選出代表上臺講解，教師適時點評．分析：等量關(guān)系是變形前后周長相等．解：設(shè)長方形的長是x厘米．根據(jù)題意，得2（x＋10）＝10×4＋6×2．解得x＝16．因此，小穎所釘長方形的長是16厘米，寬是10厘米．設(shè)計意圖：改變問題情境，解決生活中的常見的形變問題，強化應用意識．六、課堂小結(jié)本節(jié)課你有什么感受和收獲？1．通過對引例的理解，我們知