廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息。2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆涂黑答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在問卷、草稿紙上則答案無效。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.考生必須保持答題卡的整潔。一、單選題（共40分）：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合要求的。1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2.已知集合，則的真子集數(shù)量是（）A． B． C． D．3．已知向量與能作為平面向量的一組基底，若與共線（），則的值是（）A． B． C． D．4．名同學(xué)以人為一組分為學(xué)習(xí)小組完成學(xué)習(xí)任務(wù)，每個(gè)小組內(nèi)成員地位等價(jià)，則所有可能的分組方案數(shù)量是（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后在上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）A． B． C． D．6．以下什么物體能被整體放進(jìn)底面半徑為，高為的圓柱中A．底面半徑為，母線長(zhǎng)為的圓錐 B．邊長(zhǎng)為的正二十面體C．底面半徑為，高為的圓柱 D．底面積為，高為的直三棱柱7．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，則使的最小是（）A． B． C． D．8.已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、多選題（共18分）：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知，且，則下列不等式中成立的有（

）A． B．C． D．10．拋物線焦點(diǎn)為，且過點(diǎn)，斜率互為相反數(shù)的直線，分別交于另一點(diǎn)和，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(diǎn) B．在兩點(diǎn)處的切線斜率和為C．上存在無窮多個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)和直線的距離和為 D．當(dāng)都在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，面積的最大值為11.已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，的?dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（）A． B．C．若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點(diǎn)為D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一三、填空題（共15分）：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.在中，分別為角的對(duì)邊，，則的值是________.13.已知在平面直角坐標(biāo)系中，一雙曲線的圖象可以通過旋轉(zhuǎn)和平移變換為（為關(guān)于的函數(shù)）的圖象，則雙曲線的離心率的取值范圍是________.14.設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則當(dāng)?shù)娜≈禐闀r(shí)，的最大值為.四、解答題（共77分）：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（15分）如圖，四棱錐的底面是矩形，側(cè)棱底面，是的中點(diǎn)，（1）證明：∥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.17．（15分）某廠有組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時(shí)間過長(zhǎng)，每組設(shè)備在一個(gè)月內(nèi)均有的故障率。現(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計(jì)劃，每個(gè)月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機(jī)抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計(jì)劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因?yàn)楣收戏缕渌O(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計(jì)劃內(nèi)的設(shè)備，則計(jì)劃翻新仍將正常進(jìn)行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會(huì)維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn).（1）求第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率；（2）設(shè)第一個(gè)月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機(jī)變量，求的均值.18．（17分）設(shè)函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，比較和的大小關(guān)系；（2）證明：的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，若以為圓心的圓交的圖象于兩點(diǎn)，證明：.19．（17分）在平面直角坐標(biāo)系中，若兩點(diǎn)在一曲線上，曲線在處均存在不垂直于軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值等于直線的斜率，則稱是曲線的一條“切線相依割線”。（1）證明：準(zhǔn)線平行于軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”；（2）試探究雙曲線在第一象限內(nèi)是否存在“切線相依割線”，若存在，請(qǐng)求出所有的“切線相依割線”，若不存在，請(qǐng)說明理由.廣東省新南方聯(lián)盟2024屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題12345678BDBCACCD二、多選題91011ABCBCDABD三、填空題12.13.14(1).14(2).四、解答題15.（1）（2）前項(xiàng)和解：（1），因此是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列設(shè)的前n項(xiàng)和為，則又由，得當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足，.（2）：因此.16.（1）證明見解析（2）正弦值為證明：（1）連，與交于點(diǎn)，連，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以是的中位線，，平面，平面，所以平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則AC?平面ACE的法向量可以為，設(shè)直線與平面所成角為，.17.（1）概率為（2）均值為（1）由題，“翻新一組設(shè)備”包含“計(jì)劃翻新一組且沒有發(fā)生故障”，“沒有計(jì)劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計(jì)劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設(shè)備恰好為計(jì)劃翻新的設(shè)備”三種事件。設(shè)“翻新一組設(shè)備”為事件，“計(jì)劃翻新”為事件，“出現(xiàn)故障”為事件，“抽到故障設(shè)備”為事件則，因此第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率為（2）的可能取值為當(dāng)且僅當(dāng)沒有出現(xiàn)故障且沒有計(jì)劃改造，故，由（1），，，故18.（1）時(shí)（2）（3）證明見解析（1）設(shè)函數(shù)，則，，符號(hào)為符號(hào)，，，故單調(diào)遞增，，故，單調(diào)遞增，時(shí)，故時(shí).（2）設(shè)的圖象上一點(diǎn)，則其關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為，而，故在的圖象上，故與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.（3）不妨設(shè)，，其中，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性，都在圓上設(shè)與圓的交點(diǎn)為，設(shè)軸與圓在右側(cè)的交點(diǎn)為，，則，則，，由對(duì)稱，，且，又，故，又在圖象上，在圖象上，故在上方，因此.19.（1）證明見解析（2）不存在證明：（1）由準(zhǔn)線平行于軸，故拋物線圖象開口向上，為二次函數(shù)，設(shè)，則斜率為，，故處均存在不垂直于軸的切線，且兩條切線的斜率的平均值為，等于直線的斜率，故為切線相依割線，由于可以任取，故準(zhǔn)線平行于軸的拋物線上任意一條割線均為“切線相依割線”。（2）設(shè)，其中，則斜率為，設(shè)雙曲線在點(diǎn)處切線方程為