湖南省株洲市炎陵縣2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省株洲市炎陵縣2024年八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(2，－3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(－3，2)2．化簡(jiǎn)(-1)2-(-3)0+得()A．0 B．-2 C．1 D．23．一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)，其中ab＜0，a、b為常數(shù)，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖象可以是（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)（，）在第二象限，則的取值范圍是（）A． B．C． D．5．如圖，在中，對(duì)角線與交于點(diǎn)，添加下列條件不能判定為矩形的只有（）A． B．，，C． D．6．如圖，在R△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，則AB等于（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm7．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的x、y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x﹣10123y51﹣1﹣11則該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為（）A．y軸 B．直線x= C．直線x=1 D．直線x=8．如圖，有一直角三角形紙片ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，DE＝1，則BC的長(zhǎng)度為()A．2 B．＋2 C．3 D．29．如圖，將平行四邊形紙片折疊，使頂點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，那么對(duì)于結(jié)論：①，②.下列說法正確的是()A．①②都錯(cuò) B．①對(duì)②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對(duì) D．①②都對(duì)10．若等腰的周長(zhǎng)是，一腰長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)為，則與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍是A． B．C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PD＝3cm，則PC的長(zhǎng)為_____cm．12．甲、乙二人在相同情況下，各射靶次，兩人命中環(huán)數(shù)的方差分別是，，則射擊成績(jī)較穩(wěn)定的是_________.（填“甲”或“乙"）13．＝_____．14．如圖，在△ABC中，∠A=α．∠ABC與∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于點(diǎn)A2，得∠A2；…；∠A2011BC與∠A2011CD的平分線相交于點(diǎn)A2012，得∠A2012，則∠A2012=_____．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)在上，以為對(duì)角線的所有中，的最小值是____．16．如圖，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝8，則EF的長(zhǎng)為______．17．如圖，是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性制作的邊長(zhǎng)均為的可活動(dòng)菱形衣架，若墻上釘子間的距離，則=______度．18．如圖?DEF是由?ABC繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的，則這點(diǎn)的坐標(biāo)是__________.三、解答題(共66分)19．（10分）求證：菱形的對(duì)角線互相垂直．20．（6分）如圖，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y軸，垂足為A．反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．（1）若OA＝8，求k的值；（2）若CB＝BD，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．21．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，垂足分別為、．(1)求直線和直線的解析式；(2)點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線交直線于點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若沿方向平移(點(diǎn)在線段上，且不與點(diǎn)重合)，在平移的過程中，設(shè)平移距離為，與重疊部分的面積記為，試求與的函數(shù)關(guān)系式．22．（8分）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，點(diǎn)F在BD上，且BE＝DF連接AE并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)G，連接CF并延長(zhǎng)，交AD于點(diǎn)H．(1)求證：△AOE≌△COF；(2)若AC平分∠HAG，求證：四邊形AGCH是菱形．23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分線，CD=5cm，求AB的長(zhǎng)．24．（8分）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°.E、F分別是BC,CD上的點(diǎn)．且∠EAF=60°.探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是,延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是_________；探索延伸：如圖2，若四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°.E,F分別是BC,CD上的點(diǎn),且∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處,艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處,并且兩艦艇到指揮中心的距離相等,接到行動(dòng)指令后,艦艇甲向正東方向以55海里/小時(shí)的速度前進(jìn),艦艇乙沿北偏東50°的方向以75海里/小時(shí)的速度前進(jìn)2小時(shí)后,指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E,F處,且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．25．（10分）如圖，在中，，，是的垂直平分線．（1）求證：是等腰三角形．（2）若的周長(zhǎng)是，，求的周長(zhǎng)．（用含，的代數(shù)式表示）26．（10分）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝13cm，D是AB上一點(diǎn)，且CD＝12cm，BD＝8cm．（1）求證：△ADC是直角三角形；（2）求BC的長(zhǎng)

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【解析】

根據(jù)“平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是（-x，-y）”解答．【詳解】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，得點(diǎn)P（2，-3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2，3）．故選B．【點(diǎn)睛】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，是需要識(shí)記的基本問題．記憶方法是結(jié)合平面直角坐標(biāo)系的圖形記憶．2、D【解析】

先利用乘方的意義、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)一步計(jì)算得出答案．【詳解】原式=1-1+1=1．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．3、C【解析】

根據(jù)一次函數(shù)的位置確定a、b的大小，看是否符合ab<0，計(jì)算a-b確定符號(hào)，確定雙曲線的位置．【詳解】A.由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0，∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)不正確；B.由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，滿足ab<0，∴a?b<0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過二、四象限，所以此選項(xiàng)不正確；C.由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0，∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)正確；D.由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab>0，與已知相矛盾所以此選項(xiàng)不正確；故選C.【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵在于確定a、b的大小4、B【解析】

根據(jù)象限的定義以及性質(zhì)求出的取值范圍即可．【詳解】∵點(diǎn)（，）在第二象限∴解得故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了象限的問題，掌握象限的定義以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】

根據(jù)矩形的判定即可求解.【詳解】A.，對(duì)角線相等，可以判定為矩形B.，，，可知△ABC為直角三角形，故∠ABC=90°，故可以判定為矩形C.，對(duì)角線垂直，不能判定為矩形D.，可得AO=BO,故AC=BD，可以判定為矩形故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知矩形的判定定理.6、B【解析】

根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】直角三角形中，30°所對(duì)的邊的長(zhǎng)度是斜邊的一半，所以AB=2BC=8cm.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用30度角的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．7、D【解析】觀察表格可知：當(dāng)x=0和x=3時(shí)，函數(shù)值相同，∴對(duì)稱軸為直線x=．故選D．8、C【解析】分析:先由∠B＝30°，將該直角三角形紙片沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，DE＝1，得到AD=BD=2,再根據(jù)∠C＝90°，∠B＝30°得∠CAD=30°,然后在Rt△ACD中，利用30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半求得CD=1,從而求得BC的長(zhǎng)度.詳解:∵△ABC折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，∴AD＝BD，∠B＝∠CAD=30°,∠DEB=90°,∴AD=BD=2,∠CAD=30°,∴CD=AD=1,∴BC=BD+CD=2+1=3故選：C．點(diǎn)睛:本題考查了翻折變換，主要利用了翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等，此類題目，難點(diǎn)在于利用直角三角形中30°的角所對(duì)應(yīng)的直角邊是斜邊的一半來解決問題.9、D【解析】

根據(jù)折疊重合圖形全等，已經(jīng)平行四邊形的性質(zhì)，可以求證①②均正確.【詳解】折疊后點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，又平行四邊形中，，又平行四邊形中，，是平行四邊形，.故選D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查全等三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的判定、平行四邊形的判定.10、C【解析】

根據(jù)題意，等腰三角形的兩腰長(zhǎng)相等，即可列出關(guān)系式.【詳解】依題意，，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得，，得，，得，得，，故與的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍是：，故選．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，做此類題型要注意利用三角形的三邊關(guān)系要確定邊長(zhǎng)的取值范圍．二、填空題(每小題3分,共24分)11、1【解析】

如圖，作PH⊥OB于H．由角平分線的性質(zhì)定理推出PH＝PD＝3cm，再證明∠PCH＝30°即可解決問題．【詳解】解：如圖，作PH⊥OB于H．∵∠POA＝∠POB，PH⊥OB，PD⊥OA，∴PH＝PD＝3cm，∵PC∥OA，∴∠POA＝∠CPO＝15°，∴∠PCH＝∠COP+∠CPO＝30°，∵∠PHC＝90°，∴PC＝2PH＝1cm．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．12、乙【解析】

根據(jù)方差的意義解答即可.【詳解】方差反映了數(shù)據(jù)的離散程度，方差越小，成績(jī)?cè)椒€(wěn)定，故射擊成績(jī)比較穩(wěn)定的是乙.故答案為：乙.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方差的意義，清楚方差反映了數(shù)據(jù)的離散程度，方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵.13、1【解析】

利用二次根式乘除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】＝＝＝1，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，熟練運(yùn)用二次根式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．14、【解析】

利用角平分線的數(shù)量關(guān)系和外角的性質(zhì)先得到∠Ａ１與∠Ａ的關(guān)系，同樣的方法再得到∠Ａ２和∠Ａ１的關(guān)系，從而觀察出其中的規(guī)律，得出結(jié)論．【詳解】平分，．平分，．．同理可得：；．．．．．．【點(diǎn)睛】本題考察了三角形內(nèi)角和外角平分線的綜合應(yīng)用及列代數(shù)式表示規(guī)律．15、6【解析】

由平行四邊形的對(duì)角線互相平分、垂線段最短知，當(dāng)OD⊥BC時(shí)，DE線段取最小值．【詳解】∵四邊形ADCE是平行四邊形，

∴OD=OE，OA=OC．

∴當(dāng)OD取最小值時(shí)，DE線段最短，此時(shí)OD⊥BC．

∴OD是△ABC的中位線，∴，，∴，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，

，，∴，∴.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)以及垂線段最短的知識(shí)．正確理解DE最小的條件是關(guān)鍵．16、1【解析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出DF的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DE的長(zhǎng)，然后相減即可得到EF的長(zhǎng)．【詳解】∵DE為△ABC的中位線，∴DE=BC=×8=4，∵∠AFB=90°，D是AB的中點(diǎn)，∴DF=AB=×6=3，∴EF=DE-DF=1，故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17、1【解析】

根據(jù)題意可得，AB和菱形的兩邊構(gòu)成的三角形是等邊三角形，可得∠A=60°，所以，∠1=1°【詳解】解：如圖，連接AB．

∵菱形的邊長(zhǎng)=25cm，AB=BC=25cm

∴△AOB是等邊三角形

∴∠AOB=60°，

∴∠AOD=1°

∴∠1=1°．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定的運(yùn)用．18、（0，1）．【解析】試題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，可知，只要連接兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的兩條垂直平分線，其交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．試題解析：如圖，連接AD、BE，作線段AD、BE的垂直平分線，兩線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心O′．其坐標(biāo)是（0，1）．考點(diǎn):坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．三、解答題(共66分)19、詳見解析【解析】

根據(jù)AD=AB，OD=OB，AO=AO，推得△AOD≌△AOB，所以對(duì)角線AC，BD互相垂直．【詳解】已知：菱形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，求證：AC⊥BD．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，OD=OB，又∵AO=AO，∴△AOD≌△AOB（SSS），∴∠AOD=∠AOB，又∵∠AOD+∠AOB=180°，∴∠AOD=90°，即

AC⊥BD．故菱形的對(duì)角線互相垂直．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.20、（1）1；（2）（3，2）【解析】

（1）過C作CM⊥AB，CN⊥y軸，利用勾股定理求出CM的長(zhǎng)，結(jié)合OA的長(zhǎng)度，則C點(diǎn)坐標(biāo)可求，因C在圖象上，把C點(diǎn)代入反比例函數(shù)式求出k即可；（2）已知CB=BD，則AD長(zhǎng)可求，設(shè)OA=a,把C、D點(diǎn)坐標(biāo)用已知數(shù)或含a的代數(shù)式表示，因C、D都在反比例函數(shù)圖象上，把C、D坐標(biāo)代入函數(shù)式列式求出a值即可.【詳解】（1）解：過C作CM⊥AB，CN⊥y軸，垂足為M、N，∵CA＝CB＝5，AB＝6，∴AM＝MB＝3＝CN，在Rt△ACD中，CD＝＝4，∴AN＝4，ON＝OA﹣AN＝8﹣4＝4，∴C（3，4）代入y＝得：k＝1，答：k的值為1．（2）解：∵BC＝BD＝5，∴AD＝6﹣5＝1，設(shè)OA＝a，則ON＝a﹣4，C（3，a﹣4），D（1，a）∵點(diǎn)C、D在反比例函數(shù)的圖象上，∴3（a﹣4）＝1×a，解得：a＝6，∴C（3，2）答：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于能夠做出輔助線，利用勾股定理解題.21、（1）y=-x+1，y=x；（2）m=或；（3）S=.【解析】

（1）理由待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）如圖1中，設(shè)M（m，），則N（m，-m+1）．當(dāng)AC=MN時(shí)，A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，可得|-m+1-|=3，解方程即可；

（3）如圖2中，設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．根據(jù)S=S△OFQ-S△OEP=OF?FQ-OE?PG計(jì)算即可.【詳解】解：（1）設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，則有，解得，∴直線CD的解析式為y=-x+1．

設(shè)直線OD的解析式為y=mx，則有3m=1，m=，

∴直線OD的解析式為y=x.（2）存在．

理由：如圖1中，設(shè)M（m，），則N（m，-m+1）．當(dāng)AC=MN時(shí)，A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，

∴|-m+1-|=3，

解得m=或.（3）如圖2中，設(shè)平移中的三角形為△A′O′C′，點(diǎn)C′在線段CD上．

設(shè)O′C′與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；

設(shè)A′C′與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q．因?yàn)槠揭凭嚯x為t，所以水平方向的平移距離為t（0≤t＜2），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t，0），Q（1+t，），C′（1+t，3-t）．

設(shè)直線O′C′的解析式為y=3x+b，

將C′（1+t，3-t）代入得：b=-1t，

∴直線O′C′的解析式為y=3x-1t．∴E（，0）．

聯(lián)立y=3x-1t與y=，解得x=．

∴S=S△OFQ-S△OEP=OF?FQ-OE?PG=（1+t）（）-=.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形、平移變換、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．第（2）問中，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形定義，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）問中，解題關(guān)鍵是求出S的表達(dá)式，注意圖形面積的計(jì)算方法．22、(1)見解析；(2)見解析.【解析】

（1）先由四邊形ABCD是平行四邊形，得出OA=OC，OB=OD，則OE=OF，又∵∠AOE=∠COF，利用SAS即可證明△AOE≌△COF；

（2）先證明四邊形AGCH是平行四邊形，再證明CG=AG，即可證明四邊形AGCH是菱形．【詳解】證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵BE＝DF，∴OE＝OF.在△AOE與△COF中，∴△AOE≌△COF(SAS)．(2)由(1)得△AOE≌△COF，∴∠OAE＝∠OCF，∴AE∥CF.又∵AH∥CG，∴四邊形AGCH是平行四邊形．∵AC平分∠HAG，∴∠HAC＝∠GAC．∵AH∥CG，∴∠HAC＝∠GCA，∴∠GAC＝∠GCA，∴CG＝AG，∴□AGCH是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，難度適中，利用SAS證明△AOE≌△COF是解題關(guān)鍵．23、10cm【解析】

先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，結(jié)合BD是角平分線，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=∠30°，∴∠ABC=60°．∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD=30°．∴∠ABD=∠BAD，∴AD=DB，在Rt△CBD中，CD=5cm，∠CBD=30°，∴BD=10cm．由勾股定理得，BC=5，∴AB=2BC=10cm．【點(diǎn)睛】本題利用了角平分線定義、直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)．24、問題背景：EF=BE+DF，理由見解析；探索延伸：結(jié)論仍然成立，理由見解析；實(shí)際應(yīng)用：210海里.【解析】

問題背景：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；探索延伸：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連結(jié)AG，即可證明△ABE≌△ADG，可得AE=AG，再證明△AEF≌△AGF，可得EF=FG，即可解題；實(shí)際應(yīng)用：連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，然后與（2）同理可證．【詳解】問題背景：EF=BE+DF，證明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案為EF=BE+DF；探索延伸：結(jié)論EF=BE+DF仍然成立，理