2023屆黑龍江省雞西市虎林市高級(jí)中學(xué)高三年級(jí)上冊(cè)開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題

2023屆黑龍江省雞西市虎林市高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試數(shù)

學(xué)試題

一、單選題

1.設(shè)全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-l,2},B={x|f-4x+3=0},則d(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

【答案】D

【分析】解方程求出集合8,再由集合的運(yùn)算即可得解.

【詳解】由題意，B={X|X2-4X+3=0}={1,3},所以Au8={-1,1,2,3},

所以Q(AuB)={-2,0}.

故選：D.

2.函數(shù)，(x)=kr+(x-l)°的定義域?yàn)?)

V3x-2

A.(|,+8)B.|,iL(i,+oo)

C.|』)u(l,+8)D.2

——,+oo

3

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于0,分式的分母不為0,以及零次幕的底數(shù)不等于0,建

立不等式組，求解即可.

3x-2>02

【詳解】解：由已知得…。，解得—且》1，

7r4-1的定義域?yàn)槿省共?1，+8),

所以函數(shù)/(x)=A_刀

\J3x-2

故選：B.

3.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()

A./(x)=—xB./(x)=f|jC./(x)=x2

D.f(x)=石:

【答案】D

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,/(x)=-X為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于B,=為R上的減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于C,〃兀)=￥在(-8,0)為減函數(shù)，不合題意，舍.

對(duì)于D,/(力=也為R上的增函數(shù)，符合題意，

故選：D.

4.已知實(shí)數(shù)x,y,則“x>y”是6萬(wàn)''的()

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】首先求出當(dāng)G斤>6萬(wàn)時(shí)，x>y>\,再由充分條件、必要條件的定義即可得出選項(xiàng).

【詳解】若^/^斤>J7萬(wàn)，則x>>21,

當(dāng)時(shí)，推不出X>y21；反之，成立，

所以“x>y”是“而1>斤1”的必要不充分條件

故選：A

5.若a=10。/，fe=lg0.8,c=log53.5,則()

A.a>b>cB.h>a>c

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷。力,c的范圍，即可比較大小，可得答案.

【詳解】由函數(shù)y=10"為增函數(shù)可知°=10。">1,

由y=lgx為增函數(shù)可得b=lg0.8<0,由由y=log5%為增函數(shù)可得0<c=logs3.5<l,

iz=1001>1>c=log,3.5>0>b=lg0.8,

:.a>ob,

故選:D

6.函數(shù)〃x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a/),導(dǎo)函數(shù)/'(x)在(a,A)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)〃x)在開

區(qū)間(。,與內(nèi)有極小值點(diǎn)()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】觀察函數(shù)r(x)在S，b)內(nèi)的圖象與x軸有四個(gè)公共點(diǎn)，利用極小值點(diǎn)的定義分析得解.

【詳解】解：由導(dǎo)函數(shù)尸（X）在區(qū)間3。）內(nèi)的圖象可知，函數(shù)/（X）在（凡。）內(nèi)的圖象與X軸有四個(gè)

公共點(diǎn)，

“X）在開區(qū)間（。,與內(nèi)的極小值點(diǎn)有1個(gè).

故選：A.

7.定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)y=/a）為/（%）,滿足且/（o）=i,則不等式

的解集為（）

A.（YO,2）B.（2,+oo）C.（—,0）D.（0,+a?）

【答案】D

【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)尸（力=華，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)

與＜1oF（x）＜F（0）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)尸（“=§,

則尸（x）=f'（x）e；〃x）e"=叱?。?

因?yàn)椋▁）＞r（x）,

所以F'（x）＜0,

即函數(shù)E（x）在定義域上單調(diào)遞減，

因?yàn)?0）=1,

所以不等式/（x）＜e'等價(jià)于Zkl＜1,等價(jià)于尸（x）＜尸（0）,

e

解得x＞0,

故不等式的解集為（0,+8）.

故選：D.

8.函數(shù)丫=萼的圖像大致為（）

x~+2

【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC,再由當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/(x)<0,排除D,即可得解.

【詳解】設(shè)y=/(x)=*,則函數(shù)〃x)的定義域?yàn)閧巾*0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

又/(-*)==〃"，所以函數(shù)“X)為偶函數(shù)，排除AC；

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，111n(0,r+2>0,所以f(x)<0,排除D.

故選：B.

9.已知"X)是定義域?yàn)?e,y)的奇函數(shù)，滿足H1-X)=H1+X).若/⑴=2,則

/(1)+/(2)+/(3)++/(50)=

A.-50B.0C.2D.50

【答案】C

【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.

詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)?f，+9)的奇函數(shù)，且H1-x)=尸(1+x),

所以/(I+x)=-/(x-l)/./(3+x)=-f{x+l)=/(x-l).-.T=4,

因此/⑴+/(2)+/(3)++/(50)=12[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2),

因?yàn)?(3)=-/(1)，/(4)=-/(2),所以川)+/(2)+f(3)+f(4)=0,

"2)=/(-2)=-/(2)/./(2)=0,從而/(I)+/⑵+/(3)++f(50)=/(I)=2,選C.

點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將

所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到己知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

,、2*"+l,x40r,，、

10.己知函數(shù)=qx>0若關(guān)于X的方程［〃X)丁一2硝力+2=0有六個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

A,(得B.得C.［得］D.

【答案】D

【分析】設(shè)/(x)=f,作出函數(shù)/(x)的圖象，分析可知函數(shù)g(f)=『-2〃+2在區(qū)間(1,3］上有兩個(gè)

不等的實(shí)根，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】令〃x)=f,則g(f)=?一加f+2,作f(x)的圖象如圖所示，

設(shè)g(f)=/—2a+2的零點(diǎn)為4、芍，

由圖可知，要滿足題意，則需g(r)=/-加+2在(1,3］上有兩不等的零點(diǎn)，

1<a<3

g(l)=3_2a>0

則《解得忘<a<2.

g(3)=ll-6/>0'2

△=4/-8>0

因此，實(shí)數(shù)。的取值范圍是

故選：D.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/［g(x)］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下:

(1)確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)y=/(〃)；

(2)確定外層函數(shù)y=/(〃)的零點(diǎn)〃=%(，=1,2,3,.,〃)；

(3)確定直線〃=%(，=1,2,3,㈤與內(nèi)層函數(shù)“=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為4、色、％、L、

則函數(shù)y=/［g(x)］的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4+生+%++%.

二、多選題

11.已知且a+b=l,那么下列不等式中，恒成立的有().

A.ab?B.abr-—C.\［a+\［b?yflD.—l--..2A/2

4ab4a2b

【答案】ABC

【分析】利用基本不等式，逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得到結(jié)論.

【詳解】。,8€/?+,。+匕=1,，時(shí),，(等)=；(當(dāng)且僅當(dāng)a=6=g時(shí)取得等號(hào)).所以選項(xiàng)A正確

由選項(xiàng)A有岫v1,jgy=x+-,則丫=*+，在(0,：上單調(diào)遞減.

4xx14」

1117

所以。力+下之二+4=二，所以選項(xiàng)B正確

ab44

(yfa+O=〃+8+2\/^,。+人+4+人=2(當(dāng)且僅當(dāng)。=8=3時(shí)取得等號(hào))，

.??五+〃,,及.所以選項(xiàng)C正確.

11a+ba+h3bd3Aba3夜

一十一----+----=—+—+—...—+2,(當(dāng)且僅當(dāng)片=勸2時(shí)等號(hào)成立)，所以

a2b2b2a2b2a2b2

選項(xiàng)D不正確.

故A,B,C正確

故選：ABC

【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題

12.已知函數(shù)/(X)=工3-x+1,貝|J()

A./(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B./(x)有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=F(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切線

【答案】AC

【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A,結(jié)合/'(x)的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C；利

用導(dǎo)數(shù)的兒何意義判斷D.

【詳解】由題，r(x)=3x2-l,令J,x)＞0得x＞q或xv-4，

令:(幻＜0得-旦

33

所以/(x)在(_8,-理)，(乎,+8)上單調(diào)遞增，(-乎，乎)上單調(diào)遞減，所以X=±4是極值點(diǎn)，故

A正確；

因f(一字=1+歲＞0,娉)=1-竽＞0，/(-2)=-5＜0,

所以，函數(shù)/(X)在1-8，-與］上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)"4時(shí)，＞0,即函數(shù)“X)在+8上無(wú)零點(diǎn),

綜上所述，函數(shù)/(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

令/j(x)=d-x,該函數(shù)的定義域?yàn)镽,h(-x)=(-X)3-(-x)=-x3+x=-/z(x),

則6(x)是奇函數(shù)，(。,0)是是x)的對(duì)稱中心，

將應(yīng)x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到/5)的圖象，

所以點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

令/(耳=3/-1=2,可得x=±l,又/⑴=/(-1)=1,

當(dāng)切點(diǎn)為(L1)時(shí)，切線方程為y=2x-1,當(dāng)切點(diǎn)為(T1)時(shí)，切線方程為y=2x+3,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

三、填空題

13.若關(guān)于x的不等式/+5_2<0的解集是㈠⑼，則a+b=.

【答案】1

【分析】由題意可得是方程/+依-2=()的兩個(gè)根，所以-=從而可求得結(jié)果

【詳解】解：因?yàn)殛P(guān)于x的不等式*2+權(quán)一2<0的解集是(-12),

所以-1力是方程d+依一2=0的兩個(gè)根,

所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得T+6=-a,得a+b=l,

故答案為：1

14.已知己x)是定義在以上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),/(x)=log2x+4\則/

【答案】-1

【分析】可利用奇函數(shù)性質(zhì)，由一;)+/(g)=0，先求出/(；)，再求即可

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以/1-；［+.4；)=0,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=logx+4r

2則

2

/(?^)=log2^+4=-1+2=1,則｛-g)=T

故答案為：-1

【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求解具體函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題

15.已知函數(shù)/(x)=2r⑴x+3e'—2,/'(x)是/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則尸⑴=.

【答案】-3e

【分析】對(duì)/(x)求導(dǎo)后，令x=l代入/'(X)即可求解.

【詳解】由/'(》)=2/'(1)+女'，可得八1)=2/⑴+3e即/'(l)=-3e.

故答案為：-3e.

四、雙空題

16.若函數(shù)“X)的導(dǎo)數(shù)r(x)存在導(dǎo)數(shù)，記尸(X)的導(dǎo)數(shù)為尸(X).如“X)對(duì)任意xw(a,b),都有

/"(x)<0成立，則“X)有如下性質(zhì)：/(/+:；+怎)*)(占)+/二2,++/(x“)其中”「N*,

4，巧，…，X"若〃x)=sinx,則/"(X)=；根據(jù)上述性質(zhì)推斷：當(dāng)％+*2+三=兀

且可,多,毛€(0,兀)時(shí)，sinx,+sinx2+sinw的最大值為.

【答案】-sinx述

2

【分析】對(duì)r(x)=cosx求導(dǎo)可得/"(x)=-sinx,由正弦函數(shù)的圖象可知/"(x)<0成立，

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)sinX|+sinx2+sinx?43sin,+；+'),即可求得sin%+sinx2+sinw的最大值.

【詳解】設(shè)f(x)=sinx,xe(O,7t),則/'(x)=cosx,

則/"(x)=-sinx,xe(O,7t),由于/"(x)<0恒成立

故/(x)有如下性質(zhì)：f(、+W；+x]>/(xJ+〃？++〃x”)

則sinx,+sinx2+sinxj<3sin]：+；+']=3xsi吟,

sin玉+sinx、+sin毛的最大值為，一,

2

故答案為：-sinx,土叵.

2

五、解答題

17.己知全集。=1<,集合尸={R-2cx<5},非空集合。={》|。+14犬424+1}.

⑴若”=3,求尸C40；

(2)若“xeP”是“xeQ”的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】⑴Pc(q,Q)={M-2c<4}；

⑵a?0,2).

【分析】(1)先求。的補(bǔ)集再求交集即可；

(2)由題意。是尸的真子集，據(jù)此可得不等式組，解之即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=3時(shí)，e={x|4<x<7},

則。/。={小<4}3巾>7},

又P=3—2<》<5｝,所以Pc@Q）=｛止2Vx<4｝；

（2）因?yàn)椤皒eP”是“xeQ”的必要而不充分條件，所以QP且Qx0,

。+142〃+1

所以<。+1>-2,解得04〃<2,

2。+1<5

故實(shí)數(shù)〃的取值范圍是［0,2）.

18.己知函數(shù)/（力=（加-2%-2）加是指數(shù)函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)加的值；

tnin

⑵解不等式（2+X）5<（1-X）5

【答案】（1）加=3

⑵卜2'-』

nr-2m-2-1,

【分析】（1）由題意可得?加>0，從而可求出實(shí)數(shù)用的值；

mw1,

2+x>0

（2）由⑴可得（2+x）23<（1-x）32,再由基函數(shù)y=上3的單調(diào)性可得y-xNO,解不等式組可得

2+x<1—x

答案

m2-2m-2=1

【詳解】（1）由題可知m>0解得機(jī)=3

mw1

,33

⑵由⑴得（2+珠<（1-刀>

=￡在［0,+8）上單調(diào)遞增，

2+x>0

-1—x>0,解得-2?x<-彳，

2

2+x<1-x

故原不等式的解集為

19.新冠肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，中醫(yī)藥全面參與疫情防控救治，做出了重要貢獻(xiàn).某中醫(yī)藥企業(yè)根據(jù)

市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到研發(fā)投入x（億元）與產(chǎn)品收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

研發(fā)投入X(億元)12345

產(chǎn)品收益y(億元)3791011

(1)計(jì)算X,y的相關(guān)系數(shù)r,并判斷是否可以認(rèn)為研發(fā)投入與產(chǎn)品收益具有較高的線性相關(guān)程度？(若

0.3<|r|<0.75,則線性相關(guān)程度一般,若|r|>0.75,則線性相關(guān)程度較高)

(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)研發(fā)投入20(億元)時(shí)產(chǎn)品的收益.

參考數(shù)據(jù)：￡(七一n=10,E(x-y)2=40,E(x,.-x)(y,-7)=19.

f=l1=11=1

t(%-五)(％-,)J(x,.-x)(x-y)

附：相關(guān)系數(shù)公式：r=-r^------H---------'，回歸直線方程的斜率3=J-----------,截

\忙—對(duì)厄(…)22(%-寸

Vi=\Vi=l

Sfla=y—bx.

【答案】(l)r=0.95,具有較高的線性相關(guān)程度

⑵y=1.9x+2.3

【分析】(1)將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式計(jì)算即可得結(jié)論.

(2)求出回歸直線方程，將％=20代入線性回歸方程計(jì)算即可.

5,5,5

【詳解】（1）???工（占-可=10,ZE-方=40，Z（x，-?。?-歹）=19,

*=1i=\/=1

￡5（毛-可（％-歹）

1919

j=l_=-^=~,==—=0.95>0.75

V10xV4020

、忙（—）2粒

V/=1V/=!

,該中醫(yī)藥企業(yè)的研發(fā)投入x與產(chǎn)品收益y具有較高的線性相關(guān)程度.

,次（士-可（》一刃］9

（2）-----------=-=1-9,

2"）210

/=!

x=1（l+2+3+4+5）=3,y=1（3+7+9+10+ll）=8,

Aa=8-1.9x3=2.3.

關(guān)于x的線性回歸方程為y=1.9X+2.3，

將產(chǎn)20代入線性回歸方程可得，y=1.9*20+2.3=40.3,

預(yù)測(cè)研發(fā)投入20(億元)時(shí)產(chǎn)品的收益為40.3(億元).

20.已知函數(shù)/(x)=gV-4x+4.

⑴求函數(shù)f(x)在x=3處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在［0,3］上的最大值與最小值.

【答案】(l)y=5x-14

4

(2)最大值為4,最小值為

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在x=3的值，可求出切線斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程.

(2)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)，確定單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值.

【詳解】(1)由“X)=；X3-4X+4得/(同=幺-4,二.廣(3)=5又八3)=1,所以函數(shù)〃%)在X=3處

的切線方程為:V-l=5(x-3),即y=5x-14

(2)由/(力=犬-4,令外力=父-4>0,解得》<-2或02

令r(x)=x2-4<0,解得-2<r<2,所以/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時(shí),〃x)最小，且最小值為⑼=4J(3)=1,

故最大值為f(O)=4

21.北京冬季奧運(yùn)會(huì)將于2022年2月4日至2022年2月20日在中華人民共和國(guó)北京市和河北省張

家口市聯(lián)合舉行.這是中國(guó)歷史上第一次舉辦冬季奧運(yùn)會(huì)，北京，張家口同為主辦城市，也是中國(guó)

繼北京奧運(yùn)會(huì)，南京青奧會(huì)之后第三次舉辦奧運(yùn)賽事.北京冬奧組委對(duì)報(bào)名參加北京冬奧會(huì)志愿者

的人員開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行了一次考核.為了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效

果，從中隨機(jī)抽取80名志愿者的考核成績(jī)，根據(jù)這80名志愿者的考核成績(jī)，得到的統(tǒng)計(jì)圖表如下

所示.

女志愿者考核成績(jī)頻率分布表

分組頻數(shù)頻率

[75,80)2

[80,85)13

[85,90)18

[90,95)am

[95,KX)]b

若參加這次考核的志愿者考核成績(jī)?cè)冢?0,100］內(nèi)，則考核等級(jí)為優(yōu)秀

（1）分別求這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男、女志愿者人數(shù)；

（2）若從樣本中考核等級(jí)為優(yōu)秀的志愿者中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行學(xué)習(xí)心得分享，記抽到女志愿者的人數(shù)

為X,求X的分布列及期望.

【答案】（1）男5人，女7人；

⑵答案見解析

【分析】（1）先由女志愿者考核成績(jī)頻率分布表求得被抽取的女志愿者的人數(shù)，然后求得，"后求解;

根據(jù)被抽取的志愿者人數(shù)是80,得到被抽取的男志愿者人數(shù)，然后利用男志愿者考核成績(jī)頻率分布

直方圖求解.

（2）X的可能取值為0』,2,3,分別求得其相應(yīng)概率，列出分布列，再求期望.

【詳解】（1）解：由女志愿者考核成績(jī)頻率分布表可知被抽取的女志愿者的人數(shù)為2-0.05=40.

因?yàn)?.050+0.325+0.450+m+0.075=1,

所以加=0.100,

所以這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的女志愿者人數(shù)為40x（0.100+0.075）=7.

因?yàn)楸怀槿〉闹驹刚呷藬?shù)是80,所以被抽取的男志愿者人數(shù)是80-40=40.

由男志愿者考核成績(jī)頻率分布直方圖可知：

男志愿者這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的頻率為（0.010+0.（）15）x5=0.125,

則這次培訓(xùn)考核等級(jí)為優(yōu)秀的男志愿者人數(shù)為40x0.125=5.

（2）由題意可知X的可能取值為0,1,2,3.

P（x=。）啥嗡$P（x=】）=譽(yù)707

220-22

P(X=2)=常嚙嚕唳=3）哈=券=（

X的分布列為

X0123

17217

P

22224444

?1.7八21c77

Xx)=0x---F1x---F2x--F3x—=一

v7222244444

22.已知函數(shù)/(同二:——21nx(aeR且awO).

(l)a=2,求函數(shù)/(x)在(2/(2))處的切線方程.

(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)補(bǔ)吃(不<9)，且a=e?,證明：x,+x2>2e.

【答案】(l)y=x-21n2；

⑵答案見解析；

(3)證明見解析.

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；

(2)求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a分類討論：〃<0和”>0分別討論單調(diào)性；

(3)本題屬于極值點(diǎn)偏移，利用分析法轉(zhuǎn)化為只要證明火2e-X2)>0,由

/(2e-x2)=4-^-+2\nx2-21n(2e-x2),x2e(e,2e),構(gòu)造函數(shù)

e

4/

g(f)=4---+21nf-21n(2e-r)je(e,2e),利用導(dǎo)數(shù)證明出g(f)在(e,2e)上是遞增的，得至Ug⑺>g(e)=O

e

即為1/(2e-X2)>0.

2

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，”x)=5-21nx,所以/(2)=2-21n2.

22

f\x)=x--,所以r(2)=2-萬(wàn)=1.

所以函數(shù)/(x)在(2,〃2))處的切線方程為y-(2-21n2)=x-2,即y=x-21n2.

(2)〃x)的定義域?yàn)?0,+oo),/3=?七.

當(dāng)a<0時(shí)，:(幻<0恒成立，所以/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)”>0時(shí)，r(x)=W-2=z(x+^)(x-&).在(o,4)上，r*)<o,所以〃x)單調(diào)遞減；在

CIXCIX

(C+8)上，f'(X)>0,所以f(X)單調(diào)遞增.

(3)當(dāng)〃=〃x)='-21nx.由⑵知，在(0,e)上單調(diào)遞減，在(e,y)上單調(diào)遞增.

由題意可得：不?e,+oo).由/(2e)=2-21n2>0及/(%)=。得：e(e,2e).

欲證xr*2>2e,只要x/>2e-X2，注意到/U)在(0,e)上單調(diào)遞減，且人犯)二0,只要證明#2e-玄)>0即

可.

由f(j)=與_21nx2=0得考=2e21nx2.所以

..、(2e_x,)"_,、4e1—4ex,+x;_,.、

/(2e-x)=----尸---21n(2e-x)=------寸-----2ln(z2e-x,)

2e2e

At4??4(e-r)2

令g(f)=4——+21nZ-2ln(2e(e,2e)則g'Q)=--+-+---=------>0,則g⑺在(e,2e)

eet2e-ter(2e-z)

上是遞增的，.，.g(f)>g(e)=0即_/(2e-X2)>0.

綜上x/+X2>2e.

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn),

對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：

(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).

(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題.

(4)利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，證明不等式.

23.已知函數(shù)/(x)=(f+l)x+lnx.

(1)討論函數(shù)/(x)單調(diào)性;

2

(2)若Vxe[l,e],不等式f(x)N3x+：恒成立，求實(shí)數(shù)r的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析；(2)[4,+oo).

【分析】(1)求出f(x),分2>T和，<-1討論“X)的單調(diào)性；

(2)不等式/(x)23x+2恒成立，等價(jià)于源之-皿+2,令g(x)=_l!Y+_1+