2022高考數(shù)學(xué)(全國新高考一卷)真題及答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考I卷）

適用地區(qū)：山東、河北、湖北、湖南、江蘇、廣東、福建（語數(shù)外）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若集合M={x|Vx<4},N={x|3x>1）,則MCN=（）

A.{x|0<x<2}B,{x|l<%<2}

C.{x|3<%<16}D.{x||<x<16}

【答案】D

【解析】集合M=國近<4},N={x|3x>1},則A/nN={x|；?x<16}.故選D.

2.若i（l-z）=l,貝！|z+z=（）

A.-2B,-1C.1D.2

【答案】D

【解析】對(duì)原始兩邊同時(shí)乘以i得：z—l=i,即z=l+i,所以1=l-i,即z+I=2,

故選D.

3.在中，點(diǎn)D在邊49上，BD=2DA.記淳i=m,CD=n,則而=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

【答案】B

【解析】因?yàn)榉?石5+而=郎+3而，又因?yàn)槎?而一而，所以方=一25+

3CD,即而=-2m+3n.故選B.

4.南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫。已知該水

庫水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的

面積為180.0卜加2。將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔

148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（夕?2.65）

A.1.0x109m3B.1.2x109m3C.1.4x109m3D.1.6x109m3

【答案】C

22

【解析】由題意Sj140.0km,S2180.0km,h（157.5—148.5）km9km,帶入

棱臺(tái)體積V=；（E+S2+心瓦）力，公式可得：V，1.4x109/7?.故選c.

5.從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為

【答案】D

【解析】總事件數(shù)共C；=g^=21，

第一個(gè)數(shù)取2時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是3,5,7；

第一個(gè)數(shù)取3時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是4,5,7,8；

第一個(gè)數(shù)取4時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是5,6；

第一個(gè)數(shù)取5時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是6,7,8；

第一個(gè)數(shù)取6時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是7；

第一個(gè)數(shù)取7時(shí)，第二個(gè)數(shù)可以是8；

所以八3+4+2+3+1+1="=二

21213

TT777

6.記函數(shù)/（%）=sin（cox+—）+b（3>0）的最小正周期為T,若VT<n,且y=/（%）的

函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)嚀,2）中心對(duì)稱，則丐）=

35

A.1B.-C.-D.3

22

【答案】A

【解析】0=紅€（2,3），y=/（x）的函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（空,2）中心對(duì)稱，則有6=2,且

T2

f（,—）=2,所以sin（甘G+?）+2=2，則,69+?=2攵跖攵cZ；解得&=,由

0w（2,3）得欠=2,6y=|,故/（工）=sin（*?工+工）+2=-1+2=1.

1

1b=-

7.設(shè)。=0.1^°,9c=—In0.9,則

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

r

x

[解析]令a=xe9b=----,c=-ln(l-x)

1-x

①Ina-ln/?=x+lnx-[lnx-ln(l-x)]

.1_v*

y=x+ln(l-(0,0.1]；y-1----------<0,

\-x\-x

所以y<0,所以lna-lnZ?W0,所以

(2)a-c=xex+ln(l-x),xG(0,0J]

1_(l+x)(l—x)，—l

y=xex+ex

\—X1—X

令k(x)=(l+x)(l-x)e*-1,所以&(彳)-(1-彳2-2x)ex>0,

所以k(x)>k(0)>0,所以y>0,

所以a-c>0,所以a>c.

8.已知正四棱錐的側(cè)棱長為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36n,且

3則該正四棱錐體積的取值范圍是

A.[18,—]B.[0，肛]C.停，的JD.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】記三棱錐高與側(cè)棱夾角為高為〃，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為〃2,

cos。=3+'G[1—?jiǎng)t/=6cos6,加=/?sin夕=6sin8cos夕，

2x3x/622

什潦F史端”=6^6,s底[x2小2，〃=2/

COS。

故丫=!5底?/?=gx2m%=144(sinecos2e)2,

令y=sin^cos20=sin6(1-sin2。)=x(l-x2)=-x3+x,x=sin0e[—,

y=-3工2+1,故<o,xw(理,弓]?>0,

2

即Vmax=144ymas=144X*X(%2]2=F，

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.已知正方體ABCD—A4G2，則

A.直線BC,與DA,所成的角為90

B.直線BC,與CA,所成的角為90

C.直線BG與平面所成的角為45

D.直線BC］與平面ABC。所成的角為45

【答案】ABD

【解析】在正方體ABC?！狝4GR中，因?yàn)锽Ct±\By,所以

8G，平面AgCD,所以6。］，0^，5C,±CA］,故選項(xiàng)A,B均正確；

設(shè)AGn42=O.因?yàn)?G_L平面56QQ,所以直線8G與平面5片2。

所成的角為NG80,在直角△GBO中，sin/GBO=,=；，故/￡8。=30。，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；直線8孰與平面ABCD所成的角為/。產(chǎn)。=45°,故選項(xiàng)D正確,

綜上，答案選ABD.

10.已知函數(shù)/(%)=x3-x4-1,則

A.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B.有三個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)(0,1)是曲線y=/(x)的對(duì)稱中心D.直線y=2x是曲線y=/(x)的切

線

【答案】AC

2

【解析】f\x)=3x-1,所以/(幻有兩個(gè)極值點(diǎn)----",進(jìn)而在(—00,—4)或

(序,8)上單調(diào)遞增，在(一辛,4)上單調(diào)遞減，兩個(gè)極值點(diǎn)，A正確.由于

>0,

再由連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性知，/(X)在(-8,-半)上存在一個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間(辛,8),

函數(shù)存在極小值/(X)min>0,故在此區(qū)間.f(x)>0恒成立，即此區(qū)間不存在

零點(diǎn)，故/(幻只有一個(gè)零點(diǎn)，B錯(cuò)誤.由/(x)+/(—x)=2可知，點(diǎn)(0,1)是曲線

y=/(x)的對(duì)稱中心；曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=2x—l,所以答案

選AC.

11.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(l,l)在拋物線CT:/=2py(p>0)上，過點(diǎn)8(0,-1)的直線交

C于P,Q兩點(diǎn)，則

A.。的準(zhǔn)線為y=—1B.直線A3與。相切

C.\OP\\OQ\>\OA^D.\BP\-\BQ\>\BA\2

【答案】BCD

【解析】將A(l,l)代入拋物線方程解得p=；,從而準(zhǔn)線方程為丫=-；，A錯(cuò)誤.拋物

線方程為y=%2,在A處切線的斜率為y⑴=2x1=2,切線方程為y=2x-l,B點(diǎn)

在切線上，從而A3與。相切，設(shè)直線尸。的斜率為攵，從而直線P。的方程為

y^kx-l,由于48是切線并且斜率為2,所以附>2.將直線方程代入。得

2

x-kx+1=0,我們?cè)O(shè)P(X］，M),。(工2，%)，從而由韋達(dá)定理知M+x2=k,xxx2=1,

進(jìn)而

>OPOQ=x/2+y%

2

=(k+1)%,%2-k(x1+々)+1

.2

={k2+Y)-k2+\=2=\OA\

故C正確.

網(wǎng).麗=(公+1)卒2

.2

^k2+\>5=\BA\

故D正確.

3

12.已知函數(shù)/(x)及其導(dǎo)函數(shù)/'(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(x),若/q—2x),

g(2+x)均為偶函數(shù)，則

A./(0)=0B.g(—f=0C./(-1)=/(4)D.g(—l)=g(2)

【答案】BC

【解析】由/(31-2幻為偶函數(shù)可知/(x)關(guān)于直線對(duì)3稱，由g(2+x)為偶函數(shù)

可知：g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，結(jié)合g(x)=7'(x),根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱可知

/(x)關(guān)于點(diǎn)(21)對(duì)稱，根據(jù)/(x)關(guān)于直線光=：對(duì)稱可知：g(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(1,0),

綜上，函數(shù)/(處與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，所以有/(0)=/(2)=r,所以A不正

確；/(一1)=./■⑴，，(4)=/(2),/(1)=/(2),故/(—1)=/(4),所以C正確.

=0,8（-1）=86，所以8正確；

又g(l)+g(2)=0,所以g(—l)+g(2)=0,所以D不正確.

故選BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（1-上）（*+4的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

X

【答案】-28

【解析】原始等于（x+y）8-2（x+y）8,由二項(xiàng)式定理，其展開式中Vy6的系數(shù)為

X

Cs-C?=-28.

14.寫出與圓V+y2=1和（X—3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程;

【答案】x=-l或丁=」7-%-235或＞=一？3x+53.（答對(duì)其中之一即可）

2424*44

【解析】由圖可得，兩圓外切，且均與直線4：x=-1相切，另過兩圓圓心的直線/的方程

44

為丁=一%,可得/與4交點(diǎn)為P（—1,--），由切線定理得，兩圓另一公切線4過點(diǎn)P，設(shè)

41一7

l-.y+-=k（x+l）,由點(diǎn)到直線距離公式可得工=旦=1,解得左=」,即

23'，7^7124

725

l:y=—x--.另由于兩圓外切，因此在公切點(diǎn)處存在公切線4與/垂直，解得

2-2424

15.若曲線y=（》+“）"有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是;

【答案】（f,—4）U（0，+8）

【解析】易得曲線不過原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為（%,（無0+。）］），則切線斜率為

r（Xo）=（/+a+l）/。.可得切線方程為y-（xo+a）e~=（/+。+1）*（》-/），又切線

過原點(diǎn)，可得-Oo+a）e"=-Xo（Xo+a+l）e?,化簡得+期）一。=0（*）,又切線

有兩條，即*方程有兩不等實(shí)根，由判別式△=/+4。>0,得a<4或a>0.

16.已知橢圓C：W+￡=l（a>6>0），C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為耳，離心率為

a'b'2

過片且垂直于AF2的直線與C交于。，E兩點(diǎn)，|OE|=6,則4ADE的周長是

【答案】13

_1V-2V2

【解析】橢圓離心率為5,不妨設(shè)C：a+3=1，且△A片工為正三角形，則直線DE斜

率％=g.由等腰三角形性質(zhì)可得，恒目=怛聞，|Aq=|O/訃由橢圓性質(zhì)得4ADE的周

長等價(jià)于|。目+|。閭+|￡［|=4a.另設(shè)直線OE方程為y=］（x+c）,與橢圓方程聯(lián)立

得13x?+8cx—32c2=0.

2

由弦長公式|￡）目=J/+1—x2|=yjk+\?J（X|+々）2—4%］工2

/日?八zflr,8c2128c_48］3

得I。同=./—+1,J（-'~）~---------=-c=6.即Anc——，4A。=8oc=13.

V3V1313138

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

S1

17.（10分）記S0為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，己知％=1,｛*｝是公差為一的等差數(shù)列.

a“3

（1）求伍“｝的通項(xiàng)公式；

（2）證明：—+—+—<2.

6%a?

cS1

【解析】：（1），=4=1,所以2=1，所以｛、｝是首項(xiàng)為1,公差為一的等差數(shù)列,

6a?3

「Lr、iS“rf、1〃+2r*.—?I_〃+2

所以—=1+（〃-1）?一二----,所以=-----an.

an333

“c?_Lcc〃+2〃+1

當(dāng)"N2時(shí)，a“=S“—S,i=三一4一一—an_,

所以(〃—l)a“=(〃+1)。”]，即4=但5w2)；

a0Tn-\

累積法可得：為="黃(〃22)，又6=1滿足該式，

所以僅“｝得通項(xiàng)公式為a,,=妁羅.

111~111、

(z2)——+—+???+—=2[----+------+???+---------J

a,a2an1x22x3〃(〃+1)

“11111

=2(1-----1---------F…-I-----)

223n〃+1

=2(1)<2

18.(12分)

cos/!qinDR

記AABC的內(nèi)角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知——=-------.

1+sinAl+cos28

2乃

(1)若。=——，求B：

3

(2)求"打的最小值.

C

【解析】(1)由已知條件得：sin26+sinAsin28=cosA+cosAcos28

sin2B=cosA+cosAcos2i?-sinAsin2B=cosA+cos(A+28)

=cosfzr-(B+C)]+cos[TT—(B+C)+2B]

=-COS(B+C)4-COS[^+(B-C)]

=-2cosBcosC

所以2sin3cos3-2cos3cosC,即(sinB+cosC)cosB=0,

TT

由已知條件：1+COS26HO,則8H一，可得COSBHO,

2

1JI

所以sin8=-cosC——，B=一.

26

TTTT

(3)由(1)知sin5=-cosC>0,則8=C——，sinJ3=sin(C——)=-cosC,

22

71

sinA=sin(B+C)=sin(2C——)=-cos2C,

由正弦定理,

a2+h~_sin2A+sin?B_cos22C+cos2C

c2sin2c-sin2c

(l-2sin2C)2+(l-sin2C)

一s?_in2「C

2+4sin4C-5sin2C2..c

=---------；--------=-z—+4sin2c-5

sirTCsin2C

22、——?4sin2C-5=472-5

Vsin2C

當(dāng)且僅當(dāng)sii?c=也時(shí)等號(hào)成立，所以竺學(xué)1的最小值為4&一5.

2c2

19.(12分)

如圖，直三棱柱ABC—44cl的體積為4,△&8C的面積為2日.

(1)求A到平面46c的距離；

(2)設(shè)。為A。的中點(diǎn)，AA,=AB,平面A6C_L平面A65A，

求二面角4一6￡>—C的正弦值.

【解析】(1)設(shè)A到平面ABC的距離為〃，用兩種方法計(jì)算4-AM的體積:

w--tv_XV_2

VVV

Al-ABD-5Al-ABC~%ABC-AlBlCl一不

1/_1c,_V2.

VA,-ABD--S^BDh~~八

故由可得/?=J5.

33

(2)由于B與，平面ABC,從而CB上BB],又因?yàn)槿擞?4出，所以AgJ■平面

ABC,進(jìn)而所以C6_L平面,所以CBLAB,此時(shí)我們?cè)O(shè)

1J2

AA.=AB^a,BC=b,由已知條件得一4。=4,—ab=2^2,解得。=匕=2.

22

由勾股定理可知AC=AB1=Cg=2JL進(jìn)而△ABC為等邊三角形，NAgC=60°,

我們已經(jīng)知道A片，平面8OC,那么由對(duì)稱性有C8]，平面ADB,從而二面角的正

弦值即為A4與Cg的夾角的正弦值，aPsin60°=—.

20.(12分)

一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和

不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在

未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

對(duì)照組1090

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？

(2)從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，8表示

事件“選到的人患有該疾病"，“勺⑷與「(叫少的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾

P(B|A)P(B|A)

病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.

小計(jì)吶?P(A\B)P(A|B)

(i)證明：R--=----------：

P(A|B)P(A\B)

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出尸P(A|歷的估計(jì)值，并利用⑴的結(jié)果給出R

的估計(jì)值.

附長2一n(ad-bc)2P(K2>k)0.0500.0100.001

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8416.63510.828

【解析】(1)假設(shè)患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣沒有差異,

則心甯小”…

所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異;

P(AB)P(AB)

P(8|A)P(B\A)P(A)隔)P(AB)P(而)

P(B|A)P(B|A)-P(麗)P(M)-P(AB)P(AB)

P(A)P(A)

P(AB)P(AB)

一(四)_P^)P(^_P(d|B)得證;

-P(M)P(AB)-P(M)P(麗一P(A\B)P(A\B),

P(B)P(B)

(ii)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知P(A|3)=?=2,P(A|B)=—=—,

100510010

,—3Q

則P(AB)=l-P(AB)=g,P(A⑶端,

23

--

55

所以A.幽&=-

=329-

1

P(B\A)P(B\A)1

1010

21.（12分）

22

已知點(diǎn)A（2,l）在雙曲線——?一=1（。＞1）上，直線/交C于尸，。兩點(diǎn)，直線

a~a-\

AP,A。的斜率之和為0.

（1）求/的斜率；

（2）若tanNPAQ=2j5,求△PA。的面積.

1AB

【答案】（1）的斜率為0;（2）△24。的面積為與一

【解析】（1）將點(diǎn)A代入雙曲線方程得4一一F—=1，化簡得/—4/+4=0得：/=2,

a2a2-1

v.2

故雙曲線方程為］-丁=1；

由題顯然直線/的斜率存在，設(shè)/:y=Ax+m，設(shè)尸（巧，兇），。（々，必），則聯(lián)立直線與雙

曲線得：（2/-1）/+4左痛+2m2+2=0,故用+々=一一華二，%”2施+2

1-2k2-l2k1

必-1I必一1kx1+m-l

k"+^AQ~=0,

%）—2元？—2西一2X2-2

化簡得：2心底2+(加一1一2&)(玉+%2)一4("2—1)=0,

,,2k(2m2+2)/.ci、/4km...[、八

故。心2_I+(加_]_2女)(_^?^)_4(瓶_1);0,

乙K1乙K1

即伏+1)(加+2左—1)=0,而直線/不過A點(diǎn)，故％=—1.

（2）設(shè)直線AP的傾斜角為a,由tanNPAQ=2J5,得tan幺絲=立，由

22

2c+NPAQ=萬，得上”=tana=V^,即^^V2,

x,-2

,Vi~1rrTZ210—4>/24V2—5

聯(lián)立%J二及，及力一%—1得zn玉=---，M=「一，

%,-2233

帶入直線/得〃z=g，故，石+々=弓，x\xz~

而|4月=右后-2|，34=6k2―2|,

由tan/PAQ=2后，得sin/PAQ=竿，

故SAP*。=-\AP\-\AQ\smZPAQ=V2x,x-2(x,+A:)+4=.

2229

22.(12分)

已知函數(shù)f(x)-ex-ax^0g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

(1)求a；

(2)證明：存在直線y=ht其與兩條曲線y=/(幻和y=g(x)共有三個(gè)不同的交點(diǎn),

并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

【解析】(1)f\x)=ex-a,g'(x)=a—,

X

①aWO時(shí)，/'(x)>0恒成立，所以/(x)在R上單調(diào)遞增，即/(x)沒有最小值.

該類情況應(yīng)舍去.

②。>0時(shí)，/'(X)在(-8,lna)上小于0,在(Ina,+8)上大于0,

所以/(x)在(-00,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=Ina處有最小值為f(\na)-a-a]na,

所以g'(x)在(0,L)上小于0,在d,+oo)上大于0,

aa

所以g(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(4,+00)上單調(diào)遞增，

aa

所以g(x)在％,處有最小值為g(3=1+M。，

aa

因?yàn)?(犬)=e'-ax和g(x)="-Inx有相同的最小值，

所以有/(Ina)=a-a\na=^(―)=l+ln〃，即。一alna=l+lna

a

因?yàn)閍>0,所以上式等價(jià)于Ina-土口=0,

Q+1

令〃(%)=Inx-—―-(x>0),

x+1

/+1

則"⑴=------r>0恒成立，所以版X)上(0,+oo)單調(diào)遞增，

x(x+l)

又因?yàn)橐?)=0=用3)且。>0,所以。=1

(2)證明：由(1)f(x)=ex-x,g(x)=x-lnx,且/(%)在(一8,0)上單調(diào)遞減，

在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且

/(X)min=g(X)min=L

①。<1時(shí)，此時(shí)/(X)mM=g(X)min=1>。,