2023-2024學年上海市奉賢區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學模擬試題(含解析)

2023-2024學年上海市奉賢區(qū)高二上冊期末數(shù)學模擬試題

—：填空題(本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分)

1.拋物線C：的焦點坐標為.

【正確答案】(2,0)

【分析】根據(jù)拋物線的相關(guān)知識即可求得焦點坐標.

【詳解】由已知y2=8x,所以"=4

故孑=2,所以焦點坐標為：(2,0)

故(2,0)

2.數(shù)列｛%｝滿足an+]=2an,若q=1,則a2=.

【正確答案】2

【分析】由遞推公式即可求解

【詳解】由an+i=2an,q=1可得/=2q=2,

故2

3.動點尸到兩定點4—4,0)、8(4,0)距離之和為10,則點尸的軌跡方程為.

V2V2

【正確答案】—+^-=1.

259

(分析]利用定義法求點P的軌跡方程.

【詳解】解：因為|/訓+|尸目=10〉|/4=8,

由橢圓的定義可知，動點尸的軌跡是以為(-2,0),8(2,0)為焦點,長軸長為10的橢圓,

所以c=4,a=5,b°=a1-c1=9，

22

rv

所以點p的軌跡方程是—+2_=i.

259

4.在各項均不相等的等比數(shù)列｛6,｝中，q=7,$3=21,則公比q的值為

【正確答案】一2

【分析】利用等比數(shù)列通項公式的性質(zhì)代入求解即可.

【詳解】因為％=7,$3=21,

所以。+4+%=21，即7(1+?+/)=21,解得：代或“=一2.

因為數(shù)列｛可｝的各項均不相等，所以4力1,所以q=-2.

故一2.

5.過點(3,4)且與直線3x-y+2=0平行的直線的方程是.

【正確答案】3x-y-5=0

【分析】設(shè)所求的直線方程為3x—y+4=0,求出幾即得解.

【詳解】解：設(shè)所求的直線方程為3x-_y+；l=0,

把點(3,4)坐標代入方程3x一1+九=0得9-4+。=0,4=-5.

所以直線方程為3x—y—5=0.

故3x-y-5=0

6.與橢圓/+4/=16有相同的焦點，且一條漸近線為x+與=0的雙曲線的標準方程

是：.

【正確答案】—-^-=1

93

【分析】由已知與橢圓》2+4產(chǎn)=16有相同的焦點，來確定雙曲線的焦點位置為x軸和c

值，再由已知雙曲線的漸近線方程，可以直接確定為y=±gx,也可以設(shè)出以島=0為

漸近線的雙曲線方程為:=%(/1>0)根據(jù)c求出；I,進而求出雙曲線方程.

2

【詳解】法一：X+4/=16—+^-=\

164

?*-Q2=16,〃=4c2=16—4=12

雙曲線與橢圓—+4/=16有相同的焦點，

???雙曲線的焦點在X軸上，漸近線為卜=±2'

a

又雙曲線的一條漸近線方程為X+島=0,即y=—*x

—即4=-又。2=/+62=12

a3a29

*'-a2=9,b2=3

?,?雙曲線的方程為工-亡=1

93

22

法二：x2+4y2—16=1

164

a~=16,/>2=4-1.c2=16-4=12

雙曲線與橢圓/+4/=16有相同的焦點,

?,?雙曲線的焦點在x軸

又雙曲線的一條漸近線方程為x+Gy=O

???設(shè)雙曲線方程為y-^-=2(2>0)

X2v2

三—-=1(4>0)

3/171

/=34萬=X

c2=34+幾=4A=12

2=3

??.雙曲線的方程為工—廣=1

93

本題考查了有共同漸近線的雙曲線標準方程的求法.法一是確定焦點

位置，確定漸近線方程的形式，進而確定人氏c.法二是，設(shè)有共同漸近線的雙曲線的方

程(帶參數(shù))片—片=%,由已知確定參數(shù).

31

7.等差數(shù)列｛%｝中，4=2,公差"不為零，且%,心，%恰好是某等比數(shù)列的前三項,

那么該等比數(shù)列的公比為.

【正確答案】4

【分析】因為｛%｝是等差數(shù)列，故囚，內(nèi)，都可用d表示，又因為q，a3,a”恰好

是某等比數(shù)列的前三項，所以有即可求出"，從而可求出該等比數(shù)列的公比.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝中，4=2,%=2+2dMu=2+10d,

因為力,4，即恰好是某等比數(shù)列的前三項，

所以有即(2+2J)2=2(2+10"),解得d=3,

。38

%=2,%=2+2X3=8,則等比數(shù)列的公比為二=彳=4,

q2

故4.

本題考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的定義和公比，屬基礎(chǔ)知識、基本運算的考查.

8.若直線/的方向向量為：=（1,0,2>平面a的法向量為%=（一2,O,T），則直線/與平面

a的關(guān)系為.

【正確答案】/J.a

【分析】

利用向量共線定理、線面垂直的判定定理即可判斷出.

【詳解】解：；7=_21

：.a'//,

因此

故答案為

本題考查空間向量共線定理，線面垂直的向量方法，考查運算能力，是基礎(chǔ)題.

*2****72

9.已知圓G：（x-2）2+（y—2）2=1和圓。2'.X+（y-m）內(nèi)切，則m的值為

7

【正確答案】一##3.5

2

【分析】首先根據(jù)題中圓的標準方程求出圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓相切求出加的值.

【詳解】解：圓G的圓心為（2,2）,半徑為1=1,

圓。2的圓心為（°，〃?），半徑為4="?，

所以兩圓的圓心距d=+（2-加）~>

又因為兩圓內(nèi)切，有d=J（2-0）~+（2-=|加—，

7

解得m--.

2

故答案為.’7

2

）>>

10.如圖把橢圓會+看=1的長軸AB分成8等分,過每個分點作X軸的垂線交橢圓的上半部

分于6,P2,￡七個點，尸是橢圓的左焦點，則山尸|+|巴尸|++區(qū)產(chǎn)|=.

【分析】由已知得a=5,再取橢圓的右焦點E,根據(jù)橢圓的對稱性得|助|=|的|,

\FP2\^\EP6\,|F^|=|￡^|,再根據(jù)橢圓的定義即可求得答案.

E是橢圓的右焦點，由橢圓的對稱性知產(chǎn)制=區(qū)閭，|￡圖=|砥|E圖=但用，又

|%=5，

二I耳尸I+比同+忸尸I+陽尸|+1歲1+區(qū)尸|+山尸|

=但用+|砥|+|歐|+5+但?+—用+|碼|=20+24+24+5=35.

故答案為.35

本題考查橢圓的對稱性，橢圓的定義，是中低檔題.

11.數(shù)列｛4｝的前〃項和S,=（〃2一2〃（〃是正整數(shù)），數(shù)列｛〃｝滿足

b“=色色（〃eN*）,則數(shù)列也｝中值最大的項和值最小的項和為.

Q〃

【正確答案】2

（分析］先利用｛%｝的前n項和計算出-2，再結(jié)合函數(shù),（*）=1+二號的單調(diào)性,

2X~2

得出數(shù)列｛〃｝中值最大的項和值最小的項，計算結(jié)果即可.

113

【詳解】因為解=一〃29—2〃,則q=S1=――2=——,

222

且%=S“一S“T=,

3

經(jīng)驗證符合該通項，

故"冊l+a?〃_5,…*）

2

因為仆）=1+二y在’8怖）和停產(chǎn)）均為減函數(shù)，

故有1>4〉均，4>為〉a>>1,

則數(shù)列也,｝中值最大的項為4=1+1丁'=3，最小的項為4=1+二

22

故8+4=3—1=2,

故2.

12.已知曲線C：型—世1=1,下列敘述中正確的命題是

a2b*'------------

（1）垂直于x軸的直線與曲線C只有一個交點

（2）直線y=丘+加（%,〃zeR）與曲線C最多有三個交點

（3）曲線。關(guān)于直線V=-X對稱

（4）若片（外,必），鳥“2，%）為曲線。上任意兩點，則有之二&>。

玉一々

【正確答案】（1）、（2）、（4）

【分析】先逐個象限判斷方程軌跡，大致畫出圖像，結(jié)合圖像分析.

【詳解】設(shè)尸是曲線上的點,

y2

當x>0,y>0時,1,

從軌跡為雙曲線的一部分，漸近線為歹=，x：

即

x2

當x<0,v>0時，----1等式不成立，故第二象限無軌跡;

cTb2

2

當x<0,產(chǎn)0時，——x-4-

a

即夕=,軌跡為雙曲線的一部分，漸近線為yy=-x；

\a2a

當x>0,產(chǎn)0時，g+g=l，即y=—/>2—與軌跡為橢圓的一部分

由圖可知，垂直于x軸的直線與曲線只有一個交點，故（1）正確；

由于一、三象限內(nèi)的軌跡都以N=-x為漸近線，

a

故直線y="+"i在一、三象限內(nèi)最多與曲線有兩個交點，

在第四象限中最多與橢圓的一部分有兩個交點，且不能同時出現(xiàn)，

當在一象限內(nèi)與曲線有兩個交點，則三象限內(nèi)無交點，在第四象限中最多與橢圓有一個交點

故直線與曲線最多有三個交點，故（2）正確；

設(shè)曲線上的任意在第一象限的點M的坐標為（X0，K）,XO〉0,”〉0

且它關(guān)于V=-X的對稱點為（―%,—%）,

2y2

代入第三象限曲線方程-三x+=1中,

a~b2

得烏-烏=1，兩個方程不一致，則其不關(guān)于直線y=-X對稱，故（3）錯誤;

a2h2

由圖可以看出，軌跡為遞增函數(shù)，故斜率匚豆>0恒成立，故（4）正確.

石一馬

故（1）、（2）、（4）

二、選擇題（本大題共有10題，每題5分，共50分）

13.方程》2+_/=1（9<0）的曲線形狀是（）

【分析】根據(jù)方程表示的圖形形狀及對應(yīng)區(qū)域即可判斷作答.

【詳解】方程/+產(chǎn)=1（肛＜o）表示以原點為圓心，1為半徑的圓在第二、第四象限內(nèi)的

部分，

所以選項C滿足.

故選：C

14.設(shè)雙曲線/蔣的漸近線方程為3x±2y=0,則。的值為（）

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】C

【分析】先根據(jù)雙曲線5-5=1（。＞0）求出漸近線方程，再與3x±2y=0比較即可求出“

的值.

【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，雙曲線點?-1=1（。＞0）的漸近線方程為y=±/X,

又因為漸近線方程為3x±2y=0,即y=±L,故a=2,選C.

本題主要考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬基礎(chǔ)題.

15.橢圓5x2+如2=5的一個焦點是（0,2）,那么左等于（）

A-1B.1C.y/5D.-V5

【正確答案】B

【分析】把橢圓化為標準方程后，找出a與b的值，然后根據(jù)/表示出c,并根據(jù)焦

點坐標求出c的值，兩者相等即可列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值.

x2+/._]

【詳解】把橢圓方程化為標準方程得:5~,

I

因為焦點坐標為(0,2),所以長半軸在y軸上，

則c-J.—1=2，解得k=\.

故選B.

本題考查橢圓的方程以及利用橢圓的簡單性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題.

16.過拋物線k=4x的焦點作直線交拋物線于/(玉,凹)，8(%,8)兩點，若花+赴=6,

則|48|的值為

A.10B.8C.6D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式，利用題目所給已知條件，求得弦長?目.

【詳解】根據(jù)過拋物線焦點的弦長公式有|力同=玉+%+?=6+2=8.故選區(qū)

本小題主要考查過拋物線焦點的弦長公式，即恒川=玉+々+P.要注意只有過拋物線焦點

的弦長才可以使用.屬于基礎(chǔ)題.

11111/

17.用數(shù)學歸納法證明1—----------=----+-----++—則

234In-12nn+\n+22〃'

從左到左+1時左邊添加的項是()

1111

B.---------------------C.----------------------D.

2k+l2k+22左+42k+2

1_______1

2k+\~2k+2

【正確答案】D

【分析】根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征，求出當〃=左時,等式的左邊，再求出〃=4+1時，等式的

左邊，比較可得所求.

【詳解】當〃=左時，等式的左邊為1—!+!—,+...+------V

2342k—12k

當〃=k+1H寸，等式的左邊為1----1-------h+2k-\~2k+2k+l~2k+2

234

故從“〃=左到〃=左+1"，左邊所要添加的項是--------------.

2k+12k+2

故選：D.

本題考查用數(shù)學歸納法證明等式，注意式子的結(jié)構(gòu)特征，以及從〃=左到〃=左+1項的變化.

18.“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”：“公比為g的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“。，

b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是從=""；三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是26=a+c”，

以上四個命題中，正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【正確答案】A

【分析】舉反例說明前三個命題是錯誤的，分析得到第四個命題是正確的.

【詳解】解：命題“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”是錯誤的，如數(shù)列0,0,0,L,0,

是公差為零的等差數(shù)列，但是不是等比數(shù)列；

命題“公比為1的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”是錯誤的，如數(shù)列-1,-L-L-是

224816

公比為g的單調(diào)遞增數(shù)列；

命題“a,h,C三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是62=改”是錯誤的，如。=1/=0,。=0滿足

b?=ac，但是a,b,c不成等比數(shù)列：

命題為,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是26=a+c”是正確的，因為a,b,c三數(shù)成等差

數(shù)列，所以26="+c；當2b=a+c時，b-a=c—b,

所以a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列；所以“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是那=a+c”.

故選：A

19.已知直線/：/nx+y+l=0,4L0),8(3,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.直線/恒過定點(0,1)B.當加=00寸，直線/的斜率不存在

7T

C.當初=1時，直線/的傾斜角為一D.當初=2時，直線/與直線48垂

4

直

【正確答案】D

【分析】由題可得直線恒過定點（0,-1），然后結(jié)合斜率公式逐項分析即得.

【詳解】直線/：〃a+>+1=0,故x=0時，了=-1,故直線/恒過定點（0,-1）,選項A

錯誤；

當m=0時，直線/：y+l=O,斜率左=0,故選項B錯誤；

37r

當〃7=1時，直線/：X+y+l=0,斜率左=一1,故傾斜角為一，選項C錯誤；

4

1-01

當加=2時，直線/:2x+y+l=0,斜率左=—2,kAB=——=—,

故人人.=一1，故直線/與直線48垂直，選項D正確?

故選：D.

20.己知｛%,｝是等比數(shù)列，a2=2,牝=:，則4巴2a3+…+4%+1=（）

A.16（1-4-"）B.16（1-2-"）C.y（l-2-rt）D.

爭-巧

【正確答案】D

【分析】由《=2，a可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項公式，則可求出

54

4AlM=（g）27，得數(shù)列｛%Q.+J是一個等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案

a.11

【詳解】由題得上二93=7，，4=不

%82

所以田=（夕±（；廣=（；產(chǎn)5.

所以45包=!，所以數(shù)列缶〃｝是一個等比數(shù)歹（J.

%a“4

中心1

所以％°2+a2a3+,?,+ananl=

+1-1

故選：D

22

21.橢圓5+與=1(4〉?！?)的左，右頂點分別是48,左，右焦點分別是片，鳥，若

ab

卜用，出入I,忻即成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為

A.-B.—C.1D.

452

V5-2

【正確答案】B

［詳解1：|^|=a-c\F{F21=2c,|片同=a+c由耳舊巴|,|耳闿成等比數(shù)列得

(2?=(a-c)(a+c)即/=502=>e=￥

【考點定位】本題主要考查橢圓的定義和離心率的概念.屬基礎(chǔ)題

22.唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩

中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出

發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)軍營

所在的位置為8(-1,0),若將軍從山腳下的點0(0,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為

x+y=3,貝產(chǎn)將軍飲馬”的最短總路程是()

A.2B.3C.4D.5

【正確答案】D

【分析】利用點關(guān)于直線的對稱點結(jié)合兩點間的距離公式即可求解.

【詳解】如圖所示，作點。關(guān)于直線x+y=3的對稱點Z(XoJo),連接AB交直線于點C,

此時路程和最小，

由題知，點4(%,乂))滿足:

工+為=3

2?/、

?y_0，解得：“0=3,"=3,即點2（3,3）,

因為|oq+忸q=hc|+忸q=MM，

所以“將軍飲馬，，的最短總路程為|/回=J㈠-3）2+（0.3）2=5,

故選：D

三、解答題本大題共有3題，解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題

號）內(nèi)寫出必要的步驟.

23.在等差數(shù)列｛%｝中，％+4=29,%+4=35?

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（2）設(shè)數(shù)列,“+%｝是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的前〃項和S,,.

【正確答案】（1）an=3n-2（weN,）

，八°—3〃2+〃+3”-1

"2

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意可得2d=（。4+49）—3+心）=6,

29=4+仆=2卬+9"=26+27,解方程即可得出答案；

（2）由題意求出%+〃=3"T,即可求出｛4｝的通項公式，最后由等比和等差數(shù)列的前〃項

和公式即可求出答案.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛a,J的公差為d,

則2d=（4+為）_（%+%）=6,

:.d=3,

由29=%+4=2。］+9d=2%+27,

q—1,

數(shù)列｛4｝的通項公式為%=3〃—2（〃eN*）.

【小問2詳解】

1

?數(shù)列｛an+b?］是首項為1,公比為3的等比數(shù)列，所以勺+〃=3-,

則“=-3〃+2+3"T,

1+2

所以數(shù)列｛4｝的前〃項和S?為：5?=?(-^?)+lz￡=—3〃-+;+3“-1

-3?2+?+3"-1

所以S“

24.已知橢圓C：/=十+4立.=13>&>0)的右焦點廠(1,0),右頂點兒且|4F|=1.

01

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)若動直線/：>=自+機與橢圓C有且只有一個交點P,且與直線x=4交于點°,問：是

否存在一個定點MQ,0),使得M3MS=O?若存在，求出點〃的坐標；若不存在，說明

理由.

【正確答案】(1)土+2=1：(2)存在M(l,0)符合題意.

43

【分析】(1)題意中的條件是c=l,a—c=l,從而可得。力，得標準方程；

(2)由直線與橢圓只有一個公共點(聯(lián)立方程組，用判別式為0得)可得參數(shù)加，左的關(guān)系

式為加2=3+4尸，從而可得尸點坐標，設(shè)定點為〃90),則加:與左，加無關(guān)，由

此可得，值，說明存在，若得不出，值，說明定點不存在.

【詳解】解：(1)由c=l,a—c—1>得a=2,b=y/3，

所以橢圓C的標準方程為—+^=1.

43

y=kx+m

⑵由《得(3+4k2)x2+8kmx+4/H2—12=0,

所以△=64乃加2-4(3+43)(4m2-12)=0,

.,.4ktn4k.3廣一J4左3

即Hn加2=3+4*，Xp=------7=,yp=kxp+m=—,所以尸，一

3+4%mm\mm

(4k3、

因為M?,0),又0(4,4%+陽)，MP=\-----,MQ=(4—f,4人+加)，

mm

所以二(-4--k---1—卜(4_/,4k+m)=1_4/+3+_4(k/_i)=o恒成立，

\mm)m

t-1

故曰2_書+3_0，解得f=l.所以存在點Ml，0)符合題意.

本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓中的定點問題，有一定的難度.解決此類問題常常用到

設(shè)而不求思想.同時注意韋達定理的應(yīng)用.本題是設(shè)定點，定關(guān)系，確定無關(guān)性，得結(jié)論.

25.給出定理：在圓錐曲線中，48是拋物線「：V=2px(p>0)的一條弦，。是48的中

點,過點C且平行于X軸的直線與拋物線的交點為。.若48兩點縱坐標之差的絕對值

\yA-yB\=a(?>0),則根。8的面積治的=」-,試運用上述定理求解以下各題：

16P

(1)若p=2,ZB所在直線的方程為y=2x—4,C是48的中點，過C且平行于x軸

的直線與拋物線「的交點為。，求S^DB；

(2)已知Z8是拋物線「：/=2px(p>0)的一條弦，。是Z8的中點，過點C且平行于x

軸的直線與拋物線的交點為。，E、尸分別為/。和8。的中點，過￡、尸且平行于x軸的

直線與拋物線「V=2px(p>0)分別交于點河、N,若43兩點縱坐標之差的絕對值

加―九|="(。>0),求心M0和；

(3)請你在上述問題的啟發(fā)下，設(shè)計一種方法求拋物線：/=2px(p>0)與弦46圍成成

的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.

,7333

【正確答案】(1)7；(2)S4皿=&，S=含；(3)設(shè)計方法見詳解，S=*

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