2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省煙臺市高一下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.若z(l+i)=l-5i,貝()

A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i

【正確答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的除法運算求出復(fù)數(shù)z,再求出三作答.

l-5i(l-5i)(l-i)_-4-6i

【詳解】依題意,Z=------■=-2-31,

l+i(l+i)(l-i)2

所以三=-2+3i.

故選：B

已知向量￡、的夾角為。，同

2.t150=1,問=5則()

A.y/5B.不C.MD.V19

【正確答案】B

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得歸+24的值.

【詳解】因為向量2、B的夾角為150°,忖=1,|@=0,

故選：B.

已知2

3.cos[a+EJ=0＜。＜兀，則sina的值為（）

7

A,史5G13

B.cD.

14~\4~-1714

【正確答案】C

【分析1根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin[a+￡],再根據(jù)sina=sina+2蘭兀利

6

用兩角差的正弦公式計算可得.

【詳解】因為cos|a+F|=11?.71Tt771

—,且0<a<7t,則一<a+一<—,

7666

n4V|

所以sinaa+—

6

7171

所以sina=sina+—=sinfa-F-

666

4yliA/31111

=--------X--------------X—=-----

727214

故選：C

4.故宮是世界上規(guī)模最大,保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群，故宮“乾清宮”宮殿房檐的

設(shè)計在夏至前后幾天屋檐遮陰，在冬至前后幾天正午太陽光就會通過地磚反射到“正大光明”

匾上，驚艷絕倫.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽高度角為73。，冬至前后正午太陽高度角

)

A.-----------B.

2sin46°asin53°

-tan73°-tan27°asin27。sin73。

C.---------------------D.

tztan53°tan27°sin46°

【正確答案】D

【分析】利用三角形的邊角關(guān)系及正弦定理解決本題即可.

【詳解】設(shè)點Z在地面的射影為。，由已知得/力BQ=73。，NACB=27。，

則44c=73-27"=46°;

aAB'得3需

在三角形/8C中，由正弦定理

sin46°sin27°

在直角三角形ABD中，AD=ABsin730=--------------.

sin46°

故選：D

5.在』6C中，點。為8C中點，E為4D中點，記瓦=￡,CE=b^則方=（）

3-3-1-1rr

A.—a+bB.—a-bC.—a+hD.-a-b

2222

【正確答案】A

【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，利用基向量￡,九結(jié)合向量的運算進行求解.

【詳解】因為點。為8c中點，所以而=西；因為E為4。中點，所以而=g而；

所以方=而+麗=而+而=AD+CE+ED

______I___3_____,3

=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.

222

故選：A.

6.設(shè)。=(1一/1@1120)5山8。，b=sin400sin1100-sin200sin130°?c=?，an15_,則()

'7l-tan2150

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【正確答案】C

【分析】利用三角恒等變換化簡4、6、%利用正切函數(shù)的單調(diào)性以及同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系可得出〃、b、c的大小關(guān)系.

（cos200-73sin20）sin（90-10"）

【詳解】a=（l-V3ten20jsin80a

cos20°

（V3sin20"-cos20°）cos1002sin（200-30°）cos10°2sin10。cos10°

cos20°cos20°cos20°

_sin20°

=tan20",

cos200

b=sin40sin1100-sin20Jsin130°=sin40sinp（T+20°卜sin20°sin（90+40）

=sin40°cos200-sin200cos40°=sin000-20°）=sin20°,

2tanl5°

tan30,

l-tan215°-

因為0<cos20°<1,則tan30°>tan200=型”->sin20。，即c>a〉6.

cos20"

故選：C.

7.設(shè)函數(shù)/(x)=kinx|+|cosx|,g(x)=sin(2x+5)-2sinx,若存在項,％e[0,兀],使得

/(xl)+g(x2)=/n,則實數(shù)”的取值范圍為()

A.B.[-2,V^]C.[-2,1+V^]D.[-1,2]

【正確答案】C

【分析】求出函數(shù)/(x),g(x)在[0,兀]上的值域，再根據(jù)已知求出機的范圍作答.

【詳解】xe[0,兀],/(x)=J(|sinx|+|cosxy-y]1+|sin2x|>顯然2xe[0,2兀],

當xe｛O,5,7t｝時，|sin2x|mm=0，當xe｛：,｝時，|sin2x|耐=0,因此14/(x)46

[fn0<sinx<1,則當sinx=0,B|Jxe{0,K}時，g(x)mx-1,當sinx=l,即丫='|?時，g(x)min=-3,

即-3<g(x)<1,

依題意，/而=-3+1=-2,加max=1+在，

所以實數(shù)”的取值范圍為是[-2,1+6].

故選：C

8.在銳角“8C中，角48,C所對的邊分別為。c.若2ccos8=a-c,則皿1二9的

sinB

取值范圍為()

A.(1,6)B.(0,1)C.(0,V2)D.(72,73)

【正確答案】B

【分析】由2c,cosBua-c,根據(jù)正弦定理邊化角，再消去C,可得sin(C-8)=sin(-C),

利用三角形/8C是銳角三角形，可得5=2C,進而求出對呼("三°)化簡,可

164Jsin5

求出結(jié)果.

【詳解】因為2CCOS8=Q—C,由正弦定理可知，2sinCeosB-sinA+sinC=0,

又/+3+。=兀，所以sin4=sin(5+C)

所以2sinCcosB-sin(3+C)+sinC=0,

所以sinCcosB-sinBcosC+sinC=0

即sin(C-S)=sin(-C),

又“8C是銳角，則8,Ce(0eJ,

則C-Be,_Ce[_5,O),所以C_8=-C,即8=2C,

5=2CelO,-|

所以。€(04，解得八

4=n-(8+C)e

所以sin(J-C)_sin(4-C)_sin(^-4C)_sin4C_2sin2Ccos2C_

sinBsin2Csin2Csin2Csin2C

C￡1.2?！?§,5),貝！jcos2C￡(0,5),則2cos2Cw(0,1),

故選：B.

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)2=5由巴+icos巴，則()

66

A.z的虛部為且i

B.三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

2

C.z+z=\z\D.z是關(guān)于x的方程x2-x+l=0的一個根

【正確答案】BCD

【分析】把復(fù)數(shù)化成z='+"i,利用復(fù)數(shù)的意義判斷A；求出I、|z|判斷BC：利用復(fù)數(shù)

22

的四則運算計算判斷D作答.

【詳解】依題意，復(fù)數(shù)z=L+@i,復(fù)數(shù)z的虛部為正，A錯誤；

222

-李i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(，,_*)在第四象限，B正確；

|z|=J(g)2+(管y=lz+z=(g+9i)+(g-乎i)=l，則z+z=|z],c正確；

即z是關(guān)于x的方程x2-x+l=0的一個根，D正確.

故選：BCD

10.已知向量a=（l,2）,6=（3,-1）,c=（2,/n）,則下列說法正確的是（）

A.若附=1,則￡與工夾角的余弦值為（B.若R+郎不，則機

C.若機>-1,則々與"的夾角為銳角D.向量￡在讓的投影向量是島-2）

【正確答案】ABD

【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可判斷A選項；由平面向量共線的坐標表示可判

斷B選項：分析可知且￡與）不共線，求出”的取值范圍，可判斷C選項；利用投

影向量的定義可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，當，〃=1時，）=（2,1）1，A對;

對于B選項，因為Q=（1,2）,6=（3,-1）,c=（2,/n）,則a+、=（4,l）,

若（a+B）〃c,貝!）4加=2,解得加=5,B對;

對于C選項，若Q與c夾角為銳角，則〃,c=2+2〃?>0，解得機>-1,

且Z與工不共線，所以，掰工4,

所以，當加>-1且〃7工4時，￡與"的夾角為銳角，C錯；

對于D選項，向量々在B上的投影向量14cos||=同?畝?=諦■石=聲

二島-黑。對.

故選：ABD.

■JT

11.函數(shù)/（x）=Zsin（ox+9）（N>0,@>0,|0K5）的部分圖象如圖所示，則（）

A.函數(shù)“X）在區(qū)間（哈臺上單調(diào)遞增

B.（4,0）是函數(shù)/（x）的一個對稱中心

C.函數(shù)/（x）在區(qū)間《中上的最大值2

D.若/（占）=/（々），則|七一七1=兀

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，求出函數(shù)/（X）的解析式，再逐項分析、計算判斷作答.

【詳解】觀察圖象知，力=JL〃0）=2sin0=6，即sing=#，而解得夕=。，

f（~）=2sin（^6）+-^）=—73,sin（—69+—）=-^~,因為點（0,6）與（1，-0）在函數(shù)圖象

2232322

上相鄰，

因止匕弓“+$-5=兀，解得0=2,于是/（x）=2sin（2x+g）,

對于A,當立時，0<2x+工（工，而正弦函數(shù)，=sinx在（0,巴）上單調(diào)遞增，

612322

所以函數(shù)/（X）在區(qū)間（J,力上單調(diào)遞增，A正確；

612

對于B,當了=-；時，/（-$=2疝（-$=-0二0,（-h0）不是函數(shù),/'（"的一個對稱中心，

B正確；

對于C,當工€[-2與時，2x+《w[W，當，當2x+J=J,即x==時，/（X）取得最大值

443663212

2,C正確；

對于D,取士=0,%=5，有/（再）=石,/（匕）=$出§=百，此時有/（須）=/（￡）,而

63

\x\~xi\=~7D錯誤.

6

故選：AC

R+r

12.在AASC中，角力,8,。所對的邊分別為4也c,asin8=bsin-----,a=3,O為QBC

2

外接圓圓心，則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=^B."J8C外接圓面積為12兀

C.BOBC=^-D.SM1c的最大值為也

24

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正弦求出角4再利

用正余弦定理、三角形面積公式、數(shù)量積運算計算判斷各選項作答.

【詳解】在448C中，由正弦定理及asin8=6sin史￡得：sinsin5=sin5sin-—,

22

WsinS>0,則有sin/=cosH,HP2sin—cos—=cos—,X0<—<—,cos—>0,

2222222

則sinq=g,所以4=3,即/=弓，A正確；

22263

R=L_=1_=73

由正弦定理得外接圓半徑2sin/2.兀，該圓面積兀外=3兀，B錯誤;

sm—

3

----------—?19

如圖，BOBC=|BO\\BC\cos^OBC=-aa=-fC正確；

由余弦定理得：9=a2=b2+c2-2bccos->2bc-bc=bc,當且僅當6=c=3時取等號,

3

因此SABC='besin—=-^-bc<.,D正確.

aABC234鄉(xiāng)4"

故選：ACD

三、填空題

13.已知sina+cosa=2,—<a<—,則sin（2a-：］的值為.

542<4；---------

【正確答案】遒

50

【分析】根據(jù)給定條件，求出sin2a,cos2a,再利用差角的正弦求解作答.

74924

【詳解】因為sina+cosa=—，兩邊平方得：1+2sinacosa=—,解得sin2a=—,

52525

又巴<a<巴，即4<2a<兀，則cos2a=-Vl-sin22a

422

所以sin(2a-3=sin2acos色一cos2asin-=^―(——臺、也

44425225250

故呼

14.寫出一個同時滿足以下三個性質(zhì)的函數(shù)：/（》）=.（寫出一個符合條件的即可）

①對于任意xeR,都有/(x+；)=/(x-§；②/(x)的圖象關(guān)于直線x.對稱；③/(x)

的值域為[0,2].

【正確答案】sin(2x+；)+l(答案不唯一)

4

【分析】由性質(zhì)①可得/(X)的周期為兀，再由性質(zhì)②③寫出滿足3個性質(zhì)的一個函數(shù)即可.

7T37r

【詳解】任意xeR,/(x+：)=/(x-二)o/a+7C)=/(x),即函數(shù)/(x)是周期為兀的周

44

期函數(shù)，

則由性質(zhì)①，可令"X)=Asin(2x+s)+6,/>0,S,

由性質(zhì)②知，2x?+。=E+Z,而則左=0,*=:，

8224

[A-\-b=2兀

由性質(zhì)③知，S.,,解得4=1,%=1,于是/(x)=sin(2x+：)+I,

\-A+b=O4

JT

所以同時滿足給定三個性質(zhì)的函數(shù)可以為f(x)=sin(2x+-)+1.

4

故sin(2x+3+1

4

15.在“8C中，f^|=2,|存『一0|方||元|+4=|祝]，O是邊上一點，且滿足

CDCB=CDCA'則麗.麗的值為.

【正確答案】2

【分析】由麗?瓦=麗.聲可得C。為邊上的高，利用邊長關(guān)系可求|無『=2,再利用

向量關(guān)系轉(zhuǎn)化后可求而?無的值.

【詳解】

^^CDCB^CDCA>故麗?（無-西=0即麗.而=0,

故CD為邊上的高，故而?麗=麗?(麗+麗)=函1

又同：夜同畫+4=|園2可化為

（國+|固），2夜（畫+國）+4=阿1+國2,而國2="阿卜

所以（畫+畫『一2碼回+|網(wǎng)）+4=|囹2+4_|網(wǎng)2,

整理得到：阿卜（|回+|阿卜應(yīng)（|回+］明）=0,故師卜亞，

故|同=2即3.而=2,

故2.

四、雙空題

16.趙爽是我國漢代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》作注解時，給出了“趙

爽弦圖”：四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大的正方形.如圖所示，正方

形ABCD的邊長為岳,正方形EFGH邊長為1,則赤.就的值為;

tanZ.EAB=

【正確答案】6-

【分析】根據(jù)給定的“趙爽弦圖”，利用勾股定理求出4F/G的值，再利用向量數(shù)量積的定

義求出京?就，利用和角的正切求出tanNE/8作答.

【詳解】依題意，Rt"5G,RtA8CH,RtA8E,RtAD4尸全等,

在Rtz\/8G中，AB=V13,AG=AF+1,BG=AF,由/G?+8G2=/"得:

(JF+1)2+JF2=13,UPAF2+AF-6=Q,又4F>Q,解得/斤=2,

^■^^AE^AG\cosAEAF^AF\(\AF\4)=2x3=6；

EF1…BG2

tanNEAF==-,tanNBAG==一,

AF2AG3

12

tanNEAF+tanZBAG-+—7_

所以tanZ.EAB=taMNE4F+NBAG)=2

\-tanZEAF-tanZBAG124

1-—x—

23

故6；:

五、解答題

17.（1）已知復(fù)數(shù)2=求tan的值;

（2）已知同=W=l,求）+刃與3￡-2石夾角的大小.

【正確答案】（1）-3（2）=

4

【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的定義，求得sin?與cos。，從而求出tan。，由兩角和的正切公式

即可求出tan（；-，）的值；

（2）根據(jù)向量的模的公式和兩個向量的夾角公式，即可求出.

cos0-—Lfsin0-

【詳解】（1）因為復(fù)數(shù)2=i是純虛數(shù),

5

cosA0--后--=0“

5

所以BPcos0=且sin。w,

9R55

sin<9--—^0

5

所以sin0=±J1-cos*=±'一(=±2f，又因為sinSwZ^,

_275

所以sin0=-迪，貝廿211。=嗎=—/j-=-2,

5cos0V5

T

兀

tan——tan。

所以tanC-6)=-------1-(-2)=3

4i兀八1+lx(-2)-

1+tantan”

4

(2)因為|￡++氐所以|Z+邛=5,即7+片+271=5,

所以（0）2+儼+2］刃=5,整理得￡不=1，

所以(a+楊,(3a-2楊=3"+〃％-24=3x(應(yīng)y+l-2xl:=5,

|3a-261=yl(3a-2b)2=盾-地屋小片=79x(V2)2-12xl+4xl2=M,

---cE{a+b)-(?>a-2b)5Jy

設(shè)￡+區(qū)與3Z-2B夾角為a,cosa=cosa+6,3a-2b=一=>與

\a+h\\3a-2b\后乂如2

jrTT

因為?！闧0,兀],所以。=:，故Z+B與3￡-2坂夾角為二.

44

18.已知向量￡=0,-石)，向量3與￡的夾角為:兀，且W=2.

(1)求向量B的坐標；

⑵設(shè)向量c=(sinx,cosx),(xeR),向量加=卜后1),若5.蔡=0，求區(qū)+4的最大值并求

出此時x的取值集合.

【正確答案】(1)(-2,0)或(1,班)；

(2)3,{x\x=2kn+—.kGZ}.

6

【分析】(1)設(shè)出向量坂的坐標，利用向量數(shù)量積和向量的模建立方程組并求解作答.

(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合沅而=o確定向量石，再求出忸+4并借助輔助角公式及正弦函數(shù)性

質(zhì)求解任何.

【詳解】(1)設(shè)否=(x,y),依題意，|￡|=丁+(_兩2=2,a-^=|a||^|cos-y-=-2,而

a'h=x-y/3y，

1x-y/3y=-2，解得kfx=一：X=1

因此或<

[x2+y2=4y=yfi

所以向量B的坐標是(-2,0)或(1,G).

(2)向量浣=卜百』)，且限企=0，當書=(一2,0)時，力前=26/0,不符合題意，舍去,

當1=(1,0)時,B橘=1x(-/)+6xi=o,符合題意，即5=(1,百)，則

ft+c=(1+sinx,>/3+cosx),

2

|ft+c|=7(1+sinx)+(^3+cos=J+2sinx4233sx=+4sin(x+y),

TTITIT——

因為xeR,則當X+；=2E+7，AwZ,即X=2E+：,%EZ時，(\b+c|)^=3,

326

所以際4的最大值是3,此時x的取值集合是{X|X=2E+NCZ}.

19.在“8C中，角48,C所對的邊分別為a,b,c,且(2a-6)cosC=ccos8.

(1)求角C的大??；

(2)若邑.=26，c=2百，求”8C的周長.

【正確答案】(i)m；

(2)6+2小.

【分析】(1)利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡求得cosC,由此可得C.

(2)由三角形面積公式可求得用，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得由此可得三角形

周長.

【詳解】(1)在“8c中，由正弦定理及(2a-6)cosC=ccos8得：

2sin^cosC-cosCsinB=sinCeosB,

整理得：2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin(C+8)=sin(兀一4)=sin/，

而sin4>0,則cosC=',又0<C<兀，

2

TT

所以C=1.

(2)由(1)知。=E，依題意，5ARC=—aftsinC=ab=2^3，解得ab=8,

3&ABC24

22222

由余弦定理得：c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ah=(a+h)-24=12,解得：a+h=6t

所以^ABC的周長￡=〃+6+c=6+2-\/3.

20.觀察以下各式：

VJtan60-tan60tan30-6tan30=1;

A/3tan50-tan50tan20-囪an20。=1;

tan45—tan45tan15°—^~tanl5=1.

分析以上各式的共同特點，寫出一個能反映一般規(guī)律的等式，并證明該等式.

【正確答案】見解析

【分析】利用兩角和與差的正切公式即可證明.

【詳解】V3tanof-tanoftan/?-A^~tan/?=1,其中。一6二30°,

證明…(a-小器需量tad

則tana-tanJ3=——(1+tanatan功,

則左邊二G(tana—tanP)-tanatan/3

=下＞x14-tanatan-tanatan1=1=右邊.

故等式成立.

21.綠水青山就是金山銀山.近年來，祖國各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)

7TIT

蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域，如圖，8c=lkm,43“ZABC="現(xiàn)準

■JT

備在中間區(qū)域打造兒童樂園△BMN,M,N都在邊力。(不含4C)上且=設(shè)

6

乙NBC=a.

⑵求面積的最小值和此時角a值.

【正確答案】⑴喑；

⑵3

4

【分析】(1)利用給定的條件，利用同角公式、誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式計算作答.

(2)利用正弦定理用a的正余弦表示8",8N,再利用三角形面積公式列式，借助三角恒

等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

【詳解】(1)依題意，sinZABM=—,則cos/48A/-sin?NABM=一,而

1313

7TTT

/ABC=—/MBN=—,

26

sina=sin(y-Z.ABM-/MBN)=cos(ZABM+.

7C7t12

=cosZ-ABMcos----sinZABMsin—忠/J以三

6675213226

BNBC

(2)在AHNC中，由正弦定理得,^ZACB=-,ZBNC=--a,

sinZ.ACBsinZBNC33

BCsin-,6

則8N=------------3---=--------------------------------------n

./2兀、3/.27c27r..、《5/3cosa+sina

sin(--a)2(sin三cosa-cos-^sina)

717r7C/-

在中，NABC=—，NBAC=-,AB=BCtanAACB=tan-=V3,

263

ABBM

在△48”中，由正弦定理得,,而

sin乙4MBsinABAC

ZAMB=ZMBN+ZNBC+ZACB=-+a,

2

^5sin—/T

BM=-——￡=4

sin『a)2cosa

\兀3

S.BMN=-BNBM-sm-=-----------=

刖268cosa(Gcosa+sina)

8cosacosa+sina)=4sin2a+4/3(1+cos2a)=4(sin2a+7-3cos2a)+6

=8sin(2a+—)+4-7