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文檔簡(jiǎn)介
2023-2024學(xué)年山東省煙臺(tái)市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題
一、單選題
1.若z(l+i)=l-5i,貝()
A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i
【正確答案】B
【分析】根據(jù)給定條件,利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再求出三作答.
l-5i(l-5i)(l-i)_-4-6i
【詳解】依題意,Z=------■=-2-31,
l+i(l+i)(l-i)2
所以三=-2+3i.
故選:B
已知向量£、的夾角為。,同
2.t150=1,問(wèn)=5則()
A.y/5B.不C.MD.V19
【正確答案】B
【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得歸+24的值.
【詳解】因?yàn)橄蛄?、B的夾角為150°,忖=1,|@=0,
故選:B.
已知2
3.cos[a+EJ=0<。<兀,則sina的值為()
7
A,史5G13
B.cD.
14~\4~-1714
【正確答案】C
【分析1根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sin[a+£],再根據(jù)sina=sina+2蘭兀利
6
用兩角差的正弦公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)閏os|a+F|=11?.71Tt771
—,且0<a<7t,則一<a+一<—,
7666
n4V|
所以sinaa+—
6
7171
所以sina=sina+—=sinfa-F-
666
4yliA/31111
=--------X--------------X—=-----
727214
故選:C
4.故宮是世界上規(guī)模最大,保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑群,故宮“乾清宮”宮殿房檐的
設(shè)計(jì)在夏至前后幾天屋檐遮陰,在冬至前后幾天正午太陽(yáng)光就會(huì)通過(guò)地磚反射到“正大光明”
匾上,驚艷絕倫.已知北京地區(qū)夏至前后正午太陽(yáng)高度角為73。,冬至前后正午太陽(yáng)高度角
)
A.-----------B.
2sin46°asin53°
-tan73°-tan27°asin27。sin73。
C.---------------------D.
tztan53°tan27°sin46°
【正確答案】D
【分析】利用三角形的邊角關(guān)系及正弦定理解決本題即可.
【詳解】設(shè)點(diǎn)Z在地面的射影為。,由已知得/力BQ=73。,NACB=27。,
則44c=73-27"=46°;
aAB'得3需
在三角形/8C中,由正弦定理
sin46°sin27°
在直角三角形ABD中,AD=ABsin730=--------------.
sin46°
故選:D
5.在』6C中,點(diǎn)。為8C中點(diǎn),E為4D中點(diǎn),記瓦=£,CE=b^則方=()
3-3-1-1rr
A.—a+bB.—a-bC.—a+hD.-a-b
2222
【正確答案】A
【分析】根據(jù)平面向量的基本定理,利用基向量£,九結(jié)合向量的運(yùn)算進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)。為8c中點(diǎn),所以而=西;因?yàn)镋為4。中點(diǎn),所以而=g而;
所以方=而+麗=而+而=AD+CE+ED
______I___3_____,3
=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.
222
故選:A.
6.設(shè)。=(1一/1@1120)5山8。,b=sin400sin1100-sin200sin130°?c=?,an15_,則()
'7l-tan2150
A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b
【正確答案】C
【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)4、6、%利用正切函數(shù)的單調(diào)性以及同角三角函數(shù)的基
本關(guān)系可得出〃、b、c的大小關(guān)系.
(cos200-73sin20)sin(90-10")
【詳解】a=(l-V3ten20jsin80a
cos20°
(V3sin20"-cos20°)cos1002sin(200-30°)cos10°2sin10。cos10°
cos20°cos20°cos20°
_sin20°
=tan20",
cos200
b=sin40sin1100-sin20Jsin130°=sin40sinp(T+20°卜sin20°sin(90+40)
=sin40°cos200-sin200cos40°=sin000-20°)=sin20°,
2tanl5°
tan30,
l-tan215°-
因?yàn)?<cos20°<1,則tan30°>tan200=型”->sin20。,即c>a〉6.
cos20"
故選:C.
7.設(shè)函數(shù)/(x)=kinx|+|cosx|,g(x)=sin(2x+5)-2sinx,若存在項(xiàng),%e[0,兀],使得
/(xl)+g(x2)=/n,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為()
A.B.[-2,V^]C.[-2,1+V^]D.[-1,2]
【正確答案】C
【分析】求出函數(shù)/(x),g(x)在[0,兀]上的值域,再根據(jù)已知求出機(jī)的范圍作答.
【詳解】xe[0,兀],/(x)=J(|sinx|+|cosxy-y]1+|sin2x|>顯然2xe[0,2兀],
當(dāng)xe{O,5,7t}時(shí),|sin2x|mm=0,當(dāng)xe{:,}時(shí),|sin2x|耐=0,因此14/(x)46
[fn0<sinx<1,則當(dāng)sinx=0,B|Jxe{0,K}時(shí),g(x)mx-1,當(dāng)sinx=l,即丫='|?時(shí),g(x)min=-3,
即-3<g(x)<1,
依題意,/而=-3+1=-2,加max=1+在,
所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為是[-2,1+6].
故選:C
8.在銳角“8C中,角48,C所對(duì)的邊分別為。c.若2ccos8=a-c,則皿1二9的
sinB
取值范圍為()
A.(1,6)B.(0,1)C.(0,V2)D.(72,73)
【正確答案】B
【分析】由2c,cosBua-c,根據(jù)正弦定理邊化角,再消去C,可得sin(C-8)=sin(-C),
利用三角形/8C是銳角三角形,可得5=2C,進(jìn)而求出對(duì)呼("三°)化簡(jiǎn),可
164Jsin5
求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?CCOS8=Q—C,由正弦定理可知,2sinCeosB-sinA+sinC=0,
又/+3+。=兀,所以sin4=sin(5+C)
所以2sinCcosB-sin(3+C)+sinC=0,
所以sinCcosB-sinBcosC+sinC=0
即sin(C-S)=sin(-C),
又“8C是銳角,則8,Ce(0eJ,
則C-Be,_Ce[_5,O),所以C_8=-C,即8=2C,
5=2CelO,-|
所以。€(04,解得八
4=n-(8+C)e
所以sin(J-C)_sin(4-C)_sin(^-4C)_sin4C_2sin2Ccos2C_
sinBsin2Csin2Csin2Csin2C
C£1.2?!?§,5),貝!jcos2C£(0,5),則2cos2Cw(0,1),
故選:B.
二、多選題
9.已知復(fù)數(shù)2=5由巴+icos巴,則()
66
A.z的虛部為且i
B.三在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限
2
C.z+z=\z\D.z是關(guān)于x的方程x2-x+l=0的一個(gè)根
【正確答案】BCD
【分析】把復(fù)數(shù)化成z='+"i,利用復(fù)數(shù)的意義判斷A;求出I、|z|判斷BC:利用復(fù)數(shù)
22
的四則運(yùn)算計(jì)算判斷D作答.
【詳解】依題意,復(fù)數(shù)z=L+@i,復(fù)數(shù)z的虛部為正,A錯(cuò)誤;
222
-李i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(,,_*)在第四象限,B正確;
|z|=J(g)2+(管y=lz+z=(g+9i)+(g-乎i)=l,則z+z=|z],c正確;
即z是關(guān)于x的方程x2-x+l=0的一個(gè)根,D正確.
故選:BCD
10.已知向量a=(l,2),6=(3,-1),c=(2,/n),則下列說(shuō)法正確的是()
A.若附=1,則£與工夾角的余弦值為(B.若R+郎不,則機(jī)
C.若機(jī)>-1,則々與"的夾角為銳角D.向量£在讓的投影向量是島-2)
【正確答案】ABD
【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A選項(xiàng);由平面向量共線的坐標(biāo)表示可判
斷B選項(xiàng):分析可知且£與)不共線,求出”的取值范圍,可判斷C選項(xiàng);利用投
影向量的定義可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng),〃=1時(shí),)=(2,1)1,A對(duì);
對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)镼=(1,2),6=(3,-1),c=(2,/n),則a+、=(4,l),
若(a+B)〃c,貝!)4加=2,解得加=5,B對(duì);
對(duì)于C選項(xiàng),若Q與c夾角為銳角,則〃,c=2+2〃?>0,解得機(jī)>-1,
且Z與工不共線,所以,掰工4,
所以,當(dāng)加>-1且〃7工4時(shí),£與"的夾角為銳角,C錯(cuò);
對(duì)于D選項(xiàng),向量々在B上的投影向量14cos||=同?畝?=諦■石=聲
二島-黑。對(duì).
故選:ABD.
■JT
11.函數(shù)/(x)=Zsin(ox+9)(N>0,@>0,|0K5)的部分圖象如圖所示,則()
A.函數(shù)“X)在區(qū)間(哈臺(tái)上單調(diào)遞增
B.(4,0)是函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心
C.函數(shù)/(x)在區(qū)間《中上的最大值2
D.若/(占)=/(々),則|七一七1=兀
【正確答案】AC
【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象,求出函數(shù)/(X)的解析式,再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.
【詳解】觀察圖象知,力=JL〃0)=2sin0=6,即sing=#,而解得夕=。,
f(~)=2sin(^6)+-^)=—73,sin(—69+—)=-^~,因?yàn)辄c(diǎn)(0,6)與(1,-0)在函數(shù)圖象
2232322
上相鄰,
因止匕弓“+$-5=兀,解得0=2,于是/(x)=2sin(2x+g),
對(duì)于A,當(dāng)立時(shí),0<2x+工(工,而正弦函數(shù),=sinx在(0,巴)上單調(diào)遞增,
612322
所以函數(shù)/(X)在區(qū)間(J,力上單調(diào)遞增,A正確;
612
對(duì)于B,當(dāng)了=-;時(shí),/(-$=2疝(-$=-0二0,(-h0)不是函數(shù),/'("的一個(gè)對(duì)稱中心,
B正確;
對(duì)于C,當(dāng)工€[-2與時(shí),2x+《w[W,當(dāng),當(dāng)2x+J=J,即x==時(shí),/(X)取得最大值
443663212
2,C正確;
對(duì)于D,取士=0,%=5,有/(再)=石,/(匕)=$出§=百,此時(shí)有/(須)=/(£),而
63
\x\~xi\=~7D錯(cuò)誤.
6
故選:AC
R+r
12.在AASC中,角力,8,。所對(duì)的邊分別為4也c,asin8=bsin-----,a=3,O為QBC
2
外接圓圓心,則下列結(jié)論正確的有()
A.A=^B."J8C外接圓面積為12兀
C.BOBC=^-D.SM1c的最大值為也
24
【正確答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件,利用正弦定理邊化角,結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角正弦求出角4再利
用正余弦定理、三角形面積公式、數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算判斷各選項(xiàng)作答.
【詳解】在448C中,由正弦定理及asin8=6sin史£得:sinsin5=sin5sin-—,
22
WsinS>0,則有sin/=cosH,HP2sin—cos—=cos—,X0<—<—,cos—>0,
2222222
則sinq=g,所以4=3,即/=弓,A正確;
22263
R=L_=1_=73
由正弦定理得外接圓半徑2sin/2.兀,該圓面積兀外=3兀,B錯(cuò)誤;
sm—
3
----------—?19
如圖,BOBC=|BO\\BC\cos^OBC=-aa=-fC正確;
由余弦定理得:9=a2=b2+c2-2bccos->2bc-bc=bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=3時(shí)取等號(hào),
3
因此SABC='besin—=-^-bc<.,D正確.
aABC234鄉(xiāng)4"
故選:ACD
三、填空題
13.已知sina+cosa=2,—<a<—,則sin(2a-:]的值為.
542<4;---------
【正確答案】遒
50
【分析】根據(jù)給定條件,求出sin2a,cos2a,再利用差角的正弦求解作答.
74924
【詳解】因?yàn)閟ina+cosa=—,兩邊平方得:1+2sinacosa=—,解得sin2a=—,
52525
又巴<a<巴,即4<2a<兀,則cos2a=-Vl-sin22a
422
所以sin(2a-3=sin2acos色一cos2asin-=^―(——臺(tái)、也
44425225250
故呼
14.寫出一個(gè)同時(shí)滿足以下三個(gè)性質(zhì)的函數(shù):/(》)=.(寫出一個(gè)符合條件的即可)
①對(duì)于任意xeR,都有/(x+;)=/(x-§;②/(x)的圖象關(guān)于直線x.對(duì)稱;③/(x)
的值域?yàn)閇0,2].
【正確答案】sin(2x+;)+l(答案不唯一)
4
【分析】由性質(zhì)①可得/(X)的周期為兀,再由性質(zhì)②③寫出滿足3個(gè)性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)即可.
7T37r
【詳解】任意xeR,/(x+:)=/(x-二)o/a+7C)=/(x),即函數(shù)/(x)是周期為兀的周
44
期函數(shù),
則由性質(zhì)①,可令"X)=Asin(2x+s)+6,/>0,S,
由性質(zhì)②知,2x?+。=E+Z,而則左=0,*=:,
8224
[A-\-b=2兀
由性質(zhì)③知,S.,,解得4=1,%=1,于是/(x)=sin(2x+:)+I,
\-A+b=O4
JT
所以同時(shí)滿足給定三個(gè)性質(zhì)的函數(shù)可以為f(x)=sin(2x+-)+1.
4
故sin(2x+3+1
4
15.在“8C中,f^|=2,|存『一0|方||元|+4=|祝],O是邊上一點(diǎn),且滿足
CDCB=CDCA'則麗.麗的值為.
【正確答案】2
【分析】由麗?瓦=麗.聲可得C。為邊上的高,利用邊長(zhǎng)關(guān)系可求|無(wú)『=2,再利用
向量關(guān)系轉(zhuǎn)化后可求而?無(wú)的值.
【詳解】
^^CDCB^CDCA>故麗?(無(wú)-西=0即麗.而=0,
故CD為邊上的高,故而?麗=麗?(麗+麗)=函1
又同:夜同畫+4=|園2可化為
(國(guó)+|固),2夜(畫+國(guó))+4=阿1+國(guó)2,而國(guó)2="阿卜
所以(畫+畫『一2碼回+|網(wǎng))+4=|囹2+4_|網(wǎng)2,
整理得到:阿卜(|回+|阿卜應(yīng)(|回+]明)=0,故師卜亞,
故|同=2即3.而=2,
故2.
四、雙空題
16.趙爽是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年,他為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí),給出了“趙
爽弦圖”:四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形.如圖所示,正方
形ABCD的邊長(zhǎng)為岳,正方形EFGH邊長(zhǎng)為1,則赤.就的值為;
tanZ.EAB=
【正確答案】6-
【分析】根據(jù)給定的“趙爽弦圖”,利用勾股定理求出4F/G的值,再利用向量數(shù)量積的定
義求出京?就,利用和角的正切求出tanNE/8作答.
【詳解】依題意,Rt"5G,RtA8CH,RtA8E,RtAD4尸全等,
在Rtz\/8G中,AB=V13,AG=AF+1,BG=AF,由/G?+8G2=/"得:
(JF+1)2+JF2=13,UPAF2+AF-6=Q,又4F>Q,解得/斤=2,
^■^^AE^AG\cosAEAF^AF\(\AF\4)=2x3=6;
EF1…BG2
tanNEAF==-,tanNBAG==一,
AF2AG3
12
tanNEAF+tanZBAG-+—7_
所以tanZ.EAB=taMNE4F+NBAG)=2
\-tanZEAF-tanZBAG124
1-—x—
23
故6;:
五、解答題
17.(1)已知復(fù)數(shù)2=求tan的值;
(2)已知同=W=l,求)+刃與3£-2石夾角的大小.
【正確答案】(1)-3(2)=
4
【分析】(1)根據(jù)純虛數(shù)的定義,求得sin?與cos。,從而求出tan。,由兩角和的正切公式
即可求出tan(;-,)的值;
(2)根據(jù)向量的模的公式和兩個(gè)向量的夾角公式,即可求出.
cos0-—Lfsin0-
【詳解】(1)因?yàn)閺?fù)數(shù)2=i是純虛數(shù),
5
cosA0--后--=0“
5
所以BPcos0=且sin。w,
9R55
sin<9--—^0
5
所以sin0=±J1-cos*=±'一(=±2f,又因?yàn)閟inSwZ^,
_275
所以sin0=-迪,貝廿211。=嗎=—/j-=-2,
5cos0V5
T
兀
tan——tan。
所以tanC-6)=-------1-(-2)=3
4i兀八1+lx(-2)-
1+tantan”
4
(2)因?yàn)閨£++氐所以|Z+邛=5,即7+片+271=5,
所以(0)2+儼+2]刃=5,整理得£不=1,
所以(a+楊,(3a-2楊=3"+〃%-24=3x(應(yīng)y+l-2xl:=5,
|3a-261=yl(3a-2b)2=盾-地屋小片=79x(V2)2-12xl+4xl2=M,
---cE{a+b)-(?>a-2b)5Jy
設(shè)£+區(qū)與3Z-2B夾角為a,cosa=cosa+6,3a-2b=一=>與
\a+h\\3a-2b\后乂如2
jrTT
因?yàn)??!闧0,兀],所以。=:,故Z+B與3£-2坂夾角為二.
44
18.已知向量£=0,-石),向量3與£的夾角為:兀,且W=2.
(1)求向量B的坐標(biāo);
⑵設(shè)向量c=(sinx,cosx),(xeR),向量加=卜后1),若5.蔡=0,求區(qū)+4的最大值并求
出此時(shí)x的取值集合.
【正確答案】(1)(-2,0)或(1,班);
(2)3,{x\x=2kn+—.kGZ}.
6
【分析】(1)設(shè)出向量坂的坐標(biāo),利用向量數(shù)量積和向量的模建立方程組并求解作答.
(2)由(1)的結(jié)論結(jié)合沅而=o確定向量石,再求出忸+4并借助輔助角公式及正弦函數(shù)性
質(zhì)求解任何.
【詳解】(1)設(shè)否=(x,y),依題意,|£|=丁+(_兩2=2,a-^=|a||^|cos-y-=-2,而
a'h=x-y/3y,
1x-y/3y=-2,解得kfx=一:X=1
因此或<
[x2+y2=4y=yfi
所以向量B的坐標(biāo)是(-2,0)或(1,G).
(2)向量浣=卜百』),且限企=0,當(dāng)書=(一2,0)時(shí),力前=26/0,不符合題意,舍去,
當(dāng)1=(1,0)時(shí),B橘=1x(-/)+6xi=o,符合題意,即5=(1,百),則
ft+c=(1+sinx,>/3+cosx),
2
|ft+c|=7(1+sinx)+(^3+cos=J+2sinx4233sx=+4sin(x+y),
TTITIT——
因?yàn)閤eR,則當(dāng)X+;=2E+7,AwZ,即X=2E+:,%EZ時(shí),(\b+c|)^=3,
326
所以際4的最大值是3,此時(shí)x的取值集合是{X|X=2E+NCZ}.
19.在“8C中,角48,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且(2a-6)cosC=ccos8.
(1)求角C的大?。?/p>
(2)若邑.=26,c=2百,求”8C的周長(zhǎng).
【正確答案】(i)m;
(2)6+2小.
【分析】(1)利用正弦定理邊化角,結(jié)合兩角和差正弦公式可化簡(jiǎn)求得cosC,由此可得C.
(2)由三角形面積公式可求得用,利用余弦定理可構(gòu)造方程求得由此可得三角形
周長(zhǎng).
【詳解】(1)在“8c中,由正弦定理及(2a-6)cosC=ccos8得:
2sin^cosC-cosCsinB=sinCeosB,
整理得:2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin(C+8)=sin(兀一4)=sin/,
而sin4>0,則cosC=',又0<C<兀,
2
TT
所以C=1.
(2)由(1)知。=E,依題意,5ARC=—aftsinC=ab=2^3,解得ab=8,
3&ABC24
22222
由余弦定理得:c=a+b-2abcosC=(a+b)-3ah=(a+h)-24=12,解得:a+h=6t
所以^ABC的周長(zhǎng)£=〃+6+c=6+2-\/3.
20.觀察以下各式:
VJtan60-tan60tan30-6tan30=1;
A/3tan50-tan50tan20-囪an20。=1;
tan45—tan45tan15°—^~tanl5=1.
分析以上各式的共同特點(diǎn),寫出一個(gè)能反映一般規(guī)律的等式,并證明該等式.
【正確答案】見(jiàn)解析
【分析】利用兩角和與差的正切公式即可證明.
【詳解】V3tanof-tanoftan/?-A^~tan/?=1,其中。一6二30°,
證明…(a-小器需量tad
則tana-tanJ3=——(1+tanatan功,
則左邊二G(tana—tanP)-tanatan/3
=下>x14-tanatan-tanatan1=1=右邊.
故等式成立.
21.綠水青山就是金山銀山.近年來(lái),祖國(guó)各地依托本地自然資源,打造旅游產(chǎn)業(yè),旅游業(yè)
7TIT
蓬勃發(fā)展.某景區(qū)有一直角三角形區(qū)域,如圖,8c=lkm,43“ZABC="現(xiàn)準(zhǔn)
■JT
備在中間區(qū)域打造兒童樂(lè)園△BMN,M,N都在邊力。(不含4C)上且=設(shè)
6
乙NBC=a.
⑵求面積的最小值和此時(shí)角a值.
【正確答案】⑴喑;
⑵3
4
【分析】(1)利用給定的條件,利用同角公式、誘導(dǎo)公式及和角的余弦公式計(jì)算作答.
(2)利用正弦定理用a的正余弦表示8",8N,再利用三角形面積公式列式,借助三角恒
等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.
【詳解】(1)依題意,sinZABM=—,則cos/48A/-sin?NABM=一,而
1313
7TTT
/ABC=—/MBN=—,
26
sina=sin(y-Z.ABM-/MBN)=cos(ZABM+.
7C7t12
=cosZ-ABMcos----sinZABMsin—忠/J以三
6675213226
BNBC
(2)在AHNC中,由正弦定理得,^ZACB=-,ZBNC=--a,
sinZ.ACBsinZBNC33
BCsin-,6
則8N=------------3---=--------------------------------------n
./2兀、3/.27c27r..、《5/3cosa+sina
sin(--a)2(sin三cosa-cos-^sina)
717r7C/-
在中,NABC=—,NBAC=-,AB=BCtanAACB=tan-=V3,
263
ABBM
在△48”中,由正弦定理得,,而
sin乙4MBsinABAC
ZAMB=ZMBN+ZNBC+ZACB=-+a,
2
^5sin—/T
BM=-——£=4
sin『a)2cosa
\兀3
S.BMN=-BNBM-sm-=-----------=
刖268cosa(Gcosa+sina)
8cosacosa+sina)=4sin2a+4/3(1+cos2a)=4(sin2a+7-3cos2a)+6
=8sin(2a+—)+4-7
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