2023-2024學(xué)年廣東省珠海市斗門一中高二（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023?2024學(xué)年廣東省珠海市斗門一中高二（上）第一次段考數(shù)學(xué)試卷

（10月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.在正方體4BCD-&B1C1C1中，BC-DC+AB=（）

A.BDB.而C.ADD.'DA

2.已知向量為=（一1,1,1）,方=（2,m-l,n+1），且dJ.方，則實(shí)數(shù)m+n=（）

A.—2B.2C.3D.-3

3.某高中學(xué)校開展學(xué)生對宿舍管理員滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生1100人，高二年級有學(xué)

生1000人，高三年級有學(xué)生900人.現(xiàn)從全校學(xué)生中按比例分層抽樣的方法抽取60人進(jìn)行調(diào)查，則抽取的高

二年級學(xué)生人數(shù)為（）

A.18B.20C.22D.30

4.已知應(yīng)=（1,一2,1）,a+b=（-1,2,-1）.則加等于（）

A.（2,-4,2）B.（-2,4,-2）C.（-2,0,-2）D.（2,1,-3）

5.新高考按照“3+1+2”的模式設(shè)置，其中“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門必考科目，“1”由考生在物理、

歷史2門科目中選考1門科目，“2”由考生在化學(xué)、生物、政治、地理4門科目中選考2門科目，則學(xué)生甲選

考的科目中包含物理和生物的概率是（）

A-2B1ClD1

6.如圖，三棱錐。-ABC中，M,N分別是AB,OC的中點(diǎn)，設(shè)耐=a，OB=b,

OC=c＜用心3，0表示而，則而7=()

A.3(—a+b+c)

B.1(a+b-c)

C.I(a-b+c)

D.j(-a-b+c)

7.一個公司有8名員工，其中6位員工的月工資分別為6200、6300、6500、7100、7500、7600,另兩位員

工的月工資數(shù)據(jù)不清楚，那么8位員工月工資的中位數(shù)不可能是（）

A.6800B.7000C.7200D.7400

8.正方體4BCD-&B1GD1的棱長為2,若動點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，則前?方的取值范圍是（）

A.[0,4]B.[-4,4]C.[-4,0]D.[0,2]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.已知空間向量1=(1,-1,2),則下列說法正確的是()

A.|a|=6

B,向量d與向量B=(-2,2,-4)共線

C.向量，關(guān)于％軸對稱的向量為(1,1,-2)

D.向量益關(guān)于yOz平面對稱的向量為(-1,1,一2)

10.給出下列命題，其中正確的命題是()

A.若直線/的方向向量為3=(1,0,3),平面a的法向量為元=(一2,0,|),則直線”/a

111

+*

B.若對空間中任意一點(diǎn)0,有0P=4-4-4-OC則P,A,B,C四點(diǎn)共面

C.兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則這兩個向量共線

D.已知向量五=(9,4,一4),b=(1,2,2),則,在彼上的投影向量為(1,2,2)

11.從高一某班抽三名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，記事件4為“三名學(xué)生都是女生"，事件B為“三名學(xué)生都是男

生”，事件C為“三名學(xué)生至少有一名是男生"，事件。為“三名學(xué)生不都是女生”，則以下正確的是()

A.PQ4)B.事件4與事件B互斥

C.P(C)力P(D)D.事件4與事件C對立

12.為了養(yǎng)成良好的運(yùn)動習(xí)慣，某人記錄了自己一周內(nèi)每天的運(yùn)動時長(單位：分鐘)，分別為53,57,45,

61,79,49,X,若這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)的差為3,貝"的值可能為()

A.58B.59C.62D.64

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知五=(1,-2,m),h=(-1,2,-1)>若&〃另，則m_.

14.在已知四面體048c中，已知。4、OB、OC兩兩垂直，且04=3,OB=6,OC=9,若G是△ABC的重

心，則|OG|=.

15.社會實(shí)踐課上，老師讓甲、乙兩同學(xué)獨(dú)立地完成某項(xiàng)任務(wù)，已知兩人能完成該項(xiàng)任務(wù)的概率分別為：，|,

則此項(xiàng)任務(wù)被甲、乙兩人中至少一人完成的概率為.

16.已知斗用藥是空間單位向量，可遂=瓦.瓦=瓦陽=W，若空間向量日滿足五=xe；+ye2(x>0,y>

0),同=4,則五?%的最大值是.

四、解答題(本大題共4小題，共46.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.（本小題10.0分）

從2名男生（記為A】，4）和2名女生（記為/，4）這4人中一次性選取2名學(xué)生參加象棋比賽（每人被選到的可

能性相同）.

（I）請寫出該試驗(yàn)的樣本空間O；

（II）設(shè)事件M為“選到1名男生和1名女生”，求事件M發(fā)生的概率.

（III）若2名男生4,4所處年級分別為高一、高二，2名女生當(dāng)，外所處年級分別為高一、高二，設(shè)事件N為

“選出的2人來自不同年級且至少有1名女生”，求事件N發(fā)生的概率.

18.（本小題12.0分）

已知在四棱錐P—HBCD中，底面4BCD是矩形，且4。=2,AB=1,PA1平面力BCD,E、尸分別是線段48、

BC的中點(diǎn).

（1）證明：PF1FD；

（2）在線段R4上是否存在點(diǎn)G,使得EG〃平面PFD,若存在，確定點(diǎn)G的位置；若不存在，說明理由.

19.（本小題12.0分）

現(xiàn)有兩種投資方案，一年后投資盈虧的情況如表:

投資股市：

投資結(jié)果獲利40%不賠不賺虧損20%

11

概率3

288

購買基金:

投資結(jié)果獲利20%不賠不賺虧損10%

1

概率P

3q

(1)當(dāng)p=；時，求q的值；

(2)已知甲、乙兩人分別選擇了“投資股市”和“購買基金”進(jìn)行投資，如果一年后他們中至少有一人獲利

的概率大于土求p的取值范圍.

20.(本小題12.0分)

俄羅斯與烏克蘭的軍事沖突導(dǎo)致石油、天然氣價格飆升.燃油價格問題是人們關(guān)心的熱點(diǎn)問題，某網(wǎng)站為

此進(jìn)行了調(diào)查.現(xiàn)從參與者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按年齡分組：第1組［20,30),第2組

［30,40),第3組［40,50),第4組［50,60),第5組［60,70］,得到的頻率分布直方圖如圖所示.

⑴求樣本中數(shù)據(jù)落在［50,60)的頻率；

(2)求樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)；

(3)若將頻率視為概率，現(xiàn)在要從［20,30)和［60,70］兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取

2人進(jìn)行座談，求抽取的2人中至少有1人的年齡在［20,30)組的概率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：7DC=AB，

：.BC-DC+AB=BC=AD>

故選：C.

利用空間向量的線性運(yùn)算法則求解.

本題主要考查了空間向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由日J(rèn).B，可得一1x2+1x(m-1)+1x(n+1)=0,

整理得m+n=2.

故選：B.

由向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，列方程即可求解.

本題考查向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：由分層抽樣的定義可知，從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人進(jìn)行調(diào)查,

則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為6。xI］。。+黑+90。=20.

故選：B.

根據(jù)己知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了空間向量的線性運(yùn)算與坐標(biāo)表示的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，求出向量石的坐標(biāo)即可.

【解答】

解：?.?方=a+b=(-1,2,-1).

.,.b=a+b—a(—1—1,2—(—2),一1—1)(—2,4,-2)?

故選:B.

5.【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解.

本題主要考查古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

￡1￡1￡1_1

【解答】解：由題意可得，學(xué)生甲選考的科目中包含物理和生物的概率P

C2C44

故選：B.

6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)M,N分別是AB,0C的中點(diǎn)可得，MN=-0M+0N=-^(OA+~OB)+^OC=^(-a-

K+c).

故選：D.

結(jié)合向量線性運(yùn)算即可求解.

本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：?.?該公司6名員工的月工資分別為6200,6300,6500,7100,7500,7600,

二當(dāng)其余兩名員工的工資分別小于6300時，中位數(shù)：(6300+6500)+2=6400,

當(dāng)其余兩名員工的工資分別大于7500時，中位數(shù)：(7100+7500)+2=7300,

8位員工月工資的中位數(shù)的取值區(qū)間為[6400,7300],

???8位員工月工資的中位數(shù)不可能是7400.

故選：D.

根據(jù)中位數(shù)的定義，由已知數(shù)據(jù)確定中位數(shù)的范圍，由此判斷正確選項(xiàng).

本題考查中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：以后，DC，西所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),C(0,2,0),4(2,0,0),B(2,2,0),(0,0,2),

DC=(0,2,0).西=(-2,-2,2)，AB=(0,2,0)-

??,點(diǎn)P在線段BDi上運(yùn)動，故可設(shè)前=4?西=(一24,-2尢24)，且OS/IS1,

?■AP=AB+BP=(-2A,2-2A,24)，

DC-AP=(0,2,0)?(-22,2-22,22)=4-4A)

??<0<A<1,???0<4-4Z<4,即比.9e[0,4].

故選：A.

根據(jù)圖形建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量共線定理引入?yún)?shù)；I，將刀的坐標(biāo)用;I表示出來,進(jìn)而表示出配?前,

根據(jù);I的范圍求得數(shù)量積范圍即可.

本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查坐標(biāo)法表示空間向量及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬中檔題.

9.【答案】ABC

【解析】解：對于A,I弓I=>/M+（—1）2+2?=故A正確；

對于B,=—2五，二方與坂=（—2,2,—4）共線，故8正確；

對于C,設(shè)益=（1,-1,2）的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則該向量的終點(diǎn)為

???點(diǎn)（1,一1,2）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1,一2）,

.響量江關(guān)于x軸對稱的向量為（1,1,一2）,故C正確；

對于D,設(shè)日=（1,一1,2）的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，該向量的終點(diǎn)為（1,一1,2）,

???（1,一1,2）關(guān)于yOz平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1,一1,2）,

?響量，關(guān)于yOz平面對稱的向量為（-1,-1,2）,故。錯誤.

故選：ABC.

根據(jù)向量模的公式，結(jié)合共線向量、線對稱、面對稱逐一判斷能求出結(jié)果.

本題考查命題真假的判斷，考查向量模的公式、共線向量、線對稱、面對稱等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】CD

【解析［解：選項(xiàng)A,由已知直線/的方向向量為E=（1,0,3）,平面a的法向量為五=（一2,0,|）,

所以3?元=-2+2=0,所以31記，所以直線，ua或，〃a,故A錯誤；

選項(xiàng)8,因?yàn)槌?；市+J而+J靈，74-7+7=7*1.根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面條件可知，P，A,B,C四

4444444

點(diǎn)不共面，故B錯誤；

選項(xiàng)C,三個不共面的向量可以成為空間的一個基底，兩個非零向量與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一

個基底，則這兩個向量共線，故C正確；

選項(xiàng)力，由五=（9,4,一4）,石=（1,2,2），日在讓的投影向量為噌《=里笑?空兇=（1,2,2）,故。正確.

故選：CD.

選項(xiàng)A,因?yàn)??元=0,直線珀勺方向向量3與平面a的法向量記垂直，直線，可能在平面a內(nèi)，也可能與平面a平

行；選項(xiàng)8,根據(jù)空間向量四點(diǎn)共面條件即可判斷B；選項(xiàng)C,根據(jù)平面向量基底的定義可判斷C；選項(xiàng)。，

根據(jù)投影向量的公式即可判斷￡>.

本題主要考查了空間向量的概念及基本運(yùn)算，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：由所抽學(xué)生為女生的概率均為今則P(A)=G)34,A正確；

4B兩事件不可能同時發(fā)生，為互斥事件，B正確；

C事件包含：三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生、三名學(xué)生都是男生，其對立事件為A,。正確；

。事件包含：三名學(xué)生都是男生、三名學(xué)生有一名男生、三名學(xué)生有兩名男生，與C事件含義相同，故P(C)=

P(D),C錯誤.

故選：ABD.

由獨(dú)立乘法公式求P(A),根據(jù)事件的描述，結(jié)合互斥、對立事件的概念判斷B、C、。即可.

本題主要考查互斥事件與對立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】AD

【解析】解：將已知的6個數(shù)從小到大排序?yàn)?5,49,53,57,61,79,

若x<57,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為61和57,

他們的差為4,不符合條件，

若X279,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為79和61,

它們的差為18,不符合條件，

若57<x<79,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)與第60百分位數(shù)分別為x和61(或61和為，

則|%-61|=3,解得x=58或x=64,符合條件.

故選：AD.

先對數(shù)據(jù)從小到大排序，分XW57,%>79,57<x<79三種情況，舍去不合要求的情況，列出方程，即

可求解.

本題主要考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1

【解析】解：由,〃b，可設(shè)方=tb，BP(1,—2,m)=t(—1,2,—1),

(1=-t

則有，—2=2t,解得m=L

(m=-t

故答案為：1.

由勿不，可設(shè)丘=ta再根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系得方程組，即可求解.

本題考查空間向量平行的坐標(biāo)表示，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】V14

【解析】解：根據(jù)題意，如圖所示，連接4G并延長與8c相交于點(diǎn)D,

由于點(diǎn)G是底面△4BC的重心，則四=|而=索+確=家麗+

0C-2O4).

即。G-04=^(0B+OC-20A),

變形可得：OG=^(OB+0C+0A),

又由。4、OB、0C兩兩垂直，則瓦？.布=0，OC-OA=0,OBOC=0,

故|附2=g頌+靈+麗2=g而2+1^2+1^-2=I*

故|時=<14.

故答案為：V14.

由三角形重心的性質(zhì)和向量的三角形法則得出面=9赤+元+瓦5),再由向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答

案.

本題考查空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，涉及向量模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】I

O

【解析】解：由題意知，兩人能完成該項(xiàng)任務(wù)的概率分別為:，|,且兩人是否完成任務(wù)是相互獨(dú)立的,

可得兩人都未完成任務(wù)的概率為Pl=(l-i).(l-|)=j,

則此項(xiàng)任務(wù)被甲、乙兩人中至少一人完成的概率為P=1-Pi=10="

OO

故答案為：I.

根據(jù)兩人是否完成任務(wù)之間是相互獨(dú)立的，結(jié)合獨(dú)立事件和對立事件的概率計(jì)算公式，即可求解.

本題考查相互獨(dú)立事件和對立事件的概率計(jì)算公式，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】亨

【解析】解：依題意％,瓦,石是空間單位向量，且五="瓦+y石。>0,y>0),

|五|=|x部+y要|=J(x^+y矽2=Ix2+|xy+y2=4>

所以％2+|%y+y2=16,

-i

則日?瓦=(X否'+y孩)?言=X宕?益+y慈?可=§(x+y),

16=x2+y2+|xy=(x+y)2-^xy>(x+y)2-x(攀/=|(x+y)2)

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時等號成立，所以(乂+丫)2324,即久+yW2，^^,

所以丘-e^=^(x+y)<1x2-/~6=

故答案為：號.

直接利用向量的數(shù)量積，向量的模的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量的模的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維

能力，屬中檔題.

17.【答案】解:(I)該實(shí)驗(yàn)的樣本空間。為{4,&}，{&，&},&,%},{&，叢},{A2,B2),$1，82拱6種

情況，

(II)事件M為“選到1名男生和1名女生”共有4種情況，

則所求事件的概率為好熱

DD

(川)事件N為“選出的2人來自不同年級且至少有1名女生”共有3種情況，

故所求事件的概率為卜上

OL

【解析】(I)利用列舉法即可求解；(H)利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求解；(111)：利用古典概型的概

率計(jì)算公式即可求解.

本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】(1)證明：連接4F,則AF=DF=21

???AD=2,

:.AF2+DF2=AD2

???AFJLDF,

???PA_L平面48C0,

???PA1DF9

???PAC\AF=A

???DF，平面PAF,

...pFu平面PAF,

APF1FD.

(2)解：過點(diǎn)E作E//〃FD,交AD于點(diǎn)H,則EH〃平面PFD,且

再過點(diǎn)H作HG〃DP交P4于點(diǎn)G,則HG〃平面PFD且4G=；4P,

平面GEH〃平面PFD.

???EGu平面GE”,

???EG〃平面PFD.

確運(yùn)用線面垂直，線面平行的判定定理