2023-2024學(xué)年甘肅省武威市四校聯(lián)考高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年甘肅省武威市四校聯(lián)考高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合“={x|log2X<3},N={x|x>—1},則MnN=（）

A.（-1,8）B.（0,8）C.（-1,6）D.（0,6）

2.已知i是虛數(shù)單位，若Z]=2+i,z2=1+i,則2=Zi?5在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.使“a<b”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.VxG（0,1],a<b+xB.VxG（0,1],a+x<b

C.G[0,1],a<b+xD.G[0,1]>a+x<b

4.已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為y=/（x）,則圖2對應(yīng)的函數(shù)是（）

C.y=-/(-x)D.

5.設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)4在C上，點(diǎn)B（4,0）,若?|=|8?|,則4B的中點(diǎn)到y(tǒng)

軸的距離是（）

A.2B.2V-2C.3D.3<2

6.已知函數(shù)/'（X）=e工-ax+b,g（x）=/一%.若曲線y=/（乃和y=g（%）在公共點(diǎn)4（1,0）

處有相同的切線，則a,b的值分別為（）

A.e-1,-1B.-1,e-1C.e,—1D.-1,e

7.如圖所示的“數(shù)字塔”有如下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為3,除此3

33

之外每個(gè)數(shù)字均為兩肩的數(shù)字之積，則該‘'數(shù)字塔"前7層的所有數(shù)字之積最393

接近（參考數(shù)據(jù)：匈3?0.477）（）32727

A.1O50B.1O60C.1O70D.1O80

8.在三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA=PB,乙4cp=90。，PC+AC=4,則

三棱錐P-ABC外接球的表面積的最小值為（）

A327r0647r「807r

一D半

A.—7—D.——7V.7

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若a>0>b>c,則下列結(jié)論正確的是（）

B.*>c2a

C-cD.a-c22j（a-b）S-c）

10.若一組樣本數(shù)據(jù)看,&，…，X10的平均數(shù)為［G#0），標(biāo)準(zhǔn)差為S,另一組樣本數(shù)據(jù)Xu，

與2,…，X20的平均數(shù)為31，標(biāo)準(zhǔn)差為S.兩組數(shù)據(jù)合成一組新數(shù)據(jù)修，X2,???,%10,xn./2,

…，X2。，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為亍，標(biāo)準(zhǔn)差為S',則（）

A.y>2xB.y=2%C.s'>SD.s'=S

11.已知函數(shù)f（x）=2sin2x-3sin|x|+1,則（）

A.f（x）是偶函數(shù)B./（乃在區(qū)間（一不0）上單調(diào)遞增

C./（x）在［一%汨上有4個(gè)零點(diǎn)D.f（尤）的值域是［0,6］

12.設(shè)直線，：、=/^+3"€/?）與圓。：x2+y2=4,則下列結(jié)論正確的為（）

A」可能將C的周長平分

B.若圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線，的距離為1,則k的取值范圍為（-2/20）U（0,2/2）

C.若直線，與圓C交于A,B兩點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為2

D.若直線I與圓C交于4B兩點(diǎn)，則4B中點(diǎn)M的軌跡方程為/+（y-|）2=*

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知一個(gè)圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為16兀，則該圓柱的體積為.

14.已知向量力=（-2,cosa）,b=（l,sina）.且為〃B，則2c：學(xué)^3=-

15.干支紀(jì)年是中國古代的一種紀(jì)年法.分別排出十天干與十二地支如下：

天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

把天干與地支按以下方法依次配對：把第一個(gè)天干“甲”與第一個(gè)地支“子”配出“甲子”，

把第二個(gè)天干“乙”與第二個(gè)地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，則再從第一個(gè)天

干開始循環(huán)使用.己知2023年是癸卯年，則138+2年以后是年.

16.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，&,尸2為橢圓C：捻+，=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，|&尸2|=6,

點(diǎn)P是位于橢圓C上第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)Q是以PF2為底的等腰三角形片PF2內(nèi)切圓的圓心，過

0作1PQ于點(diǎn)M,|OM|=1,則橢圓的離心率為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知等差數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為無，現(xiàn)給出下列三個(gè)條件：①3a2+。4=64；②$5=100;

③S7=5a$+16.請你從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)解答下列問題.

(1)求｛aj的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛砥｝滿足d=3,%->2)，設(shè)數(shù)列｛三｝的前幾項(xiàng)和為〃，求證:1<Tn<

DnJ

1

21

注：如果選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.

18.(本小題12.0分)

在中，a,b,c分別是角4,B,C所對的邊，且滿足tcmA：tanB：tanC=1：2：3.

(1)求角4的大小；

(2)若△ABC的面積為6,求b的值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABC。中，四邊形ABCD是矩形，△PAD是正三角形，且平面PA。1平面

ABCD,AB=1,。為棱AD的中點(diǎn)，E為棱PB的中點(diǎn).

⑴求證：OE〃平面PCD；

(2)若直線PD與平面OCE所成角的正弦值為空，求四棱錐P-ABCD的體積.

8

20.(本小題12.0分)

現(xiàn)有甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員爭奪某項(xiàng)比賽的獎(jiǎng)金，規(guī)定兩名運(yùn)動(dòng)員誰先贏k(卜>1次€/7*)局，誰

便贏得全部獎(jiǎng)金a元,假設(shè)每局甲贏的概率為p(0<p<1),乙贏的概率為l-p,且每場比賽

相互獨(dú)立.在甲贏了m(m<k)局，乙贏了n(n<k)局時(shí)，比賽意外終止，獎(jiǎng)金如何分配才合理？

評委給出的方案是：甲、乙按照比賽再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎(jiǎng)金的概率之比P用「乙分

配獎(jiǎng)金.

(1)若％=3,m=2,n=1,p=^,求P甲：「乙；

(2)記事件4為“比賽繼續(xù)進(jìn)行下去乙贏得全部獎(jiǎng)金”，試求當(dāng)k=4,m=2,n=2時(shí)，比

賽繼續(xù)進(jìn)行下去甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率，(p),并判斷當(dāng)今Wp<l時(shí)，事件4是否為小概率事

件，并說明理由.規(guī)定：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于0.06,則稱該隨機(jī)事件為小概率事件.

21.(本小題12.0分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：捻-《=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為居，F(xiàn)2,

C的離心率為2,直線I過尸2與C交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)|。"|=|OFz|時(shí)，AMF/z的面積為3.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)已知M,N都在C的右支上，設(shè)/的斜率為rn.

①求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

②是否存在實(shí)數(shù)m，使得NMON為銳角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明

理由.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(%)=%2+axlnx(a6R).

(1)若/(%)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，求Q的取值范圍；

(2)若a=l,證明：/(%)>x-e~x.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:log2x<3,

貝/?？?lt;，。死23,解得0<X<23=8,

則M={x|log2x<3}={x|0<%<8},

vN—{x\x>—1},

:.MCN=(0,8).

故選:B.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與定義域得出集合M,即可根據(jù)集合的交集運(yùn)算得出答案.

本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析[解：由Z]=2+3z2=1+i,得Z2=l—i，

則z=zr-z2—(2+i)(l—i)=3—i.

z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：(3,-1),位于第四象限.

故選：D.

由Z2求出Z2,然后把Z1，石，代入Z=Z「Z2,利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡，求出Z在復(fù)平面

內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：對于4,若Vx6(0,1],a<b+x,當(dāng)a=b時(shí)，a=b<b+x成立，

所以“Vxe(0,l],a<b+x"不能推出“a<b”,4不滿足條件；

對于B,Vxe(0,1],a+x<b,則。<。+苫<8,即a<b,充分性成立，

所以“Vxe(0,1],a+x<b"="a<b",

若a<b,則Vxe(0,1],不妨取a=l,b-1.2,x=0,5,則a+x>b,必要性不成立，

所以“Vx6(0,1].a<b+/'是"a<b”的充分不必要條件，B滿足條件；

對于C,若a<b,則使得a<bWb+x,即a<b+x,

即"a<b"="mxC[0,1],a<b+x",

所以“mx6[0,1],a<b+x”是“a<b”的充分條件，C不滿足條件；

對于。，若a+x<b,則aWa+xWb,即a<b,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立,

所以“mx6[0,1],a+xWb”不能推出“a<b"，D不滿足條件.

故選：B.

根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合充分不必要條件分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)XW0時(shí)，所求函數(shù)圖象與己知函數(shù)相同，

當(dāng)x>0時(shí)，所求函數(shù)圖象與x<0時(shí)圖象關(guān)于y軸對稱，

即所求函數(shù)為偶函數(shù)且x<。時(shí)與y=f(x)相同，故AC不符合要求，

當(dāng)XW0時(shí)，y=/(-|x|)=/"(%),y=/(|x|)=/(-%),故。正確，B錯(cuò)誤.

故選：D.

根據(jù)兩函數(shù)圖象的關(guān)系知，所求函數(shù)為偶函數(shù)且x40時(shí)兩函數(shù)解析式相同，即可得解.

本題主要考查函數(shù)的圖象與圖象的變換，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解:由題意得,F(l,0),則|4F|=\BF\=3,

所以，由拋物線的定義得點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=-1的距離為3,

所以點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為-1+3=2,

不妨設(shè)點(diǎn)4在x軸上方，代入拋物線方程得，力(2,21力，

所以A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,「)，至0軸的距離是3.

故選：C.

根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)4的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)4坐標(biāo)，即可得

到答案.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：由9(%)=%2一%，得g(%)=2%-1,則g(l)=o,gf(l)=1,

由/(%)=—ax4-6,得/*'(久)=ex—a,

?.,曲線y=/"0)和了=g(x)在公共點(diǎn)4(1,0)處有相同的切線,

))二二：；上。,解得｛；二「

故選:A.

由g(x)=--x,分別求得g(l)與g'(l),再由題意可得匕￡?二：求解得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，“數(shù)字塔”中第n行第i個(gè)數(shù)均為33T的形式，

該"數(shù)字塔"前7層的所有數(shù)字之積3附-1x(32-1X3k2-2)X....X(3卜7-1x3k"2x..x3k7-7)=

3^1—1+(“2—1+七2—2)+…+(17—1+〃7—2+…+上7—7)

根據(jù)指數(shù)運(yùn)算可知，則的-i按原位置排列可以構(gòu)成楊輝三角，

如圖，

1

II

121

1331

14641

15101051

則可得以_i為二項(xiàng)式系數(shù)，

則第n行數(shù)字的和為二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2時(shí)1，

所以，前7層的所有數(shù)字之和2。+2】+..+26=27-1,

該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積7=327-1，

則匈7=0327T=(27-1)匈3?60.579，則T?1060.

故選:B.

根據(jù)題意，分析可知第n行第i個(gè)數(shù)3kz.的指數(shù)為二項(xiàng)式系數(shù)，第n行數(shù)字的指數(shù)之和為二項(xiàng)式系

數(shù)之和等于2-1,利用等比數(shù)列求和得該“數(shù)字塔”前7層的所有數(shù)字之積7=32'T,利用對數(shù)

運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算估計(jì).

本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：如圖所示，

由題意可得，PA=PB,AC=BC,PC=PC,：.XPCA三APCB,

則4PCA=NPCB,V.Z.ACP=90°,AZ.BCP=90°,

即PCJ.4C,PC1BC.

X4CCIBC=C,AC,BCu平面ABC,PC_L平面ABC.

設(shè)4B=AC=BC=a(0<a<4),則PC=4—a,

取正△ABC的外心為O',三棱錐P-力BC外接球的球心。，連接。0',

則。0'JL平面力BC,

設(shè)底面外接圓的半徑為r，得r==?200'="C=2—多

2sm60322

???再設(shè)三棱錐P-4BC外接球的半徑為R,

2

則R-Jja+(2-2)2=J-La2-2a+4-

當(dāng)。=一號=半時(shí)，R有最小值為=

.??三棱錐P-ABC外接球表面積的最小值為47rx(號￥=等.

故選：B.

證明△PCA=△PCB,從而得到NBCP=90°,得到PC1平面ABC,設(shè)48=AC=BC=a(0<a<

4),正△ABC的外心為。'，三棱錐P—4BC外接球的球心。，連接。0',先求得底面4BC外接圓的

半徑r,再由三棱錐P-ABC外接球的半徑R=J/+(竿)2求解.

本題考查多面體的外接球，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：a>0>b>c,

/.h-c>0,he>0,

,.一=華1>0,即經(jīng)?故A正確;

cbbecb

不妨取Q=l,b=-2,c=-3,b2a=(-2)2=4,c2a=(-3)2=9,顯然4<9,故8錯(cuò)誤；

va>0>Z)>c,

???c—bV0,a—c>0f

??.p—2=需秒>°，即生故C正確；

a—ccc(a—c)a—cc

va>0>6>C,

a—c>0,a—b>0,h—c>0,a—c—2A/(a—b)(b—c)=(a—b)+(b—c)—

2y/(a-b)(b—c)=(Va-b—y/b—c')2>0,

a-c>2y/(a—b)(b-c),D正確.

故選:ACD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：對于選項(xiàng)A,B,因?yàn)椤?亂+>；0”+%3)=xii+x嘴…+和,

所以％1+不■*---hx10=10%,xn4-x12H----1-x2o=30%，

所以亍=勺+外+…+切。+打1+勺2+…+乃2。=遙+30]=3故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)8正確；

/2020

22222

對于選項(xiàng)C,D,10s=Qi—%)+(%2—%)+…+(%10—%)=*+者4---Fxf0—10%,

22

所以好+慰H---卜%10=10s+10%,

同理可得10s?=*1+*2+…+熠0-10x(3x)2-哈+好2+…+熠0-90/,

2

所以在1+xf2+…+^20=10s+90/,又因?yàn)椋0，

22222

所以s'2=4X[(勺-y)+(x2-y)+■■■+(x10-y)+(xn-y)+(x12-y)+?-?+(x20-

y)2]

=4x(婢+超■1---xio+xii+xi2+…+x2o—20y2)=-Lx[10s2+10x2+10s2+90x2-

20x(2x)2]=s2+x2>s2,

即s'>s,故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：BC.

利用平均值、方差公式，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的均值、標(biāo)準(zhǔn)差求新數(shù)據(jù)的均值和方差即可.

本題考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)算，考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算

求解能力，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】AB

【解析】解：對于4選項(xiàng)，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,

且/(—x)=2sin2(—x)—3sin\—x|+1=2sin2x-3sin|x|+1=/(x),

所以函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，故4選項(xiàng)正確；

對于B選項(xiàng)，當(dāng)％6(0,力時(shí)，0<sinx<容,/(%)=Zsi/x—3s譏x+1=2(sinx—,)2—

=sinx,則te(O,苧)，由于函數(shù)y=2(t—令2一2在te(0,殍)時(shí)單調(diào)遞減，

函數(shù)t=sinx在xe(0,今時(shí)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0幣上單調(diào)遞減，

故函數(shù)y=/(乃在區(qū)間(一：,0)上單調(diào)遞增，故8選項(xiàng)正確；

1

對于C選項(xiàng)，當(dāng)％G[0,兀]時(shí)，由f(x)=2sin2x-3sinx+1=0,得sinx=-^sinx=1,

所以x屋或x=3或x=：,所以偶函數(shù)y=/(x)在[一兀,捫上有6個(gè)零點(diǎn)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)x€[0,+8)時(shí)，f(x)=2sin2x—3sinx+1=2(sinx—|)2—

因?yàn)橐籰WsinxWl,所以當(dāng)sinx=]時(shí)，f(x)min=當(dāng)sinx=-l時(shí)，/(x)max=6.

由于函數(shù)y=/(x)是偶函數(shù)，因此，函數(shù)y=/(x)的值域?yàn)閇一",6],故。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選:AB.

根據(jù)偶函數(shù)的定義、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)的定義以及復(fù)合函數(shù)的值域，可得答案.

本題主要考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，單調(diào)性的判斷，還考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬

于中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：對于4若直線/將圓C的周長平分，則直線/過原點(diǎn)，此時(shí)直線/的斜率不存在，4錯(cuò)

誤；

對于B,若圓C上存在兩個(gè)點(diǎn)到直線，的距離為1,則C到直線I的距離d滿足l<d<3,

3

所以1<]一,2<3,解得一2，2<k<0或0<k<2/2，8正確；

Jl+fc

1

對于C,S448c=21c?|CB|?sinZ_4CB=2sinZ.ACB,

當(dāng)N4CB=90。時(shí)，△ABC的面積有最大值2,C正確；

對于D,易知直線/經(jīng)過定點(diǎn)P(0,3),所以。MLPM,

所以M點(diǎn)的軌跡以。P為直徑的圓，

,39.(%2+y2=44

其方程為+(y-弓)2=[,又因?yàn)镸點(diǎn)在圓c內(nèi)，由,2,/3、29，解得y=m，

z4(%+(y-2)=4

所以M點(diǎn)的軌跡方程為/+(y—|)2=*(0<y<I),。錯(cuò)誤.

故選：BC.

根據(jù)圓心在直線上判斷4,根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B,根據(jù)三角形面積公式判斷C,根據(jù)兒

何法求出點(diǎn)M的軌跡方程即可判斷D.

本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

13.【答案】167r

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓柱底面的半徑為R,高為八，

則有爆孔6/解得憶：

所以圓柱的體積V=nR2h=167r.

故答案為：16兀.

根據(jù)題意，設(shè)圓柱底面的半徑為R,高為九，分析可得關(guān)于R、h的方程組，解可得R、h的值，計(jì)

算可得答案.

本題考查圓柱的體積計(jì)算，涉及圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.1答案］—表

【解析】解：因?yàn)橛小?

所以-2sina-cosa=0,

所以tana=—g,

sin2a_2sinacosa_2tana_-1_4

所以2cos2a+35cos2a+3sin2a5+3￡an2a5+3x/23,

故答案為：-之.

由已知結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示得至Utma=-I'然后由曲=5篇:黑Z=缶求解?

本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】丙午

【解析】解：因?yàn)?38+2=(12+1)8+2=128+Cjx127+-+CJx12+3,

所以138+2年以后地支為“午”,

因?yàn)?38+2=(10+3)8+2=1。8+弓x107x3+…+C；x10x37+38+2,

又因?yàn)?'+2=6563,3'+2除以10余數(shù)為3,所以138+2年以后天干為“丙”，

故138+2年以后是丙午年.

故答案為：丙午.

根據(jù)138+2=(12+1"+2和138+2=(10+3)8+2,結(jié)合二項(xiàng)展開式的性質(zhì)及余數(shù)，即可求

解.

本題主要考查了歸納推理，考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.【答案】|

【解析】解：因?yàn)閨居尸2|=6,即2c=6,所以c=3,

因?yàn)辄c(diǎn)Q是以PF?為底的等腰三角形FiPB內(nèi)切圓的圓心，

所以PQ為N&P尸2的角平分線，延長FM交PF2延長線于點(diǎn)N,(\)

ZF1PM=4NPMV

在APFiM與APM/V中，,M=PM,所以△'、J

/PM&=乙PMN=90°--_)

PF[M*PNM,

所以|PQI=|PN|=6,M&=MN,所以M為FiN的中點(diǎn)，又。為F/2的中點(diǎn)，

所以。M為AF/zN的中位線，所以鳥陽=2OM|=2,所以|PFz|=6-2=4,

所以|PF/+仍尸2|=6+4=10=2a,所以a=5,所以e=(=,.

故答案為:卷.

延長FM交PF2延長線于點(diǎn)N,可得PNM,0M為AFiFzN的中位線，從而可得P&=

|PN|=6,IBM=2。”|=2,再由橢圓的定義可求出a的值，由e=?即可求出橢圓的離心率.

本題考查求橢圓的離心率，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.

17.【答案】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛aj的公差為/由條件①得，

3a2+@4=3(即+d)+%+3d=4at+6d=64,即2%+3d=32.

由條件②得，S5=5ali+四丁)。=5al+10d=100,即%+2d=20.

由條件③得，S7=5as+16r可得7%+21d=5(ai+4d)+16,即2%+d=16.

若選①②，則片藍(lán)2,解得林:所以即=4+8何-1)=而-4；

111]十Z.U一乙U,\Cl—O,

若選①③，則H宵1/解得｛建/則即=4+8(n-1)=8n-4；

若選②③，則圖Z，解得傷:'則%=4+8(n-l)=8n-4；

(2)證明：由b—bn_i=an=8n-4(n>2),且瓦=3,

當(dāng)"22時(shí),則bn=瓦+(J)2—瓦)+(匕3—尻)+…+(bn—bn_i)=3+12+20+…+(8n—4),

=3+(8n-4+12)(n-l)=4n2_1,

又瓦=3也滿足b=4/-1,故對任意的n€N*,有％=4/-1.

則上=-1_____=1(-!______1-),

人」既(2n-l)(2n+l)2v2n-l2n+lJ,

所以〃=夕（1…+（七—焉）]=[1一焉）/

由于”=4（i一二彳）是單調(diào)遞增，所以〃2A=：.

綜上,<7^,<1.

【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,先將條件①、條件②、條件③化簡，再分別選①②，

選①③，選②③求解；

1

（2）由匕一b_]=（2=8n-4（幾N2）,且瓦=3,利用累加法求得當(dāng)=4層一1,進(jìn)而得到彳=

nn°n

⑵一晨+】）=右*一焉）,然后利用裂項(xiàng)相消法求解?

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的并項(xiàng)求和、裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想

和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：（1）由題意知，tanB=2tanA,tanC=3tanA,

在4ABC中，tanA=-tan（F+C）=-^anB+^anC

所以tan4=一華喀當(dāng)竺，解得taMA=1,

l-6tan￡A

所以tcmA=-1或tazM=1,

當(dāng)由m4=一1時(shí)，tanB=-2,此時(shí)4B均為鈍角，與4+B+C=TT矛盾，舍去,

所以即

￡Qm4=1,4=74-

(2)由(1)知,tanA=1,

所以tcuiB=2,tanC=3,

11

所以c°sB=I2p=六，c0sC=I=內(nèi),

Jl+tan'8J1+tan'C

所以sizi8=sinC—^==,

a_b

由正弦定理知,■,

sinAsinB

所以。=需=學(xué)=?兒

n

所以SAABC=^absinC=x^-bxbx^====6，解得b=4.

【解析】（1）易知tanB=2tan4tanC=3tanA,由tanA=-tan（B+C）,結(jié)合兩角和的正切公

式展開運(yùn)算，可得tam4=l,從而得解；

(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求解sinB,cosB,sinC,cosC,再利用正弦定理得出a=需，代

入三角形的面積公式，即可求解b的值.

本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握正弦定理，三角形面積公式，兩角和的正切

公式與同角三角函數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)PC的中點(diǎn)為凡連接EF、FD,

因?yàn)椤槔?D的中點(diǎn)，E為棱PB的中

點(diǎn)，

所以EF〃BC,EF=OD//BC,

AB

OD=；BC,

所以O(shè)D〃EF,OD=EF,

即四邊形EFOO為平行四邊形，

所以O(shè)E〃。巴

因?yàn)镺EC平面PC。，DFu平面PC。,

所以O(shè)E〃平面PCD；

(2)取BC的中點(diǎn)M,連接OM,

所以。M1AD,

因?yàn)?。?0中點(diǎn)，PA=PD,

所以P。_L力D,

因?yàn)槠矫鍼/W1平面Z8CD,

所以P。，平面4BCD,

以。為原點(diǎn)，分別以。4、OM、0P所在的直線建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)4O=a(a>0),可得P(0,0,Ca),C(-a,1,0),E《g,?a)，D(-a,0,0),

所以同=次=(-a,1,0)，

設(shè)平面OEC的一個(gè)法向量為五=(x,y,z),

則儼?變=0,

(元?0C=0

axyy/~3azn

即E+E+T=°,

—ax+y=0

令％=1,可得y=Q*=一竽，

所以元=(1,a,-V)，

所以5加=耦=田|=票

解得a=

所以四棱錐P-力BCD的體積為V=長方形ABCOOP=gABXBCXOP=：X1x2口x3=

2<3.

【解析】(1)取PC的中點(diǎn)F,可得四邊形EFD。為平行四邊形，OE//DF,再由線面平行的判定定理

可得答案；

(2)取BC的中點(diǎn)M,可得。MJ.40,POJ_平面4BCD,以。為原點(diǎn)，分別以。4、OM、0P所在的直

線建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)20=a(a>0),求出前、平面OEC的一個(gè)法向量，由線面角的向量

求法可得a,再由棱錐的體積公式可得答案.

本題考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間幾何體的體積公式，屬中檔題.

20.【答案】解：(1)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是甲贏，依題意，最

多再進(jìn)行2局，

當(dāng)X=1時(shí)，甲以3：1贏，可得P(X=1)=*

當(dāng)X=2時(shí)，甲以3：2贏，可得P(X=2)=33=得，

則甲贏的概率為.+磊=得乙贏的概率為1-得=2，

所以P尹：P乙=15：1；

(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行y局乙贏得全部獎(jiǎng)金，則最后一局必然是乙贏，

當(dāng)丫=2時(shí)，乙以4：2贏，可得p(y=2)=(i—p)2,

當(dāng)y=3時(shí)，乙以4：3贏,可得P(3=3)=C加(1一p)2=2p(l-p)2,

所以乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率P(A)=(1-p)2+2P(1-p)2=(1+2p)(l-p)2,

則甲贏得全部獎(jiǎng)金的概率/'(p)=1-(1+2p)(l-p)2,<p<1,

可得f'Q)=-2(1-p)2-(1+2p)?2(1-pX-1)=6P(1-p)>0,

所以函數(shù)/1(p)在亭1)上單調(diào)遞增，

此時(shí)f(P).=居)=翳

則乙贏的概率最大值為1一巖=孤20.0554<0.06,

故事件4是小概率事件.

【解析】(1)由題意，設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行X局甲贏得全部獎(jiǎng)金，最后一局必然是甲贏，最多再進(jìn)行2

局，利用獨(dú)立事件概率求出概率，再求出乙贏得全部獎(jiǎng)金的概率作答.

(2)設(shè)比賽再繼續(xù)進(jìn)行丫局乙扁得全部獎(jiǎng)金，最后一局必然是乙贏，利用獨(dú)立事件概率求出/(p),

并求出函數(shù)最小值，再判斷作答.

本題考查相互獨(dú)立事件的概率公式以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力.

21.【答案】解：(1)因?yàn)閨0M|=|0瑪|=\0F2\,所以乙RM%=90°.

222

則|MFi『+\MF2\=(2c),(|MFi|-|MF2|)+2\MFt\-\MF2\=

2

4a2+2\MFi\-\MF2\=4c,

所以|MF小\MF2\=2b2,

△時(shí)尸1尸2的面積5=，|時(shí)/1|?|時(shí)尸2|=b2=3.

又C的離心率為￡==2'所以a?—1.

a

所以雙曲線C的方程為/—J=1.

(2)①根據(jù)題意?2(2,0)，則直線，：m(x-2)-y=0.

L2_/=1

由3―，得(3—m2)x2+4m2%—4m2—3=0,

y=mx—2m

G

由4L"