2023-2024學(xué)年新疆澤普縣高一年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年新疆澤普縣高一上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.6-1與6+1的等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)分別是（）

A.A±V2B.&C.瓜-&D.73,±2

【正確答案】A

【分析】結(jié)合等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)的定義即可求解.

【詳解】4-1與1+1的等差中項(xiàng)是6T+G+I=A/L

2

6-1與6+1的等比中項(xiàng)是±J（V-1）（6+1）=±0

故選：A

2.已知直線《：《x+（a+2）y+l=0,4：x+ay+2=0,其中awR,則“。=一3”是的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【詳解】直線4的充要條件是a+（a+2）a=0，a（a+3）=0；.a=0或。=一3.故選A.

3.設(shè)x、＞eR,向量a=A=c=（3,-6,3）且q_L3，bile，則,+目=（）

A.2&B.2+C.4D.3

【正確答案】D

【分析】利用空間向量垂直與共線的坐標(biāo)表示求出x、y的值，求出向量a+6的坐標(biāo)，利用

空間向量的模長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閍J_c，則〃-c=3x-6+3=0,解得x=1,則a=（l』,l）,

因?yàn)閎//c，則!=2,解得y=-2,即6=（1,—2,1）,

3—6

所以，。+/?=（2,-1,2）,因此，,+0=J4+1+4=3.

故選：D.

4.等差數(shù)列｛q,｝的前”項(xiàng)和S“，%=3,SU=66,則S9=（）

A.9B.12C.30D.45

【正確答案】D

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前”項(xiàng)和公式求得知,然后再由前〃項(xiàng)和公式結(jié)合等差數(shù)

列的性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】｛凡｝是等差數(shù)列，

S”=11牝=66,a=6,d=—~—=1,

66—3

an=3+（〃-3）xl=〃,%=5,

S,)=9a5=9x5=45.

故選：D.

5.。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸為拋物線C：/=8x的焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)、,若1“尸1=8,則AWO產(chǎn)的

面積為（）

A.4白B.372C.8D.373

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)定義求出點(diǎn)用的橫坐標(biāo)，將其代入拋物線方程，求出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，進(jìn)而

求出面積.

【詳解】由y2=8x可得拋物線的焦點(diǎn)F（2,。），準(zhǔn)線方程為x=-2,

由拋物線焦半徑公式知=+y=X,?+2=8=>XM=6,

將x=6代入=8x,可得y=±45/3，

所以AWO廠的面積為g|y|.OF=gx4Gx2=45^,

故選：A.

6.已知."C的周長(zhǎng)為20,且頂點(diǎn)5（0,T）,C（0,4）,則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（）

X—

A.=l(xw0)B.=l(xw0)C.-----F——=l(xw0)D.

36206202036

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件及楠圓定義求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】錯(cuò)解：

?；△ABC的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)B(0,-4),C(0,4),

，|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,

V12>8,

???點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

點(diǎn)4的軌跡是橢圓，

a=6,c—4,

AZ?2=20,

???橢圓的方程是蘭+片=1

2036

故選：D.

錯(cuò)因：

忽略了A、B、C三點(diǎn)不共線這一隱含條件.

正解：

???△A8C的周長(zhǎng)為20,頂點(diǎn)8(0,-4),C(0,4),

.?.|BC|=8,|A8|+|AC]=20—8=12,

V12>8,

.?.點(diǎn)A到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定值，

.,.點(diǎn)A的軌跡是橢圓，

\"a=6,c=4,

.'.b2—20,

二橢圓的方程是-+^-=1(x^0)

2036

故選：B.

7.圓C：(x-l)2+V=4的點(diǎn)到直線y=-3的距離的最大值是()

A.1B.3C.5D.6

【正確答案】C

【分析】根據(jù)圓上一點(diǎn)到直線的最大距離為圓心到直線的距離加上半徑即可求出結(jié)果.

【詳解】解：己知圓C：(X-1)2+/=4,圓心C(l,0),半徑/?=2,

圓心至U直線y=-3的距離d=0—(—3)=3,

所以圓上的點(diǎn)到直線y=-3的距離的最大值是2+3=5,

故選：C.

8.如圖在平行六面體ABCQ-ABCQ中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA,=2

且NAAO=NA4B=60。，則AC,=()

【正確答案】B

先求出A"，AD''AA,?AB-AD，AB■AA,,AD-AA］，再計(jì)算|Ag|即可.

【詳解】解：因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱AA=2且NAAD=NAAB=60。,

則A啟1I，AD=1'"：=4，ABAD=O>AB-

=|AB|-|A4I|-COSZS41AB=1,

ADAA1=|AD|-|Ml|-cosZ4AZ)=l,

則Ml

=\AB+AD+AAt\

=J(AB+AZ>+A41y

=yjAB'+AD+AA,'+2AB-A4,+2AB-AD+2AD-A4,

=71+1+4+2+0+2

=A/TO

故選：B.

本題考查向量的數(shù)量積，向量的模的計(jì)算公式，是中檔題.

二、多選題

9.已知等差數(shù)列11,8,5,貝IJ()

A.公差d=-3B.該數(shù)列的通項(xiàng)公式為4=-3〃+16

C.數(shù)列前10項(xiàng)和為-25D.-49是該數(shù)列的第21項(xiàng)

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，求出公差和通項(xiàng)公式，再利用前"項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】由題意可知:4=11,"=8-11=-3；

二〃“=11+(〃-1)x(-3)=-3〃+14；

.。(ll-3n+14)/?25M-3n2

,?3”=—?

"22

.。250-300M

??5io=-------=-25；

由一3〃+14=T9,得〃=21.

故選：ACD.

10.已知雙曲線￡-[=1(。＞0)的左焦點(diǎn)耳與拋物線丁=-4缶的焦點(diǎn)重合，居是雙曲線

a3

的右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=l

B.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4

C.雙曲線的離心率為2

D.P為雙曲線上一點(diǎn)若歸耳|=不則|「用=5

【正確答案】BD

【分析】由拋物線方程得準(zhǔn)線方程，得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得參

數(shù)”，得實(shí)軸長(zhǎng)和離心率，由雙曲線定義可求得點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離歸月|.

【詳解】解：對(duì)于A,拋物線y2=-4，x的準(zhǔn)線方程是x=",A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B,拋物線y2=-4"x的焦點(diǎn)是(-J7,0),所以耳(一近,0),F,幣,0),c=出,

在雙曲線中/=/+〃，則片+3=7,解得。=2或a=—2(舍去)，

所以，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C,雙曲線的離心率e=￡=也，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a2

對(duì)于D,由雙曲線定義11mHp司=2〃，即|-|尸周=4,

171

解得「用=?或|「用=[<6-2（舍去），D選項(xiàng)正確；

故選：BD.

11.已知直線/：x+2陽(yáng)+1=0,圓E：/+y2=3,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.直線/必過(guò)點(diǎn)（1,0）

B.直線/與圓￡必相交

C.圓心E到直線/的距離的最大值為1

D.當(dāng)〃?=；時(shí)，直線/被圓E截得的弦長(zhǎng)為加

【正確答案】BC

【分析】利用直線和圓的相關(guān)性質(zhì)求解即可.

【詳解】易知直線/必過(guò)點(diǎn)故A錯(cuò)誤；

點(diǎn)（-1,0）在圓E內(nèi)，所以直線/與圓E必相交，故B正確；

111

圓心灰。0）到直線）的距離2=/",，當(dāng)，〃=0時(shí)距離取最大值1,故c正確;

,1+4"/

當(dāng)m時(shí)，直線/：x+y+l=0,則直線/被圓E截得的弦長(zhǎng)為2卜-（五L下）=屈,故

D錯(cuò)誤.

故選：BC

12.已知正方體ABCD-ABCA,棱長(zhǎng)為1,E,尸分別為棱A8,CG的中點(diǎn)，則（）

A.直線AR與直線E尸共面B.\ELAF

C.直線AE與直線所的所成角為60°D.三棱錐G-A。尸的體積為上

【正確答案】BD

【分析】如圖，以。為原點(diǎn)，以DACCOq所在直線分別為x,y,z建立空間直角坐標(biāo)系，

對(duì)于A,利用面面平行性質(zhì)結(jié)合平行公理分析判斷，對(duì)于B,通過(guò)計(jì)算AbAF進(jìn)行判斷,

對(duì)于C,利用向量的夾角公式求解，對(duì)于D,利用匕,一心「=VA-CJDF求解.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，以。AOCOR所在直線分別為x，y，z建立空間直角坐標(biāo)系,

則

0(0,0,0),4(1,0,0),B(l,1,0),C(0,1,0),D,(0,0,1),Ad,0,1),B,(1,1,1),C,(0,1,1),

對(duì)于A,假設(shè)直線AR與直線EF共面，因?yàn)槠矫妗ㄆ矫鍻CGR,平面AEFR、|平

面ABB,At=AE,平面OCCQ0平面488M=%尸，

所以AE〃RF,

因?yàn)锳E〃GR，所以GR〃〃E，矛盾，所以直線與直線EF不共面，所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)?

]]

所以AE4尸=0+萬(wàn)一5=0,所以AELAF,所以AELA尸，所以B正確，

對(duì)于C,設(shè)直線AE與直線斯的所成角為凡因?yàn)?七=(0,；,-1),8/

1

A.EBF21

所以cos。=k°s(AE8F)卜2=一豐一

52

A}E\\BF

所以。工60%所以C錯(cuò)誤,

對(duì)于D,因?yàn)?)，平面OCG2,

所以Vci=%-cm=gsG*AO=gxgx；xlxl=、,所以D正確,

故選：BD.

三、填空題

13.設(shè)數(shù)列｛勺｝的首項(xiàng)4=-7,且滿足qm=”“+2(“eN),則

67|+/+??*+67=.

【正確答案】153

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可得數(shù)列也｝為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前八項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)%=4,+2得到數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)4=-7,公差"=%-4=2的等差數(shù)列

則%+%+…+%=17X(-7)+U*X2=153.

故153.

14.已知圓C的圓心是直線x-y+l=O與>軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+l=O相切，則圓

C的方程為.

【正確答案】x2+(y-l)2=2

【分析】求出圓心的坐標(biāo)以及圓C的半徑，即可得出圓C的方程.

【詳解】在直線x—y+l=O方程中，令x=0,可得y=l,故圓心為C(O,1),

所以，圓C的半徑為「=1勺=應(yīng).

因此，圓C的方程為x?+(y—1)2=2.

故答案為.丁+(>-1)2=2

15.過(guò)雙曲線V-y2=l的一個(gè)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于P,Q

兩點(diǎn)，則|PQ|=.

【正確答案】2立

【分析】由題意可知曲線為等軸雙曲線，結(jié)合等軸雙曲線的性質(zhì)可得答案.

【詳解】由題意可知，?=1,b=\,c=&,雙曲線是等軸雙曲線，則兩條漸近線的夾角

是90。，因?yàn)樵谥苯侨切沃?，斜邊中線是斜邊一半，故|PQ|=2亞.

故2近

16.楊輝三角，是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列.在歐洲，這個(gè)表叫做帕斯卡三角

形.帕斯卡(1623-1662)是在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的，比楊輝要遲393年，比賈憲遲600

年.這是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的又一個(gè)偉大成就.其實(shí)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中

處于遙遙領(lǐng)先的地位.中國(guó)古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是

十分精彩的一頁(yè).下圖的表在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里

就出現(xiàn)了.該表中，從上到下，第”行所有不同數(shù)的個(gè)數(shù)記為%,比如4=1,%=2,則數(shù)

列｛??｝的前10項(xiàng)和為

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行

第6行1615201561

【正確答案】35

【分析】利用列舉法列舉數(shù)列的前10項(xiàng)，然后求和.

【詳解】容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛q｝的各項(xiàng)為：1,2,2,3,3,4,4,5,5...,故｛。“｝的前10項(xiàng)

和為(1+2++5)+(2+3++6)=35.

故35

四、解答題

17.求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(T,0)的等軸雙曲線；

(2)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，焦距為4,且它的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2百).

【正確答案】(1)三-上=1

88

29

【分析】(1)設(shè)等軸雙曲線的方程為二-3=l(a>0),根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)求出。的值,

即可得出雙曲線的方程；

(2)求出“、b的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】(1)解:設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-4=l(a>0),則c=缶=4，可得a=2&，

a~a~

因此，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為右一《=1.

88

22

(2)解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡+表■=1(〃>匕>0),貝Ijc、=2,b=2C，,-.a=^b2+c2=4>

因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為目+*=1.

1612

18.已知拋物線丁=2*(〃>0)的焦點(diǎn)為尸(2,0).

(1)求。.

(2)斜率為1的直線過(guò)點(diǎn)產(chǎn)，且與拋物線交于AB兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

【正確答案】(1)4；(2)16.

(1)由題可得￡=2,即可求出P；

2

(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長(zhǎng)公式可求出.

【詳解】(1)尸(2,0),則由拋物線性質(zhì)得5=2,

P=4,y2=Sx,

即C的標(biāo)準(zhǔn)方程是)，2=8北

(2)由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為-2,0),

，/的方程為y=x-2,A(X|,yJ,8(w，%)，

.V=8xnx2_]2x+4=0,

y=x-2

%1+x2=12,x}x2=4,

A|AB|=+-引="V122-4X4=16.

綜上所述，線段AB的長(zhǎng)度為16.

方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的常用步驟：

(1)得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為4("X),B5,必)；

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；

（3）寫(xiě)出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為內(nèi)+%,X也形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

19.在等比數(shù)列｛q｝中，

13

（1）已知4=3,=—,求〃9；

（2）已知4=6,64+為=30,求q+〃3+%++%.

【正確答案】（1）%=2187

（2）當(dāng)［=2時(shí),q+〃3+....+Q99=21（K）-1;當(dāng)4=3時(shí),弓十/+....+=――^-^=-——

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到4=；,再根據(jù)%=6■求解即可.

（2）首先根據(jù)題意得到4=2或q=3,再分別求和即可.

13

【詳解】（1）因?yàn)?3=4+。2+%=耳，4=3,

131

所以4+34+9囚=不，解得

所以％=〃/=卜38=2187.

(2)%=6,6a]+673=30,所以*+44=3。,即/一5q+6=0,解得夕=2或q=3.

當(dāng)4=2時(shí)，《=3,

所以4]+/+....+。99=-~=4'°—1=2IIK,—1?

當(dāng)g=3時(shí)，4=2,

2(1-9W)3|00-1

所以4+/+....+。90=

1-94

20.如圖，己知四棱錐P-A8CD的底面ABC。是正方形，側(cè)棱PD,底面ABC。，PD=DC,

E是PC的中點(diǎn).

p

c

A乜

B

（1）證明：PA//平面BDE；

（2）求平面8DE與平面DEC所成角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵當(dāng)

【分析】（D（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】（1）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,DC,￡>P所在直線為x,y,z軸建立空間直

角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=2,則A（2,0,0）,尸（0,0,2）,￡（0,1,1）,3（2,2,0）,

?1.PA=（2,0,-2）,DB=（.2,2,0）,DE=（0,1,1）,

設(shè)q=（x,y,z）是平面的一個(gè)法向量,

"i-DE=0y+z=0

則由，,得

嗎。3=02x+2y=0

PA/ij=2—2=0,

PA.Lny,

又平面5。石，「.RV/平面瓦汨.

（2）由（1）知“=（1,一1』）是平面BDE的一個(gè)法向量,

又%=D4=(2,0,0)是平面DEC的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角B-OE-C的平面角為6,由圖可知二面角B-OE-C為銳二面角，

1

cos^=|cos<>|="I=~y3一=—,即二面角8—DE—C的余弦值為.

1|?n,|■|n,|V3x233

21.在①S“=1+2〃；②的=5,%+“5=18；③卬=3,56=48這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)

充在下面問(wèn)題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.

問(wèn)題：已知S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

4,、

(2)設(shè)“=門(mén)(〃6N,),求數(shù)歹IJ｛〃｝的前n項(xiàng)和T?.

a”

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【正確答案】⑴4=2〃+1

⑵

〃+1

【分析】(1)選①由”“與S”的關(guān)系求解即可；選②③由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求

解即可；

(2)由(1)可得-一]，利用裂項(xiàng)相消法求解即可

nn+\

【詳解】(1)若選①：在等差數(shù)列｛〃〃｝中，4=岳=3,

當(dāng)2時(shí)，an=S“-S〃_]="+2〃一(〃一I)之一2(〃-1)=2九+1,

%也符合，

=2〃+1；

若選②：在等差數(shù)列｛4｝中，

=5

[%+%二]8，

(4+d=5[a=3

向解得:0

[2。]+6〃=18[a=2

/.an=4=3+2（〃-l）=2〃+l；

若選③：在等差數(shù)列｛q｝中,

4=3

4=3

6x5，解得

S6=6q+《-d=48d=2

=4+（/2—l）d=3+2（〃—1）=2