廣西“貴百河”2023-2024學年高二年級上冊12月新高考月考測試數(shù)學試題

2022級“貴百河”12月高二年級新高考月考測試

數(shù)學

（考試時間：120分鐘滿分：150分）

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.已知集合4={%]—2＜尤＜4},8={3,4,5},貝乂砥人）B=（）

A.{2}B.{4,5}C.{3,4}

2.已知復數(shù)z滿足z（l—i）=3+i,則復數(shù)z的虛部為（）

A.—2iB.2iC.—2

3.雙曲線2爐—y2=8的漸近線方程是（）

A.y=B.y=±2xC.y=±gx

4.如圖，已知三棱錐O—ABC中，點分別為A3,OC的中點，且。4=Q,OB=Z?,OC=C,則=

（）

A.—+c-a)B.++C.—-Z?+c)D.-+b-c

5.在棱長為a的正方體ABC。-AgG2中，向量BA與向量AC所成的角為（）

A.60°B.150°C.120°D.90°

6.已知命題夕：方程」一+」一=l表示焦點在y軸上的橢圓，則使命題夕成立的充分不必要條件可以是

5—mm—l

（）

A.4<m<5B.3<m<5C.1<m<5D.m>1

7.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系

統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先

進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量N（mg/L）與時間/的關(guān)系N=Noe-h（No為

最初污染物數(shù)量）.如果前3個小時消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%還要（）

A.2.6小時B.3小時C.4小時D.6小時

8.若曲線C上存在點使M到平面內(nèi)兩點4（—5,0）,3（5,0）距離之差的絕對值為8,則稱曲線C為“好

曲線”，以下曲線不是“好曲線”的是（）

22

A.X2+y2-9B.x+y=5C.—+—=1D.x2=16y

259

二、多選題：共4小題，每小題5分，共20分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要

求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分.

9.對于拋物線/=8y,下列描述正確的是（）

A.開口向上，焦點為（0,2）B.焦點到準線的距離為4

C.開口向上，焦點為（0,,]D.準線方程為y=—4

10.已知函數(shù)=gsin2x+#cos2x,則(

)

A.函數(shù)的最小正周期為萬

jr

B.將函數(shù)/（x）的圖象向右平移1個單位后的圖象關(guān)于y軸對稱

C.函數(shù)/'（x）的一個對稱中心為反oj

/、（7171、

D.函數(shù)“X）在區(qū)間石,耳上單調(diào)遞減

11.為了考查某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作

為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值可以為（）

A.9B.10C.11D.12

12.已知a=log3e,、=log23,c=ln3,則()

A.a<c<bB.a<b<cC.a+c>bD.a+c<b

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.若兩條直線依+2y—1=0與3x—6y—1=0互相垂直，則a的值為.

14.圓心為（—1,0）,且過點（1,1）的圓的方程是.

22

15.已知橢圓C:，+[=l（a〉5〉0）的左、右焦點分別為耳,工，過歹2作x軸的垂線，交橢圓于點尸，

ab

3

若直線尸片的斜率為一，則橢圓。的離心率為.

4

16.已知函數(shù)定義域為（0,+00）]⑴=6,對任意的%1，%2￡（°，+00），當％2>%1時，有

’（不）—>￡1—e（e是自然對數(shù)的底）.若/（lna）>2e—alna,則實數(shù)a的取值范圍是.

中2X1X2

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本題10分）如圖，在四棱錐尸―ABCD中，底面ABCD為正方形，Q4J_平面ABCD,QA=AD=2,E

為依的中點，尸為AC與應(yīng)）的交點.

（1）證明：EF〃平面PCD；

（2）求三棱錐石-AM的體積.

18.（本題12分）已知/XABC的內(nèi)角ABC所對的邊分別為a,。,c,且滿足（〃—。了=〃—6c.

（1）求角A的大??；

（2）若a=2,sinC=2sinB,求ZkABC的面積.

19.（本題12分）已知直線/:x—ay—2=0,aeR.

（1）求證：直線/與圓x2+y2=4恒有公共點；

（2）若直線/與圓心為C的圓（x—a）2+（y—1）2=4相交于A3兩點，且“3。為直角三角形，求”的

值.

20.（本題12分）甲、乙兩人玩一個摸球猜猜的游戲，規(guī)則如下：一個袋子中有4個大小和質(zhì)地完全相同的小

球，其中2個紅球，2個白球，甲采取不放回方式從中依次隨機地取出2個球，然后讓乙猜.若乙猜出的結(jié)果

與摸出的2個球特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝，一輪游戲結(jié)束，然后進行下一輪（每輪游戲都由甲摸球）.乙

所要猜的方案從以下兩種猜法中選擇一種：

猜法一：猜“第二次取出的球是紅球”；

猜法二：猜”兩次取出球的顏色不同”.請回答：

（1）如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜法，并說明理由：

（2）假定每輪游戲結(jié)果相互獨立，規(guī)定有人首先獲勝兩次則為游戲獲勝方，且整個游戲停止.若乙按照（1）

中的選擇猜法進行游戲，求乙獲得游戲勝利的概率.

21.（本題12分）如圖，已知點耳（—1,0）,圓工：（%-1）2+/=16,點。在圓歹2上運動，。耳的垂直平分

線交。馬于點P.

（1）求動點尸的軌跡C的方程；

（2）直線/與曲線C交于M、N兩點，且肱V中點為（1,1）,求直線/的方程及的面積.

22.（本題12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，ZkE4c是正三角形，AC，3cAe=3C=2,。是的

中點.

（1）證明：AC±PD；

（2）若二面角尸-AC-￡＞為150。，求直線3c與平面所成角的正弦值.

2022級“貴百河”12月高二年級新高考月考測試

數(shù)學參考答案

一、單選題：1.B2.D3.C4.D5.C6.A7.B8.A

二、多選題：9.AB10.AD11.BC12.AC

三、填空題：

13.414.（%+1）?+y?=515.—16.（l,e）

16.（l,e）解：因為函數(shù)/（x）定義域為（0,+oo）,且對任意的項,％2￡（°，內(nèi)），

當％沖時，有人）

Xi%X1X2

所以對任意的％1，為2e（°，+°°），當％2〉》1時，有/（%）+玉6%>/（%2）+%26也，

令/（X）=f（x）+xex,

即為尸a）>尸（/），所以函數(shù)R（無）是（o,+。。）上的減函數(shù)，

由/（lna）>2e-alna,得/（lna）+alna>2e,且/⑴=e,則歹⑴=2e,

所以尸（lna）>F（l）,

因此由函數(shù)歹（%）是（0,+co）上的減函數(shù)得0<Ina<1,解得1<a<e,

則實數(shù)a的取值范圍是（l,e）.故答案為：（l,e）.

四、解答題：

17.（10分）解：（1）證明：四邊形A3CD為正方形，方為AC與應(yīng)）的交點,

.?.歹是應(yīng)）的中點，

又E是PB的中點，：.EF〃PD,

又EF（Z平面PCD,PDu平面PCD,

〃平面PCD.

（2）Q4L平面A3CD,E是？B的中點，

.,.石到平面A3CD的距離d=^PA=1,

2

四邊形ABCD是正方形，AD=2,:.S&BF=gS正方形ABCD=1，

.?.三棱錐石—AM的體積VngSoBF.dngxlxlng.

18.（12分）解：（1）因為（。一c）2="一反可得：b?+c?-a2=be,

72.22i

由余弦定理可得，cosA=——二巳=—,

2bc2

又Aw（0,，所以A=g；

（2）由sinC=2sinB可得。=2〃，

由余弦定理知：a23=b2+c2-2Z?ccosA，

4=b2+4b2-2b-2bx-,

2

解得與

c223323

19.（12分）解：（1）因為圓/+丁=4的圓心為o（o,o）,半徑為廠=2,

2

所以圓心。到直線I的距離d=..

又因為&+為＞1,所以一/W2,即d4r.

Vl+tz2

所以直線/與圓k+V=4相交或相切，即恒有公共點.

（2）由圓。：（工一。）2+（丁—1）2=4得，圓心C（a,l）,半徑為2.

因為/與圓C相交于A8兩點，且人記。是直角三角形，

所以|=yj\CAf+\CBf=272.

所以圓心C到直線I的距離為=I、=^2,解得a=±1.

Jl+a"

20.（12分）解：（1）用。力表示兩個紅球，用1,2表示兩個白球，甲不放回取兩球的所有結(jié)果：

ab,ba,al,la,a2,2a,bl,lb,b2,2Z，,12,21,共12個不同結(jié)果，它們等可能，令事件A為“第二次取出的是紅

球”，則事件A所含結(jié)果有：ab,ba,la,2a,lb,2b,共6個，令事件8為“兩次取出球的顏色不同”,則事

件8所含結(jié)果有：al,la,a2,2a,bl,lb,b2,2b,共8個，

于是得P（A）=9=：,P（B）=§=￡,顯然，為了盡可能獲勝，應(yīng)該選擇猜法二.

12112r323

2

（2）由（1）知，乙選擇猜法二，每一輪乙獲勝的概率為尸=—

3

游戲結(jié)束時，乙獲勝的事件M是乙在第一二輪勝的事件第一輪負另外兩輪勝的事件知2,第二輪負另

外兩輪勝的事件河3的和，它們互斥，

2212221220

于是得尸（加）=尸（陷+“2+此）=尸（收）+尸（河2）+尸（此）=釬.+十尸公+?小公=而

所以乙獲得游戲勝利的概率是竺

27

21.（12分）解：（1）圓月：（x—1）2+產(chǎn)=16的圓心鳥（1,0）,半徑廠=4,

由Q耳的垂直平分線交于點。，得歸耳|=忸以，

叫尸盟+歸閶=|尸以+忸局=|。閶=4>閨閶=2，

因此的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，則半焦距,短半軸長22

PFVF22a4a=2,c=16=y/a-c

所以點尸的軌跡C的方程為：工+工=1.

43

3x：+4y；=12

（2）設(shè)曲線C3+1-=l上的點M（X［，X）,N（X2，%>即有4

3君+4y；=12

兩式相減得%而中點為即玉+々=

=0,（U）,2,%+%=2,

于是:聲=—I,即直線/的斜率為一：，直線/的方程為V—1=-：（x—1），即3x+4y—7=0,

顯然點（1,1）在橢圓內(nèi)，即直線3x+4y-7=0與橢圓必相交于兩點，符合題意,

所以直線/的方程為3x+4y—7=0；

3x+4y—7=01

由<3242J2消去》得：21%92-42x+l=0,則芯+9=2,%々=五

x|=，(％1+%2)2—=J"g=，

%一2嚕

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點F1到直線l的距離d=/02=2，所以4EMN的面積SAF