第09講幾何初步及三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）（原卷版）

第09講幾何初步及三角形（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【考綱要求】1.了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實際問題；2.了解角的概念和表示方法，會把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計算；3.掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點、性質(zhì)和判定；4.了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題；5.了解三角形有關(guān)概念（內(nèi)角、外角、中線、高、角平分線），會畫出任意三角形的角平分線、中線和高，了解三角形的穩(wěn)定性.【知識導(dǎo)圖】【考點梳理】考點一、直線、射線和線段1．直線代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義).2．射線直線上一點和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.

3.線段直線上兩點和它們之間的部分叫做線段，兩個點叫做線段的端點.考點二、角1．角的概念：(1)定義一：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點叫做角的頂點，兩條射線分別叫做角的邊(2)定義二：一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面部分是角的內(nèi)部，射線的端點是角的頂點，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.

2．角的平分線：如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.考點三、相交線1．對頂角(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點，而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩個角叫對頂角.(2)性質(zhì)：對頂角相等2．鄰補(bǔ)角(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補(bǔ)角.(2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).3．垂線（1）定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線是互相垂直的，它們的交點叫做垂足.垂直用符號“⊥”來表示4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個角，簡稱三線八角，如圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、∠2和∠6是同旁內(nèi)角.(2)特點：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線(被截線)上.

考點四、平行線平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”來表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.2．平行公理及推論：(1)經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：如果b∥a，c∥a，那么b∥c3．性質(zhì)：(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；(2)兩直線平行，同位角相等；(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：若b∥c，b⊥a，則c⊥a4．判定方法：(1)定義；(2)平行公理的的推論；(3)同位角相等，兩直線平行；(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；(5)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.考點五、命題、定理、證明1．命題：(1)定義：判斷一件事情的語句叫命題.(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題；(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；(4)命題的分類：真命題和假命題；(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).2．公理、定理：(1)公理：人們在長期實踐中總結(jié)出來的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理(2)定理：經(jīng)過推理證實的真命題叫做定理.3．證明：用推理的方法證實命題正確性的過程叫做證明考點六、三角形的概念及其性質(zhì)1．三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.2．三角形的分類(1)按邊分類：(2)按角分類：3．三角形的內(nèi)角和外角(1)三角形的內(nèi)角和等于180°.(2)三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.4．三角形三邊之間的關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.5．三角形內(nèi)角與對邊對應(yīng)關(guān)系在同一個三角形內(nèi)，大邊對大角，大角對大邊；在同一三角形中，等邊對等角，等角對等邊.6．三角形具有穩(wěn)定性.考點七、三角形的“四心”和中位線三角形中的四條特殊的線段是：高線、角平分線、中線、中位線.1．內(nèi)心：三角形角平分線的交點，是三角形內(nèi)切圓的圓心，它到各邊的距離相等.2．外心：三角形三邊垂直平分線的交點，是三角形外接圓的圓心，它到三個頂點的距離相等.3．重心：三角形三條中線的交點，它到每個頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.4．垂心：三角形三條高線的交點.5．三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段是三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.【典型例題】題型一、幾何初步例1．判斷下列語句是不是命題①延長線段AB()．②兩條直線相交，只有一交點()．③畫線段AB的中點()．④若|x|=2，則x=2()．⑤角平分線是一條射線()．【變式】命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等.其中假命題有()A.1個B.2個C.3個D.4個題型二、三角形例2．四邊形ABCD是任意四邊形，AC與BD交點O．求證：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）．證明：在△OAB中有OA+OB＞AB在△OAD中有，在△ODC中有，在△中有，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA即：，即：AC+BD＞（AB+BC+CD+DA）【變式】例3．如圖，將第一個圖（圖①）所示的正三角形連結(jié)各邊中點進(jìn)行分割，得到第二個圖（圖②）；再將第二個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，得到第三個圖（圖③）；再將第三個圖中最中間的小正三角形按同樣的方式進(jìn)行分割，……，則得到的第五個圖中，共有________個正三角形．

【變式】一個三角形的內(nèi)心在它的一條高線上，則這個三角形一定是()．A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形例4．到三角形三個頂點距離相等的點是三角形()的交點．A.三個內(nèi)角平分線B.三邊垂直平分線C.三條中線D.三條高【變式】題型三、綜合運用例5．如圖：已知，△ABC中，∠A=50°(1)如圖(1)，點O是∠ABC和∠ACB的平分線交點，則∠BOC=_____；(2)如圖(2)，點P是∠ABC和外角∠ACE的平分線交點，則∠BPC=____；(3)如圖(3)，點M是外角∠BCE和∠CBF的平分線交點，則∠BMC=____.例6．探索在如圖-1至圖-3中，△ABC的面積為a.(1)如圖-1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連結(jié)DA，若△ACD的面積為S1，則S1=____(用含a的代數(shù)式表示)；(2)如圖-2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連結(jié)DE，若△DEC的面積為S2，則S2=____(用含a的代數(shù)式表示)，并寫出理由；(3)在圖-2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連結(jié)FD，F(xiàn)E，得到△DEF(如圖-3)，若陰影部分的面積為S3，則S3=____(用含a的代數(shù)式表示)；（4）像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點，得到△DEF(如圖-3)，此時，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次，可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的____倍．【變式】去年在面積為10m2的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把△ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展，第一次由△ABC擴(kuò)展成△DEF，第二次由△DEF擴(kuò)展成△MGH(如圖)，求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域(即陰影部分)面積共為多少m2？【中考過關(guān)真題練】一．選擇題（共1小題）1．（2014?上海）如圖，已知直線a、b被直線c所截，那么∠1的同位角是（）A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5二．填空題（共4小題）2．（2021?上海）70°的余角是．3．（2019?上海）如圖，已知直線l1∥l2，含30°角的三角板的直角頂點C在l1上，30°角的頂點A在l2上，如果邊AB與l1的交點D是AB的中點，那么∠1＝度．4．（2019?上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，點D、D1分別在邊AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的長是．5．（2016?上海）在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，那么△ADE的面積與△ABC的面積的比是．【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一．選擇題（共5小題）1．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）下列命題中，真命題是（）A．周長相等的銳角三角形都全等 B．周長相等的直角三角形都全等 C．周長相等的鈍角三角形都全等 D．周長相等的等腰直角三角形都全等2．（2020?浦東新區(qū)三模）已知長方體ABCD﹣EFGH如圖所示，那么下列各條棱中與棱GC平行的是（）A．棱EA B．棱AB C．棱GH D．棱GF3．（2022?奉賢區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，點D在邊AB的延長線上，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠DBE的度數(shù)為（）A．60° B．65° C．70° D．75°4．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點為點P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA交于點M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（）A．62° B．56° C．52° D．46°5．（2021?浦東新區(qū)模擬）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它們的兩個直角頂點重合，兩條斜邊平行（如圖所示），那么∠1的度數(shù)是（）A．75° B．90° C．100° D．105°二．填空題（共27小題）6．（2019?浦東新區(qū)二模）已知一個角的度數(shù)為50度，那么這個角的補(bǔ)角等于．7．（2022?徐匯區(qū)二模）如圖，已知AE∥BD，∠1＝120°，∠2＝30°，那么∠C的度數(shù)為．8．（2022?金山區(qū)二模）2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），如圖的弦圖中大正方形邊長為4，每個直角三角形較小的銳角為30°，那么小正方形面積為．9．（2022?普陀區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在邊BC上，AD＝BD，如果∠DAC＝102°，那么∠BAD＝度．10．（2022?寶山區(qū)二模）如果一個等腰直角三角形的面積是1，那么它的周長是．11．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，已知AD⊥BC，垂足為D，BD＝2CD．若E是AD的中點，則＝．12．（2022?金山區(qū)校級模擬）已知正三角形ABC的半徑為4，那么正三角形ABC的面積為．13．（2022?松江區(qū)校級模擬）如果一個等腰直角三角形的面積是5，那它的直角邊長是．14．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知AB∥DE，如果∠ABC＝70°，∠CDE＝147°，那么∠BCD＝°．15．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，點B、C、D在同一直線上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝35°，那么∠A＝．16．（2022?楊浦區(qū)三模）新定義：如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底．如圖，△ABC是等高底三角形，BC是等底，點A關(guān)于直線BC的對稱點是點A′，聯(lián)結(jié)AA′，如果點B是△AA′C的重心，那么的值是．17．（2022?崇明區(qū)二模）如果三角形一條邊上的中線恰好等于這條邊的長，那么我們稱這個三角形為“勻稱三角形”．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，若Rt△ABC是“勻稱三角形”，那么BC：AC：AB＝．18．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知三根長度相等的木棍，現(xiàn)將木棍AB垂直立于水平的地面上，把木棍CD斜釘在木棍AB上，點D是木棍AB的中點，再把木棍EF斜釘在木棍CD上，點F是木棍CD的中點，如果A、C、E在一條直線上，那么的值為．19．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，直線l1∥l2，點A在直線l1上，點B在直線l2上，AC＝BC，BD＝CD，∠C＝30°，則∠1＝．20．（2022?黃浦區(qū)校級二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝6，點E在邊AB上且AE＝2BE，點F在邊BC上，過點F作EF的垂線交射線AC于點G，當(dāng)Rt△EFG的一條直角邊與△ABC的一邊平行時，則AG＝．21．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，四個白色全等直角三角形與四個黑色全等三角形按如圖所示方式擺放成“風(fēng)車”型，且黑色三角形的頂點E、F、G、H分別在白色直角三角形的斜邊上，已知∠ABO＝90°，OB＝3，AB＝4，若點A、E、D在同一直線上，則OE的長為．22．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，將一個裝有水的杯子傾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一個寬BC＝6厘米，長CD＝16厘米的矩形．當(dāng)水面觸到杯口邊緣時，邊CD恰有一半露出水面，那么此時水面高度是厘米．23．（2022?上海模擬）如圖是四邊形紙片ABCD，已知AD∥BC，∠B＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝5，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上．如果沿CE、FG將紙片剪開后，所得的四個部分的面積全部相等，那么線段CF的長為．24．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，點B、C、D在同一條直線上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝°．25．（2022?嘉定區(qū)二模）我們把兩個三角形的重心之間的距離叫做重心距．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD是△ABC中邊AB上的高，如果BC＝6，那么△ADC和△BCD的重心距是．26．（2022?徐匯區(qū)模擬）已知：P為△ABC的重心，連接BP并延長，交AC于點D．設(shè)＝、＝，則＝.（請用含、的式子表示）．27．（2022?寶山區(qū)模擬）已知△ABC的兩條中線BD、CE相交于點P，PE＝2，那么CP的長為．28．（2022?徐匯區(qū)校級模擬）如圖，在直角坐標(biāo)系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB與CD交于點P，若∠APC＝45°，則A點坐標(biāo)為．29．（2022?寶山區(qū)模擬）已知點G是△ABC的重心，設(shè)＝，＝，那么向量用向量、表示為．30．（2022?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，AB、AC都是圓O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分別為M、N，如果MN＝3，那么BC＝．31．（2022?閔行區(qū)二模）如圖，點G為等腰△ABC的重心，AC＝BC，如果以2為半徑的⊙G分別與AC、BC相切，且CG＝，那么AB的長為．32．（2022?長寧區(qū)模擬）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜邊AB＝10，則它的周長等于．三．解答題（共6小題）33．（2022?崇明區(qū)二模）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點F，連接BF．（1）求證：△ABF≌△EAD；（2）如果BE2＝AB?EF，求證：∠ECF＝∠BAE．34．（2022?黃浦區(qū)二模）如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BC＝CD，BD、AC交于點E．（1）求證：AB∥CD；（2）已知BC＝6，AB＝10，求tan∠EBC的值．35．（2022?徐匯區(qū)校級模擬）如圖所示，已知△ABC中，AB＝AC＝10厘米，BC＝8厘米，點D為AB的中點．如果點P在線段BC上以1厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動．（1）若點Q與點P的運動速度相等，經(jīng)過3秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；（2）若點Q與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？36．（2022?松江區(qū)二模）已知△ABC中，AB＝AC，AD、BE是△ABC的兩條高，直線BE與直線AD交于點Q．（1）如圖，當(dāng)∠BAC為銳角時，①求證：DB2＝DQ?DA；②如果＝3，求∠C的正切值；（2）如果BQ＝3，EQ＝2，求△ABC的面積．37．（2022?閔行區(qū)二模）直角三角形中一個銳角的大小與兩條邊的長度的比值之間有明確的聯(lián)系，我們用銳角三角比來表示．類似的，在等腰三角形中也可以建立邊角之間的聯(lián)系，我們定義：等腰三角形中底邊與腰的長度的比值叫做頂角的正對．如圖，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作preA，這時preA＝．仔細(xì)閱讀上述關(guān)于頂角的正對的定義，解決下列問題：（1）pre60°的值為．（A）；（B）1；（C）；（D）2．（2）對于0°＜A＜180°，∠A的正對值preA的取值范圍是．（3）如果sinA＝，其中∠A為銳角，試求preA的值．38．（2022?上海模擬）在△ABC中，AB＝AC，點D為直線AC上不同于點A的一點，BD⊥AC，點E在邊AB上，BD＝BE，直線DE交射線BC于點F．（1）當(dāng)點D在邊AC上時，如圖所示．①求證：∠CFD＝45°；②如果BD平分∠ABC，求的值；（2）如果CF＝1，DF＝2DE，求線段BF的長．【名校自招練】一．選擇題（共1小題）1．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）若干個正六邊形拼成的圖形中，下列三角形與△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE二．填空題（共11小題）2．（2018?浦東新區(qū)校級自主招生）已知當(dāng)甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距10海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應(yīng)該朝北偏東度的方向沿直線前往B處救援．3．（2022?徐匯區(qū)校級自主招生）如圖是正方體的一種展開圖，那么在原正方體中，與“上”字所在面相對的面上的漢字是．4．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）一卷直徑為10厘米的圓柱形無芯卷筒紙是由長為L厘米的紙繞80圈而成，那么L＝．5．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（﹣2，1），B（3，2）．C（1，4），則△ABC的面積為6．（2019?寶山區(qū)校級自主招生）設(shè)△ABC的三邊a，b，c均為正整數(shù)，且a+b+c＝40，當(dāng)乘積abc最大時，△ABC的面積為．7．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）△ABC中，∠CAB＝64°，平面上點P滿足PA＝PB＝PC，則∠PCB＝．8．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）在△ABC中，AD是BC邊上的中線，若∠B＝30°，∠ADC＝45°，則∠ACD＝．9．（2