第22講二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性（解析版）

第22講二次函數(shù)背景下的相似三角形的存在性【技巧點撥】二次函數(shù)背景下的相似三角形考點分析：1.先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖像上探求符合幾何條件的點；2.簡單一點的題目，就是用待定系數(shù)法直接求函數(shù)的解析式；3.復雜一點的題目，先根據(jù)圖形給定的數(shù)量關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，求得點的坐標，繼而用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；4.還有一種常見題型，解析式中由待定字母，這個字母可以根據(jù)題意列出方程組求解；5.當相似時：一般說來，這類題目都由圖像上的點轉(zhuǎn)化到三角形中的邊長的問題，再由邊的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化到三角形的相似問題；6.考查利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建立方程求解的方法。【備注】：1.以下每題教法建議，請老師根據(jù)學生實際情況參考；2.在講解時：不宜采用灌輸?shù)姆椒?，應采用啟發(fā)、誘導的策略，并在讀題時引導學生發(fā)現(xiàn)一些題目中的條件（相等的量、不變的量、隱藏的量等等），使學生在復雜的背景下自己發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟題目的意思；3.可以根據(jù)各題的“教法指導”引導學生逐步解題，并采用講練結(jié)合；注意邊講解邊讓學生計算，加強師生之間的互動性，讓學生參與到例題的分析中來；4.例題講解，可以根據(jù)“參考教法”中的問題引導學生分析題目，邊講邊讓學生書寫，每個問題后面有答案提示；5.引導的技巧：直接提醒，問題式引導，類比式引導等等；6.部分例題可以先讓學生自己試一試，之后再結(jié)合學生做的情況講評；7.每個題目的講解時間根據(jù)實際情況處理，建議每題7分鐘，選講例題在時間足夠的情況下講解。【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】1．（2023黃浦區(qū)一模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）的解析式，并求出頂點P的坐標；（2）求∠APB的余弦值；（3）直線y＝kx+4與y軸交于點N，與直線AC的交點為M，當△MNC與△AOC相似時，求點M的坐標．【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），B（4，0）兩點，列出a和b的二元一次方程組，求出a和b的值即可；（2）設對稱軸直線x＝1與x軸交于點D，過A作AH⊥BP，垂足為H，先求出AB、PD、AP和BP的長，進而求出AH的長，即可求出cos∠APB的值；（3）△MNC與△AOC相似時，分①∠MNC＝∠AOC＝90°和②∠NMC＝∠AOC＝90°，利用相似三角形的性質(zhì)以及全等三角形的知識求出點M的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣8（a≠0）經(jīng)過A（﹣2，0），B（4，0）兩點，∴，∴，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴頂點P坐標為（1，﹣9）；（2）設對稱軸直線x＝1與x軸交于點D，過A作AH⊥BP，垂足為H，如圖1，∵A（﹣2，0），B（4，0），P（1，﹣9），∴AB＝6，PD＝9，AP＝BP＝3，∵AB×PD＝PB×AH，∴AH＝，在Rt△APH中，PH＝＝，cos∠APB＝＝；（3）∵∠ACO＝∠MCN，∴△MNC與△AOC相似時，①∠MNC＝∠AOC＝90°，如圖2：∴，∵點C在拋物線上，∴當x＝0時，y＝8，∴點C的坐標為（0，﹣8），∵直線y＝kx+4與y軸交于點N，∴當x＝0時，y＝4，∴N點坐標為（0，4），∴AO＝2，OC＝8，NC＝12，∴MN＝3，直線AC的解析式是：y＝﹣4x﹣8，設M點坐標為（a，4），代入上述解析式中得：a＝﹣3，∴M（﹣3，4），②當∠NMC＝∠AOC＝90°時，如圖3：設MN與x軸交于點E，∴＝，∵AC＝＝＝2，∴＝，∴CM＝，設M坐標為（n，﹣4n﹣8），∵CM＝＝，∴或n＝﹣，∵M在第二象限，∴M（﹣，），綜上M點的坐標為（﹣3，4）或（﹣，）．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用，掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及銳角三角形函數(shù)值的定義是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸的正、負半軸分別交于點B、A，與y軸交于點C，已知AB＝5，tan∠CAB＝3，OC：OB＝3：4．（1）求該拋物線的表達式；（2）設該拋物線的對稱軸分別與x軸、BC交于點E、F，求EF的長；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，如果點P在該拋物線的對稱軸上，當△CEP和△CEB相似時，求點P的坐標．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）求出直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，即可求解；（3）由△CEP和△CEB相似和∠CEF＝∠ECF知：存在∠P＝∠ABC＝β或∠PCE＝∠ABC＝β兩種情況，再用解直角三角形的方法即可求解．【解答】解：（1）由拋物線的表達式知，點C（0，3），即OC＝3，∵OC：OB＝3：4，則OB＝4，即點B（4，0），∵tan∠CAB＝3，OC＝3，則OA＝1，即點A（﹣1，0），設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），則y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝3，則a＝﹣，則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；（2）設直線BC的表達式為：y＝kx+3，將點B的坐標代入上式得：0＝4k+3，解得：k＝﹣，則直線BC的表達式為：y＝﹣x+3，由拋物線的表達式知，其對稱軸為x＝，當x＝時，y＝﹣x+3＝，即EF＝；（3）由（2）知，點F（，），則CF＝＝＝EF，則∠CEF＝∠ECF＝∠OCE＝α，則tan∠CEF＝＝＝tanα，而tan∠OBC＝＝tanβ，由C、E的坐標得，CE＝，∵△CEP和△CEB相似，∠CEF＝∠ECF，故存在∠P＝∠ABC＝β或∠PCE＝∠ABC＝β兩種情況，當∠P＝∠ABC＝β時，過點C作CH⊥PE于點H，在Rt△CHP中，設CH＝3m＝OE＝，則PH＝4m＝2，即點P（，5）；當∠PCE＝∠ABC＝β時，過點P作PH⊥CE于點H，在Rt△PHE中，tan，設PH＝3m，則EH＝6m，則Rt△PHC中，tanβ＝，則CH＝4m，則CE＝CH+EH＝10m＝，則PE＝＝3m＝，則點P（，），綜上，點E的坐標為P（，5）或（，）．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，線段旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023浦東新區(qū)一模）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，已知點B的坐標是（3，0），tan∠OAC＝3；（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB＝∠CAB，求點P的坐標；（3）點D是y軸上一動點，若以D、C、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出符合條件的點D的坐標．【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得P點坐標，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【解答】解（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3與y軸交于點C，∴點C的坐標為（0，﹣3），∴OC＝3，∵tan∠OAC＝3，∴OA＝1，即點A的坐標為（﹣1，0），又點B（3，0），∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式是y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB＝∠CAB，∴tan∠PAB＝tan∠CAB＝3，∵點P在x軸上方，設點P的橫坐標為x，則點P的縱坐標為3（x+1），∴3（x+1）＝x2﹣2x﹣3，得x＝﹣1（舍去）或x＝6，當x＝6時，y＝21，∴點P的坐標為（6，21）；（3）如圖，設點D的坐標為（0，y），易得△ABC為∠ABC＝45°的銳角三角形，所以△DCB也是銳角三角形，∴點D在點C的上方，∴∠DCB＝45°，∴∠ABC＝∠DCB，∵AB＝4，BC＝，DC＝y(tǒng)+3，①如果＝，則＝，∴y＝1，即點D（0，1），②如果＝則＝，∴y＝，即點D1（0，）．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出P點坐標是解題關(guān)鍵，又利用圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出P點坐標；利用兩組對邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．4．（2023徐匯區(qū)一模）如圖，二次函數(shù)y＝+bx+c的圖象交坐標軸于點A（4，0），B（0，﹣2），點P為x軸上一動點．（1）求二次函數(shù)y＝+bx+c的表達式；（2）將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PD，若D恰好在拋物線上，求點D的坐標；（3）過點P作PQ⊥x軸分別交直線AB，拋物線于點Q，C，連接AC．若以點B、Q、C為頂點的三角形與△APQ相似，直接寫出點P的坐標．【分析】（1）將A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c，即可求解；（2）設P（t，0），過點D作x軸垂線交于點N，可證明△PND≌△BOP（AAS），則D（t+2，﹣t），將D點代入拋物線解析式得﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），求得D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）根據(jù)∠ADC＝90°，∠ACD＝∠BCP，可知相似存在兩種情況：①當∠CBP＝90°時，待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，解方程組得到P點的坐標；②當∠CPB＝90°時，如圖2，則B和P是對稱點，可得P的縱坐標為﹣2，代入拋物線的解析式可得結(jié)論；【解答】解：（1）將A（4，0），B（0，﹣2），代入y＝+bx+c得，解得，∴二次函數(shù)y＝+bx+c的表達式y(tǒng)＝x2﹣x﹣2；（2）當x＝0時，y＝x2﹣x﹣2＝﹣2，∴OB＝2，設P（t，0），如圖2，過點D作x軸垂線交于點N，∵∠BPD＝90°，∴∠OPB+∠NPD＝90°，∠OPB+∠OBP＝90°，∴∠NPD＝∠OBP，在△PND和△BOP中，，∴△PND≌△BOP（AAS），∴OP＝ND，BO＝PN，∴D（t+2，﹣t），∴﹣t＝（t+2+3）（t+2﹣4），解得t＝1或t＝﹣10，∴D（3，﹣1）或D（﹣8，10）；（3）設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴設直線AB的解析式為y＝x﹣2，∵PC∥y軸，∴∠APQ＝90°，∵∠AQP＝∠BQC，∴以點P、B、C為頂點的三角形與以點A、C、D為頂點的三角形相似，存在兩種情況：①當∠CBQ＝90°時，設P（x，0），則C（x，x2﹣x﹣2），Q（x，x﹣2），∵∠APQ＝∠CBQ＝90°，∠AQP＝∠CQB，∴△APQ∽△CBQ，∵BC⊥AB，∴設直線BC的解析式為y＝ax+c，∴a＝﹣2，c＝﹣2，∴直線BC的解析式為y＝﹣2x﹣2，解得，或（不合題意舍去），∴P（﹣11，0）；（②當∠BCQ＝90°時，則B和C是關(guān)于對稱軸的對稱點，當y＝﹣2時，x2﹣x﹣2＝﹣2，∴x1＝0（舍），x2＝1，∴P（1，0）；綜上，點P的坐標是（﹣11，0）或（1，0）．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求拋物線解析式，三角形面積，全等三角形判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．5．（2022?崇明區(qū)二模）如圖．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1．點M為線段OB上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交直線BC于點F，交拋物線y＝ax2+2x+c（a≠0）于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似時，求線段EF的長度；（3）如果將△ECF沿直線CE翻折，點F恰好落在y軸上點N處，求點N的坐標．【分析】（1）根據(jù)點A的坐標和對稱軸可得關(guān)于a、c的方程組，解方程組可得答案；（2）首先利用點B、C的坐標可得直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，則∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，設F（m，﹣m+3），則E（m，﹣m2+2m+3），表示出EF和CF的長度，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，從而解決問題；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得CF＝EF，從而得出m的方程，即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得：，解得：，所以，所求的拋物線的解析式是：y＝﹣x2+2x+3；（2）由題意得：B（3，0），C（0，3），∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，∴∠MBF＝∠FBM＝∠CFE＝45°，設F（m，﹣m+3），則E（m，﹣m2+2m+3），∴，當以C、E、F為頂點的三角形與△ABC相似時，①若，則，∴或m＝0（舍去），∴，②若，則，∴或m＝0（舍去），∴，∴EF＝或；（3）∵△CEN是由△CEF沿直線CE翻折而得，∴CN＝CF，∠NCE＝∠ECF，∵NC∥EF，∴∠NCE＝∠CEF，∴∠ECF＝∠CEF，∴CF＝EF，∵，解得：（舍去），∴，所以，N的的坐標是．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，一元二次方程等知識，熟練掌握平行線與角平分線得出等腰三角形是解決問題（3）的關(guān)鍵．6．（2022?寶山區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx﹣2（a≠0）經(jīng)過點A（1，0）、B（2，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）將拋物線向左平移m個單位（m＞2），平移后點A、B、C的對應點分別記作A1、B1、C1，過點C1作C1D⊥x軸，垂足為點D，點E在y軸負半軸上，使得以O、E、B1為頂點的三角形與△A1C1D相似，①求點E的坐標；（用含m的代數(shù)式表示）②如果平移后的拋物線上存在點F，使得四邊形A1FEB1為平行四邊形，求m的值．【分析】（1）將點A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，即可求解；（2）①分別求出A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），D（﹣m，0），設E（0，y），由題意可知要使三角形相似，只需∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，當∠OB1E＝∠DC1A1，tan∠OB1E＝tan∠DC1A1＝，＝則，求出E（0，1﹣m）；當∠OB1E＝∠C1A1D，則＝2，求出E（0，4﹣2m）；②設F（x，y），當E（0，1﹣m）時，由題意可知四邊形A1E為平行四邊形的對角線，可得，再由y＝﹣（x﹣+m）2+，求出m＝2（舍）或m＝；同理當E（0，4﹣2m）時，求得m＝5．【解答】解：（1）將點A（1，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx﹣2，∴，解得，∴y＝﹣x2+3x﹣2；（2）①y＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣）2+，平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，令x＝0，則y＝﹣2，∴C（0，﹣2），平移后A1（1﹣m，0），B1、（2﹣m，0），C1（﹣m，﹣2），∵C1D⊥x軸，∴D（﹣m，0），∴OB1＝m﹣2，C1D＝2，A1D＝1，設E（0，y），∴OE＝﹣y，∵∠B1OE＝90°，∠C1DA1＝90°，∴∠OB1E＝∠DC1A1或∠OB1E＝∠C1A1D，當∠OB1E＝∠DC1A1，∴tan∠OB1E＝＝，tan∠DC1A1＝＝，∴＝，∴y＝1﹣m，∴E（0，1﹣m）；當∠OB1E＝∠C1A1D，∴＝2，∴y＝4﹣2m，∴E（0，4﹣2m）；綜上所述：E點坐標為（0，1﹣m）或（0，4﹣2m）；②設F（x，y），當E（0，1﹣m）時，∵四邊形A1FEB1為平行四邊形，∴四邊形A1E為平行四邊形的對角線，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴1﹣m＝﹣（﹣+m）2+，解得m＝2（舍）或m＝，當m＝時，y＝﹣，F(xiàn)（﹣1，﹣），∴m＝；當E（0，4﹣2m）時，∵四邊形A1FEB1為平行四邊形，∴四邊形A1E為平行四邊形的對角線，∴，∴x＝﹣1，∵平移先后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣+m）2+，∴y＝（﹣+m）2+，∴4﹣2m＝﹣（﹣+m）2+，∴m＝5或m＝2（舍）；綜上所述：m＝或m＝5．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，拋物線平移的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.（2022青浦一模24）．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．（1）求該拋物線的表達式及點C的坐標；（2）聯(lián)結(jié)BC、BD，求∠CBD的正切值；（3）若點P為x軸上一點，當△BDP與△ABC相似時，求點P的坐標．【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得，解得：，所以拋物線的表達式為y＝x2﹣2x﹣3．當x＝0時，y＝﹣3．∴點C的坐標為（0，﹣3）．（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴點D的坐標為（1，﹣4）．∵B（3，0）、C（0，﹣3）、D（1，﹣4），∴BC＝，DC＝，BD＝．∴BC2+DC2＝18+2＝20＝DB2．∴∠BCD＝90°．∴tan∠CBD＝．（3）∵tan∠ACO＝，∴∠ACO＝∠CBD．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC．即：∠ACB＝∠DBO．∴當△BDP與△ABC相似時，點P在點B左側(cè)．（i）當時，∴．∴BP＝6．∴P（﹣3，0）．（ii）當時，∴．∴BP＝．∴P（﹣，0）．綜上，點P的坐標為（﹣3，0）或（﹣，0）．8.（2022嘉定一模24）（12分）（2021秋?嘉定區(qū)期末）在平面直角坐標系xOy中，點A、B兩點在直線y＝x上，如圖．二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖象也經(jīng)過點A、B兩點，并與y軸相交于點C，如果BC∥x軸，點A的橫坐標是2．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設這個二次函數(shù)圖象的對稱軸與BC交于點D，點E在x軸的負半軸上，如果以點E、O、B所組成的三角形與△OBD相似，且相似比不為1，求點E的坐標；（3）設這個二次函數(shù)圖象的頂點是M，求tan∠AMC的值．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣2的圖像與y軸相交于點C，∴點C的坐標為（0，﹣2），∵BC//x軸，∴點B的縱坐標是﹣2，∵點A、B兩點在直線y＝x上，點A的橫坐標是2，∴點A的坐標為（2，1），點B的坐標為（﹣4，﹣2），∵這個二次函數(shù)的圖像也經(jīng)過點A（2，1）、B（﹣4，﹣2），∴，解這個方程組，得a＝，b＝1，∴二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2；（2）根據(jù)（1）得，二次函數(shù)y＝+x﹣2圖像的對稱軸是直線x＝﹣2，∴點D的坐標為（﹣2，﹣2），∴OB＝2，BD＝2，∵BC//x軸，∴∠OBD＝∠BOE，∴以點E、O、B組成的三角形與△OBD相似有可能以下兩種：①當時，△BOD∽△OBE，顯然這兩相似三角形的相似比為1，與已知相似比不為1矛盾，這種情況應舍去，②當時，△BOD∽△OEB，∴，∴OE＝10，又點E在x軸的負半軸上，∴點E的坐標為（﹣10，0）；（3）過點C作CH⊥AM，垂足為H，根據(jù)（1）得，二次函數(shù)的解析式是y＝+x﹣2的頂點坐標為M（﹣2，﹣3），設直線AM的解析式為y＝kx+m，，解得k＝1，m＝﹣1，∴直線AM的解析式為y＝x﹣1，設直線AM與x軸、y軸的交點分別為點P、Q，則點P的坐標為（1，0），點Q的坐標為（0，﹣1），∴△OPQ是等腰直角三角形，∠OQP＝45°，∵∠OQP＝∠HOC，∴∠HOC＝45°，∵點C的坐標為（0，﹣2），∴CQ＝1，∴HC＝HQ＝，又MQ＝2，∴MH＝MQ﹣HQ＝，∴tan∠AMC＝．9.（202崇明一模）24.如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B(0，3)，點M(m，0)為線段OA上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P，N．（1）求拋物線的解析式，并寫出此拋物線的對稱軸和頂點坐標；（2）如果以點P、N、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，求m的值；（3）如果以B、P、N為頂點的三角形與△ABO相似，求點M的坐標．【小問1詳解】解：∵拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于點A(4，0)，與y軸交于點B(0，3)，∴，解得：，∴拋物線的解析式為y=?x2+x+3，∵y=?x2+x+3=?(x-)2+，∴此拋物線對稱軸為x=，頂點坐標為(，)；【小問2詳解】解：設直線AB的解析式為y=px+q，把A（4，0），B（0，3）代入得，解得：，∴直線AB的解析式為y=，∵M（m，0），MN⊥x軸，∴N（m，?m2+m+3），P（m，），∴NP=?m2+3m，OB=3，∵NP∥OB，且以點P、N、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，∴NP=OB，即?m2+3m=3，整理得：m2-4m+4=0，解得：m=2；【小問3詳解】∵A（4，0），B（0，3），P（m，），∴AB=5，BP=，而NP=?m2+3m，∵PN∥OB，∴∠BPN=∠ABO，當時，△BPN∽△OBA，即，整理得9m2-11m=0，解得m1=0（舍去），m2=，此時M點的坐標為（，0）；當時，△BPN∽△ABO，即，整理得2m2-5m=0，解得m1=0（舍去），m2=3，此時M點的坐標為（3，0）；綜上所述，點M的坐標為（，0）或（3，0）．10.（2022寶山一模）已知在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點、，頂點為點．（1）求拋物線的表達式及頂點的坐標；（2）聯(lián)結(jié)，試判斷與是否相似，并證明你的結(jié)論；（3）拋物線上是否存在點，使得．如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【小問1詳解】解：拋物線經(jīng)過點，，，設拋物線解析式為：，將點C代入可得：，解得：，∴，∴頂點坐標為：；【小問2詳解】解：如圖所示：為直角三角形且三邊長分別為：，，，的三邊長分別為：，，，∴，∴為直角三角形，∵，∴；【小問3詳解】解：設存在點P使，作線段AC的中垂線交AC于點E，交AP于點F，連接CF，如（2）中圖：∴，，∵，∴，∴為等腰直角三角形，∴，，∴，即解得：，設，∴，，∴，整理得：①，=，即②，將①代入②整理得：，解得：，，∴，，∴或（不符合題意舍去），∴，，設直線FA解析式為：，將兩個點代入可得：，解得：，∴，∴聯(lián)立兩個函數(shù)得：，將①代入②得：，整理得：，解得：，，當時，，∴．11．（2022靜安區(qū)一模24）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點A（2，0）和點B（﹣1，m），頂點為點D．（1）求直線AB的表達式；（2）求tan∠ABD的值；（3）設線段BD與x軸交于點P，如果點C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點C的坐標．【分析】（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，求出拋物線解析式，再將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；（3）求出P點坐標（，0），設C（t，0），當∠ABC＝∠APB時，△ABP∽△APC，過B點作BQ⊥x軸交于點Q，則tan∠BCQ＝＝，求出CQ＝9，即可求C（﹣10，0）；當P點與C點重合時，△ABC≌△ABP，即可求C點坐標．【解答】解：（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，∴4+2b＝0，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x，將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，∴m＝3，∴B（﹣1，3），設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴D（1，﹣1），∴AD＝，AB＝2，BC＝3，∵AB2＝AD2+BC2，∴△ABD是直角三角形，∴tan∠ABD＝＝；（3）設直線BD的解析式為y＝k1x+b1，∴，∴，∴y＝﹣2x+1，令y＝0，則x＝，∴P（，0），設C（t，0），如圖1，當∠ABC＝∠APB時，△ABC∽△APB，∴∠ACB＝∠ABP過B點作BQ⊥x軸交于點Q，∴tan∠BCQ＝＝，∴CQ＝9，∴CO＝10，∴C（﹣10，0）；當C點與P點重合時，△ABC≌△ABP，此時C（，0）；綜上所述：C點坐標為（﹣10，0）或（，0）．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．1.2（2021年寶山二模24）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx﹣1（a≠0）經(jīng)過點A（﹣2，0），B（1，0）和點D（﹣3，n），與y軸交于點C．（1）求該拋物線的表達式及點D的坐標；（2）將拋物線平移，使點