加強練06 線與圓綜合專練（解析版）-2023年中考數(shù)學二輪復習講練測（上海專用）

加強練06線與圓綜合專練（解析版）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．（2022春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，點O是邊BC上一點，以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是（）A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC【答案】B【分析】作DE⊥BC于E，當⊙O與邊AD相切時，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得出方程，解方程得出OC＝；即可得出結論．【詳解】作DE⊥BC于E，如圖所示：則DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，∴CE＝4＝DE，當⊙O與邊AD相切時，切點為D，圓心O與E重合，即OC＝4；當OA＝OC時，⊙O與AD交于點A，設OA＝OC＝x，則OB＝6﹣x，在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝；∴以O為圓心，OC為半徑的⊙O，與邊AD只有一個公共點，則OC的取值范圍是4≤x≤；故選B．【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系、直角梯形的性質、勾股定理等知識；熟練掌握直角梯形的性質，分情況討論是解題的關鍵．2．（2022·上海黃浦·格致中學?？级＃┤绻c內含，，的半徑是3，那么的半徑可以是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】首先由題意知⊙O1與⊙O2兩圓內含，則知兩圓圓心距d<R?r，分兩種情況進行討論即可求得．【詳解】解：設的半徑r根據題意知兩圓內含，故r?3>4或者3?r>4解得r>7或r<-1(舍去)故選：D【點睛】本題考查了由兩圓的位置關系求半徑的取值范圍的方法．兩圓外離，則d>R+r；外切，則d=R+r；相交，則R?r<d<R+r；內切，則d=R?r；內含，則d<R?r．3．（2022·上海松江·?？既＃┮阎?，以點為圓心，以為半徑畫圓，以點為圓心，半徑為，畫圓已知與外離，則的取值范圍為（）A．0 B．0 C．0 D．0【答案】C【分析】設半徑為，則cm，根據兩圓外離的條件得到，從而得到的范圍．【詳解】解：設半徑為，則，與外離，，，即，，故選：C．【點睛】本題考查圓與圓的位置關系：兩圓的圓心距為、兩圓的半徑分別為，兩圓外離；兩圓外切；兩圓相交；兩圓內切；兩圓內含．4．（2022·上?！ばＢ?lián)考模擬預測）如圖，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一點，且BC：CA=2：1，連接OC并延長交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，則圓心O到弦AB的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先延長DO交圓O于點E，連接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再證明，即可求出AC，BC，然后根據垂徑定理求出BF，最后根據勾股定理得出答案．【詳解】先延長DO交圓O于點E，連接AD，BE，BO，過點O作OF⊥AB，于點F，∴EO=CO+CD=5cm，∴CE=8cm．∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE，∴，∴，即AC·BC=CE·CD，則2AC2=16，解得，∴，則．∵OF⊥AB，∴．在Rt△BOF中，BO=5cm，∴（cm）．故選：C．【點睛】這是一道關于圓得綜合問題，考查了相似三角形的性質和判定，垂徑定理，勾股定理，圓周角定理等，構造相似三角形求出線段的長是解題的關鍵．5．（2022春·上海寶山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AB=4，AD=，，圓O是以AB為直徑的圓．如果以點C為圓心作圓C與直線AD相交，與圓O沒有公共點，那么圓C的半徑長可以是（

）A．9 B． C．5 D．【答案】D【分析】根據直角三角形的邊角關系求出FC，進而求出BC，再根據勾股定理求出兩個圓心之間的距離OC，由⊙C與直線AD相交，⊙C與⊙O沒有公共點，確定⊙C半徑的取值范圍，進而得出答案．【詳解】如圖，連接OC交⊙O于點E，過點D作DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝4，BF＝AD＝2，在Rt△DCF中，DF＝4，cotC＝，∴FC＝cotC?DF＝，∴BC＝BF＋FC＝3，在Rt△BOC中，，由于⊙C與直線AD相交，因此⊙C的半徑要大于4，又⊙C與⊙O沒有公共點，因此⊙C與⊙O外離或內含，當⊙C與⊙O外離時，⊙C的半徑要小于CE＝7?2＝5，此時⊙C的半徑4＜r＜5；當⊙C與⊙O內含時，⊙C的半徑要大于7＋2＝9，此時⊙C的半徑r＞9；所以⊙C的半徑為4＜r＜5或r＞9，故選：D．【點睛】本題考查勾股定理，直線與圓的位置關系以及圓與圓的位置關系，掌握勾股定理，圓與圓的位置關系的判定方法是正確解答的前提．二、填空題6．（2023春·上?！ぞ拍昙壝Ｐ葴y）在平面直角坐標系中，我們把半徑相等且外切、連心線與直線平行的兩個圓，稱之為“孿生圓”；已知圓的圓心為，半徑為，那么圓的所有“孿生圓”的圓心坐標為__________．【答案】##【分析】如圖，與外切半徑相等且連心線與直線平行的兩個圓分別為，運用兩圓外切的性質和點的坐標特點，數(shù)形結合求出圖形中的長，進而得到兩圓心的坐標．【詳解】解：畫出圖如圖所示：點的坐標為過點的直線與平行并過點，過點的直線與平行，過點的直線與兩坐標軸圍成等腰直角三角形，與外切半徑相等且連心線與直線平行的兩個圓分別為，，如圖，，都是等腰直角三角形，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了兩圓外切的性質，點的坐標特征，等腰直角三角形，熟練的運用數(shù)形結合思想是解決本題的關鍵．7．（2022春·上海楊浦·九年級?？茧A段練習）如圖，中，，，，與相切，若與相交，則半徑r的取值范圍是______．【答案】【分析】勾股定理求得，等面積法求得的半徑，根據與相交，即可求解．【詳解】解：∵中，，，，∴，∵與相切，設的半徑為，則解得：∵，∴點到的最小距離為，點到的最大距離為∴若與相交，則半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，切線的性質，圓與圓的位置關系，理解題意是解題的關鍵．8．（2022春·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ形髂夏７吨袑W?？茧A段練習）如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點，F(xiàn)是弧AB上一點．將扇形AOB沿EF對折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點G，若OE＝5，則折痕EF的長為______．【答案】＋##＋【分析】過點G作O′G⊥OB于點G，過點A作AO′⊥O′G于點O′，連接OO′交EF于H，連接OF，易證四邊形AOGO′為矩形，根據題意可得OO′⊥EF，OH＝HO′，易證Rt△OEH∽Rt△OO′A，根據相似三角形的性質即可求出OH，再根據勾股定理即可求出EH和FH，進一步求EF的值即可．【詳解】解：過點G作O′G⊥OB于點G，過點A作AO′⊥O′G于點O′，連接OO′交EF于H，連接OF，如圖所示：∵弧A′F恰好與OB相切于點G，∴∠AO′G＝∠O′GO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四邊形AOGO′為矩形，∴O′G＝AO＝6，∵點O與點O′關于EF對稱，∴OO′⊥EF，OH＝HO′，設OH＝x，則OO′＝2x，∵∠EOH＝∠O′OA，∠OHE＝∠OAO′，∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，∴OE：OH＝OO′：OA，∵OE＝5，OA＝6，∴5：x＝（2x）：6，解得x＝，∴OH＝，∵OE＝5，OF＝6，根據勾股定理，得EH＝＝，F(xiàn)H＝＝，∴EF＝EH＋FH＝＋，故答案為：＋．【點睛】本題是圓的綜合題，涉及切線的性質，折疊的性質，相似三角形的性質與判斷，勾股定理等，本題綜合性較強，難度較大．作出正確的輔助線是解題的關鍵．9．（2022春·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，在中，，，，點O在邊上，且，以點O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個公共點，那么半徑r取值范圍是______.【答案】【分析】利用勾股定理求出，，作交于點D，以O為圓心作圓，結合圖形可知：的時候，交點為4個．【詳解】解：∵，，，∴，∵，∴，，作交于點D，以O為圓心作圓，如圖：∵，，∴，∴，即解得：，結合圖形可知：當半徑等于3的時候，交點為3個，當半徑等于5的時候，交點為A、E、F3個，當?shù)臅r候，交點為4個，∴半徑r取值范圍是．故答案為：【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定及性質，圓的性質，解題的關鍵是作出圖形，結合圖形分析求解．10．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，點G為等腰的重心，，如果以2為半徑的圓分別與、相切，且，那么的長為_______.【答案】【分析】根據重心的定義和性質，延長CG交AB于M，根據切線的性質連接G與AC上的切點N，再利用勾股定理計算即可.【詳解】延長CG交AB于M，連接G與AC上的切點N，連AG∵點G為等腰的重心，，∴，CM⊥AB，∵∴∵分別與、相切∴GN⊥AC,∴在Rt△CGN中∴在Rt△AGM和Rt△AGN中∴∴在Rt△ACM中∴∴解得∴或（舍去）∴故答案為：.【點睛】本題考查重心的性質和定義、切線的性質、勾股定理，解題的關鍵是熟記重心的性質：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.三、解答題11．如圖，的直徑為，點C在圓周上（異于A，B），是的角平分線，．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，證即可，利用角平分線的性質和等邊對等角，可證得，即可得到，由于，那么，由此得證；（2）根據直徑所對的圓周角是直角得出，根據勾股定理求出，然后證出，利用相似三角形的對應邊成比例列式解答即可．【詳解】（1）解：如下圖，連接，是的角平分線，，又，，，，，，是的切線；（2）是直徑，C在上，，又，∴由勾股定理得，，，，，解得：．【點睛】此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，平行線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握切線的判定方法：要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點(即為半徑)，再證垂直即可．12．（2022春·上?！ぞ拍昙壣虾Ｊ袏渖街袑W?？计谥校┮阎喝鐖D，在中，以邊CA長為半徑的交邊AB于點D、邊BC于點E，連接DE．如果，．(1)的度數(shù)；(2)的半徑長及弦AD的長．【答案】(1)(2)半徑為，AD=8【分析】（1）在優(yōu)弧AE上取一點F，連接AF，EF，利用圓內接四邊形得出∠F=45°，再根據圓周角定理即可得出結果；（2）過點E作EH⊥AB于H，過點C作CG⊥AB于G，由垂徑定理得出AG=DG，DH=EH，設DH=a，則EH=a，BH=5-a，根據勾股定理求解，然后分兩種情況討論：當a=2時，EH=2，BH=3；當a=3時，EH=3，BH=2，利用正切函數(shù)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖1，在優(yōu)弧AE上取一點F，連接AF，EF，∵∠EDB=45°，∴∠ADE=180°-45°=135°，∴∠F+∠ADE=180°，∴∠F=45°，∴∠C=2∠F=90°；（2）如圖2,過點E作EH⊥AB于H，過點C作CG⊥AB于G，∴AG=DG，∵∠BDE=45°，∴DH=EH，設DH=a，則EH=a，BH=5-a，由勾股定理得：，∴，解得：a1=2,a2=3,當a=2時，EH=2，BH=3，∵∠ACG+∠BCG=∠BCG+∠B，∴∠B=∠ACG，∴tan∠ACG=tanB，∴，設AG=2x,CG=3x，∴AC=CE=x，∴tanB=，∴，解得：x=2，∴圓O的半徑AC=x=2，AD=4x=8；當a=3時，EH=3，BH=2，∵tan∠ACG=tanB，∴，設AG=3x,CG=2x，∴AC=CE=x，∴tanB=，∴，解得：x=-3，不符合題意，綜上可得⊙C的半徑為2，AD=8．【點睛】題目主要考查圓內接四邊形的性質，圓周角定理，解三角形，一元二次方程的應用，勾股定理等，理解題意，綜合運用這些定理是解題關鍵．13．（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）平行四邊形，若為中點，交于點，連接．(1)若，①證明為菱形；②若，，求的長．(2)以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑作圓，兩圓另一交點記為點，且．若在直線上，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①連接AC交BD于O，證△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，從而得∠COE=90°，則AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出結論；②先證點E是△ABC的重心，由重心性質得BE=2OE，然后設OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,從而得9-x2=25-9x2，解得：x=,即可得OB=3x=3，再由平行四邊形性質即可得出BD長；（2）由⊙A與⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，點E是△ABC的重心，又在直線上，則CG是△ABC的中線，則AG=BG=AB，根據重心性質得GE=CE＝AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,則AG=AE,所以AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，則BC=AE，代入即可求得的值．【詳解】（1）①證明：如圖，連接AC交BD于O，∵平行四邊形，∴OA=OC，∵AE=CE，OE=OE，∴△AOE≌△COE(SSS)，∴∠AOE=∠COE，∵∠AOE+∠COE=180°，∴∠COE=90°，∴AC⊥BD，∵平行四邊形，∴四邊形是菱形；②∵OA=OC，∴OB是△ABC的中線，∵為中點，∴AP是△ABC的中線，∴點E是△ABC的重心，∴BE=2OE，設OE=x，則BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,∴9-x2=25-9x2，解得：x=,∴OB=3x=3，∵平行四邊形，∴BD=2OB=6；（2）解：如圖，∵⊙A與⊙B相交于E、F，∴AB⊥EF，由（1）②知點E是△ABC的重心，又在直線上，∴CG是△ABC的中線，∴AG=BG=AB，GE=CE，∵CE=AE，∴GE=AE，CG=CE+GE=AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(AE)2=AE2,∴AG=AE,∴AB=2AG=AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=AE2+（AE）2=5AE2，∴BC=AE，∴．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，菱形的判定，重心的性質，勾股定理，相交兩圓的公共弦的性質，本題屬圓與四邊形綜合題目，掌握相關性質是解題的關鍵，屬是考?？碱}目．14．（2022春·上海青浦·九年級?？计谥校┤鐖D，已知在等腰中，，，點D為邊上一動點（不與點B重合），過點D作射線交于點E，，以點D為圓心，的長為半徑作．(1)設，，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(2)當與邊相切時，求的長；(3)如果是以E為圓心，的長為半徑的圓，那么當為多少長時，與相切？【答案】(1)（）(2)10(3)或【分析】（1）通過相似三角形的對應邊成比例得到，把相關線段的長度代入并整理得到（）；（2）如圖1，假設與相切于點F，連接．通過相似三角形的對應邊成比例得到．，由勾股定理求得，，所以把相關線段的長度代入便可以求得的長度；（3）分類討論：與相外切和內切兩種情況．由（1）的相似三角形推知．所以如圖2，當與相外切時．；如圖3，當與相內切時．．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，，，，∴，即．∵，且，∴．綜上所述，y關于x的函數(shù)關系式及其定義域為：，（）；（2）解：如圖1，假設與相切于點F，連接，則，．過點A作于點G，則．在和中，，，∴，∴．又∵，，，∴，，∴，∴；（3）解：由（1）知，，∴，即，∴．如圖2，當與相外切時．，∵由（1）知，，，y關于x的函數(shù)關系式是，∴，解得，，符合，∴BD的長度為．如圖3，當與相內切時．，由（1）知，，，y關于x的函數(shù)關系式是，∴，解得，，符合，∴BD的長度為．綜上所述，BD的長度是或．【點睛】本題考查了圓的綜合題．其中涉及到了相切兩圓的性質，相似三角形的判定與性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．遇到動點問題，需要對動點的位置進行分類討論15．（2022春·上?！ぞ拍昙壭？茧A段練習）如圖，，，，點O為射線上一動點，以O為圓心，長為半徑作，交射線于點P，交線段于點E，連接、相交于點G，與射線交于點F.(1)在圖1，若與直線相切，求弦的長；(2)在圖2，設（為銳角），，，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍；(3)如果與直線交另一點為Q，且四邊形是梯形，求的半徑.【答案】(1)(2)，(3)【分析】（1）由與直線相切，可得，，，可得到，由，即可求得（2）過點A作于點M，連接，求得，由，得到，即可得到結果（3）由四邊形是梯形，若，，即可求得半徑為，若，這樣的圓不存在；【詳解】（1）∵與直線相切，∴，即，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（2）過點A作于點M，連接，雖然點O為射線上一動點，但是不變由（1）所求數(shù)據知：，，，，，∴，∵，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，且∴，∴，∴，∵（為銳角），∴，即，即，∴，（3）連接，，設圓的半徑為由四邊形是梯形，若，且，則，∴，，由（2）知，∴，∴，若，且則，∴，∴點G與點B或點D重合，當G與點B重合時，點P也與點B重合，這樣的圓不存在；當G與點D重合時，由，點P不會在射線上，這樣的圓也不存在；綜上所述，的半徑為：【點睛】本題是圓的綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質、平行線的性質和銳角三角函數(shù)等，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質和銳角三角函數(shù)是解題的關鍵16．（2022春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）已知的直徑，點為弧上一點，連接、，點為劣弧上一點（點不與點、重合），連接交、于點、．(1)如圖，當時，求；(2)當點為劣弧的中點，且與相似時，求的度數(shù)；(3)當，且為直角三角形時，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長是或【分析】（1）過點D作交于F，判斷出，即可求出答案；（2）連接，根據題意可知與相似，只存在一種情況：，得，設，則，在中，根據三角形外角的性質列方程可得結論；（3）當為直角三角形時，不可能是直角，所以分兩種情況：①當時，作輔助線，作平行線，根據平行線分線段成比例定理計算，，的長，根據面積差可得結論；②當時，連接，證明，分別計算各邊的長，根據面積差即可得到答案；【詳解】（1）解：如圖1，過點作交于，∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）解：如圖2，連接，∵，與相似，∴，∴，∵是的中點，∴，設，則，∵，∴，∵是的中點，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴；（3）解：①如圖3，當時，∵，∴，過作于，連接，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，根據勾股定理得，，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②如圖4，當時，連接，∵，∴，，∵，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，綜上，的長是或；【點睛】本題考查了圓的綜合題，平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．17．（2022·上海松江·?？既＃┤鐖D，在梯形中，動點在邊上，過點作，與邊交于點，過點作，與邊交于點，設線段．(1)求關于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當是以為腰的等腰三角形時，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當點在運動過程中，外接圓的圓心落在的內部不包括邊上時，求出的取值范圍．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）由題中條件、可知四邊形是平行四邊形，故CE；過點作垂線交于點，交于點，可得相似的和，用含、的表達式表示它們的邊長，再根據相似三角形的對應邊成比例即可求得關于的解析式；下一步即為求得和的各自邊長，過點作垂線交延長線于點，由且可得四邊形為矩形，則；在中，由勾股定理可算得的長度；在中，，則可由勾股定理求得的長度，，至此已求得所有所需邊長，根據相似三角形邊長比例關系：，代入各邊長表達式即可得關于的解析式，再根據題中要求寫出定義域即可；（2）因為是以為腰的等腰三角形，，由勾股定理知，過點作交于點，則四邊形是矩形，；在直角三角形中，運用勾股定理進行計算即可得解；（3）根據三角形的外接圓圓心落在三角形的內部，得到為銳角三角形，分析點運動過程可知，隨點向右運動角度不斷減小，且和始終是銳角．根據題意，令點的位置滿足，則大于此時對應的長度就可使得外接圓圓的圓心落在的內部．【詳解】（1）解：如圖所示：過點作交延長線于點，再過點作垂線交于點，交于點，，四邊形是矩形，，在中，由勾股定理得：，又，四邊形是平行四邊形，，，，，，，化簡得：，點在上運動，故定義域為：；（2）如圖所示，此時是以為腰的等腰三角形，過點作交于點，，四邊形是矩形，又是以為腰的等腰三角形，，由（得，，，在中，由勾股定理得：，，即，解得：的值為或，因此，的值為或；（3）解：分析點運動過程可知，隨點向右運動角度不斷減小，且和始終是銳角．根據題意，令點的位置滿足，則大于此時對應的長度就可使得外接圓圓的圓心落在的內部．如下圖所示，此時，，，同角的余角相等，同理可得：，∽，，，，解得：，綜上可得，當時，外接圓圓的圓心落在的內部．【點睛】本題考查矩形和平行四邊形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形的外接圓等知識點，解題的關鍵是熟練掌握并靈活運用以上性質．本題綜合性較強，