專題12 反比例函數(shù)（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1．反比例函數(shù)（k≠0，k為常數(shù)）的圖象是雙曲線，兩個(gè)分支無(wú)限接近x軸、y軸，但是與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)。2．反比例函數(shù)的性質(zhì)（1）增減性當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，y隨x的增大而減小。當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，y隨x的增大而增大。（2）軸對(duì)稱性當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支關(guān)于直線對(duì)稱。當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支關(guān)于直線對(duì)稱。（3）中心對(duì)稱性雙曲線的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。知識(shí)點(diǎn)02：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及系數(shù)k的幾何意義【高頻考點(diǎn)精講】1．圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征（1）圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫、縱坐標(biāo)之積是定值k，即。（2）雙曲線的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2．比例系數(shù)k的幾何意義（1）在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積是。（2）在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，此點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是。知識(shí)點(diǎn)03：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【高頻考點(diǎn)精講】1．反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解，則兩者有交點(diǎn)；若方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)。2．反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（1）當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)。（2）當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中可能有0、1或2個(gè)交點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)04：反比例函數(shù)的應(yīng)用【高頻考點(diǎn)精講】1．利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題（1）把實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。（2）注意自變量和函數(shù)值的實(shí)際意義。2．跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題熟練掌握物理或化學(xué)中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式。3．反比例函數(shù)中的圖表信息題正確認(rèn)識(shí)圖象，找到關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.59一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?天津）若點(diǎn)A（x1，﹣2），B（x2，1），C（x3，2）都在反比例函數(shù)的圖象上，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是（）A．x3＜x2＜x1 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1解：將A（x1，﹣2）代入，得：，即：x1＝1，將B（x2，1）代入，得：，即：x2＝﹣2，將C（x3，2）代入，得：，即：x3＝﹣1，∴x2＜x3＜x1．故選：D．2．（2分）（2023?濟(jì)南）已知點(diǎn)A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y1解：∵，k＜0，∴函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限內(nèi)，且在每一個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，又∵點(diǎn)A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），∴點(diǎn)A，B在第二象限內(nèi)，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，又∵﹣4＜﹣2，∴y1＜y2，∴y3＜y1＜y2．故選：C．3．（2分）（2023?上海）下列函數(shù)中，函數(shù)值y隨x的增大而減小的是（）A．y＝6x B．y＝﹣6x C．y＝ D．y＝﹣解：A選項(xiàng)，y＝6x的函數(shù)值隨著x增大而增大，故A不符合題意；B選項(xiàng)，y＝﹣6x的函數(shù)值隨著x增大而減小，故B符合題意；C選項(xiàng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y＝的函數(shù)值隨著x增大而減小，故C不符合題意；D選項(xiàng)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y＝﹣的函數(shù)值隨著x增大而增大，故D不符合題意，故選：B．4．（2分）（2023?荊州）已知蓄電池的電壓U為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系（I＝）．下列反映電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A． B． C． D．解：∵電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系（I＝），R、I均大于0，∴反映電流I與電阻R之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是D選項(xiàng)，故選：D．5．（2分）（2023?隨州）已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，則當(dāng)電阻為6Ω時(shí)，電流為（）A．3A B．4A C．6A D．8A解：設(shè)I＝，∵圖象過(guò)（8，3），∴U＝24，∴I＝，當(dāng)電阻為6Ω時(shí)，電流為：I＝＝4（A）．故選：B．6．（2分）（2023?邵陽(yáng)）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（4，4） B．（2，2） C．（2，4） D．（4，2）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，4）在反比例函數(shù)y＝圖象上，∴4＝．∴k＝8．∴反比例函數(shù)的解析式為y＝．∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，∴可設(shè)（a，）．∴AD＝a﹣2＝ED＝．∴a1＝4，a2＝﹣2．∵a＞0，∴a＝4．∴E（4，2）．故選：D．7．（2分）（2023?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，3），D是OA的中點(diǎn)，AC，BD交于點(diǎn)E，函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B．E．且經(jīng)過(guò)平移后可得到一個(gè)反比例函數(shù)的圖象，則該反比例函數(shù)的解析式（）A．y＝﹣ B． C． D．解：由題知，A（6，0），B（6，3），C（0，3），令直線AC的函數(shù)表達(dá)式為y1＝k1x+b1，則，解得，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，所以D（3，0），同理可得，直線BD的函數(shù)解析式為y2＝x﹣3，由得，x＝4，則y＝4﹣3＝1，所以點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，1）．將B，E兩點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得．所以，則，將此函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象的函數(shù)解析式為：．故選：D．8．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點(diǎn)A（﹣2，4）和點(diǎn)B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞4解：∵A（﹣2，4）在反比例函數(shù)圖象上，∴k＝xy＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函數(shù)解析式為：y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在y＝﹣圖象上，∴m＝4，∴B（4，﹣2），∵點(diǎn)A（﹣2，4）、B（4，﹣2）在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，∴，解得，一次函數(shù)解析式為：y＝﹣x+2．由圖象可知，不等式0＜ax+b＜的解集﹣2＜x＜0．故選：B．9．（2分）（2023?安徽）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（）A． B． C． D．解：∵一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，且與y軸交于正半軸，則b＞0，反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，則k＞0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝＞0，由圖象可知，反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)（1，k）和（k，1），∴﹣1+b＝k，∴k﹣b＝﹣1，∴b＝k+1，∴對(duì)于函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1﹣b+k﹣1＝﹣1，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象過(guò)點(diǎn)（1，﹣1），∵反比例函數(shù)y＝與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，∴方程＝﹣x+b有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2＞0，∴k﹣1≠0，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝k﹣1≠0，∴函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象不過(guò)原點(diǎn)，∴符合以上條件的只有A選項(xiàng)．故選：A．10．（2分）（2023?淮安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)C．若點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，0），，則k的值是（）A． B． C． D．解：連接CO，作CH⊥OA交坐標(biāo)軸于H點(diǎn)（如圖）；∵A點(diǎn)在一次函數(shù)圖象中，代入得到b＝，∴一次函數(shù)解析式：y＝；∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)為0，∴代入得到縱坐標(biāo)為，OB＝；∵△COA和△AOB等高，且，∴S△COA：S△AOB＝1：2；又∵△COA和△AOB共用一條邊OA，∴CH：OB＝1：2，∴CH＝＝；∴將C的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，得到橫坐標(biāo)為3；∴C點(diǎn)坐標(biāo)（3，），∴k＝3×＝；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過(guò)一次又一次地對(duì)汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對(duì)汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了20mL．解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為V＝，∵V＝100ml時(shí)，p＝60kpa，∴k＝pV＝100ml×60kpa＝6000，∴V＝，當(dāng)p＝75kPa時(shí)，V＝＝80，當(dāng)p＝100kPa時(shí)，V＝＝60，∴80﹣60＝20（mL），∴氣體體積壓縮了20mL，故答案為：20．12．（2分）（2023?攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，點(diǎn)E是OB′的中點(diǎn)，且點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為．解：如圖，作EH⊥x軸，垂足為H．由題意，在Rt△BAO中，AO＝，AB＝1，∴BO＝＝2．∴AB＝BO．∴∠AOB＝30°．又△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，∴∠BOB'＝105°．∴∠B'OX＝45°．又點(diǎn)E是OB′的中點(diǎn)，∴OE＝BO＝1．在Rt△EOH中，∵∠B'OX＝45°，∴EH＝OH＝OE＝．∴E（，）．又E在y＝上，∴k＝＝．故答案為：．13．（2分）（2023?寧波）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為12，a的值為9．解：設(shè)A（m，），∵AE∥x軸，且點(diǎn)E在函數(shù)y＝上，∴E（，）．∵AC＝2BC，且點(diǎn)B在函數(shù)y＝上，∴B（﹣2m，﹣）．∵BD∥y軸，點(diǎn)D在函數(shù)y＝上，∴D（﹣2m，﹣）．∵△ABE的面積為9，∴S△ABE＝AE×（+）＝（m﹣）（+）＝m??＝＝9．∴a﹣b＝12．∵△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，∴S△BDE＝DB?（+2m）＝（﹣+）（）m＝（a﹣b）??（）?m＝3（）＝5．∴a＝﹣3b．又a﹣b＝12．∴a＝9．故答案為：12，9．14．（2分）（2023?南通）某型號(hào)汽車行駛時(shí)功率一定，行駛速度v（單位：m/s）與所受阻力F（單位：N）是反比例函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．若該型號(hào)汽車在某段公路上行駛時(shí)速度為30m/s，則所受阻力F為2500N．解：設(shè)功率為P，由題可知P＝FV，即v＝，將F＝3750N，v＝20m/s代入可得：P＝75000，即反比例函數(shù)為：v＝．當(dāng)v＝30m/s時(shí)，F(xiàn)＝＝2500N．胡答案為：2500．15．（2分）（2023?河北）如圖，已知點(diǎn)A（3，3），B（3，1），反比例函數(shù)圖象的一支與線段AB有交點(diǎn)，寫出一個(gè)符合條件的k的整數(shù)值：k＝4（答案不唯一）．解：由圖可知：k＞0，∵反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與線段AB有交點(diǎn)，且點(diǎn)A（3，3），B（3，1），∴把B（3，1）代入y＝得，k＝3，把A（3，3）代入y＝得，k＝3×3＝9，∴滿足條件的k值的范圍是3≤k≤9的整數(shù)，故k＝4（答案不唯一），故答案為：k＝4（答案不唯一）．16．（2分）（2023?徐州）如圖，點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA＝PB．一次函數(shù)y＝x+1的圖象與PB交于點(diǎn)D，若D為PB的中點(diǎn)，則k的值為4．解：設(shè)一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，則M（﹣1，0），N（0，1），∴OM＝ON＝1，∵PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA＝PB，∴四邊形AOBP是正方形，∴PB∥x軸，PB＝OB，∴△DBN∽△MON，∴＝＝1，∴BD＝BN，∵D為PB的中點(diǎn)，∴N為OB的中點(diǎn)，∴OB＝2ON＝2，∴PB＝OB＝2，∴P（2，2），∵點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上，∴k＝2×2＝4，故答案為：4．17．（2分）（2023?無(wú)錫）已知曲線C1、C2分別是函數(shù)y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的圖象，邊長(zhǎng)為6的正△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C2上，則k的值為6．解：作A′D⊥x軸于D，B′E⊥x軸于E，∵將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C2上，∴S△OA′D＝k，S△OB′E＝×|﹣2|＝1，∵邊長(zhǎng)為6的正△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），OA⊥BC，∴OB＝3，OA＝3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OB′＝OB＝3，OA′＝OA＝3，∴＝，∵∠A′OB′＝∠AOB＝90°，∴∠B′OE+∠A′OD＝90°，∵∠A′OD+∠OA′D＝90°，∴∠B′OE＝∠OA′D，∵∠OEB′＝∠A′DO＝90°，∴△A′OD∽△OB′E，∴＝3，即，∴k＝6．故答案為：6．18．（2分）（2023?深圳）如圖，Rt△OAB與Rt△OBC位于平面直角坐標(biāo)系中，∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，若AB＝，反比例函數(shù)y＝（k≠0）恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則k＝4．解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，垂足為E，∵∠AOB＝∠BOC＝30°，BA⊥OA，CB⊥OB，AB＝，∴OB＝2AB＝2，∠COE＝90°﹣30°﹣30°＝30°，在Rt△OBC中＝，即＝，∴OC＝4，在Rt△OCE中＝，即＝，CE＝2，＝，即＝，∴OE＝2，∴點(diǎn)C（2，2），∴k＝2×2＝4．故答案為：4．19．（2分）（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2）．連接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為2﹣2．解：過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線交MA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∵∠MOA+∠MAO＝90°，∠NAB+∠MAO＝90°，∴∠MOA＝∠NAB，∵∠AMO＝∠ANB＝90°，AO＝AB．∴△AMO≌△BNA（AAS），∴AM＝NB＝m，MO＝AN＝2．∴A（m，2），B（m+2，2﹣m），∵點(diǎn)A、B都在反比例函數(shù)上，∴2m＝（m+2）（2﹣m），解得：m1＝﹣1+，m2＝﹣1﹣（舍去），∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1+，2），∴k＝xy＝2（﹣1）＝2﹣2．20．（2分）（2023?衢州）如圖，點(diǎn)A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA＝2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為24．解：設(shè)OA＝4a，∵AO＝2AB，∴AB＝2a，∴OB＝AB+OA＝6a，則B（6a，0），由于在正方形ABEF中，AB＝BE＝2a，∵Q為BE中點(diǎn)，∴BQ＝AB＝a，∴Q（6a，a），∵Q在反比例函數(shù)y＝（k＞0））上，∴k＝6a×a＝6a2，∵四邊形OACD是正方形，∴C（4a，4a），∵P在CD上，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為4a，∵P在反比例函數(shù)y＝（k＞0）上，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x＝，∴P（，4a），∵作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N，∴四邊形OMNH是矩形，∴NH＝，MH＝a，∴S矩形OMHN＝NH×MH＝×a＝6，則k＝24，故答案為：24．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?東營(yíng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝ax+b（a＜0）與反比例函數(shù)y＝（k≠0）交于A（﹣m，3m），B（4，﹣3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接OA，OB．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求△AOB的面積；（3）請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出不等式＜ax+b的解集．解：（1）∵點(diǎn)B（4，﹣3）在反比例函數(shù)的圖象上，∴．∴k＝﹣12．∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．∵A（﹣m，3m）在反比例函數(shù)y＝﹣的圖象上，∴．∴m1＝2，m2＝﹣2（舍去）．∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，6）．∵點(diǎn)A，B在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，把點(diǎn)A（﹣2，6），B（4，﹣3）分別代入，得，∴．∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣．（2）∵點(diǎn)C為直線AB與y軸的交點(diǎn)，∴OC＝3．∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝?OC?|xA|+?OC?|xB|＝×3×2+×3×4＝9．（3）由題意得，x＜﹣2或0＜x＜4．22．（6分）（2023?濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點(diǎn)．（1）求直線y＝kx+b的解析式；（2）在雙曲線上任取兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫出判斷過(guò)程；（3）請(qǐng)直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．解：（1）由題意，將B點(diǎn)代入雙曲線解析式y(tǒng)＝，∴2＝．∴m＝﹣2．∴雙曲線為y＝﹣．又A（2，a）在雙曲線上，∴a＝﹣1．∴A（2，﹣1）．將A、B代入一次函數(shù)解析式得，∴．∴直線y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+1．（2）由題意，可分成兩種情形．①M(fèi)、N在雙曲線的同一支上，由雙曲線y＝﹣，在同一支上時(shí)函數(shù)值隨x的增大而增大，∴當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＜y2．②M、N在雙曲線的不同的一支上，∵x1＜x2，∴x1＜0＜x2．∴此時(shí)由圖象可得y1＞0＞y2，即此時(shí)當(dāng)x1＜x2時(shí)，y1＞y2．（3）依據(jù)圖象，即一次函數(shù)值大于反比例函數(shù)值，∵A（2，﹣1），B（﹣1，2），∴不等式的解集為：x＜﹣1或0＜x＜2．23．（8分）（2023?蘇州）如圖，一次函數(shù)y＝2x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（4，n）．將點(diǎn)A沿x軸正方向平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B，D為x軸正半軸上的點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，連接BD，BD的中點(diǎn)C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．（1）求n，k的值；（2）當(dāng)m為何值時(shí)，AB?OD的值最大？最大值是多少？解：（1）將點(diǎn)A（4，n）代入y＝2x，得：n＝8，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），將點(diǎn)A（4，8）代入，得：k＝32．（2）∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，∴點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)．過(guò)點(diǎn)C作直線EF⊥x軸于F，交AB于E，由平移的性質(zhì)得：AB∥x軸，AB＝m，∴∠B＝∠CDF，∵點(diǎn)C為BD的中點(diǎn)，∴BC＝DC，在△ECB和△FCD中，，∴△ECB≌△FCD（ASA），∴BE＝DF，CE＝CF．∵AB∥x軸，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8），∴EF＝8，∴CE＝CF＝4，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4，由（1）知：反比例函數(shù)的解析式為：，∴當(dāng)y＝4時(shí)，x＝8，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，4），∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8，8），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（8，0），∵點(diǎn)A（4，8），AB＝m，AB∥x軸，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m+4，8），∴BE＝m+4﹣8＝m﹣4，∴DF＝BE＝m﹣4，∴OD＝8﹣（m﹣4）＝12﹣mAB?OD＝m（12﹣m）＝﹣（m﹣6）2+36∴當(dāng)m＝6時(shí)，AB?OD取得最大值，最大值為36．24．（8分）（2023?衡陽(yáng)）如圖，正比例函數(shù)y＝x的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象相交于點(diǎn)A．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)．（2）分別以點(diǎn)O、A為圓心，大于OA一半的長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)B和點(diǎn)C，作直線BC，交x軸于點(diǎn)D．求線段OD的長(zhǎng)．解：（1）解方程組（x＞0），得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）；（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，0）．由題意可知，BC是OA的垂直平分線，∴AD＝OD，∴（x﹣3）2+42＝x2，∴x＝，∴D（，0），OD＝．25．（8分）（2023?寧夏）給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p（KPa）是氣體體積V（m3）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過(guò)150KPa時(shí)，氣球會(huì)爆炸，若將氣球近似看成一個(gè)球體，試估計(jì)氣球的半徑至少為多少時(shí)氣球不會(huì)爆炸（球體的體積公式V＝πr3，π取3）；（2）請(qǐng)你利用p與V的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎．解：（1）設(shè)函數(shù)關(guān)系式為p＝，根據(jù)圖象可得：k＝pV＝120×0.04＝4.8，∴，∴當(dāng)p＝150時(shí)，，∴×3r3＝0.032，解得：r＝0.2，∵k＝4.8＞0，∴p隨V的增大而減小，∴要使氣球不會(huì)爆炸，V≥0.032，此時(shí)r≥0.2，∴氣球的半徑至少為0.2m時(shí)，氣球不會(huì)爆炸；（2）由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎．26．（8分）（2023?貴州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，反比例函數(shù)的圖象分別與AB，BC交于點(diǎn)D（4，1）和點(diǎn)E，且點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式和點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）若一次函數(shù)y＝x+m與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M在