第01講 中考熱點(diǎn)實(shí)數(shù)（知識精講+真題練+模擬練+自招練）沖刺2023年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、重難點(diǎn)題型解題方法與策略+真題演練（上海專用）（解析版）

第01講中考熱點(diǎn)實(shí)數(shù)（知識精講+真題練+模擬練+自招練）【溫馨提醒】中考考點(diǎn)第一模塊的“數(shù)”，包括有理數(shù)與實(shí)數(shù)等章節(jié)，但是涉及的知識點(diǎn)合計(jì)有45個考點(diǎn)。很多地市中考數(shù)學(xué)試卷的涉及實(shí)數(shù)模塊的考題常常是中考第一題，命制原則以送分送到位為準(zhǔn)。但是也有一些地市的命制以多個模塊（不僅僅是實(shí)數(shù)）的多個知識點(diǎn)綜合的考核，既可以綜合實(shí)數(shù)模塊的多個考點(diǎn)，又可以實(shí)數(shù)結(jié)合概率的知識點(diǎn)，還有需要注意涉及數(shù)軸的知識與其他知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，以及關(guān)注到數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容在考題中的滲透。所以這一部分的中考復(fù)習(xí)要扎實(shí)，要關(guān)注到基礎(chǔ)概念的準(zhǔn)確深入的理解，而不是死記硬背知識點(diǎn)?！究季V要求】1.了解有理數(shù)、無理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念；借助數(shù)軸理解相反數(shù)、絕對值的概念及意義，會比較實(shí)數(shù)的大小；2.知道實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)，會用科學(xué)記數(shù)法表示有理數(shù)，會求近似數(shù)和有效數(shù)字；了解乘方與開方、平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，并理解這兩種運(yùn)算之間的關(guān)系，了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)；3.掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活運(yùn)用.【知識導(dǎo)圖】【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的分類1.按定義分類：2.按性質(zhì)符號分類：有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)或者“形如（m，n是整數(shù)n≠0）”的數(shù)叫有理數(shù)．無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)．實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：常見的無理數(shù)有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數(shù)，等都是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)；（2）構(gòu)造型：如2.10100100010000…（每兩個1之間依次多一個0）就是一個無限不循環(huán)的小數(shù)；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數(shù)；（4）三角函數(shù)型：sin35°、tan27°、cos29°等.考點(diǎn)二:實(shí)數(shù)的相關(guān)概念1.相反數(shù)（1)代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)，我們說其中一個是另一個的相反數(shù)．0的相反數(shù)是0；（2)幾何意義：在數(shù)軸上原點(diǎn)的兩側(cè)，與原點(diǎn)距離相等的兩個點(diǎn)表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)；（3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0.a、b互為相反數(shù)a+b=0.2.絕對值（1)代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．可用式子表示為：（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．距離是一個非負(fù)數(shù)，所以絕對值的幾何意義本身就揭示了絕對值的本質(zhì)，即絕對值是一個非負(fù)數(shù)．用式子表示：若a是實(shí)數(shù)，則|a|≥0．要點(diǎn)詮釋：若則則表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的點(diǎn)之間的距離.3.倒數(shù)（1)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是；0沒有倒數(shù)；（2)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)．a(chǎn)、b互為倒數(shù).4.平方根（1)如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根．一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一個平方根，它是0本身；負(fù)數(shù)沒有平方根．a(chǎn)（a≥0）的平方根記作．（2)一個正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根．a(chǎn)（a≥0）的算術(shù)平方根記作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根；0的立方根仍是0．考點(diǎn)三:實(shí)數(shù)與數(shù)軸規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，數(shù)軸的三要素缺一不可．每一個實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點(diǎn)都表示一個實(shí)數(shù)．要點(diǎn)詮釋：（1）數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度.（2）實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.考點(diǎn)四:實(shí)數(shù)大小的比較1.對于數(shù)軸上的任意兩個點(diǎn)，靠右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)較大.2.正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)；絕對值大的反而小.3.對于實(shí)數(shù)a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.對于實(shí)數(shù)a，b，c，若a>b，b>c，則a>c.5.無理數(shù)的比較大?。豪闷椒睫D(zhuǎn)化為有理數(shù)：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒數(shù)轉(zhuǎn)化：如比較與.要點(diǎn)詮釋：實(shí)數(shù)大小的比較方法：（1）直接比較法：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小.（2）數(shù)軸法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.考點(diǎn)五；實(shí)數(shù)的運(yùn)算1.加法同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．滿足運(yùn)算律：加法的交換律a+b=b+a，加法的結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)．2.減法減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．3.乘法兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘.幾個非零實(shí)數(shù)相乘，積的符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正；當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)．幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．乘法運(yùn)算的運(yùn)算律：（1）乘法交換律ab=ba；（2）乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法對加法的分配律a(b+c)=ab+ac．4.除法（1）除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)．（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除．0除以任何一個不等于0的數(shù)都得0．5.乘方與開方（1)求n個相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，a所表示的意義是n個a相乘.正數(shù)的任何次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)．（2)正數(shù)和0可以開平方，負(fù)數(shù)不能開平方；正數(shù)、負(fù)數(shù)和0都可以開立方．（3)零指數(shù)與負(fù)指數(shù)要點(diǎn)詮釋：加和減是一級運(yùn)算，乘和除是二級運(yùn)算，乘方和開方是三級運(yùn)算．這三級運(yùn)算的順序是三、二、一．如果有括號，先算括號內(nèi)的；如果沒有括號，同一級運(yùn)算中要從左至右依次運(yùn)算．考點(diǎn)六：有效數(shù)字和科學(xué)記數(shù)法一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位．一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，都叫做這個近似數(shù)的有效數(shù)字．精確度的形式有兩種：（1）精確到哪一位；（2）保留幾個有效數(shù)字.把一個數(shù)用±a×10（其中1≤＜10，n為整數(shù)）的形式記數(shù)的方法叫科學(xué)記數(shù)法．要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對值大于1時，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為正整數(shù)，其值等于原數(shù)中整數(shù)部分的數(shù)位減去1；（2）當(dāng)要表示的數(shù)的絕對值小于1時，用科學(xué)記數(shù)法寫成a×10，其中1≤＜10，n為負(fù)整數(shù)，其值等于原數(shù)中第一個非零數(shù)字前面所用零的個數(shù)的相反數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的零）.【典型例題】題型一、實(shí)數(shù)的有關(guān)概念 【例1-1】（1）a的相反數(shù)是，則a的倒數(shù)是_______．（2）實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:則化簡=______．（3）去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝，用科學(xué)記數(shù)法表示為約____________．【答案】（1）5；（2）-a-b；（3）1.02×107畝.【解析】（1）注意相反數(shù)和倒數(shù)概念的區(qū)別，互為相反數(shù)的兩個數(shù)只有性質(zhì)符號不同，互為倒數(shù)的兩個數(shù)要改變分子分母的位置；或者利用互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和等于0，互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積等于1來計(jì)算.（2）此題考查絕對值的幾何意義，絕對值和二次根式的化簡.注意要去掉絕對值符號，要判別絕對值內(nèi)的數(shù)的性質(zhì)符號.由圖知：3）考查科學(xué)記數(shù)法的概念.【點(diǎn)評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學(xué)生加強(qiáng)對實(shí)數(shù)有關(guān)概念的理解．【例1-2】．在實(shí)數(shù)－，0，，－3.14，，，－0.1010010001…（每兩個1之間依次多1個0），sin30°這8個實(shí)數(shù)中，無理數(shù)有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【答案】C；【解析】在上面所給的實(shí)數(shù)中，只有，，－0.1010010001…這三個數(shù)是無理數(shù)，其它五個數(shù)都是有理數(shù)，故選C.【點(diǎn)評】對實(shí)數(shù)分類，不能只為表面形式迷惑，而應(yīng)從最后結(jié)果去判斷．首先明確無理數(shù)的概念，即“無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)”.一般來說，用根號表示的數(shù)不一定就是無理數(shù)，如=2是有理數(shù)，關(guān)鍵在于這個形式上帶根號的數(shù)的最終結(jié)果是不是無限不循環(huán)小數(shù)．同樣，用三角符號表示的數(shù)也不一定就是無理數(shù)，如sin30°、tan45°等．而－0.1010010001…盡管有規(guī)律，但它是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù)．是無理數(shù)，而不是分?jǐn)?shù)．【變式1】據(jù)市旅游局統(tǒng)計(jì)，今年“五·一”小長假期間，我市旅游市場走勢良好，假期旅游總收入達(dá)到8.55億元，用科學(xué)記數(shù)法可以表示為（）A．8.55×106

B．8.55×107

C．8.55×108

D．8.55×109【答案】C.【變式2】倒數(shù)等于它本身的數(shù)是______，相反數(shù)等于它本身的數(shù)是______，絕對值等于它本身的數(shù)是______．【答案】±1；0；非負(fù)數(shù).題型二：實(shí)數(shù)的分類與計(jì)算【例2-1】下列實(shí)數(shù)、sin60°、、、3.14159、-、、中無理數(shù)有（）個A．1B．2C．3D．4【答案】C.【解析】無理數(shù)有sin60°、、.【點(diǎn)評】對實(shí)數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再根據(jù)結(jié)果去判斷．【變式】在中，哪些是有理數(shù)?哪些是無理數(shù)?【答案】都是有理數(shù)；都是無理數(shù).【例2-2】．計(jì)算：計(jì)算：．【答案與解析】【點(diǎn)評】該題是實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包括絕對值，0指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正整數(shù)指數(shù)冪．只要準(zhǔn)確把握各自的意義，就能正確的進(jìn)行運(yùn)算．【變式1】計(jì)算：【答案】；【變式2】計(jì)算：【答案】設(shè)n=2001，則原式=（把n2+3n看作一個整體）==n2+3n+1=n(n+3)+1=2001×2004+1=4010005.【例2-3】(1)有一列數(shù)，…，那么依此規(guī)律，第7個數(shù)是______；（2）已知依據(jù)上述規(guī)律，則．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)符號：單數(shù)為負(fù)，雙數(shù)為正，所以第7個為負(fù).分子規(guī)律：第幾個數(shù)就是幾，即第7個數(shù)分子就是7，分母規(guī)律：分子的平方加1，第7個數(shù)分母就是50.所以第7個數(shù)是.（2）【點(diǎn)評】(1)規(guī)律：（n為正整數(shù)）；（2）規(guī)律：（n為正整數(shù)）.【變式】a是不為1的有理數(shù)，我們把稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是，的差倒數(shù)是．已知，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，是的差倒數(shù)，…，依此類推，則．【答案】因?yàn)?，…?.三個一循環(huán)，因此題型三：實(shí)數(shù)大小的比較【例3-1】比較下列每組數(shù)的大?。海?）與（2）a與（a≠0）【答案與解析】（1），，而與可以很容易進(jìn)行比較得到：，所以；（2）當(dāng)a<-1或O<a<1時，a<；當(dāng)-1<a<0或a>1時，a>；當(dāng)a=時，a=.【點(diǎn)評】（1）有時無理數(shù)比較大小，通過平方轉(zhuǎn)化以后也無法進(jìn)行比較，那么我們可以利用倒數(shù)關(guān)系比較；（2）這道題實(shí)際上是互為倒數(shù)的兩個數(shù)之間的比較大小，我們可以利用數(shù)軸進(jìn)行比較，我們知道，0沒有倒數(shù)，±1的倒數(shù)等于它本身，這樣數(shù)軸就被這3個數(shù)分成了4部分，下面就可以分類討論每種情況.我們還可以利用函數(shù)圖象來解決這個問題，把的值看成是關(guān)于a的反比例函數(shù)，把a(bǔ)的值看成是關(guān)于a的正比例函數(shù)，在坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，可以很直觀的比較出它們的大小.【變式】比較下列每組數(shù)的大?。海?）和（2）和【答案】（1）將其通分，轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)比較大小，，，，所以.（2）因?yàn)?，所?【例3-2】若，，試不用將分?jǐn)?shù)化小數(shù)的方法比較a、b的大?。敬鸢概c解析】a=，b，，∴a<b．【點(diǎn)評】通過通分進(jìn)行比較.【變式】當(dāng)時，比較1＋b與1的大小.【答案】（1）∵b≠0時，∴b＞0或b＜0．當(dāng)b＞0時，1＋b＞1，當(dāng)b＜0時，1＋b＜1.題型四：平方根的應(yīng)用【例4-1】已知：x，y是實(shí)數(shù)，，若axy-3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是_______.【答案】.【解析】，即兩個非負(fù)數(shù)相加和為0，則這兩個非負(fù)數(shù)必定同時為0，∴，(y-3)2=0，∴x=，y=3又∵axy-3x=y，∴a=.【點(diǎn)評】此題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì).【例4-2】已知，求的值.【答案與解析】∵≥0，≥0，≥0，.∴解得則.【點(diǎn)評】利用≥0，≥0，≥0（為自然數(shù)）等常見的三種非負(fù)數(shù)及其性質(zhì)，分別令它們?yōu)榱?，得一個三元一次方程組，解得、、的值，代入后本題得以解決?！咀兪健恳阎獂、y是實(shí)數(shù)，且+（y2－6y+9）=0，若axy－3x=y，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．B．－C．D．－【答案】A.∵+（y－3）2=0，∴3x+4=0，y－3=0，∴x=－，y=3．∵axy－3x=y，∴－×3a－3×（－）=3，∴a=∴答案選A.題型五：實(shí)數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探索【例6-1】細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題（1）請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長；（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值.【答案與解析】（1）由題意可知，圖形滿足勾股定理，（2）因?yàn)镺A1=，OA2=，OA3=…，所以O(shè)A10=（3）S12+S22+S32+…+S102===.【點(diǎn)評】近幾年各地的中考題中越來越多的出現(xiàn)了一類探究問題規(guī)律的題目，這些問題素材的選擇、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)不僅考察了數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，基本技能，更重點(diǎn)考察了創(chuàng)新意識和能力，還考察了認(rèn)真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.【變式】圖中是一幅“蘋果圖”，第一行有1個蘋果，第二行有2個，第三行有4個，第四行有8個，……你是否發(fā)現(xiàn)蘋果的排列規(guī)律？猜猜看，第十行有______個蘋果．【答案】2（512）.【例6-2】在快速計(jì)算法中，法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的，后面的就改用手勢了．下面兩個圖框是用法國“小九九”計(jì)算8×9和6×7的兩個示例．

（1）用法國“小九九”計(jì)算7×8，左、右手依次伸出手指的個數(shù)是多少？

（2）設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù)，請你說明用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b的正確性？【答案與解析】（1）按照題中示例可知：要計(jì)算7×8，左手應(yīng)伸出7-5=2個手指，右手應(yīng)伸出8-5=3個手指；

（2）按照題中示例可知：要計(jì)算a×b，左手應(yīng)伸出（a-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（a-5）=10-a；右手應(yīng)伸出（b-5）個手指，未伸出的手指數(shù)為5-（b-5）=10-b

兩手伸出的手指數(shù)的和為（a-5）+（b-5）=a+b-10，

未伸出的手指數(shù)的積為（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b

根據(jù)題中的規(guī)則，a×b的結(jié)果為10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）

而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b

所以用題中給出的規(guī)則計(jì)算a×b是正確的．【點(diǎn)評】此題是定義新運(yùn)算題型．通過閱讀規(guī)則，得出一般結(jié)論．解題關(guān)鍵是對號入座不要找錯對應(yīng)關(guān)系．【例6-3】探究數(shù)字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天體，它的體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到它那里都別想再“爬出來”，無獨(dú)有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它“吸”進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌．譬如：任意找一個3的倍數(shù)的數(shù)，先把這個數(shù)的每個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新的數(shù)，然后把這個新數(shù)每個數(shù)位上的數(shù)字再立方，求和…，重復(fù)運(yùn)算下去，就能得到一個固定的數(shù)T=_________，我們稱它為數(shù)字“黑洞”，T為何具有如此魔力通過認(rèn)真的觀察、分析，你一定能發(fā)現(xiàn)它的奧秘！此短文中的T是（）A．363B．153C．159D．456【答案】B；【解析】把6代入計(jì)算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；開始重復(fù)，則T=153．故選B．【點(diǎn)評】此題只需根據(jù)題意，任意找一個符合條件的數(shù)進(jìn)行計(jì)算，直至計(jì)算得到重復(fù)的數(shù)值，即是所求的黑洞數(shù)．可以任意找一個3的倍數(shù)，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；開始重復(fù)，則可知T=153．【變式1】下面由火柴棒拼出的一系列圖形中，第個圖形是由個正方形組成的，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)：（1）第四個圖形中火柴棒的根數(shù)是；（2）第個圖形中火柴棒的根數(shù)是.【答案】（1）13；（2）.【變式2】有一列數(shù)1、2、3、4、5、6、…，當(dāng)按順序從第2個數(shù)到第6個數(shù)時，共數(shù)了個數(shù)；當(dāng)按順序從第個數(shù)到第個數(shù)（＜）時，共數(shù)了個數(shù)?！敬鸢浮?；.【中考過關(guān)真題練】一、單選題1．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）8的相反數(shù)是（

）A． B．8 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．【詳解】解：8的相反數(shù)是，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2011·上?！ぶ锌颊骖}）﹣5的絕對值是（）A．5 B．﹣5 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)可得答案．【詳解】解：|﹣5|=5．故選A．3．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）如果與3互為倒數(shù)，那么是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：3的倒數(shù)是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了倒數(shù)．4．（2017·上?！ぶ锌颊骖}）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．0 B． C．﹣2 D．【答案】B【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐一判斷即可得．【詳解】0，﹣2，是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選B．5．（2015·上?！ぶ锌颊骖}）下列實(shí)數(shù)中，是有理數(shù)的為（）A． B． C．π D．0【答案】D【詳解】是無理數(shù)，A不正確；是無理數(shù)，B不正確；π是無理數(shù)，C不正確；0是有理數(shù)，D正確；故選D．二、填空題6．（2015·上海·中考真題）計(jì)算：_______．【答案】【詳解】試題分析：．考點(diǎn)：1．絕對值的定義；2．有理數(shù)的基本運(yùn)算．7．（2012·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：=_________．【答案】【分析】按照有理數(shù)的減法法則結(jié)合絕對值的意義進(jìn)行解答即可.【詳解】.故答案為：.8．（2019·上海·中考真題）如果一個正方形的面積為3，則這個正方形的邊長是_____________．【答案】【分析】設(shè)這個正方形的邊長為x（x＞0），由題意得x2＝3，根據(jù)算術(shù)平方根的定義解決此題．【詳解】解：設(shè)這個正方形的邊長為x（x＞0）．由題意得：x2＝3．∴x＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的面積以及算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．9．（2018·上?！ぶ锌颊骖}）的立方根是__________．【答案】-2【分析】根據(jù)立方根的定義進(jìn)行求解即可得．【詳解】解：∵（﹣2）3=﹣8，∴﹣8的立方根是﹣2，故答案為﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的定義，熟練掌握立方根的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題10．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：【答案】2【分析】根據(jù)分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對值化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式以及同類項(xiàng)即可．【詳解】解：，=，=，=2．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)混合運(yùn)算，分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對值符號化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式與同類項(xiàng)，掌握實(shí)數(shù)混合運(yùn)算法則與運(yùn)算順序，分指數(shù)運(yùn)算法則，絕對值符號化簡，負(fù)整指數(shù)運(yùn)算法則，化最簡二次根式，合并同類二次根式與同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．11．（2017·上海·中考真題）計(jì)算：+（﹣1）2﹣+（）﹣1．【答案】+2【詳解】試題分析：根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算．試題解析：原式=3+2﹣2+1﹣3+2=+2.考點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算12．（2016·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：．【答案】．【詳解】試題分析：根據(jù)絕對值、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，二次根式、負(fù)指數(shù)冪的定義解答即可．試題解析：原式．考點(diǎn)：實(shí)數(shù)的運(yùn)算．13．（2013·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：．【答案】【分析】針對二次根式化簡，絕對值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪4個考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果.【詳解】解：原式=.14．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：【答案】【分析】原式分別化簡，再進(jìn)行合并即可得到答案．【詳解】解：==【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2019·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：【答案】-3．【分析】首先進(jìn)行二次根式的化簡、去絕對值符號以及二次根式的乘法，然后再合并同類二次根式即可．【詳解】解：==-3．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．16．（2020·上?！ぶ锌颊骖}）計(jì)算：+﹣()﹣2+|3﹣|．【答案】0．【分析】利用分?jǐn)?shù)的指數(shù)冪的意義，分母有理化，負(fù)指數(shù)冪的意義，絕對值的性質(zhì)計(jì)算后合并即可．【詳解】原式=+﹣4+3﹣=3+﹣4+3﹣=0．【點(diǎn)睛】本題考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算，絕對值的意義以及分母有理化運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17．（2012·上海·中考真題）計(jì)算：．【答案】3.【分析】利用二次根式的分母有理化以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，分別化簡，進(jìn)而利用實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】原式=.【中考挑戰(zhàn)滿分模擬練】一、單選題1．（2022·上海普陀·二模）下列各數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的是A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)到原點(diǎn)距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)就是絕對值最大的數(shù)，對每個數(shù)作出判斷，即可求出答案．【詳解】2到原點(diǎn)的距離是2個長度單位，1到原點(diǎn)的距離是1個長度單位，-1.5到原點(diǎn)的距離是1.5個長度單位，-3到原點(diǎn)的距離是3個長度單位，即到原點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)是﹣3．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查絕對值的幾何意義，絕對值就是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離，求出每一個數(shù)的絕對值就是到原點(diǎn)的距離．2．（2022·上海奉賢·二模）如果實(shí)數(shù)a與3互為相反數(shù)，那么a是（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】僅僅只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的定義可得答案．【詳解】解：實(shí)數(shù)a與3互為相反數(shù)，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是實(shí)數(shù)的相反數(shù)的含義，掌握“相反數(shù)的定義”是解本題的關(guān)鍵．3．（2022·上海奉賢·二模）據(jù)2022年北京冬奧會新聞發(fā)言人透露，中國大陸地區(qū)約316000000人次收看了冬奧會的開幕式．?dāng)?shù)據(jù)316000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：數(shù)字316000000科學(xué)記數(shù)法可表示為3.16×108．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（2022·上海靜安·二模）下列各式中，計(jì)算結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪轉(zhuǎn)化成開平方可解決A選項(xiàng)；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪遵循“底倒，指反”的原則可解決B選項(xiàng)；利用任何數(shù)的1次方都等于它本身，可解決C選項(xiàng)；利用任何一個不為零的數(shù)的0次冪都等于1，可解決D選項(xiàng)．【詳解】解：A、，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；B、，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；D、，故選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，正確運(yùn)用運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．5．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）下列說法中，錯誤的有（

）①2能被6整除；②把16開平方得16的平方根，表示為；③把237145精確到萬位是240000；④對于實(shí)數(shù)，規(guī)定A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】根據(jù)平方根、近似數(shù)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可進(jìn)行排除選項(xiàng)．【詳解】解：①2能被6整除，原說法錯誤；②把16開平方得16的平方根，表示為，原說法錯誤；③把237145精確到萬位是，原說法錯誤；④對于實(shí)數(shù)，規(guī)定，當(dāng)m、n不為正整數(shù)時，不成立，原說法錯誤；所以錯誤的有4個；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方根、近似數(shù)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，熟練掌握平方根、近似數(shù)及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．6．（2022·上海金山區(qū)世界外國語學(xué)校一模）某市參加畢業(yè)考試的學(xué)生人數(shù)約為8.63×人．關(guān)于這里的近似數(shù)8.63×，下列說法正確的是（

）A．精確到百分位，有3個有效數(shù)字； B．精確到百位，有3個有效數(shù)字；C．精確到百分位，有5個有效數(shù)字； D．精確到百位，有5個有效數(shù)字．【答案】B【分析】在標(biāo)準(zhǔn)形式a×10n中a的部分中，從左邊第一個不為0的數(shù)字?jǐn)?shù)起，共有3個有效數(shù)字是8，6，3，且其展開后可看出精確到的是百位．【詳解】解：8.63×104=86300，所以有3個有效數(shù)字，8，6，3，精確到百位．故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查科學(xué)記數(shù)法與有效數(shù)字，解答的關(guān)鍵是明確用科學(xué)記數(shù)法表示的數(shù)的有效數(shù)字的確定方法．7．（2022·上海松江·二模）下列各數(shù)中，無理數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：A.是無理數(shù)，此選項(xiàng)符合題意；B.是有理數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；C.＝2是有理數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；D.是有理數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)，無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2022·上海閔行·二模）下列實(shí)數(shù)中，一定是無限不循環(huán)小數(shù)的是（

）A． B． C． D．0.2022022022…【答案】C【分析】根據(jù)有理數(shù)，無理數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】是整數(shù)，不是無限不循環(huán)小數(shù)，A選項(xiàng)不符合題意；是分?jǐn)?shù)，不是無限不循環(huán)小數(shù)，B選項(xiàng)不符合題意；是無限不循環(huán)小數(shù)，C選項(xiàng)符合題意；0.2022022022…是無限循環(huán)小數(shù)，D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了無理數(shù)的定義，即無限不循環(huán)小數(shù)，涉及求一個數(shù)的立方根，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2022·上海徐匯·二模）下列實(shí)數(shù)中，有理數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用有理數(shù)的定義判斷即可．【詳解】、、都是無理數(shù)，是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)，以及有理數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)．10．（2022·上?！つM預(yù)測）在下列四個實(shí)數(shù)中，最小的是（

）A．﹣2 B．﹣ C．0 D．【答案】A【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較方法即可求解．【詳解】解：∵﹣2＜﹣＜0＜最小的是故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查實(shí)數(shù)的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知實(shí)數(shù)的大小比較方法．11．（2022·上海寶山·二模）若數(shù)軸上表示－1和－3的兩點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，則點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離是（

）A． B．－2 C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：AB=|-1-（-3）|=2．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離及有理數(shù)的減法運(yùn)算，正確表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離并準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．12．（2022·上海長寧·二模）的倒數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)求一個數(shù)的倒數(shù)的方法排除選項(xiàng)即可．【詳解】的倒數(shù)是；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡及倒數(shù)，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到這個數(shù)的倒數(shù)，然后根據(jù)最簡二次根式化簡即可．二、填空題13．（2022·上海嘉定·二模）化簡：||＝_____．【答案】##【分析】先判斷>0，再根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵3＞2∴∴>0∴||＝故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的意義進(jìn)行求解，關(guān)鍵是確定實(shí)數(shù)的符號．14．（2022·上?！つM預(yù)測）的相反數(shù)是______，-2的絕對值是______．【答案】

2【分析】據(jù)相反數(shù)的定義和絕對值的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：的相反數(shù)是；?2的絕對值是2，故答案為：，2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對值的性質(zhì)以及相反數(shù)的定義；符號相反，絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．15．（2022·上?！つM預(yù)測）若|a|=3，|b|=4，且a，b異號，則|a+b|=______．【答案】1【分析】根據(jù)題意可得：a=±3，b=±4，根據(jù)a、b異號可得：當(dāng)a=3時，b=-4，a+b=-1；當(dāng)a=－3時，b=4，則a+b=1.【詳解】∵|a|=3，|b|=4，∴a=±3，b=±4，∵a、b異號，∴當(dāng)a=3時，b=-4，；當(dāng)a=-3時，b=4，.故答案為1【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值，熟練掌握絕對值等于同一個正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，正數(shù)的絕對值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，是解此類問題的關(guān)鍵．16．（2022·上海·二模）已知滿足，則的值是_______．【答案】73【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出a的取值范圍，然后化簡絕對值，再根據(jù)算術(shù)平方根求解．【詳解】解：∵a-9≥0，∴a≥9，∵，∴，∴，∴a=73，故答案為：73．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，絕對值的意義，以及無理方程的解法，根據(jù)二次根式有意義的條件求出a的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．17．（2022·上海奉賢·二模）某眼鏡店暑假期間開展學(xué)生配鏡優(yōu)惠活動．某款式眼鏡的廣告如圖，那么廣告牌上填的原價是______元．【答案】200【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：原價為160÷0.8=200（元）；故答案為200．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)除法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意．18．（2022·上海浦東新·二模）在北京冬奧運(yùn)的火炬?zhèn)鬟f活動中，火炬?zhèn)鬟f的總里程大約為137000公里，用科學(xué)記數(shù)法可表示為________公里．【答案】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．19．（2022·上海寶山·二模）如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)是______．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：這個數(shù)是．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵，一個正數(shù)的平方根有兩個，且這兩個數(shù)互為相反數(shù)．20．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）如果從、、-1、、任意選取一個數(shù)，選到的數(shù)是無理數(shù)的概率為________．【答案】【分析】先找出無理數(shù)的個數(shù)，再利用概率公式計(jì)算即可．【詳解】解：在、、-1、、中，無理數(shù)有和，共計(jì)2個，所以，選到的數(shù)是無理數(shù)的概率為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了概率公式及無理數(shù)的定義，找出無理數(shù)的個數(shù)是解題關(guān)鍵．21．（2022·上海奉賢·二模）的立方根是________．【答案】－3【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．【詳解】解：－27的立方根是－3，故答案為：－3．【點(diǎn)睛】本題考查了立方根的定義，屬于基礎(chǔ)題型，熟知立方根的概念是解題的關(guān)鍵．22．（2022·上?！じ裰轮袑W(xué)二模）9的算術(shù)平方根是．【答案】3【分析】根據(jù)一個正數(shù)的算術(shù)平方根就是其正的平方根即可得出．【詳解】∵，∴9算術(shù)平方根為3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根，熟練掌握算術(shù)平方根的概念是解題的關(guān)鍵．23．（2022·上?！つM預(yù)測）對于正整數(shù)a，規(guī)定，如：，，則____________．【答案】2016【分析】根據(jù)題意得到f（a）＋f（）＝1，進(jìn)而即可得到結(jié)果．【詳解】解：由，得到，f（1）＝，∴，∴原式＝[f（2017）＋f（）]＋…＋[f（2）＋f（）]＋f（1）＝1＋1＋…＋1＋＝2016，故答案是：2016．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的運(yùn)算及定義新運(yùn)算，得到f（a）＋f（）＝1，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·上?！つM預(yù)測）小方利用計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一個計(jì)算程序，輸入和輸出的數(shù)據(jù)如下表：輸入……12345…輸出………那么，當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)為8時，輸出的數(shù)據(jù)為________.【答案】【分析】根據(jù)題意找出一般性規(guī)律，寫出即可．【詳解】根據(jù)題意得：當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)是n時，輸出的數(shù)據(jù)為則當(dāng)輸入的數(shù)據(jù)是8時，輸出的數(shù)據(jù)為，故答案為.【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題25．（2022·上?！の挥袑W(xué)模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】【分析】分別計(jì)算零次冪，三角函數(shù)與絕對值，負(fù)指數(shù)冪及立方，在依次計(jì)算即可．【詳解】解：原式＝1﹣（1）＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，運(yùn)用到知識點(diǎn)：；一個數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù)；的奇次冪是；．26．（2022·上?！ひ荒＃┯?jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡，零次冪進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡，零次冪，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．27．（2022·上?！ざ＃┯?jì)算：．【答案】2﹣π．【分析】根據(jù)題意利用算術(shù)平方根性質(zhì)和去絕對值以及乘方運(yùn)算先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：＝3﹣（π﹣）+（﹣1）﹣＝3﹣π+﹣1﹣＝2﹣π．【點(diǎn)睛】本題考查含乘方和算術(shù)平方根的實(shí)數(shù)運(yùn)算，熟練掌握利用算術(shù)平方根性質(zhì)和去絕對值以及乘方運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解題的關(guān)鍵.28．（2022·上海崇明·二模）計(jì)算：【答案】【分析】對每一項(xiàng)分別進(jìn)行化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．【詳解】原式【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、分母有理化、特殊角度的三角函數(shù)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．29．（2022·上海黃浦·二模）計(jì)算：．【答案】5【分析】先化簡絕對值，計(jì)算零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，并把特殊角三角函數(shù)值代入，最后計(jì)算加減即可．【詳解】解：原式＝5．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握零指數(shù)冪與負(fù)整指數(shù)冪運(yùn)算法則和熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．30．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)一模）計(jì)算：．【答案】【分析】由絕對值運(yùn)算、冪運(yùn)算公式、二次根式的運(yùn)算可求得答案．【詳解】解：原式=【點(diǎn)睛】本題考查絕對值運(yùn)算、冪運(yùn)算公式、二次根式的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)公式和計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．31．（2022·上海長寧·二模）計(jì)算：﹣12022+2cot260°﹣|π﹣3|+．【答案】【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，進(jìn)行求解即可【詳解】解：原式＝【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的乘方運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．32．（2022·上海徐匯·二模）計(jì)算：．【答案】【分析】化簡零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式，絕對值，代入特殊角三角函數(shù)值，利用相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行簡便運(yùn)算，再合并同類二次根式，最后再加減．【詳解】解：原式===【點(diǎn)睛】本題主要考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式，絕對值，代入特殊角三角函數(shù)值，先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．【名校自招練】一．選擇題（共3小題）1．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）根據(jù)第六次全國人口普查，我國全國人口為1370536875人，用科學(xué)記數(shù)法表示該人口可表示為（）A．0.1370536875×1010 B．1.370536875×109 C．13.70536875×108 D．137.0536875×107【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值大于1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值小于1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：1370536875＝1.370536875×109．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．2．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）若＝a+b，其中a是整數(shù)，0＜b＜1，則a的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】首先得出a+b的取值范圍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵＝a+b，≈1.4，≈2.23，∴3＜a+b＜4，∵a是整數(shù)，0＜b＜1，∴a的值是：3．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確記憶與的近似值是解題關(guān)鍵．3．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）假設(shè)a是無理數(shù)，b是有理數(shù)，下面有可能是有理數(shù)的是（）A．a(chǎn)+b B．a(chǎn)﹣b C．a(chǎn)b D．a(chǎn)÷b【分析】A、無理數(shù)與有理數(shù)的和一定是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤；B、無理數(shù)與有理數(shù)的差一定是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤；C、無理數(shù)與有理數(shù)的積可能是有理數(shù)，舉例說明；D、無理數(shù)與有理數(shù)的商不可能為有理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤．【解答】解：A、無理數(shù)與有理數(shù)的和一定是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤；B、無理數(shù)與有理數(shù)的差一定是無理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤；C、無理數(shù)與有理數(shù)的積有可能是有理數(shù)，例如×0＝0，本選項(xiàng)正確；D、無理數(shù)與有理數(shù)的商不可能為有理數(shù)，本選項(xiàng)錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，弄清有理數(shù)與無理數(shù)的運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．二．填空題（共17小題）4．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）計(jì)算：+++…+＝．【分析】原式拆項(xiàng)后，抵消合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案為：【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2014?寶山區(qū)校級自主招生）360的正因數(shù)有24個．【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法解答即可．【解答】解：360＝23×32×5，所以360的正因數(shù)有（3+1）×（2+1）×（1+1）＝24，故答案為：24．【點(diǎn)評】此題考查有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是把360分解因式解答．6．（2002?閔行區(qū)校級自主招生）用科學(xué)記數(shù)法表示：0.00034＝3.4×10﹣4．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：用科學(xué)記數(shù)法表示0.00034＝3.4×10﹣4．【點(diǎn)評】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)，一定要注意a的形式，以及指數(shù)n的確定方法．7．（2016?閔行區(qū)校級自主招生）若的立方根是A，的算術(shù)平方根為B，則A+B＝2．【分析】直接利用立方根的定義和算術(shù)平方根的定義得出答案．【解答】解：∵的立方根是A，的算術(shù)平方根為B，∴，＝，∴A+B＝2．故答案為：2【點(diǎn)評】此題主要考查了立方根和算術(shù)平方根，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．8．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）若的分子、分母同時加上正整數(shù)n時，該分?jǐn)?shù)稱為整數(shù)，這樣的正整數(shù)n共有2個．【分析】先求出1001﹣3的結(jié)果為998，再將998分解質(zhì)因數(shù)即可求解．【解答】解：1001﹣3＝998，998＝2×499，故n+3＝499或998．故正整數(shù)n共有2個．故答案為：2．【點(diǎn)評】考查了有理數(shù)，關(guān)鍵是將998分解質(zhì)因數(shù)．9．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）已知實(shí)數(shù)x滿足|x+1|+|x﹣4|＝7．則x的值是﹣2或5．【分析】分三種情況：x＜﹣1；﹣1≤x≤4；x＞4；去絕對值后解方程即可求解．【解答】解：x＜﹣1時，﹣x﹣1﹣x+4＝7，解得x＝﹣2；﹣1≤x≤4時，x+1﹣x+4＝7，方程無解；x＞4時，x+1+x﹣4＝7，解得x＝5．故答案為：﹣2或5．【點(diǎn)評】考查了絕對值，注意分類思想的運(yùn)用，是中檔題型．10．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）從1，4，7……295，298（隔3的自然數(shù)）中任選兩個數(shù)相加，和的不同值有197個．【分析】兩個數(shù)相加最小的和是1+4＝5，最大的和是295+298＝593，和也是隔3的自然數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出項(xiàng)數(shù)即可求解．【解答】解：1+4＝5，295+298＝593，和是隔3的自然數(shù)，n＝（593﹣5）÷3+1＝588÷3+1＝197．故答案為：197．【點(diǎn)評】考查了有理數(shù)的加法，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是求出兩個數(shù)相加最小的和，以及最大的和．11．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）正數(shù)360共有24個正因數(shù)．【分析】將360分解成幾個質(zhì)因數(shù)乘方的形式，利用約數(shù)和定理即可求出正因數(shù)的個數(shù)．【解答】解：360＝23×32×51，因此共有（3+1）×（2+1）×（1+1）＝4×3×2＝24個約數(shù)，分別是：1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360，故答案為：24【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的乘法，利用了約數(shù)和定理求一個合數(shù)約數(shù)個數(shù)方法．12．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）正整數(shù)2015的不同正因數(shù)的個數(shù)為8個【分析】根據(jù)因數(shù)的定義即可求出正整數(shù)2015的不同正因數(shù)的個數(shù)．【解答】解：正整數(shù)2015的不同正因數(shù)有1，5，13，155，31，65，403，2015，一共8個．故答案為：8．【點(diǎn)評】考查了有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是得出正整數(shù)2015的不同正因數(shù)．13．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）請?jiān)谙铝斜砀竦?個小方格中分別填入數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及兩條對角線上的三個數(shù)之和相等（只需要填1種答案）6，7，2；1，5，9；8，3，4．【分析】因?yàn)?+2+…+9＝45，45÷3＝15，所以每行為15；又因15÷3＝5，所以中間必須填5；其他8個數(shù)按1+9＝10，2+8＝10，3+7＝10，4+6＝10的要求填在相對的其他8個方格內(nèi)；每行、每列、每條對角線上的數(shù)按大數(shù)和小數(shù)互相搭配填，再調(diào)整就可以了．【解答】解：答案如下：672159834故答案為：6，7，2；1，5，9；8，3，4．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的加法，這類問題關(guān)鍵是再求出中間數(shù)，然后把剩下的數(shù)根據(jù)和湊成對，根據(jù)幻和調(diào)整每一對數(shù)的位置填入表中．14．（2012?長寧區(qū)校級自主招生）兩個自然數(shù)的積是3322，那么這兩個自然數(shù)的和最小是173．【分析】把3322分解質(zhì)因數(shù)，進(jìn)而找出符合條件的兩個自然數(shù)，進(jìn)而求得它們的和，從而找出和最小是多少即可．【解答】解：3322＝2×11×151，符合條件的兩個自然數(shù)可以是：1和3322，2和1661，11和302，22和151，所以這兩個自然數(shù)的和最小是：22+151＝173；故答案為：173．【點(diǎn)評】主要考查了有理數(shù)的乘法，解決此題關(guān)鍵是把3322分解質(zhì)因數(shù)，找出符合條件的兩個自然數(shù)，進(jìn)而求和加以比較得解．15．（2021?寶山區(qū)校級自主招生）[]+[]+…+[]＝4045（其中[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[1.4]＝1，[﹣3.14]＝﹣4等等）．【分析】利用取整函數(shù)把算式變?yōu)?04×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：[]+[]+…+[]＝（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+（[]+…[]）+[]＝404×0+404×1+404×2+404×3+404×4+1×5＝4045故答案為：4045．【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，能夠理解取整的函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．16．（2017?浦東新區(qū)校級自主招生）進(jìn)制是人們規(guī)定的一種進(jìn)位方法．計(jì)算機(jī)中常用十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制．而十五進(jìn)制是15為基數(shù)進(jìn)位的計(jì)數(shù)制，該數(shù)制很少使用，但在度量衡中，我國的舊面積單位卻與國際公制面積單位存在著十五進(jìn)制關(guān)系，現(xiàn)采用數(shù)字0﹣9和字母A﹣E共15個計(jì)數(shù)符號，這些符號與十進(jìn)制的數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下表：15進(jìn)制0123456789ABCDE10進(jìn)制01234567891011121314例如，用十五進(jìn)制表示：5+9＝E，3+D＝11，E+D＝1C．則A×C＝80．【分析】在解決本題時首先將15進(jìn)制轉(zhuǎn)化成10進(jìn)制，如：3+D＝3+13＝16（10進(jìn)制）＝11（15進(jìn)制），按此方法即可得出答案．【解答】解：A×C＝10×12＝120＝15×8（10進(jìn)制）+0＝80（15進(jìn)制）+0＝80．故答案為：80．【點(diǎn)評】本題主要考查了十進(jìn)制與15進(jìn)制之間的相互轉(zhuǎn)化，弄懂10進(jìn)制與15進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．17．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）六位數(shù)123123含有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是5．【分析】將123123分解質(zhì)因數(shù)，依此可求六位數(shù)123123含有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)．【解答】解：123123＝3×7×11×13×41，故六位數(shù)123123含有質(zhì)因數(shù)的個數(shù)是5．故答案為：5．【點(diǎn)評】考查了有理數(shù)的乘法，關(guān)鍵是將123123分解質(zhì)因數(shù)．18．（2016?寶山區(qū)校級自主招生）若x是實(shí)數(shù)，則y＝|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|+5|x﹣5|的最小值為15．【分析】分6個區(qū)域：（1）當(dāng)x≤1，原式＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝55﹣15x；（2）當(dāng)1＜x≤2時，原式＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝53﹣13x；（3）當(dāng)2＜x≤3時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝45﹣9x；（4）當(dāng)3＜x≤4時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝27﹣3x；（5）當(dāng)4＜x≤5時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（5﹣x）＝5x﹣5；（6）當(dāng)x＞5，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（x﹣5）＝15x﹣55；比較最小值，即可求得答案．【解答】解：方法1：（1）當(dāng)x≤1，原式＝1﹣x+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝55﹣15x，則x＝1時，有最小值40；（2）當(dāng)1＜x≤2時，原式＝x﹣1+2（2﹣x）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝53﹣13x，則x＝2時，有最小值27；（3）當(dāng)2＜x≤3時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（3﹣x）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝45﹣9x，則x＝3時，有最小值18；（4）當(dāng)3＜x≤4時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（4﹣x）+5（5﹣x）＝27﹣3x，則x＝4時，有最小值15；（5）當(dāng)4＜x≤5時，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（5﹣x）＝5x﹣5，則y沒有最小值；（6）當(dāng)x＞5，原式＝x﹣1+2（x﹣2）+3（x﹣3）+4（x﹣4）+5（x﹣5）＝15x﹣55，則y沒有最小值；故當(dāng)x＝4時，|x﹣1|+2|x﹣2|+3|x﹣3|+4|x﹣4|+5|x﹣5|的最小值為15．方法2：共有1+2+3+4+5＝15個絕對值之和，故x取第8個零點(diǎn)值，即x＝4時和最小，3+2×2+1×3+0×4+5×1＝3+4+3+5＝15．故答案為：15．【點(diǎn)評】此題考查了絕對值的最值問題．此題難度適中，注意掌握分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．19．（2016?徐匯區(qū)校級自主招生）一堆水果因長期放置，含水量從97%下降至96%，那么這堆水果的總重量下降了25%．【分析】根據(jù)含水量的變化＝總重量的變化，列方程計(jì)算．【解答】解：設(shè)總重量原有x，現(xiàn)有y，則減少量為（x﹣y），97%x﹣96%y＝x﹣y，解得，3x＝4y，所以下降了＝25%．答：這堆水果的總重量下降了25%．故答案為：25%．【點(diǎn)評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，要熟練掌握，注意明確含水量的重量變化和總重量變化的關(guān)系．20．（2017?楊浦區(qū)校級自主招生）方程x＝（x﹣）+（1﹣）的解為x＝．【分析】運(yùn)用換元法，化簡求解可得結(jié)果．【解答】解：∵x＝∴x＝，①設(shè)y＝，②則xy＝x﹣﹣